七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略湘教版-專題06 平方差公式與完全平方公式壓軸題八種模型全攻略（原卷版）

專題06平方差公式與完全平方公式壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一判斷是否可用平方差公式運(yùn)算】 1【考點(diǎn)二運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算】 2【考點(diǎn)三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】 4【考點(diǎn)四利用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】 6【考點(diǎn)五通過對(duì)完全平方公式變形求值】 7【考點(diǎn)六求完全平方式中的字母系數(shù)】 9【考點(diǎn)七平方差公式與幾何圖形】 10【考點(diǎn)八完全平方公式與幾何圖形】 14【過關(guān)檢測(cè)】 18【典型例題】【考點(diǎn)一判斷是否可用平方差公式運(yùn)算】例題：（2024上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖南衡陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．2．（2024上·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列計(jì)算中，不能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)二運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算】例題：（2023·上海·七年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【變式訓(xùn)練】1．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【考點(diǎn)三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】例題：（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．2．（2023上·天津和平·八年級(jí)天津市第二南開中學(xué)校考開學(xué)考試）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(2)【考點(diǎn)四利用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】例題：（2023下·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）求值：(1)(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江西贛州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．(1)(2)【考點(diǎn)五通過對(duì)完全平方公式變形求值】例題：（2023上·河南南陽·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，求下列各式的值．(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，參考上述過程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．2．（2024上·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，所以請(qǐng)仿照上例解決下面的問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足，求：的值．(2)若，求：的值．【考點(diǎn)六求完全平方式中的字母系數(shù)】例題：（2023上·寧夏吳忠·八年級(jí)校考期末）如果是一個(gè)完全平方式，那么k的值是．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若是x的完全平方式，則2．（2023上·全國·八年級(jí)期末）若多項(xiàng)式的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式的平方，則單項(xiàng)式．【考點(diǎn)七平方差公式與幾何圖形】例題：（2023上·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）探究活動(dòng)：（1）如圖1是邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形，可以求出陰影部分的面積是．（寫成兩數(shù)平方差的形式）（2）如圖2，若將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是．（寫成多項(xiàng)式乘積的形式）（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到等式：．知識(shí)應(yīng)用：①計(jì)算：；②計(jì)算【變式訓(xùn)練】1．（2022上·湖南衡陽·八年級(jí)衡陽市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）實(shí)踐與探索：如圖1，在邊長(zhǎng)為的大正方形里挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是：______（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．B．C．(2)請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)等式完成下列各題：①已知，則______．②計(jì)算：．2．（2023上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．請(qǐng)你利用數(shù)形結(jié)合的思想解決以下數(shù)學(xué)問題．從邊長(zhǎng)為a的正方形減掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．

(1)通過計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證的一個(gè)等式是．(2)若，，求的值．(3)計(jì)算的值是．【考點(diǎn)八完全平方公式與幾何圖形】例題：現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為、的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形，拼成如圖1的圖形，用四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖中條件，請(qǐng)寫出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于、的關(guān)系式：（用、的代數(shù)式表示出來）；圖1表示：；圖2表示：；根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(2)若，，則；；(3)如圖3，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【變式訓(xùn)練】1．將完全平方公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題，例如：若，，求的值．解：因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，，則；(2)若，，求的值；(3)兩個(gè)正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為．2．如圖①，正方形是由兩個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫出、、之間的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式是；(2)若m滿足，請(qǐng)利用（1）中的數(shù)量關(guān)系，求的值；(3)若將正方形的邊、分別與圖①中的、重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023下·遼寧朝陽·七年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇街?，不能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．2．（2023下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，則括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式為（

）A． B． C． D．3．（2024上·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若代數(shù)式，則（）A． B．9 C．10 D．4．（2023上·廣東汕頭·九年級(jí)汕頭市澄海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，則M與N的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定5．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)四川省宜賓市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）誠誠同學(xué)在課外實(shí)踐活動(dòng)中，利用大小不等的兩個(gè)正方形紙板A，B進(jìn)行拼接（重組）探究，已知紙板A與B的面積之和為52，如圖所示，現(xiàn)將紙板B按甲方式放在紙板A的內(nèi)部，陰影部分的面積為9，若將紙板A，B按乙方式并列放置后，構(gòu)造新的正方形，則陰影部分的面積為（

）A．40 B．43 C．44 D．45二、填空題6．（山西省大同市2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：．7．（2023上·河南商丘·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若可以用完全平方公因式分解，則．8．（2024上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，則．9．（2021上·河南鄭州·七年級(jí)校考期中）我們定義，例如．如果、均為有理數(shù)，并且滿足，那么的值為．10．（2024上·北京豐臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有邊長(zhǎng)分別為，的型和型正方形紙片，長(zhǎng)為、寬為的型長(zhǎng)方形紙片若干張、1張型紙片、1張型紙片和2張型紙片可以無縫隙、不重疊地拼成一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（用含，的式子表示）．

三、解答題11．（2024上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)(2)12．（2024上·遼寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）；

（2）．13．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．14．（2023下·山東青島·七年級(jí)?？计谀┯?jì)算：(1)利用整式乘法公式計(jì)算：；(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．15．（2023上·云南昆明·八年級(jí)校考期中）（1）簡(jiǎn)便計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)再求值：，其中，．16．（2023上·全國·八年級(jí)課堂例題）利用乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算：(1)；(2)．17．（2024上·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一塊長(zhǎng)米，寬米的長(zhǎng)方形地塊，市發(fā)改委計(jì)劃在陰影部分鋪設(shè)塑膠跑道，中間修建一個(gè)邊長(zhǎng)為米的正方形足球場(chǎng)地．

(1)塑膠跑道的面積是多少平方米？（用含，的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)，時(shí)，求塑膠跑道的面積．18．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明同學(xué)化簡(jiǎn)求值的過程，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．解：原式……第一步……第二步……第三步當(dāng)時(shí)，原式．……第四步(1)小明同學(xué)第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．(2)寫出正確的化簡(jiǎn)求值過程．19．（2024上·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）完全平方公式：．將完全平方方式適當(dāng)?shù)刈冃慰梢越鉀Q很多數(shù)學(xué)問題．例：若，，求的值．解：，，，．，．根據(jù)上面的解題思路與方法，解答下列問題：(1)若，，求的值．(2)若，求的值．20．（2023上·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【發(fā)現(xiàn)問題】小亮同學(xué)把圖①長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀將其平均分為四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后拼成了如圖②所示的正方形．小亮進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圖②里面的小正方形的面積可以用