蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中專項復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系【考題猜想壓軸26題6種題型】（原卷版+解析）

專題05直線與圓的位置關(guān)系（壓軸26題6種題型）

一、判斷直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）

1.（2022秋?江蘇南通?九年級統(tǒng)考期末）定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個公共點，則稱圖形M與圖

形N互為“雙聯(lián)圖形"，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”.

（1）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為2,下列函數(shù)圖象中與。。互為“雙聯(lián)圖形”的是

（只需填寫序號）；

①直線y=x+l；②雙曲線>=工③拋物線丁=—+2》+3.

X

⑵若直線>=-?》與拋物線y=f+l互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=-x+b不是雙曲線y=」的“雙聯(lián)圖形”，求

X

實數(shù)6的取值范圍；

⑶如圖2,已知A（-2,0）,B（4,0）,C（l,3）三點.若二次函數(shù)y=a（x+l）2+3的圖象與AABC互為“雙聯(lián)圖

形”，直接寫出〃的取值范圍.

2.（2022秋?江蘇無錫?九年級統(tǒng)考期中）如圖1,平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別是（3,0）、

（5,0）、（0,4）.

八y

c

O4Bx

圖1圖2

⑴用無刻度的直尺和圓規(guī)作出過A、B、C三點的。P,求圓心尸的坐標；

⑵如圖2,若過A、8兩點的。M恰好與直線/：y=r相切，請直接寫出圓心M的坐標：

3.（2022秋?江蘇?九年級期中）（1）如圖①，AB是0O的直徑，C、D在0O上，且BC=BD,AD=CD.求

證：ZADC=2ZBDC.

(2)如圖②，AB是。。的直徑，點C在。0上.若平面內(nèi)的點D滿足AD=CD,且NADC=2NBDC.

①利用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點D(保留作圖痕跡，不寫作法)；

②若AB=4,BC長度為m(0<m<4),則平面內(nèi)滿足條件的點D的個數(shù)隨著m的值變化而變化，請直接

寫出滿足條件點D的個數(shù)及對應(yīng)m的取值范圍.

4.(2022秋?江蘇鹽城?九年級景山中學(xué)?？计谥?【新知】

19世紀英國著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程，+法+°=0的幾何解法：如圖1,在平面

直角坐標系中，已知點A(0,l)、B(-b,c),以48為直徑作。尸.若。P交無軸于點M(加而、N(n,0),則儕“

為方程/+fox+c=0兩個實數(shù)根.

⑴【探究】由勾股定理得，AM^V+m2,BM2=c2+(-b-m)2,=(l-c『+從，在&AAB”中，

AM2+BM2=AB2，所以12+機2+。2+(-6-m)2=(1-。)2+/.化簡得：nr+bm+c=0,同理可得：.所

以加、"為方程尤2+"+C=0的兩個實數(shù)根.

(2)【運用】在圖2中的x軸上畫出以方程Y-3x-2=0兩根為橫坐標的點M、N.

⑶己知點40,1)、8(6,9),以A3為直徑作。C.請運用以上知識判斷。C與x軸的位置關(guān)系，并說明理由.

(4)【拓展】在平面直角坐標系中，已知兩點A(0,a)、B(Jj,c),若以AB為直徑的圓與交x軸有兩個交點M、

N,則以點M、N的橫坐標為根的一元二次方程.

二、切線性質(zhì)與判定定理綜合(共6小題)

5.（2022秋?江蘇無錫.九年級無錫市東林中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是。。的直徑，8是O。的弦，連接AC、

AD,OD,其中，DA平分/CDO,過點B作BELCD交8的延長線于E.

⑴求證：BE是。。的切線；

⑵若CD=40，ZAOD:ZACD=6:5,求圖中陰影部分的面積.

6.（2022秋?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AABC中，AB=BC,以45為直徑的。。交AC于點

D,過。作。EL3C,垂足為E,連結(jié)OE,CD=2^,ZACB=^0°.

⑴求證：DE是。。的切線；

（2）若以A3、OE的長為方程尤2+/+。=0兩個實數(shù)根，求6的值;

⑶求圖中以線段CD、3C和弧所圍成圖形的面積.

7.（2022秋?江蘇揚州?九年級統(tǒng)考期中）問題提出：

蘇科版九年級（上冊）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對角的數(shù)量關(guān)系時提出了兩個問題:

（1）小明發(fā)現(xiàn)問題1中的/A與NC、NABC與4DC都滿足互補關(guān)系，請幫助他完善問題1的證明:

,/BO是的直徑,

，ZA+ZC=180°,

:四邊形內(nèi)角和等于360。,

(2)請回答問題2,并說明理由.

深入探究：

如圖3,。。的內(nèi)接四邊形A3C。恰有一個內(nèi)切圓。/,切點分別是點E、F、G、H,連接G",EF.

(1)直接寫出四邊形A5c。邊滿足的數(shù)量關(guān)系；

(2)探究所、GH滿足的位置關(guān)系；

(3)如圖4,若NC=90。，BC=3,CD=2,請直接寫出圖中陰影部分的面積.

8.(2022春?全國?九年級期末)如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦平分乙BAC,過點。作

射線AC的垂線，垂足為〃，點E為線段AB上的動點.

(1)求證：是。。的切線；

⑵若NB=30。，AB=S,在點E運動過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在,

說明理由；

⑶若點E恰好運動到NACB的角平分線上，連接CE并延長，交。。于點E交AD于點P,連接AB,CP

=3,EF=4,求AP的長.

9.(2022春.江西吉安.九年級校考期中)如圖，在Rt&4BC中，ZACB^90°,。為A8邊上的一點，以

為直徑的。。交8C于點E,交AC于點片過點C作CGLAB于點G,交AE于點”，過點E的弦EP交

A8于點。(EP不是直徑)，點。為弦E尸的中點，連結(jié)BP,8P恰好為。。的切線.

(1)求證：BC是0。的切線；

(2)求證：AE平分/C4B；

(3)若&。=10,EQ=5,嘗=工，求四邊形CHQE的面積.

ACJ2

10.(2022秋?湖北鄂州?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ADLCD,AC=AB,QO

為△ABC的外接圓.

圖1圖2

(D如圖1,求證：是。。的切線；

(2)如圖2,C。交。。于點E,過點A作AGLBE,垂足為凡交BC于點G.

①求證：AG=BG；

②若AD=2,CD=3,求PG的長.

三、利用切線長定理求解(共5小題)

H.(2022秋?江蘇宿遷?九年級統(tǒng)考期末)如圖，已知于點8,且A8=10cm,將線段4B繞點8按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a(0%至360。)得到線段BC,過點C作。_LMN于點。，。。是△80的內(nèi)切圓，直線

A。、BC相交于點H.

⑴若a=60。，則CD—_cm.

(2)若A0_L2C

①點”與。。的位置關(guān)系是一

A.點H在。。外

B.點”在。。上

C.點”在0。內(nèi)

②求線段A。的長度.

⑶線段AB繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，求點。運動的路徑長.

12.（2022秋?江蘇無錫?九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校校考期中）如圖，平行四邊形ABC。中，

AB1AC,AB=6,3C=10,點P在對角線AC上運動（點尸不與點A重合），以P為圓心，F(xiàn)4為半徑

作。P.

⑴當。尸與邊CO相切時，AP=.

⑵當。尸與邊BC相切時，求AP的值.

（3）隨著AP的變化，。尸與平行四邊形A3C。的邊的公共點的個數(shù)也在變化.請根據(jù)AP的取值范圍探索。P

與平行四邊形A3CD四邊的公共點的個數(shù).

13.（2022秋?江蘇?九年級期中）探究問題：（1）如圖1,PM、PN、跖分別切。。于點A、B、C,猜想△PEF

的周長與切線長融的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

變式遷移：（2）如果圖1的條件不變，且尸0=10厘米，APEF的周長為16厘米，那么。O的半徑為_厘米.

拓展提高：（3）如圖2,點E是NMPN的邊上的點，EFLPN于點、F,。。與邊跖及射線PM、射線

PN都相切.

①畫出符合條件的。。；

②若EF=3,尸尸=4,求。。的半徑.

14.（2022秋.北京豐臺?九年級統(tǒng)考期末）對于平面直角坐標系xOy中的圖形N,給出如下定義：若圖

形M和圖形N有且只有一個公共點P,則稱點尸是圖形M和圖形N的“關(guān)聯(lián)點

己知點A（2,0）,B（0,2）,C（2,2）,白）.

⑴直線/經(jīng)過點A,08的半徑為2,在點A,C,。中，直線/和05的“關(guān)聯(lián)點”是；

（2）G為線段OA中點，。為線段。G上一點（不與點，G重合），若。。和△OLD有“關(guān)聯(lián)點”，求。。半

徑r的取值范圍；

（3）eT的圓心為點T（0j）（f>0）,半徑為直線加過點A且不與x軸重合.若eT和直線相的“關(guān)聯(lián)點”在直

線〉=》+》上，請直接寫出6的取值范圍.

15.（2022秋?山東臨沂?九年級統(tǒng)考期中）已知，AB是。。的直徑，42=16,點C在。。的半徑上運動，

PCLAB,垂足為C,PC=10,PT為。。的切線，切點為T.

（1）如圖（1）,當C點運動到。點時，求PT的長；

（2）如圖（2）,當C點運動到A點時，連接P。、BT,求證：PO//BT；

（3）如圖（3）,設(shè)尸T=y,AC=x,求y與尤的解析式并求出y的最小值.

四、與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的計算（共5小題）

16.（2022秋?江蘇鹽城?九年級景山中學(xué)?？计谥校┤鐖D1,拋物線y=fx2-I6tc+48fC為常數(shù)，/<0）與x

軸交于A,8兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C.

圖1圖2

（1）點A的坐標是，點B的坐標是；

（2）如圖2,點。是拋物線上的一點，且位于第一象限，連接延長8。交y軸于點E,若NBCE=/BEC.

①求點。的坐標（用含/的式子表示）；

②若以點。為圓心，半徑為8作。，試判斷。。與y軸的位置關(guān)系；

（3）若該拋物線經(jīng)過點（h,—且對于任意實數(shù)x,不等式16a+48江嶼恒成立，求ABOC外心廠

33

與內(nèi)心/之間的距離.

17.（2022春?江蘇?九年級期末）數(shù)學(xué)概念

若點尸在AABC的內(nèi)部，且NAP3、—3PC和NCR4中有兩個角相等，則稱尸是AABC的“等角點”，特別地，

若這三個角都相等，則稱尸是AABC的“強等角點”.

理解概念

（1）若點P是AASC的等角點，且ZAPB=100。，則—3尸C的度數(shù)是_。.

（2）已知點。在AABC的外部，且與點A在3c的異側(cè)，并滿足Z8OC+NBAC<180。，作AfiCD的外接圓。，

連接A￡>,交圓0于點尸.當AfiCD的邊滿足下面的條件時，求證：P是AABC的等角點.（要求：只選擇其

中一道題進行證明?。?/p>

①如圖①，DB=DC

②如圖②，BC=BD

③

深入思考

（3）如圖③，在AABC中，/A、NB、/C均小于120。，用直尺和圓規(guī)作它的強等角點Q.（不寫作法，

保留作圖痕跡）

（4）下列關(guān)于“等角點”、“強等角點”的說法：

①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點；

②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點；

③正三角形的中心是它的強等角點；

④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；

⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內(nèi)部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的有_.（填序

號）

18.（2022秋?江蘇南京?九年級統(tǒng)考期中）解答下列問題

（1）【習(xí)題再現(xiàn)】完成原習(xí)題；（教材P74第10題）如圖①，/是AABC的內(nèi)心，回的延長線交AABC的外

接圓于點。.5。和⑷相等嗎？為什么？

（2）【逆向思考】如圖②，/為AABC內(nèi)一點，4的延長線交AASC的外接圓于點D若DB=D/=DC,求

證：/為的內(nèi)心.

（3）【遷移運用】如圖③，利用無刻度直尺和圓規(guī)，作出AABC的內(nèi)心/.（保留作圖痕跡，寫出必要的文字

說明.）

20.（2022秋?廣東湛江.九年級?？计谥校┚C合與探究

拋物線、=加_°（。>0）與X軸交于4B兩點（A點在2點左邊），與y軸交于C點，己知OC=2Q4.

（1）求A、8兩點的坐標；

⑵求拋物線的解析式；

⑶在拋物線上是否存在一點尸，使△PAC的內(nèi)心在X軸上？若存在，求出尸點坐標；若不存在，請說明理

由.

五、與三角形外接圓有關(guān)的計算（共4小題）

21.（2022春.全國?九年級期末）拋物線>=以2+2元+c與x軸交于A（-1,0）、B兩點，與y軸交于點C（0,

3）,點。（加，3）在拋物線上.

圖1圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,連接BC、8D,點尸在對稱軸左側(cè)的拋物線上，若NPBC=NDBC,求點尸的坐標；

（3汝口圖2,點。為第四象限拋物線上一點，經(jīng)過C、。、。三點作。M,的弦。/〃y軸，求證：點E在

定直線上.

22.（2022秋?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小

覆蓋圓.

(D如圖①，線段AB=3,則線段A8的最小覆蓋圓的半徑為:

(2)如圖②，Rt^ABC中，ZA=90°,AB=?,AC=3形,請用尺規(guī)作圖，作出Rt^ABC的最小覆蓋圓

(保留作圖痕跡，不寫作法).此最小覆蓋圓的半徑為；

(3)如圖③，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,則矩形ABC。的最小覆蓋圓的半徑為；若用兩個等

圓完全覆蓋該矩形ABCD,那么這兩個等圓的最小半徑為.

23.(2022秋?新疆烏魯木齊?九年級?？计谥?如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-3x-3與x軸交于點

A,與y軸交于點C.拋物線y=f+bx+c經(jīng)過A,C兩點，且與x軸交于另一點B(點B在點A右側(cè)).

(1)求拋物線的解析式及點8坐標；

(2)試探究AABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；

(3)若點M是線段8C上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F,交拋物線于點E.求AfiCE面

積的最大值，并求出此時M點的坐標.

24.(2022秋?浙江嘉興?九年級校聯(lián)考期中)如圖1,已知拋物線>=/+/+c經(jīng)過原點0,它的對稱軸是

直線x=2,動點P從拋物線的頂點A出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設(shè)動點P運動的

時間為f秒，連接。尸并延長交拋物線于點B,連接。4,AB.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)當為直角三角形時，求f的值；

(3)如圖2,。"為AAOB的外接圓，在點尸的運動過程中，點/也隨之運動變化，請你探究：在1</45時,

求點/經(jīng)過的路徑長度.

六、三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合(共2小題)

25.(2022秋?浙江寧波.九年級校聯(lián)考期中)若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形

為奇妙四邊形.如圖1,四邊形ABCD中，若AC=BD,AC±BD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)

奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個重要性質(zhì)：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘

(2)如圖2,已知。O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形，若。。的半徑為6,ZBCD=60°.求奇妙四邊

形ABCD的面積；

(3)如圖3,已知。O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OMLBC于M.請猜測OM與AD的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

26.(2022秋?浙江臺州?九年級統(tǒng)考期末)如圖1,是。。的直徑，且AB=8,過點8作。。的切線，C是

切線上一點，連接AC交。。于點。，連接8。，點E是AD的中點，連接BE交AC于點R

(2)求證：CB=CF；

(3)若AF=4,求C8的值；

(4)在圖1的基礎(chǔ)上，作NADB的平分線交BE于點/,交。。于點G,連接0/(如圖2)寫出。/的最小

值，并說明理由.

專題05直線與圓的位置關(guān)系（壓軸26題6種題型）

一、判斷直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）

1.（2022秋?江蘇南通.九年級統(tǒng)考期末）定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個公共點，則稱圖形M與圖

形N互為“雙聯(lián)圖形"，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”.

（1）如圖1,在平面直角坐標系xQy中，。。的半徑為2,下列函數(shù)圖象中與。?；椤半p聯(lián)圖形”的是

（只需填寫序號）；

①直線y=x+i；②雙曲線y=L③拋物線y=/+2x+3.

X

⑵若直線片-工+》與拋物線y=Y+l互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=r+8不是雙曲線y的“雙聯(lián)圖形”，求

X

實數(shù)b的取值范圍；

⑶如圖2,已知A（-2,0）,8（4,0）,C（l,3）三點.若二次函數(shù)y=a（x+l『+3的圖象與互為"雙聯(lián)圖

形”，直接寫出。的取值范圍.

【答案】⑴①

3

（2）b的取值范圍是w<642

1,3

（3）—3<a<——或---<<7<0

825

【分析】（1）根據(jù)圖形M與圖形N是雙聯(lián)圖形的定義可直接判斷即可；

（2）根據(jù)函數(shù)解析式聯(lián)立方程，再根據(jù)“雙聯(lián)圖形”的定義，由一元二次方程的判別式可得結(jié)論；

（3）根據(jù)雙聯(lián)圖形的寶座進行判斷即可.

【詳解】（1）選項①的直線>=x+l經(jīng)過第一、二、三象限，且經(jīng)過點（0,1）和（-1,0）

又。。的半徑為2,

,這兩個圖形有且只有兩個公共點，

這兩個圖形是“雙聯(lián)圖形”；

選項②的雙曲線>=」在第一、三象限與圖1中的圖象分別有兩個公共點，一共有四個公共點，不符合“雙聯(lián)

X

圖形''的定義，

故這兩個圖形不是“雙聯(lián)圖形”；

選項③的拋物線y=，+2x+3=(x+l)2+2的頂點坐標漸(-1,2),并且開口方向向上，與圖1中的圖象沒有

公共點，

故這兩個圖形不是“雙聯(lián)圖形”；

選①

故答案為①；

(2)已知直線>=7+。與拋物線y=Y+l有且只有兩個公共點，

.?.將y=-x+8代入拋物線y=三+1中，得，

x2+x+l—8=0

13

配方得，(%+-)2=^-4

24

???方程有實數(shù)解，

33

>0即

又直線y=T+b不是雙曲線的“雙聯(lián)圖形”，

X

.,.直線>=-尤+方與雙曲線y」最多有一個公共點，

X

即當x=l時，y=—%+人<1代入得，—l+Z?<1,即。42,

3

???實數(shù)6的取值范圍是:<"<2；

(3)?.?O(X+1)2+3是二次函數(shù)，

??aw0

二?二次函數(shù)y=o(x+l)2+3的頂點坐標為(-1,3),且對稱軸為直線x=-l,

...當a>0時，二次函數(shù)y=a(x+l『+3的圖象與AABC的圖象沒有交點，

,a>0不成立；

當“<0時，二次函數(shù)y=a(x+iy+3的圖象開口向下，為使它與AABC互為雙聯(lián)圖形，即有且只有兩個公共

點，

???①當拋物線與AC和AB相交時，設(shè)直線BC的解析式為產(chǎn)加什小

把。(1,4),5(4,0)代入，得

〔左+》=3，

??.尸，

\k=-l

...y=-x+4,

???拋物線與3C不想交，

a（%+l）2+3=一工+4,即ax2+（2a+1）x+a-1=0無實數(shù)本艮，

???（24+1）2-4〃（〃-1）<0,

解得"一，

O

又當x=—2時，要滿足y>0,相當于a+3>0,所以〃>—3；

?

..一3Q<Q<一一1;

8

②當拋物線與AC和8C相交時，

3

當x=4時，要滿足y>。，相當于25〃+3>0,所以，〃>—，

3

-----<Q<0;

25

13

綜上，〃的取值范圍為：-3<a<--^---<a<0

825

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，切線的判定和性質(zhì)，圖形”與

圖形N是和諧圖形的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊點，特殊位置解決問題.

2.（2022秋?江蘇無錫?九年級統(tǒng)考期中）如圖1,平面直角坐標系中，A、B、。三點的坐標分別是（3,0）、

（5,0）、（0,4）.

圖1圖2

⑴用無刻度的直尺和圓規(guī)作出過A、B、C三點的。P,求圓心尸的坐標；

（2）如圖2,若過A、8兩點的。M恰好與直線/：》=一%相切，請直接寫出圓心M的坐標:

【答案】（1）畫圖見解析，圓心尸的坐標為［4,

⑵（4,4一回）或（4,4+回）

【分析】（1）作出A3和AC的垂直平分線，兩條直線的交點即為圓心P,

（2）設(shè)。M與直線/：y=-x相切相切與點N,連接AM,MN,根據(jù)題意表示出MN的表達式，進而得到

點N的坐標，最后根據(jù)半徑相等列出方程求解即可.

【詳解】（1）如圖所示.作出和AC的垂直平分線，兩條直線的交點即為圓心H

連接AP,CP,A2的垂直平分線交無軸于點

VPMLAB,A（3,0）、B（5,0）

AAM=BM,即點”是A2的中點

；.加點坐標為（4,0）

..?點P的橫坐標為4,

設(shè)點尸的坐標為（4,y）

'：PA=PC

???（4一3『+（y-0）2=（4-0）2+（y-4）2,解得y==

o

...圓心尸的坐標為14,七］;

（2）如圖所示，設(shè)。M與直線/：y=f相切相切與點N,連接AM,MN,

同（1）可得點M的橫坐標為4,

J設(shè)點M的坐標為（4,。）

,.?。河與直線/：?二一元相切相切與點N

：.MN10N

???設(shè)所在直線的表達式為y=x+b

將點M（4,Q）代入得。=4+人，即。=〃一4

二?MN所在直線的表達式為y=x+a-4

4一〃

x=

y=x+a-42

???聯(lián)立得:，解得v

y=-xa-4

y=

..,.（4-Qa—4

.,.點N的坐標為［亍,亍

:點A和點N都在。M上

:.MA=MN

/.（4-3）2+（a-0）2=|^4-）

整理得a2—8a—14=0

解得：〃=4+歷或4—同

圓心M的坐標為（4,4-同）或（4,4+同）

故答案為：（4,4-廊）或（4,4+聞）.

【點睛】此題考查了確定要圓的條件，一次函數(shù)和圓綜合題，切線的性質(zhì)和垂徑定理知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上知識點.

3.（2022秋.江蘇.九年級期中）（1）如圖①，AB是。。的直徑，C、D在。O上，且BC=BD,AD=CD.求

證：ZADC=2ZBDC.

（2）如圖②，AB是。O的直徑，點C在。O上.若平面內(nèi)的點D滿足AD=CD,且/ADC=2NBDC.

①利用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；

②若AB=4,BC長度為m（0<m<4）,則平面內(nèi)滿足條件的點D的個數(shù)隨著m的值變化而變化，請直接

寫出滿足條件點D的個數(shù)及對應(yīng)m的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②當0<m<生叵時，點D的個數(shù)為0,當01=拽時，點D的個

55

數(shù)為1,當拽<m<4時，點D的個數(shù)為2

5

【分析】（1）連接AC,根據(jù)垂徑定理得出AB垂直平分CD,再證明△ACD是等邊三角形，就可以求出^ADC

和NBDC的度數(shù)，即可證明結(jié)論；

(2)①以B為圓心，BC長為半徑作。B,OB與AC的垂直平分線的交點為D、D；

②假設(shè)AC的垂直平分線和以BC為半徑的。B只有一個交點時，此交點就是AB的中點，得到AC=2BC,

利用勾股定理求出m的值，當m小于此值時沒有交點，大于此值時兩個交點.

【詳解】解：(1)如圖，連接AC,

n

VBD=BC,

BC=BD，

VAB是直徑，

AAB垂直平分CD,

AAC=AD,

???CD=AD,

.,.△ACD是等邊三角形，

/.ZADC=60°=ZDAC,

〈AB垂直平分CD,

NBAC=ZBAD=30°=ZBDC,

.\ZADC=2ZBDC；

(2)①如圖，以B為圓心，BC長為半徑作。B,OB與AC的垂直平分線的交點為D、D；

②如圖，當。B與AC的垂直平分線只有一個交點時，即點D的個數(shù)為1,

???AC=2BC,

VAB2=AC2+BC2,

16=5m2,

.4A/5

??m=-----,

5

V0<m<4,

.?.當0<m<撞時，點D的個數(shù)為0；

5

當m=上、5時，點D的個數(shù)為1；

5

當短<m<4時，點D的個數(shù)為2.

5

【點睛】本題考查圓，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理，垂徑定理，尺規(guī)作圖的方法，以及直線與圓的位置

關(guān)系.

4.(2022秋?江蘇鹽城?九年級景山中學(xué)?？计谥?【新知】

19世紀英國著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程￡+法+C=0的幾何解法：如圖1,在平面

直角坐標系中，已知點A(O,1)、B(-b,c),以A3為直徑作。尸.若。P交x軸于點M(s0)、N(n,0),貝打仄〃

為方程％2+bx+c=O兩個實數(shù)根.

圖1圖2

⑴【探究】由勾股定理得，AM2=l2+/n2,BM2=c2+(-b-m)2,AB2=^-c^+b2,在及AABM中，

AM2+BM2=AB2，所以1'+〃?2+,2+(_6-/")2=(1-。)2+62.化簡得：rrr+bm+c^O,同理可得：.所

以加、〃為方程/+6x+c=0的兩個實數(shù)根.

(2)【運用】在圖2中的x軸上畫出以方程/-3x-2=0兩根為橫坐標的點M、N.

(3)己知點A(O,1)、8(6,9),以A3為直徑作。C.請運用以上知識判斷OC與x軸的位置關(guān)系，并說明理由.

(4)【拓展】在平面直角坐標系中，已知兩點A(0,a)、B(b,c),若以A3為直徑的圓與交尤軸有兩個交點V、

N,則以點V、N的橫坐標為根的一元二次方程.

【答案】⑴"+6〃+c=0;

(2)見解析

(3)0。與x軸相切.理由見解析

(4)x2+bx+ac-0

【分析】(1)仿照已知中的推理過程即可得到/+加+c=0,從而問題解決；

(2)以A(0,1)及8(3,-2)兩點為端點的線段AB為直徑畫圓，圓與x軸的交點的橫坐標即為方程的兩個根，

兩交點”、N即為所畫的點；

(3)由題意得尤2-6尤+9=0有兩個相等的實數(shù)根，從而可得。。與x軸只有一個交點，即與x軸相切；

(4)仿照(1)的過程即可求得.

【詳解】(1)解：如圖，連接4V,BN,由勾股定理得，AN2=l2+n2,BN2=c2+(-b-n)2,AB2=(1-c)2+b2,

在RtzXABN中，AN2+BN2=AB2,

所以F+“2+<?+(-匕-n)2=(1-c)2+b2.

化簡得：〃2+6〃+C=0,

所以〃為方程/+fot+c=0的一個實數(shù)根.

故答案為：n2+bn+c=0-

圖1

(2)解：以40,1)及3(3,-2)兩點為端點的線段為直徑畫圓，圓與x軸的交點的橫坐標即為方程

召-3彳-2=0的兩個根，兩交點M、N即為所畫的點，如圖所示；

(3)解：OC與無軸相切；理由如下：

由題意知，OC與尤軸兩個交點的橫坐標為于方程/一6彳+9=0的兩個根，

A=(-6)2-4xlx9=0,

方程/一6元+9=0有兩個相等的實數(shù)根，

對應(yīng)地，0c與x軸只有一個交點，即。C與x軸相切

(4)如圖，由勾股定理得AM?=合+川，BM2^c2+(-b-ni)-,AB2=(a-cf+b2,

在中，AM2+BM2=AB2，

所以a2+//+c2+(~b-m)2=(a-c)2+b2,

化簡得：m2+bm+ac=O>

同理可得：n2+bn+ac-O-

所以〃人〃為方程》2+云+收=0的兩個實數(shù)根.

故答案為：x2+bx+ac-O-

【點睛】本題是材料問題，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直線與圓的位置關(guān)系，代數(shù)式的變

形等知識，關(guān)鍵是讀懂題中材料提供的方法，并能加以靈活運用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

二、切線性質(zhì)與判定定理綜合(共6小題)

5.(2022秋?江蘇無錫?九年級無錫市東林中學(xué)校考期中)如圖，4B是。。的直徑，8是。。的弦，連接AC、

AD,0D,其中，DA平分NCD0,過點8作班，CD交8的延長線于E.

⑴求證：BE是。。的切線；

⑵若CD=40,ZAOD:ZACD=6:5,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

⑵8/-4一2萬

【分析】(1)根據(jù)角平分線平分角定義，得到NAOC=NADO,根據(jù)同圓的半徑相等，得到NADO=NQ4。,

推出NADC=Na4D,得到AB||CE,BELCD,得到BELOB,推出仍是。O的切線

(2)過點。作OH_LCD于”，連接HD,得到/OHD=90。，DH=-CD^2yf2,根據(jù)NOBE=NBEH=90。,

2

推出四邊形O/ffiB是矩形，得至UOB=HE,OH=BE,根據(jù)NA8:NACD=6:5,ZAOD=2ZABD,得

到NAB￡>:NACD=3:5,結(jié)合NABD+/ACD=180°,得到NAB￡>=67.5。，得到？ODB67.5?,推出

NBOD=45。,推出NC?//=45。，ZDOH=45°,推出0H=DH=2應(yīng)，得到8E=20,

OD=\/OH2+DH2=4>得至U=。3=4，推出。E=4-2夜，推出

45nOB2

S陰影—S梯形0DE3一S扇形OB?！狟E(DE+°B)-=8直-4一2兀.

360

【詳解】（1）證明：???D4平分NCDO,

:.ZADC=ZADO

'：OA=OD

：.ZADO=ZOAD

：.ZADC=ZOAD

:,ABIICD

VBE1CD

：.BE1OB

應(yīng)1是OO的切線

(2)過點。作O"_LCD于"，連接BD,

貝|JNOHD=90。，DH=-CD=-X442=242,

22

NOBE=Z.BEH=90°,

???四邊形O/ffiB是矩形，

OB=HE,OH=BE，

VZAOD:ZACD=6:5,且ZA8=2ZA5D,

ZABD:ZACD=3:5,

VZAB￡>+ZACD=180°,

ZABD=67.5°f

?/OB=OD,

：.ZODB=ZABD=67.5°,

???Z.BOD=180O-ZABD-ZODB=45°,

?.,ABHCD

：.ZODH=/BOD=45°,

???NDOH=90°-ZODH=45°,

OH=DH=2叵,

BE=2近，OD=^OH2+DH-=4，

/.HE=OB=OD=4,

DE=HE-DH=4-2日

影一形ODEB-S扇形80。

=^BE（DE+OB）~457iOB2

360

=；*20＞（4一2忘+4）-45藐4

【點睛】本題主要考查了角平分線，垂徑定理，矩形，圓的切線，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，梯形，扇

形等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線定義，垂直弦的直徑平分弦，矩形的判定和性質(zhì)，圓的切線的

判定和性質(zhì)，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，圓內(nèi)接四邊形對角互補，梯形面積公式，扇形面積公

式.

6.（2022秋?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AABC中，AB=BC,以A2為直徑的。。交AC于點

D,過。作DE_LBC,垂足為E,連結(jié)OE,CD=2應(yīng),ZACB=3Q°.

⑵若以A3、OE的長為方程￡+法+°=0兩個實數(shù)根，求6的值;

（3）求圖中以線段CD、BC和弧所圍成圖形的面積.

【答案】（1）見解析

⑵6=-4-V7

（3）3A/3

【分析】連接QD,BD,可證得。。是三角形ACB中位線，進一步得出結(jié)論;

(2)在正三角形BCD中求得BC,在直角三角形。0E中求得0E,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得6的值；

(3)根據(jù)圓周角定理求出=60。，求出ABOD的面積，由(2)求出8。的長，從而求出ABCD的面積,

再求出扇形的的面積，進而求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。。，BD,

,：AB是直徑，

：.ZADB=90°

又,：AB=BC,

/.AD^CD,

：.OD//BC

：.OD1DE,

是O。的切線；

(2)解：在小ACDE中CO=2石/ACS=30。，

BC=4,

：.AB=4,

在吊ACDE中，CD=2-B,ZACB=30°,

：.DE=-CD=y[3,

2

在HAODE中，OE=^OEP+DE1=77-

?'b=—4—近;

(3)解：如圖，過D作D尸_LAB,

'：AB=BC,

/.NACB=NA=30°,

：.DF=-AD=-CD=y/3

22

SGOD=g*OBxDF=gx2x下:=#:

/DOB分別是弧RD所對的圓周角與圓心角,

，ZDOB=60°,

._60x^x222

s扇形3603

由（2）MDB=-^BC1-CD1=2，

S岫CD=-XCDXBD=1X2A/3X2=2A/3

S=SgcD+SMOD—Ss晶彩=26+超-1兀=30-q兀.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定圓周角定理，扇形面積公式，30。直角三角形性質(zhì)等知

識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有知識.

7.（2022秋?江蘇揚州?九年級統(tǒng)考期中）問題提出：

蘇科版九年級（上冊）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對角的數(shù)量關(guān)系時提出了兩個問題：

，ZA+ZC=180°,

:四邊形內(nèi)角和等于360。,

（2）請回答問題2,并說明理由.

深入探究：

如圖3,。。的內(nèi)接四邊形ABCD恰有一個內(nèi)切圓GV,切點分別是點E、F、G、H,連接G”，EF.

AA

€Ei

圖3圖4

(1)直接寫出四邊形ABC。邊滿足的數(shù)量關(guān)系_________；

(2)探究所、GH滿足的位置關(guān)系；

(3)如圖4,若NC=90。，BC=3,CD=2,請直接寫出圖中陰影部分的面積.

【答案】問題提出：(l)NA=NC=90°,N4BC+N4DC=180。；(2)見解析；深入探究：(1)AD+_BC=AB+a＞；

(2)EFLGH-,(3)6--

25

【分析】問題提出：

(1)根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得NA=NC=90。，再結(jié)合四邊形內(nèi)角和等于360。即可得到答案；

(2)連接。8DO,OB,根據(jù)圓周角定理可得/DCB=』x優(yōu)角,結(jié)合

22

NDOB+優(yōu)角ZDQB=360?？傻肸DAB+ZDCB=180°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°即可得到答案；

深入探究：

(1)根據(jù)切線定理可得AG=AE,BG=BF,FC=CH,DH=DE,可推算出AD+3C=AS+CD；

(2)連接GRGI,FI,HI,E/,根據(jù)切線的性質(zhì)可得切角為直角，結(jié)合四邊形內(nèi)角和知識推算出

ZG7F+ZHH=18O°,再根據(jù)圓周角定理得到NGEF=L/G7F,ZEGH=-ZFIH,最終推算出

22

NGME=90°,從而得到答案；

(3)先根據(jù)切線的性質(zhì)證明四邊形AGZE,/C印是正方形，且邊長為，再證明AB=3C=3,AD=OC=2,

+++

先計算出s四邊形ABCD=6,再根據(jù)S四邊形ABCD=S^ABI^BCI^ACDZhADI計算出圓/的半徑，從而計算出圓/的

面積，最終得到陰影部分的面積=S四邊形ABCD-S3.

【詳解】問題提出：

(1):以)是。。的直徑，

，ZA=/C=90°,

ZA+ZC=180°,

:四邊形內(nèi)角和等于360。，

ZABC+ZADC=18O°.

故答案為：NA=NC=90°;ZABC+ZADC=1SO°■

(2)如下圖所示，連接08DO,OB,

/.ZDAB+ZDC3=；ZD0B+gx優(yōu)角ZD0B=:(/￡)02+優(yōu)角ZD03),

?.?ZDO3+優(yōu)角NZXZB=360。，

/.ZDAB+ZDCB^-x360°=l80°,

2

:四邊形內(nèi)角和等于360。，

ZABC+ZADC=180°；

深入探究：

(1)；點E、F、G、H是。/的切點，

AG^AE,BG=BF,FC=CH,DH=DE,

：.AG+BG+DH+HC^AE+BF+DE+FC

：.AD+BC^AB+CD-.

證明:如下圖所示，連接GRGI,FI,HI,EI,設(shè)GH,￡F交于點跖

A

;點、E、F、G、H是。/的切點,

:.NIGB=NIFB=ZIHD=ZIED=90。,

：.ZB+ZG/F=360°-(Z/GB+Z/FB)=180°,ZD+ZF/H=360°-(Z/ED+Z//7D)=180°,

???ZB+ZGIF+ZD+ZFIH=360°,

VZB+ZD=180°,

???/GIF+NFIH=180。,

VZGEF=-ZGIF,ZEGH=-ZFIH,

22

???/GEF+/EGH=90。,

：.ZGME=90°,

：.EF1GH；

(3)解：如下圖所示，連接G/,BI,FI,CI,Hl,DI,EI,AI,

設(shè)。/半徑為人

???點石、F、G、”是。/的切點，

???ZIGA=ZIFC=ZIHC=ZIEA=90°,

,/NFCH=90。,

AZA=180°-90°=90°,

???四邊形AG/E,FCHI是正方形,且邊長為「，

AAB=BG+r,AD=ED+r,

VBG=BF,ED=DH,

:.AB=BF+r=BC=3,AD=DH+r=DC=2,

**,--^BXAD+—BCXDC=6,

?S四邊形3AC0=+SABCI+SACD[+ADi-2+BC+CD+A.D')xz'，

/.^(AB+BC+CD+AD)xr=6,

.6

???陰影部分的面積=5四邊形MS一%,=6-石萬.

【點睛】本題考查圓、四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用圓周角定理、切線定理.

8.(2022春.全國?九年級期末)如圖，。。是AABC的外接圓，為直徑，弦平分NA4C,過點。作

射線AC的垂線，垂足為點E為線段上的動點.

(1)求證：皿。是。。的切線；

⑵若48=30。，AB=S,在點E運動過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在,

說明理由；

(3)若點E恰好運動到/ACB的角平分線上，連接“并延長，交。。于點憶交A。于點尸，連接AF,CP

=3,EF=4,求的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，EC+EM的最小值為2&?，理由見解析

(3)6

【分析】(1)連接交BC于點、N,通過證明四邊形CNDM為矩形得出ODLMD,利用切線的判定定

理即可得出結(jié)論.

(2)過點C作CF」AB,并延長交。。于點尸，連接交