浙江省寧波五校聯(lián)盟2024-2025學年高二期中考試數(shù)學試卷（含答案）

絕密★考試結束前

2024學年第一學期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級數(shù)學學科試題

考生須知：

1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。

4.考試結束后，只需上交答題紙。

選擇題部分

一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是正確的.

1.下列直線中，傾斜角最大的是

A.>/3x+y+1=0B.\/3x-y+1-0

C.x+y+l=0D.x-y+l=0

2.已知點/（3,2,-1）,8（4,1,-2）,C（-5,4,3）,且四邊形NBC。是平行四邊形，則點。的坐標為

A.(-6,5,4)B.(3,-2,7)

C.(-1,2,6)D.(-6,1,-3)

3.如圖，平行六面體"CD-4片。］。中，E為的中點，AB=a,

AD=b,AA,=c,則屏=

A.a--b+cB.a--b-c

22

—3一-1-1——

C?a+—b+cD.-a+—b-c

222

4.如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形

2.,2

被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線v-彳=1（。>0,6>0）的一部

分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直

徑為40cm,最大直徑為60cm,雙曲線的離心率為后，則該花瓶的

高為

A.90cmB.100cmC.110cm

高二數(shù)學學科試題第1頁（共5頁）

5.若直線2x+（2a-5）歹+2=0與直線bx+2y-1=0互相垂直，貝a2+b2的最小值為

A.0B.3C.5D.V5

22

6.已知雙曲線C:--4=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為用月，點A在y軸上，點8在。上,

ab~

F\A1F^,F\A=-F\B,則C的離心率為

A.也B.V3+V2C.2D.V3+1

22

7.已知雙曲線。:「一彳=1（a＞0,b＞0）的離心率為有，圓*一。）2+必=9與0的一條

ab~

漸近線相交，且弦長不小于2,則4的取值范圍是

A.（0,1]B.（0，Vw]C.0,-D.10,-

I2」I2_

8.已知曲線及x\x\+y\y\=l,則下列結論中錯誤的是

A.曲線￡與直線y=-x無公共點

B.曲線￡關于直線y=x對稱

C.曲線￡與圓（X+點）2+（歹+應）2=9有三個公共點

D.曲線￡上的點到直線y=-x的最大距離是亞

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量不=627,2）4=（2"2,-/,-1）,則下列結論正確的是

4

A.若不J.a,貝卜=—1B.若不〃瓦，則》=二

C.同的最大值2D.＜藍瓦＞為鈍角，貝!k＞—1

10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，P是線段G2上的動點，則下列說法

正確的是

A.平面84尸_L平面

B.8P的最小值為2后

C.若尸是CiB的中點，則到平面8片尸的距離為歧

D.若直線片尸與84所成角的余弦值為孚，則2P=；

11.中國結是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，中

國結有著復雜曼妙的曲線，其中的八字結對應著數(shù)學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系

X0中，到兩定點6（-a,0）,%（。,0）距離之積為常數(shù)/的點的軌跡。是雙紐線.若M（3,0）是

高二數(shù)學學科試題第2頁（共5頁）

%

曲線。上一點，則下列結論正確的是

A.曲線。上有且僅有1個點尸滿足歸娟=|尸名|x

B.曲線。經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）

C.若直線歹=履與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為u[L+oo）

D.曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.點M（1,O）到直線y=b+2的距離最大值是.尸

13.如圖，在三棱錐尸-/BC中，已知尸平面NBC,乙48c=120。，

PA=AB=BC=6,則向量定在向量圮上的投影向量為（用一\1-7

一

向量BC來表示）.浙考神墻750B

14.我國南北朝時期的數(shù)學家祖瞄提出了計算體積的祖迪原理：“幕勢既同，則積不容異”，其

意思可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如

果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相

等.如圖，陰影部分是由雙曲線片=1與它的漸近線以及直線

42

歹=±4逝所圍成的圖形，將此圖形繞y軸旋轉一周，得到一個旋轉

體，則這個旋轉體的體積為.

四、解答題：本題共5神墻小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知直線4:x+y+2=0,/2:x+y=0,直線/過點（10,-4）且與人垂直.

（1）求直線/的方程；

（2）設/分別與4交于點48,點。為坐標原點，求過三點4民。的圓的方程?

高二數(shù)學學科試題第3頁（共5頁）

16.（15分）

如圖，在三棱柱/8C-4AG中，四邊形44℃是邊長為4的菱形，AB=BC=岳，點D

為棱ZC上動點(不與4C重合)，平面與棱4G交于點E.

(1)求證//OE；

⑵已知網(wǎng)="F,理■=3,/44。=60°求直線/6與平面4瓦汨所成角的正弦值.

AC4

17.(15分)

已知雙曲線C:3=1(。>0/>0)的離心率為空,實軸長為6,Z為雙曲線C的左頂

ab3

點，設直線I過定點5(-2,0),且與雙曲線C交于E,F兩點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)證明：直線力￡與AF的斜率之積為定值.

高二數(shù)學學科試題第4頁(共5頁)

18.(17分)

如圖，在四棱錐P-中，APZ。是等邊三角形，平面P/O_L平面/BCD,

ZBCD=ZABC=90°,AB=2CD=2BC=472,M是棱尸。上的點，^.PM=APC,

0W4W1.浙考神墻750

(1)求證：8。_1平面尸/。；

(2)設二面角〃一6。-。的大小為6,若cos6=姮，求;I的值.

19.（17分）

已知橢圓「二+片1(。>6>0),點力為橢圓短軸的上端點，尸為橢圓上異于

力點的任一點，若P點到/點距離的最大值僅在尸點為短軸的另一端點時取到，則稱此

橢圓為“圓橢圓”，已知6=1.

(1)若。=立，判斷橢圓「是否為“圓橢圓”；

2

(2)若橢圓「是“圓橢圓”，求a的取值范圍;

(3)若橢圓「是“圓橢圓”，且。取最大值，。為尸關于原點。的對稱點，。也異

于/點，直線/尸、分別與x軸交于〃、N兩點，試問以線段為直徑的圓

是否過定點？證明你的結論.

高二數(shù)學學科試題第5頁(共5頁)

2024學年第一學期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級數(shù)學學科參考答案

題號1234567891011

答案CABBCDBDABABCACD

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1,下列直線中，傾斜角最大的是()

A.y/3x+y+1=0B.>/3x-y+1=0

C.x+y+l=0D.x-y+l=0

【答案】c

【解析】

【分析】求出各選項中的直線傾斜角，再比較大小即得.

【詳解】直線氐+丁+1=0的斜率為-JI，傾斜角為120°;直線后一y+1=0的斜率

為6,傾斜角為60°，

直線x+y+1=0的斜率為-1，傾斜角為135°：直線x-y+1=0的斜率為1,傾斜角為45°，

顯然直線x+y+1=0的傾斜角最大.

故選：C

2.已知點力(3,2,-1),8(4,1,-2),。(一5,4,3),且四邊形力是平行四邊形，則點D的

坐標為()

A.(-6,5,4)B.(3,-2,7)

C.(-1,2,6)D.(-6,1,-3)

【答案】A

第1頁共23頁

【解析】

【分析】設點。的坐標為(x,y,z).結合平行四邊形的一組對邊平行且相等的性質(zhì)和空間向

量的相等向量的計算即可求解.

【詳解】設設點。的坐標為(x/,z),

由題意得刀=(4,1,—2)—(3,2,—1)=(1,-L—1)

0c=(-5,4,3)—(xj,z)=(-5-x,4-y,3—z),

因為四邊形/8C。是平行四邊形，所以荏=皮，

-5-^=1x=-6

所以<4-y=-\,解得,y=5

3—z=-0z=4

故選：A

3.如圖，平行六面體4BC￡>-481clz)］中，E為BC的中點，施￡,~AD=b，AA^c,

則率=()

D.匕+匕工

C.aH—b+c

222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運算求解即得.

【詳解】在平行六面體ZBC?！?4GA中，E為3c的中點,

所以D[E=DM+AlA+AB+BE=-AD-AA}+AB+^AD=a-^b-c.

故選：B

4.如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面,

第2頁共23頁

可以看成是雙曲線C：t?9。,6＞。）的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面

若該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,最大直徑為60cm,雙曲線的離心率為石，則該

花瓶的高為（）

A90cmB.100cmC.110cmD.

120cm

【答案】B

【解析】

【分析】由a,b,c關系以及離心率、。=20可得雙曲線方程，進一步代入x=30即可求解.

【詳解】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,有a=20,

又由雙曲線的離心率為痣，有c=20C,6=206，

22

可得雙曲線的方程為------J=1,代入X=30,可得V=±50,故該花瓶的高為100cm.

4002000

故選：B

5.若直線2x+（2a-5）y+2=0與直線加+2y-l=0互相垂直，則/+/的最小值為（）

A.73B.3C.5D.后

【答案】C

【分析】由兩直線垂直得區(qū)b關系后轉化為函數(shù)求解，

【解析】因為直線2x+（2a-5）y+2=0與直線及+27-1=0互相垂直，

所以2b+2（2a-5）=0,化簡得b=5-2a,

所以/+/=/+?-%）2=32-20a+25=5（a-2）2+5,當且僅當a=2時取J"，所以，+從

的最小值為5,

第3頁共23頁

故選：c

f2

6.已知雙曲線C:■v-4=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為片，鳥，點A在》軸上，點B在

ab

______)__

。上，用1月衛(wèi)，不=§而，則。的離心率為()

A.73B.y/3+>/2C.2D.TJ+l

【答案】D

【解析】

【分析】\AB\=x,根據(jù)條件表示出以用J戀忸用，忸用,則可表示出進而可

得離心率.

【詳解】如圖，^\AB\=x,由即=§及瓦得|2胤=|四|=2x,

又ABA.BF2,則忸周=岳|=3x,\BF{\-\BF21=(3-6卜=2a,

即”=三叵x，又由出.|=2c=、BF；+BF；=2岳,得6=氐，

a3-V3

--x

2

7.已知雙曲線2T=1(。>0,b>0)的離心率為君，圓(x-a)2+_/=9與c

ab

的一條漸近線相交，且弦長不小于2,則。的取值范圍是()

A.(0,1]B,(3，Vw]C,0,|D,fo,|

【答案】B

第4頁共23頁

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得漸近線方程為歹=±2x,結合弦長可得I--T

2,9『2

運算求解即可.

【詳解】設雙曲線。的半焦距為c>0,

且雙曲線。的焦點在x軸上，所以雙曲線。的漸近線為y=±2x,

因為圓(x-a)2+y2=9的圓心為(a,0),半徑r=3,

可知圓(x—a)2+y2=9關于x軸對稱，不妨取漸近線為少=2x,即2x-y=0,

則圓心(?,0)到漸近線的距離d=^<3,可得0<口〈手，

又因為圓(x-a)?+V=9與雙曲線c的一條漸近線相交弦長為2萬二F，

由題意可得，2［—KTT2解得，

所以a的取值范圍是.(0,炳］

故選：B

8.已知曲線氏x\x\+y\y\=1,則下列結論中錯誤的是()

A.曲線￡與直線歹=一彳無公共點B.曲線￡關于直線歹=》對稱

C.曲線￡與圓(、+、歷)2+(歹+發(fā))2=9有三個公共點D.曲線￡上的點到直線V=-X

的最大距離是0【答案】D

【解析】

【分析】分類討論求出曲線的方程，畫出圖象，結合圖象逐項分析即可.

【詳解】因為曲線E的方程為X|X|+HM=I,

當XNO,時，曲線E的方程為工2+歹2=1,

當x>0,歹<0時，曲線E的方程為工2-y=1,

第5頁共23頁

是焦點在X上的等軸雙曲線右支的一部分.

當x＜0,歹＞0時，曲線E的方程為歹2一、2=1,

是焦點在7上的等軸雙曲線上支的一部分.

作出曲線E的圖象如圖：

由圖象可知曲線E關于直線歹對稱，曲線E與直線V=-X無公共點，故A,B正確;

作》=一》的平行線與曲線E切于點

曲線E上的點到直線V=-X的最大距離是圓的半徑CM為1,故D錯誤：

圓(x+JI)2+(y+JI)?=9的圓心為：(一亞,一&)，

曲線E上的點4號,今到圓心的最大距離為［立+收+］也+應=3.

曲線E與圓(x+、份＞+⑶+忘產(chǎn)=9有三個公共點，故C正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0

第6頁共23頁

分.

9.已知向量不=&2z,2）,&=（2，-2,一八一1）,則下列結論正確的是（）

一一4

A.若不>L5，貝UZ=—1B.若不〃&,貝ljZ=]

C?同的最大值2D.[g成鈍角，則“1

【答案】AB

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積運算的坐標表示，即可判斷選項.

【詳解】A.若R1a,則4?a=/（27-2）—2『一2=0,得[=—1,故A正確;

B.若。]〃&,則q=笳2，即。,2t,2）=2（2l—2,T,—1）,得

7=4（2”2）

<2t=-At,解得：2=-2,/=-,故B正確；

2=-A

C.同=J『+4,+4=J5/+422,當/=0時，同的最小值2,故C錯誤；

D.7.7o,nmil,、1由B可知，4D錯。

e，2=-2"2<0,則，>-1,￡>-1且/工上

5

故選：AB

10.如圖所示，在棱長為2的正方體438-44GA中，P是線段GA上的動點，則下

列說法正確的是（）

A.平面8片尸，平面ZBC。B.BP的最小值為20

C.若P是GR的中點，則441到平面8瓦尸的距離為挈

D.若直線用尸與8〃所成角的余弦值為半，則。P=g

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理即可判斷A；結合正方體結構特征判斷當點P與G重合

時，BP取最小值，即可判斷B；建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，根據(jù)空間角的向

第7頁共23頁

量求法可判斷C；將線面距離轉化為點面距離，根據(jù)空間距離的向量求法求得點A到平面

8旦尸的距離，即可判斷D.

【詳解】在正方體48。。一44￡。中，因為_L平面4BCD,Bgu平面84P,

所以平面8片P_L平面力8C。，故A正確：

連接BG，由AG1平面BBC。，8。1（=平面88℃,得。1G_LBG，

故在RtZSRGB中，當點尸與G重合時，8P取最小值2a，故B正確；

如圖，以。4、DC.所在直線分別為x軸，V軸，z軸，建立空間直角坐標系。-.，

則8（2,2,0）,4僅,2,2）,〃（0,0,2）,設尸（0,肛2）,0<w<2,

則肝=（一2,加—2,0）,西=（一2,-2,2）,

假設存在點P,使直線與尸與3〃所成角的余弦值為巫,

5

B.P-BD,_|8-2/n|

則卜os〈81P,BA〉卜

肝|西?+（加—2廣265

解得膽=-2（舍去），或加=1,此時點尸是GQ中點，D、P=l,故D錯誤；

由明〃明且AA,0平面BB,P,BB]U平面BB】P,知AA"平面BB}P,

則AA,到平面BBF的距離，即為A到平面BB.P的距離；

尸是GA的中點，故尸（0,1,2）,方=（0,2,0）,V=（-2-1,0）,函=（0,0,2）,

_/、\in-B,P=Q]2x+y=0

設平面BBT的法向量為加=（xj,z）,則_2_,即L,

[m-BBx=Q[2z=0

第8頁共23頁

取x=l,則丁=-2,Z=O,故而=(1,-2,0),

\AB-m\44J5

所以點A到平面BBF的距離為=)=絲2,

\m\y/55

即44到平面34尸的距離為上,C正確.

5

故選：ABC

11.11.中國結是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美

觀念，中國結有著復雜曼妙的曲線，其中的八字結對應著數(shù)學曲線中的雙紐線.已知在平面

直角坐標系xQy中，到兩定點片（-4,0）,瑪（。,0）距離之積為常數(shù)〃的點的軌跡C是雙

紐線.若"（3,0）是曲線C上一點，則下列結論正確的是（）

A.曲線C上有且僅有1個點尸滿足|尸耳|=|「周

B.B.曲線C經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）

C.若直線”去與曲線C只有一個交點，則實數(shù)%的取值范圍為

D.曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3

答案ACD

【詳解】【詳解】對于選項A：1.|=^x+ay+y2-7（x-a）2+y2=a2,

化簡得到：12+/）2=24212一,2）,

將M（3,0）代入可得2a2=9，

所以曲線0：卜2+、2）2=912一歹2）.

把（一W）代入［2+/）2=9e_、2）得12+、2）2=912_/）,

對于選項A:點尸滿足|尸制=|尸周，則尸在陰垂直平分線上，則Xp=0,

設P（0,4），則（也2+片）=/,

第9頁共23頁

yP=o,故只有原點滿足，一個點。

令尸。解得x=0,或、=±3,即曲線經(jīng)過(0,0),(3,0),(-3,0),

結合圖象，-3WxW3,

令、=±1,得八二咒病＜1,令、=±2,得1＜/=二口/具2,

因此結合圖象曲線C只能經(jīng)過3個整點，(0,0),(2,0),(-2,0),故B錯誤：

仔+打=912-用可得W+/=9(：[)49,

所以曲線C上任意一點到坐標原點。的距離1=必方43,即都不超過3,

故D正確；

直線卜去與曲線卜2+/)2=912-力一定有公共點(0⑼，

若直線v=b與曲線C只有一個交點，

所以＜("+0)=9仁-力，整理得叫1+公)2=9x2(1-公)無解，

y=kx

即1-公40,解得壯(-8,-1]31，內(nèi))，故c正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.點"(1,0)到直線y=kx+2的距離最大值是.

【答案】y/5

【解析】

【分析】根據(jù)直線丁=6+2過定點2(0,2),得到|他4|=有，進而得到答案.

【詳解】由題意得，直線夕=丘+2過定點為(0,2),則|址4|=君，

如圖所示，當直線丁=6+2與直線M4垂直時，

此時點”(1,0)到直線y=kx+2的距離最大值，且最大值為y[5.

故答案為：Vs.

第10頁共23頁

13.如圖，在三棱錐P-ABC中，已知產(chǎn)為J.平面ABC,N4BC=120°,

PA=AB=BC=6,則向量定在向量前上的投影向量為(用向量前來表

B

3—.

【答案】-BC

2

【解析】

【分析】寫出定表達式，求出萬?前，方?前，前?前，即可得出向量正在向量前

上的投影向量.

【詳解】由題意，

在三棱錐產(chǎn)一/8。中，已知尸4_L平面4BC,

PC=PA+JB+^BC,

面W,

：.PA1BC,PA-BC=O,

在中，ZABC=120°,PA=AB=BC=6,

/.BC-BC=|5C|2=36,

AB-BC=|jB|-|BC|cos(1800-Z^BC)=6x6cos(180°-120°)=18,

向量正在向量更上的投影向量為：

第11頁共23頁

PCBC^（蘇+萬+㈣反擊PA-BC+AB-BC+BC-BC—

———BC

故答案為：-BC.

2

14.我國南北朝時期的數(shù)學家祖曬提出了計算體積的祖暄原理：“基勢既同，則積不容異”，

其意思可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所

截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如圖，陰影部分是

《上=1

由雙曲線42與它的漸近線以及直線歹=±4后所圍成的圖形，將此圖形繞歹軸旋

轉一周，得到一個旋轉體，則這個旋轉體的體積為.

【答案】32在r

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得旋轉體垂直于軸的截面是圓環(huán)，求出圓環(huán)面積，利用祖晅原理

求出旋轉體體積作答.

二-2=ir

【詳解】雙曲線42-的漸近線為*士歷二°,設直線、=?-4啦4144五）

交雙曲線及其漸近線分別于C,D及A,B

y=t

由得力（",，，網(wǎng)一衣

x±y/2y=0

y=t

由得C

x2-2y2=4'

線段ZC,BQ繞y軸旋轉一周得到一個旋轉體的一個截面，它是一個圓環(huán)，其內(nèi)徑

\AB\=272\t\,外徑|C必=2"+2”,

第12頁共23頁

因此此旋轉體垂直于軸的任意一截面面積都為4兀，旋轉體的高為&五，

而底面圓半徑為2,高為&式的圓柱垂直于軸的任意一截面面積都為4兀，

由祖迪原理知，此旋轉體的體積等于底面圓半徑為2,高為&近的圓柱的體積為32缶?

故答案知32屆

【點睛】關鍵點點睛：利用祖晅原理求幾何體的體積，找到一個等高的可求體積的幾何體，

并將它們放置于兩個平行平面間，再探求出被平行于兩個平行平面的任意一平面所截，截面

面積相等是解題的關鍵.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.已知直線4：x+y+2=0,：x+y=O,直線/過點(10,-4)且與4垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)設/分別與/”4交于點aB,。為坐標原點，求過三點aB,。的圓的方程.

【答案】(1)x-y-\4=0；

(2)x2+y2-6x+8y=0(或(x-3『+(y+4/=25)；

【解析】

【分析】(1)利用直線垂直可求得斜率為4=1,由點斜式方程可得結果：

(2)分別求出兩直線交點坐標，設出圓的一般方程代入計算即可求得圓的方程.

【小問1詳解】

由題意可得4：x+y+2=0的斜率為一1,

可得直線/的斜率為k=\,由點斜式方程可得歹+4=x-10,

第13頁共23頁

即直線/：x-y-14=0；4分

【小問2詳解】

1+x-歹y+-21=4。=0，解得"/ST)、

聯(lián)立直線/和4方程＜.6分

x—y—14=0.、

聯(lián)立直線/和，2方程，"=0，解得/7，-7)；8分

設過三點/,B,。的圓的方程為f+j?+以+砂+尸=o,

(36+64+6。一8￡+9=0D=—6

將三點坐標代入可得〈49+49+7D-7E+R=0,解得〈E=8,

F=0F=0

可得圓的方程為犬+/一6了+即=0（或門一3）2+（歹+4『=25）......13分

16.如圖，在三棱柱ZBC-44G中，四邊形44￡C是邊長為4的菱形，AB=BC=岳,

點〃為棱力C上動點（不與力，。重合），平面與棱4G交于點發(fā)

(1)求證B8J/QE：

第14頁共23頁

⑵已知84=J萬，—=-,ZJ,JC=60°求直線AB與平面B.BDE所成角的正弦值.

AC4

16.(1)詳見解析

嗚

【詳解】(1)?:BB、〃CC\,

且叫＜z平面ACC,A,,CGu平面ACC^,

.^.24〃平面/CG4，

又BB[U平面BtBD,且平面B}BDPl平面ACC^=DE,

BBJ/DE；...................................................................5分

(2)連結4C,取力C中點O,連結4。，BO,

在菱形ZCG4中，N4ZC=60°,.?.AN/C是等邊三角形，

又為47中點，.?.40_L/C,

4。=2A/3'

同理8。=3,又...例=歷

402+802=網(wǎng)2

/.4。上OB,

又???BO1AC,4。1AC，...................................................7分

以點。為原點，。2,。＜?,。4為X軸，歹軸，2軸，建立空間直角坐標系，

.-.0(0,0,0),4(0,-2,0),4(0,0,26),8(3,0,0),￡＞(0,1,0),

:.BD=(-3,1,0),無=羽=(0,2,2@,

r

設平面48OE的一個法向量為〃=(xj,z),

第15頁共23頁

n-BD=0-3x+y=0

則所以令2=-/，貝!1)=3X=\................12分

元年=0’2y+2>/3z=0f

故力=0,3,-必)，又?.?M=(3,2,0),

設48與平面4跳出所成角為。,

AB-n|

9

二.sin6=

麗13

9

所以直線AB與平面B.BDE所成角的正弦值為5.................................15分

17.已知雙曲線。：馬一口=1(。>0,6>0)的離心率為—，實軸長為6,A為雙曲線C的左頂點,

ab3

設直線/過定點B(-2,0)，且與雙曲線C交于E,F兩點.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)證明:直線AE與AF的斜率之積為定值.

17(D.因為雙曲線的實軸長為6,所以。=3,

2百c_2G

因為雙曲線的離心率為亍，所以￡一亍，解得c=2百，

22

__2L=i

由/+*=c2,得b=G,則C的方程為93一.............................5分

第16頁共23頁

（2）設E&,必）/（與必），因為直線/過定點/-2,0）,顯然直線/不垂直于歹軸，則

設直線/"=叩一2（加.土百）,

聯(lián)立方程組193一：消去x得(“-382-4叩-5=0,

/、25

,A=16m2+20(m2-3)>0w>7

田''J得JJ

因為力為雙曲線。的左頂點，所以“（一3，°）,

kAE=——kAF=-必

直線ZE的斜率玉+3,直線4尸的斜率&+3,

所以

k.k;m2._________也^________,必%

AE"（項+3）心+3）（叼=2+3）（刃2一2+3）/必%+加（必+%）+i

即直線AE與AF的斜率之積為定值15分

第17頁共23頁

18.如圖，在四棱錐尸一腑②中，APAD是等邊三角形，平面尸ZD_L平面ABCD,

NBCD=4BC=90。,AB=2CD=2BC=4正,〃是棱PC上的點，且

PA7=ZPC9OWXI?

(1)求證：8。立平面必。；

(2)設二面角〃一8D—C的大小為6,若cos6=巫，求4的值.

13

【答案】(1〉證明見解析

13

(2)4=士或4=巳

35

【解析】

【分析】(1)由余弦定理計算后由勾股定理逆定理證明8。，取4D的中點。，連

結P。，由面面垂直得線面垂直，從而得線線垂直P。_L8。，然后可得證題設線面垂直；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角，從而求出；I值.

【小問1詳解】

因為NBCD=90°,CD=BC=2五,

所以BO=4,NCBD=45。,

在中，ZABD=45°,AB=4^2^由余弦定理得，

AD=ylAB2+BD2-2AB-BDcosZABD=4，

所以ZZ)2+8Q2=/B2,

即NADB=90。，AD1BD,

取4。的中點0,連結P。，因為AP/D是等邊三角形，所以PO_LZO,

又因為平面PAD1平面ABCD,

平面PADc平面ABCD-AD,P0c平面PAD,

第18頁共23頁

所以P。人平面ZBC。，

又因為8。u平面NBC。,

所以

又因為POn/D=。，PO,/Z)u平面「NO,

所以BQ1平面PZD...............................................5分

【小問2詳解】

取ZB的中點M連結ON,則。N〃8D,所以4DJ.ON,

以。為原點，麗，而，麗的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角

坐標系，則力(0,-2,0),L>(0,2,0),5(4,2,0),C(2,4,0),P(0,0,2jJ),

萬=(0,2,2?

DM=DP+PM=DP+APC=(0-2,2何+2(2,4,-26)=(22,42-2,2^1-2))

...................................................................8分

又瓦=(4,0,0),設平面戚的一個法向量為力=(x,y,z),

ni\DM-n=0,an2Ax+(4A-2)y+2>/3(1-2)z=0,

則4一即，<

[DB-n=0,[4x=0,

當;l=L時，平面MB。_L平面/BCD，不合題意；

2

當;時，令z=2/l—l,

2

第19頁共23頁

由于平面與平面Z6CZ）所成角的余弦值為姮,

13

|22-1|_V13

|cosin,n\=

故有2213

^（A-l）］+（22-l）

13

解得；1=:或4

35■...................................................17分

19.已知橢圓=l（a>Z>>0）,點/為橢圓短軸的上端點，尸為橢圓上異于Z

a1bl

點的任一點，若P點到力點距離的最大值僅在尸點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓

為“圓橢圓"，已知b=l

（1）若a=@，判斷橢圓「是否為"圓橢圓”；

2

（2）若橢圓「是“圓橢圓”，求。的取值范圍；

（3）若橢圓「是“圓橢圓”，且。取最大值，。為「關于原點。的對稱點，