2019年中考數(shù)學復習第六單元圓滾動小專題（七）與圓有關的計算與證明練習

滾動小專題(七)與圓有關的計算與證明類型1與圓的基本性質有關的計算與證明1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD.(1)求證：BD平分∠ABC；(2)當∠ODB＝30°時，求證：BC＝OD.證明：(1)∵OD⊥AC，OD為半徑，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵)).∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC.(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°.又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴在Rt△ACB中，BC＝eq\f(1,2)AB.又∵OD＝eq\f(1,2)AB，∴BC＝OD.2．(2018·溫州)如圖，D是△ABC的BC邊上一點，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點C的對應點E落在⊙O上．(1)求證：AE＝AB；(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝eq\f(1,3)，BE＝2，求BC的長．解：(1)證明：由題意，得△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.∴AB＝AC，∴AE＝AB.(2)過點A作AH⊥BE于點H.∵AB＝AE，BE＝2.∴BH＝EH＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝eq\f(1,3)，∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝eq\f(1,3).∴eq\f(BH,AB)＝eq\f(1,3).∴AC＝AB＝3.∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴BC＝3eq\r(2).3．(2018·包頭)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以點A為圓心，AC長為半徑的圓交AB于點D，BA的延長線交⊙A于點E，連接CD，CE，F(xiàn)是⊙A上一點，點F與點C位于BE兩側，且∠FAB＝∠ABC，連接BF.(1)求證：∠BCD＝∠BEC；(2)若BC＝2，BD＝1，求CE的長及sin∠ABF的值．解：(1)證明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵DE是⊙A的直徑，∴∠DCE＝90°.∴∠BEC＋∠CDE＝90°.∵AD＝AC，∴∠CDE＝∠ACD.∴∠BCD＝∠BEC.(2)∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BDC∽△BCE.∴eq\f(CD,EC)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(BC,BE).∵BC＝2，BD＝1，∴BE＝4，EC＝2CD.∴DE＝BE－BD＝3.在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝9.∴CD＝eq\f(3\r(5),5).∴CE＝eq\f(6\r(5),5).過點F作FM⊥AB于點M，∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°，∴△AFM∽△BAC.∴eq\f(FM,AC)＝eq\f(AF,BA).∵DE＝3，∴AD＝AF＝AC＝eq\f(3,2)，AB＝eq\f(5,2).∴FM＝eq\f(9,10).過點F作FN⊥BC于點N，∴∠FNC＝90°.∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC.∴∠FAC＝∠ACB＝90°.∴四邊形FNCA是矩形．∴FN＝AC＝eq\f(3,2)，NC＝AF＝eq\f(3,2)，∴BN＝eq\f(1,2).在Rt△FBN中，BF＝eq\r(BN2＋FN2)＝eq\f(\r(10),2)，∴在Rt△FBM中，sin∠ABF＝eq\f(FM,BF)＝eq\f(9\r(10),50).類型2與圓的切線有關的計算與證明4．(2018·濱州)如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD⊥CD于點D，且AC平分∠DAB.求證：(1)直線DC是⊙O的切線；(2)AC2＝2AD·AO.證明：(1)連接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC.∵OC為⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線．(2)連接BC.∵AB為⊙O的直徑，∴AB＝2AO，∠ACB＝90°.∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，即AC2＝AB·AD.∴AC2＝2AD·AO.5．(2017·金華)如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點D，E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連接OC，AC.(1)求證：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度數(shù)；②若⊙O的半徑為2eq\r(2)，求線段EF的長．解：(1)證明：∵直線CD與⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②過點O作OG⊥CE于點G，可得FG＝CG.∵OC＝2eq\r(2)，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2.∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2eq\r(3).∴EF＝GE－FG＝2eq\r(3)－2.6．(2018·蘇州)如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD垂直于過點C的切線，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E，延長DA交⊙O于點F，連接FC，F(xiàn)C與AB相交于點G，連接OC.(1)求證：CD＝CE；(2)若AE＝GE，求證：△CEO是等腰直角三角形．證明：(1)連接AC.∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°.∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAO.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°.在△CDA和△CEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠D＝∠CEA，,∠DAC＝∠EAC，,AC＝AC，))∴△CDA≌△CEA(AAS)．∴CD＝CE.(2)證法一：連接BC.∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA.∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG.∴∠ECA＝∠ECG.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.又∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.又∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°.∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°.∴∠AOC＝2∠F＝45°.∴△CEO是等腰直角三角形．證法二：設∠F＝x°，則∠AOC＝2∠F＝2x°.∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x°.∴∠CGA＝∠OAF＋∠F＝3x°.∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG.∴∠EAC＝∠CGA.∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x°.又∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°，∴3x°＋3x°＋2x°＝180°.∴x＝22.5.∴∠AOC＝2x°＝45°.∴△CEO是等腰直角三角形．7．(2017·孝感)如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過點D作DE∥AB交CA的延長線于點E，連接AD，BD.(1)由AB，BD，eq\o(AD,\s\up8(︵))圍成的曲邊三角形的面積是eq\f(25,2)＋eq\f(25π,4)；(2)求證：DE是⊙O的切線；(3)求線段DE的長．解：(2)證明：連接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴AD＝DB.又∵AB為直徑，∴AD⊥DB，∴∠ADB＝90°.∴OD⊥AB.∵DE∥AB，∴OD⊥DE.又∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．(3)∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8.過點A作AF⊥DE于點F，則四邊形AODF是正方形，∴AF＝OD＝FD＝5，∠BAF＝90°.∵∠EAF＋∠CAB＝90°，∠ABC＋∠CAB＝90°，∴∠EAF＝∠ABC.∴tan∠EAF＝tan∠ABC.∴eq\f(EF,AF)＝eq\f(AC,BC)，即eq\f(EF,5)＝eq\f(6,8).∴EF＝eq\f(15,4).∴DE＝DF＋EF＝5＋eq\f(15,4)＝eq\f(35,4).8．(2018·株洲)如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB＝8，點C和點D是⊙O上關于直線AB對稱的兩個點，連接OC，AC，且∠BOC＜90°，直線BC和直線AD相交于點E，過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F，與直線AD相交于點G，且∠GAF＝∠GCE.(1)求證：直線CG為⊙O的切線；(2)若點H為線段OB上一點，連接CH，滿足CB＝CH.①求證：△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值．解：(1)證明：∵C，D關于AB對稱，∴∠GAF＝∠CAF.∵∠GAF＝∠GCE，∴∠GCE＝∠CAF.∵OA＝OC，∴∠CAF＝∠ACO.∴∠GCE＝∠ACO.∵AB為直徑，∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∴∠GCE＋∠OCB＝90°，即∠OCG＝90°.又∵OC為⊙O的半徑，∴CG為⊙O的切線．(2)①證明：∵OC＝OB，CH＝BC，∴∠OCB＝∠OBC，∠CHB＝∠CBH，∠CBH＝∠OBC＝∠OCB＝∠CHB.∴△CBH∽△OBC.②∵△CBH∽△OBC，∴eq\f(BH,BC)＝eq\f(BC,BO).∴BH＝eq\f(BC2,4).設BC＝x，則CH＝x，BH＝eq\f(x2,4).∴OH＋HC＝－eq\f(1,4)x2＋x＋4＝－eq\f(1,4)(x－2)2＋5.∴當x＝2時，OH＋HC的最大值為5.9．(2018·婁底)如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的點，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，弦CD交AB于點E.(1)當PB是⊙O的切線時，求證：∠PBD＝∠DAB；(2)求證：BC2－CE2＝CE·DE；(3)已知OA＝4，E是半徑OA的中點，求線段DE的長．解：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切線，∴∠ABP＝90°，即∠PBD＋∠ABD＝90°.∴∠DAB＝∠PBD.(2)證明：∵∠A＝∠C，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE.∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(AE,CE)，即DE·CE＝AE·BE.連接OC.設圓的半徑為r，則OA＝OB＝OC＝r，則DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2.∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠AOC＝∠BOC＝90°.∴CE2＝OE2＋OC2＝OE2＋r2，BC2＝BO2＋CO2