填空壓軸題-2023年江蘇常州中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題分類匯編（解析版）

專題02填空壓軸題

1.（2022?常州）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12.在RtADEF中，N尸=90。，

DF=3,EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF,RtADEF從起始位置（點(diǎn)。與點(diǎn)8重合）平移

至終止位置（點(diǎn)E與點(diǎn)工重合），且斜邊0E始終在線段48上，則RtAABC的外部被染色的區(qū)域面積

是.

B(D)F

【詳解】如圖，連接C尸父于點(diǎn)"，連接C/父于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)尸作尸G,48于點(diǎn)X,過(guò)點(diǎn)〃作

PH_LAB于點(diǎn)、H,連接FFL則四邊形尸GH7是矩形，RtAABC的外部被染色的區(qū)域是梯形MFFW.

在RtADEF中，DF=3,EF=4,

DE=ylDF2+EF2=J32+42=5,

在RtAABC中，AC=9,5c=12,

AB=y/AC2+BC2=792+122=15,

-DFEF=-DE-GF,

22

:.FG=—

5

BG=yjBF2-FG2=^32-(y)2=I,

:.GE=BE-BG=~,AH=GE獸,

55

F'H=FG=—

5

.?.FF=GH=AB—BG—AH=15—5=10,

'：BF//AC,

.BM_BF

.而一前一3’

:.BM=-AB=—,

44

同法可證=

44

sr151515

442

RtAABC的外部被染色的區(qū)域的面積=^、（10+???=21,

故答案為：21.

2.（2021?常州）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZCBA=30°,AC=1,。是AB上一點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)

N不重合）.若在RtAABC的直角邊上存在4個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)N、。成為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則

長(zhǎng)的取值范圍是—.

【詳解】在RtAABC中,ZACB=90°,ZCBA=30°,AC=1,

AB=2,

設(shè)RtAABC的直角邊上存在點(diǎn)￡,使以點(diǎn)/,點(diǎn)。，點(diǎn)E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，

①當(dāng)點(diǎn)。是直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作的垂線；②當(dāng)點(diǎn)E是直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E是以4D長(zhǎng)為直徑的圓與直

角邊的交點(diǎn)，

如圖所示，當(dāng)此圓與直角邊有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，符合題意；

B

當(dāng)以4。為直徑的圓與BC相切時(shí)，如圖所示,

設(shè)圓的半徑為「，即4尸=。b=環(huán)=/，

???EFLBC,/B=30°,

:.BF=2EF=2r,

,7

...尸+2尸=2,解得尸=——；

3

4

AD=2/二—；

3

4

綜上，的長(zhǎng)的取值范圍為：一<AD<2.

3

故答案為：-<AD<2.

3

3.（2020?常州）如圖，在A45c中，48=45。，AB=6也,D、E分別是48、/C的中點(diǎn)，連接。￡,

在直線DE和直線8c上分別取點(diǎn)尸、G,連接2尸、DG.若BF=3DG,且直線2尸與直線。G互相垂

直，則8G的長(zhǎng)為—.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)8作87!■8/交的延長(zhǎng)線于7,過(guò)點(diǎn)2作于〃.

???DG1BF,BTLBF,

DG//BT,

,:AD=DB,AE=EC,

:.DE//BC,

/.四邊形DGBT是平行四邊形，

/.BG=DT,DG=BT,/BDH=/ABC=45°,

AD=DB=3五,

BH=DH=3,

???ZTBF=/BHF=90°,

Z.TBH+AFBH=90°,AFBH+ZF=90°,

4TBH=ZF,

RTDC'11

tanZF=tan/TBH=——=——=—,

BFBF3

TH

----=—,

BH3

:.DT=TH+DH=l+3=4,

BG=4.

當(dāng)點(diǎn)歹在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得。T=5G=3-1=2.

故答案為4或2.

4.（2019?常州）如圖，在矩形Z5C。中，AD=3AB=3廂,點(diǎn)。是4）的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在上,

CE=2BE,點(diǎn)M、N在線段班上.若APMV是等腰三角形且底角與NQEC相等，貝ljMV=

D

C

【答案】6或"

8

【詳解】分兩種情況：

①々W為等腰APMV的底邊時(shí)，作P尸_LMN于尸，如圖1所示:

則乙PFM=ZPFN=90°,

?.?四邊形42。是矩形，

AB=CD,BC=AD=3AB=3V10,ZA=ZC=90°,

；.AB=CD=屈,BD7AB?AD?=10,

?.?點(diǎn)尸是40的中點(diǎn)，

:.PD^-AD=^^-,

22

???ZPDF=ABDA,

?"DFs/^BDA,

3回

工a,即筆=工

ABBDV1010

解得：PF=—,

2

???CE=2BE,

/.BC=AD=3BE,

:.BE=CD,

CE=2CD,

???APAW是等腰三角形且底角與/DEC相等，PFLMN,

:.MF=NF,ZPNF=ZDEC,

???ZPFN=NC=90°,

/.APNF^ADEC,

NFCE、

----==2,

PFCD

：.MF=NF=2PF=3,

MN=2NF=6；

②JW為等腰AP7W的腰時(shí)，作。尸_15。于尸，如圖2所示:

3

由①得：PF=—,MF=3,

2

設(shè)MN=PN=x,貝Ij/W=3—x,

在RtAPNF中，gy+G—%)2=、2,

解得：x=-j即MN=—；

88

綜上所述，的長(zhǎng)為6或空；

8

故答案為：6或”.

5.（2018?常州）如圖，在A45c紙板中，AC=4,BC=2,48=5,尸是/C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸沿直線剪

下一個(gè)與A43c相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么/尸長(zhǎng)的取值范圍是—.

【答案】3?AP<4

【詳解】如圖所示，過(guò)P作PD//AB交BC于D或PE//BC交AB于E,則APCZ）sA4c3或

AAPES^ACB,

止匕時(shí)0<4P<4；

如圖所示，過(guò)尸作N4P尸=48交N8于尸，則AAP/sA^gc,

此時(shí)0</尸,,4；

c

如圖所示，過(guò)尸作ZCPG=ZCBA交BC于G,則ACPGs^CBA,

it匕時(shí)，ACPGSACBA,

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)3重合時(shí)，CB2=CPXCA,BP22=CPx4,

CP=1,AP=3,

，此時(shí)，3,,4P<4；

故答案為：3?AP<4.

6.（2022?金壇區(qū)模擬）如圖，A42c中，AC=3,BC=4,AB=5.四邊形N3E尸是正方形，點(diǎn)。是直

線8C上一點(diǎn)，且CA=1.尸是線段?！晟弦稽c(diǎn)，且PD=—DE.過(guò)點(diǎn)尸作直線/與3c平行，分別交

3

于點(diǎn)G,H,則G"的長(zhǎng)是.

【答案】【詳解】?.?AA8C中，AC=3,BC=4,AB=5,

AC2+BC2=25,AB2=25,

AC2+BC2=AB2,

：.AABC為直角三角形，

①當(dāng)點(diǎn)。位于C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖：

設(shè)直線/交于點(diǎn)

BMDT

——二—，AMGB=NABC，

BED]E

9

又?.?四邊形尸是正方形，且尸2=§2后，

.?.BE=AB=5,NEBA=90°，

即目n-B-M-=-2

53

解得：BM——

3

?;/MGB=/ABC,AEBA=ZACB=90°,

,AGBMs岫CA,

.GB_BC

"俞一就‘

GB_4

???亞=葭

T

解得：GB=—,

9

:.AG=AB-GB=~,

9

-IIIBC,

AAGHs^4BD],

GHAG

??瓦一/'

?.?CD】=1,

:.BD\=BC—CD、=3,

5

.GH_3

..———,

35

解得：GH=—；

3

②當(dāng)點(diǎn)。位于C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖:

5

GH

~5~~~5

解得：GH=—，

9

綜上，GH的長(zhǎng)為,或J

39

故答案為：工或2.

39

7.（2022?金壇區(qū)一模）如圖，在RtAABC和RtACDE中，ABAC=ADCE=90°,AB=AC=4,

CD=CE=2,以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF.若將\CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF

F

【答案】4V2-2

【詳解】過(guò)點(diǎn)。作。OLDE于點(diǎn)O,連接04、OF,如下圖,

E

F

貝！JCO==后，

22

???四邊形ABFD是平行四邊形，

:.NBAD=18O0—NADF,AB=DF,

???ABAC=9009

/CAD=90°-/BAD=ZADF-90°,

???在RtAABC和RtACDE中，ABAC=ZDCE=90°,AB=AC=4,CD=CE=2,

ZODC=45°,DF=CA,

NACO=360°-/CAD-ZADO-ZCOD=315?！猌ADF-ZADC,

?/ZFDO=360。—ZADF-ZADC-ZCDO=315?！猌ADF-ZADC,

ZFDO=ZACO,

\FDO=\ACO{SAS),

OF=OA,/DOF=ZCOA,

ZAOF=ZCOD=90°,

AF=42AO,

.?.當(dāng)40最小時(shí)，//就最小，

-OA...AC-OC,

.?.當(dāng)4、O、。依次有同一直線上時(shí)，40最小,即/月最小，如下圖，

?.?co=后，AC=4f

AF=42AO=A42-2.

即4b的最小值為：472-2.

故答案為：4A/2-2.

8.（2022?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，矩形45CZ）中，AB=3,5C=4,點(diǎn)區(qū)是矩形對(duì)角線4C上的

Q

動(dòng)點(diǎn)，連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EFLDE交BC所在直線與點(diǎn)F,以DE、EF為邊作矩形DEFG,當(dāng)S^DEFG=-

時(shí)，則4E長(zhǎng)為

【答案】三或三

【詳解】如圖1,作瓦〃于點(diǎn)交AD于點(diǎn)H,設(shè)/E二機(jī),

???四邊形/BCD是矩形，

...ZADC=ZB=/BCD=90°,CD=AB=3,AD=BC=4,

:.AC=y）AB2+BC2=732+42=5,

???ZMCD=ZCDH=ZHMC=90°,

四邊形C/汨陽(yáng)是矩形，

:.DH=MC,AEMF=ADHE=90°,

???四邊形。底尸G是矩形，

/DEF=90°,

ZEFM=90°-/FEM=ADEH,

AEMF^ADHE,

---=----=----=tan/A.CB=

DEDHMC

3

:.EF=-DE,

4

二2

S矩形EOFG=EFDE

EH.…一CD_3AHAD_4

——=sin/CAD=----——,=cosZCAD=——

AEAC5~AEAC~5

34

EH=—m9AH=—m,

55

4

DH=4——m,

5

DE2=DH2+EH-,

c3「//42/3、23224

+=m

?.?5矩形0瓦燈=^［（4_不刃）l^冽+12,

「I

3224…9

/.—m-----m+12=—,

452

整理得5/_32加+50=0,

名力汨16—V616+yl~6

用牛行mx=——-——,m2=——-——，

當(dāng)4￡=3二立時(shí)，如圖1,

5

當(dāng)/石=16+"時(shí),如圖2,

5

故答案為：生逅或土漁.

55

圖2

9.（2022?常州一模）如圖,aABCD中,ZDAB=45°48=8,BC=3,尸為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，則

如當(dāng)如勺最小值等于

【答案】4V2

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PELN。，交/D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

???AB!/CD,

ZEDP=ZDAB=45°,

sinZEDP=—=—

DP2

￡-也

2

P+V1

2PB+PE

二.當(dāng)點(diǎn)8,點(diǎn)P,點(diǎn)E三點(diǎn)共線目.BE，/。時(shí)，P2+PE有最小值，即最小值為2E,

「sin"好母

AB2

BE=4^/2,

故答案為：4五.

E

io.（2022?天寧區(qū)模擬）如圖，△。44，△44^2，△44為，…是分別以4，4，4，…為直角頂

點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)G（X,%），C2（x2,y2）,C3（x3,為），

4

…均在反比例函數(shù)y=；（x>0）的圖象上，則外+%+...+%°的值為—.

【答案】475

【詳解】由題意得，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（占，Q的坐標(biāo)為（％，—）-C3的坐標(biāo)為a，-）>

x2x3

丁點(diǎn)￡是。耳的中點(diǎn)，

.,.點(diǎn)B］的坐標(biāo)為（2王，—）,

玉

.?.4的坐標(biāo)為（2項(xiàng),0）,

8

OAy-2玉，=—，

玉

與是等腰直角三角形，

Q

/.OAX-AXBX,即2%=—,

王

解得：玉=2或玉二一2（舍），

.?.點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,0）,必=2；

設(shè)點(diǎn)c2的坐標(biāo)為（x2,—），

-/

?.?點(diǎn)。2是的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)鳥(niǎo)的坐標(biāo)為（2X2-4,與,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2%-4，0），

8

/.4^2—2%2—8,4^2=---

???△4當(dāng)4是等腰直角三角形，

Q

44=4與,即2'2—8二—，

—-一々

解得：x2=2+2V2或9=2-2^/2（舍），

.?.點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4后，0）,為=2行-2；

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（%3，—）?

,?,點(diǎn)G是4員的中點(diǎn)，

二.點(diǎn)名的坐標(biāo)為（2工3-4后，號(hào)），點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2天-4后，0）,

當(dāng)

O

44=2%3-4y-=2/-8^/2,4員——,

,/

v△3A臺(tái)是等腰直角三角形，

8

4243=4鳥(niǎo)，即2芻-8"\/^-....，

X3

解得：毛=2亞+26或毛=2后一2G（舍），

/.y3=2V3—2V2,...jy2Q=2-\/20-2y/19,

二.必+^2+...+｝；20=2+（272-2）+（2A/3-2A/2）+--?+（2^/20-2V19）=2V20=4V5,

故答案為：4^5.

11.（2022?常州模擬）在四邊形45CQ中，ZABC=nO°,ZADC=60°,AB=BC=3,則CD的最大值

【答案】6

【詳解】?：ZABC=120°,ZADC=60°,

ZABC+ZADC=180°f

/.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

.?.當(dāng)C。是直徑時(shí)，CQ達(dá)到最大值，

連接CM,OB,

?/OA=OD,ZADC=60°,

\AOD是等邊三角形，

/.AAOD=60°,

\-ZABC=l20°,AB=BC=3,

AAOB=ABOC=60°,

OA=OB=OC,

KAOB和KBOC都是等邊三角形,

：.OC=BC=3,

:.CD=2OC=6,

12.（2022?武進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形中，AD=4,DC=141,NB與ND互余,M

是邊的中點(diǎn)，N是N3邊上一動(dòng)點(diǎn)，在九W的右側(cè)作等邊三角形MAP,則NP長(zhǎng)度的取值范圍

是.（參考數(shù)據(jù)：tan75°=2+V3,sin75。=幾+二）.

【詳解】?.?四邊形/2CA是平行四邊形，

ZB=2D,

;/B與/D互余,

ZB+ZD=90°,

.-.NB=/D=45°,

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)2時(shí)，點(diǎn)尸的位置如下圖所示,

當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)/的位置時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的位置用P來(lái)表示如下圖所示,

由此可知，尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線段，

???△8(N)PM是等邊三角形，△4(N)MP是等邊三角形，

BM=PM,/BMP=60°,AM=PM,ZAMP=60°,

/BMP=ZAMPr,

ABMA=4PMP,

,\ABM?"MP(SAS),

/./PPM=/ABM=45°,

??.PP是一條線段，點(diǎn)尸的軌跡是一條線段，

則4尸的最小值是當(dāng)4尸，尸P時(shí)，4P最小，/尸的最大值是4P,

過(guò)點(diǎn)4作477,尸P,垂足為“，過(guò)點(diǎn)M作垂足為。，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)/作垂

足為E，

vZABM=45°,〃是5c邊的中點(diǎn),

:.BM=-BC=2,

2

AQ=AB-BQ=242-42=42f

AM=^AQ2+QM2=2,

ZAMB=90°,

，/AMP=ZAMB-ZBPM=90°-60°=30°,

???PM=BM=AM=2,

AE=-AM=1,

2

Ap

,：sin/APM=----

AP

AE1r-rr

/.A.P----------=--j=----；=-=J6—J2，

sin75°V6+V2

4

ZAPP'=ZAPM-ZMPP'=75°-45°=30°，

在RtAAPH中，

AH=；AP=；（逐一回,

AP'=AM=2,

，/2長(zhǎng)度的取值范圍是；（6-"）,,AP?2.

故答案為：1(V6-V4)?AP?2.

13.（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知乙408=60。，半徑為的OV與邊。4、08相切，若將OM

水平向左平移，當(dāng)與邊。4相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E和尸，且跖=6,則平移的距離為

【答案】2或6

【詳解】當(dāng)將。加水平向左平移，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AT位置時(shí)，如圖

作MC_LCM于C點(diǎn)，M'HLOA于H,〃，。_1同。于0,連接ATE,

；OM與邊OB、相切,

,MC=2y/3,

M'H±OA,

:.EH=CH=-EF=-x6=3,

22

在RtAEHMr中，EM'=273,

1

HM'=4EM'-EH-二拒,

???M'Q1MC,

，四邊形ATQC”為矩形,

：.CQ=M，H=6

/.MQ=2A/3—y/3=V3，

???AQM'M=NAOB=60°,

ZQMfM=30°,

mMQ[

當(dāng)將。〃?水平向左平移，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M〃位置時(shí)，如圖2,

作MC_LCM于C點(diǎn)，M”H1OA于H,M”M交OA于D點(diǎn),

易得MC=2后,M'H=V3,

AMDC=ZM"DH=ZAOB=60°,

ZHM”D=30°,ACMD=30°,

在Rf中,M”D=6,貝1]。8=絲￡=1,

M"D=2DH=2,

在RtACDM中，CM=26，貝！JDC=4￡=2,

DM=2DC=4,

MM"=2+4=6,

綜上所述，當(dāng)ON平移的距離為2或6.

14.（2022?常州二模）如圖、正六邊形/2C7）E尸中，G是邊N尸上的點(diǎn)，GP=!/2=1,連接GC,將GC

3

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得G'C、GC交DE于點(diǎn)、H,則線段的長(zhǎng)為

AG

CD

【答案】第

【詳解】'：GF=-AB=\,

3

:.AB=3,AG=2

如圖，過(guò)點(diǎn)G作G尸///B交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)4作4N//BC交G尸于點(diǎn)N,則四邊形457W是平行四邊形,

:.BP=AN,PN=AB=3,

?/正六邊形ABCDEF,

ABAF=/B=/BCD=ZD=120°,AF=AB=BC=CD=DE=EF=3,

:.AG=AB-GF=3-l=2,

?/AN//BC,

/BAN=180。—NB=180°—120。=60°,

ANAG=ABAF-/BAN=120?！?0°=60°,

\ANG為等邊三角形，

NG=AN=AG=2,

尸G=PN+NG=3+2=5,

過(guò)點(diǎn)G作G/_LCQ于點(diǎn)J,貝！JC/=/G=2,

連接。尸，過(guò)點(diǎn)/作EK_L。/于點(diǎn)K,貝ij。b=2DK,NQ￡K=120。+2=60。，

在RtADEK中，DA：=D￡,-sin60o=3x—=—,

22

.nz?_o3』—嗔rr

..L)F—2x-373，

2

：.GJ=DF=3。,

在RtACGJ中,CG=722+(3A/3)2=731.

???ZGCH=60°,

ZPCG+ZDCH=/BCD-ZGCH=120°-60°=60°,

???ZDHC+ZDCH=180?！猌D=180°-120°=60°,

/.ZPCG+ZDCH=ZDHC+ZDCH,

ZPCG=ZDHC,

???ZCPG=ZD,

/.ACPG^AHDC,

PGCGRn5V31

DCHC3HC

5

:.HG,=CG,-CH=CG-CH=y/3i-^Y-_2V3T

故答案為：—.

5

15.(2022?常州二模)如圖、在A45C中，AB=AC,ZBAC=100%BD平分/ABC,&BD=AB,連接

AD,DC.則NHQC的度數(shù)為

【答案】130

【詳解】vAB=AC,NA4C=100。，

:./ABC=/4CB=40。,

■「BD平分/ABC,

/ABD=/DBC=20°,

???BD=AB,

ZADB=ZDAB=80°,

延長(zhǎng)4。到點(diǎn)E,使得ZE=5。，

BD=AB=AC,ACAD=ZDBC,

\DBC=ACAE(SAS),

:.CD=CE,ZBDC=ZACE,

ZCDE=ZCED=a,

???AADB=80°,

ZBDE=100°,

ZBDC=/ACE=100°+a,

...20。+100。+a+a=180。，

/.a-30°,

/.Z^Z)C=130°,

故答案為：130.

16.(2022?武進(jìn)區(qū)一模)已知：O尸與y軸正半軸交于點(diǎn)N,尸點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),過(guò)點(diǎn)/作G)P的切線交x

OC

軸正半軸與點(diǎn)2(6,0),點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則,=.

【詳解】連接/尸，CP,過(guò)點(diǎn)。作CD，x軸于點(diǎn)

???48切O尸于點(diǎn)工,

AB1AP,

ZPAB=90°,

NB+NAPB=90°,

OALPB,

NAPB+NPAO=90°,

:.APAO=AB,

又AAOP=ZAOB=90°,

AAPO^NBAO,

OAOP

"OB~~OA'

:.OA2=OPOB,

?.?尸點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),5(6,0),

OP=2,OB=6,

OA=V2X6=2A/3,

AP=yjoA2+OP2=7(273)2+22=4,

設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x,

根據(jù)勾股定理得，

CD2=CP--PD2=42-(x+2)2=-X2-4X+12,

OC2=CD2+OD2=-x2-4x+12+x2=-4x+12,

SC2=CZ>2+Z)52=-x2-4x+12+(6-x)2=-16x+48,

OC2_-4x+121

\8C7--16x+48-4'

OC

BC2

故答案為：

2

17.(2022?武進(jìn)區(qū)一模)如圖，A48c中，AB=AC=2,ZBAC=120°,D、￡分別是8C、/C邊上的

動(dòng)點(diǎn)，且乙4DE=N4BC,連接8E,則A4匹的面積的最小值為

A

E

【答案】4

【詳解】過(guò)點(diǎn)/作于"，過(guò)點(diǎn)石作EK_LA4交A4的延長(zhǎng)線于K.設(shè)/￡=>,BD=x.

vAB=AC=2,AHLBC,ZBAC=120°,

:.BH=CH,ZBAH=ZCAH=60°,

;BH=CH=AB-sin60。=6

BC=2BH=2G,

:.CD=2S5-X,EC=2-y,

在RtAAEK中，EK=AE-sin60°=——y，

2

1173V3

S^=-AB^EK=-xlx—y=-y,

■BE2222

???/ADC=/ADE+ZEDC=/ABC+ADAB,/ADE=NABD,

/EDC=/DAB,

???ZC=AABD,

\ADB^\DEC,

,AB_DB

'~DC~~EC'

.2_x

"2V3-X-2^7,

整理得y=-^x2—下fX+2=—下))2+；,

?/->0,

2

.?.x=g時(shí)，歹的值最小，最小值為工，

2

/.\ABE的面積的最小值=—，

4

k

18.(2022?常州一模)如圖，點(diǎn)/(1,2)、點(diǎn)2都在反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象上，當(dāng)以03為直徑的圓

X

經(jīng)過(guò)/點(diǎn)，點(diǎn)2的坐標(biāo)為.

【答案】(4,0.5)

【詳解】將點(diǎn)2(1,2)代入(=1(%>0)得：k=2,

x

則反比例函數(shù)解析式為歹=4,

X

2

設(shè)點(diǎn)5(加,一)，

m

如圖，連接45,過(guò)點(diǎn)/作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)5作y軸的平行線，交直線4C于點(diǎn)。,

則ZOCA=ZD=90°,

..ZAOC+ZOAC=90°f

OB為圓的直徑，

AOAB=90°,

ZOAC+ZBAD=90°f

ZAOC=ABAD,

則\AOC^NBAD,

ACOC日口12

——=——，即——引=——-，

BDADQ2m-\

z-----

m

解得：m=1(舍)或加=4,

則點(diǎn)8(4,0.5),

故答案為：(4,0.5).

19.（2022?天寧區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形中，42=10,ND=12,點(diǎn)N是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)〃

是2C邊上的一動(dòng)點(diǎn)連接將ABMN沿〃N折疊，若點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)"，連接"C,當(dāng)△8'MC為直角

【詳解】由翻折可得BN=8W,

當(dāng)N2'CM=90。時(shí)，

?.?N為的中點(diǎn)，/2=10,

AN=BN=B'N=5,

■：B'N<AD,即5<12,

點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'不能落在CO所在的直線上,

AB'CM=90°的情況不存在；

當(dāng)NB'MC=90。時(shí)，AB'MB=90°,如圖.

由翻折可得NBMN=NB'MN=45°,

ZB=90°,

ZBNM=ZB'NM=45°,

:.BM=BN=-AB=5■,

2

當(dāng)NM2'C=90。時(shí)，如圖.

則ZNB'M=90°,

.?.點(diǎn)N,B',C三點(diǎn)在同一條直線上,

設(shè)BM=B'M=x,貝=12-x,

在RtABNC中,

NC=ylBN2+BC2=13,

B'C=CN-NB'=13-5=S,

在及△B'MC中，

由勾股定理可得x?+82=(12-X)2,

解得x=W,

3

3

綜上所述，滿足條件的2M的值為5或處.

3

故答案為：5或W.

3

20.(2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬)如圖，等腰直角AABC,AABC=90°,=2C=3,點(diǎn)。為NC邊上一點(diǎn),

AD=4i,點(diǎn)尸為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。并延長(zhǎng)至點(diǎn)使得％■=]_,以2初，PC為邊作

DM3

口PMNC,連接PN,則尸N的最小值為

【答案】7

【詳解】作MGL45于G,DH工AB于H,以點(diǎn)5為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則AADH是等腰直角三角形，

DH=',

???DH//MG,

\PDH^\PMG,

DH_PD

…就一而'

GM=4,

???四邊形PCNM是平行四邊形，

xp+xN=xc+xM,

0+Xy=3+4,

XN—7j

PN的最小值為7,

故答案為：7.

21.（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在ZU2C中，BA,8c分別為。。的切線，點(diǎn)E和點(diǎn)C為切線點(diǎn)，線

段NC經(jīng)過(guò)圓心。且與。。相父于。、C兩點(diǎn)，若tan/=—,AD=2,則2。的長(zhǎng)為.

【答案】【詳解】如圖，連接

設(shè)。。的半徑為3x,則OE=OD=OC=3x,

在RtAAOE中，tan/=—,

4

,OE3

/.=—,

AE4

.3x_3

---=—,

AE4

AE=4x,

/.AO=yJOE2+AE2=7(3X)2+(4x)2=5x,

???40=2,

AO=OD+AD=3x+2,

/.3x+2=5x,

..x—1f

二.CM=3x+2=5,OE=OD=OC=3x=3,

:.AC=OA+OC=5+3=S,

在RtAABC中，tanA=——,

AC

3

BC=AC-tanA=Sx—=6,

4

/.OB=yjoc2+BC2=V32+62=375.

故答案是：3A/5.

22.（2022?天寧區(qū)校級(jí)一模）如圖，在RtAABC中，NACB=90。，以斜邊為邊向下作正方形,

過(guò)點(diǎn)、E作EF//BC交AC于點(diǎn)、F,過(guò)點(diǎn)。作CG//5E交所于點(diǎn)G,連結(jié)。G,若/尸=3,DE=15,則

四邊形CG班的面積為.

【答案】81

【詳解】???四邊形4。仍是正方形,

AD=BE=AB=DE=15,

EF//BC,CGIIBE,

.?.四邊形CBEG是平行四邊形，

CG=BE=\5,

CG=AB,

???ZAFH=ZACB=90°,

/CAB+ZAHF=90°,/FEB+/EHB=90°,

???ZAHF=ZEHB,

/CAB=/FEB,

???ZFGC=/FEB,

/.NCAB=ZFGC,

???ZGFC=ZACG=90°,

\GFC=MCB(AAS),

/.CF=BC,

設(shè)/C=b,CF=BC=a,貝16—Q=/C—C尸=4尸=3,

.?.(b-a)2=32=9,

b?+a?-2ab=9，

?.?/+/=AC2+BC2=AB2=152=225,

225-2ab=9,

lab=216,

(6+a)?=/+/+2a6=225+216=441=2V,

:.b+a>0，

「.6+4=21,

由q+Tl得1=9,

[b-a=3[b=12

：.CF=BC=9,

?/CFLBC,且四邊形C5￡G是平行四邊形，

?e-S四邊形CGEB=BCCF=9x9=81,

?.四邊形CBEG的面積是81,

故答案為：81.

23.（2022?漂陽(yáng)市模擬）城市停車問(wèn)題突出，為了解決這一問(wèn)題，某小區(qū)在一段道路邊開(kāi)辟一段斜列式停

車位，每個(gè)車位長(zhǎng)6加，寬2.4冽，矩形停車位與道路成67。角，則在這一路段邊上最多可以劃出個(gè)車

?,tan67°?

13

530

.../C=cos67。=6x—=—（冽）,

1313

在RtADHG中，HG=2Am,AHDG=67°,

“HG2.413.、

二.HD=---------=—=—（m）,

sin67°125

13

ZGDE=90°，

ZFDE=180。一ZHDG-/GDE=23°，

?「ADFE=90°,

/DEF=90°-/FDE=67°,

在RtADFE中，DE=2Am,

12144

DF=DEsin67。=2.4x—=——（加），

1365

（84----）^—+1?30.6+1=31.6,

13655

.?.在這一路段邊上最多可以劃出31個(gè)車位,

故答案為：31.

3

24.（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在RtAABC中，/ACB=90。，sin5=—,。是邊5C的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在48

5

邊上，將A5DE沿直線翻折，使點(diǎn)8落在同一平面內(nèi)點(diǎn)/處，線段ED交邊N8于點(diǎn)G,若FD工AB

時(shí),則羨

【答案】4

【詳解】過(guò)點(diǎn)、B作BH//DE,交G。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃,

???FDLAB,

ZDGB=90°,

.nDG3

sinB------——,

BD5

設(shè)0G=3x,

:.BD=5x,BC=2BD=\Gx,

BG=yjBD2-DG2=4x,

由翻折可得NBDE=ZEDF,

???DE//BH,

ZFDE=ZBHF,ABDE=ZDBH,

/BHF=/DBH,

...DH=DB=5x,

?「ADGE=ABGH,

:.NDEGS\HBG,

.DGEG_3x_3

"HG~BG~8x~S

3

EG——Xr

2

m35

則BE