七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略湘教版-專題09 平行線的性質(zhì)與判定壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專題09平行線的性質(zhì)與判定壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用對(duì)頂角相等求角度】 1【考點(diǎn)二同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別】 3【考點(diǎn)三同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 5【考點(diǎn)四兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)】 7【考點(diǎn)五根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度】 10【考點(diǎn)六平行線的性質(zhì)與判定探究角的關(guān)系】 13【過關(guān)檢測(cè)】 20【典型例題】【考點(diǎn)一利用對(duì)頂角相等求角度】例題：（2024上·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與交于點(diǎn)O，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】主要考查了對(duì)頂角性質(zhì)和垂線的定義，正確得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．直接利用鄰補(bǔ)角的定義結(jié)合垂線的定義進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故B正確．故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·福建福州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知直線，相交于O，平分，，則．【答案】/35度【分析】根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)得到．本題主要考查了角平分線，對(duì)頂角．熟練掌握角平分線定義，對(duì)頂角相等，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】∵平分，，∴，∵，∴．故答案為：．2．（2024上·湖南衡陽·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，，，則．【答案】/90度【分析】本題考查對(duì)頂角，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)頂角相等得到，再根據(jù)，代入計(jì)算計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【考點(diǎn)二同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別】例題：（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，直線與被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；直線與被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；的內(nèi)錯(cuò)角是．AI【答案】和和和【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的概念，結(jié)合圖形中各角的位置即可順利完成填空．【詳解】直線與被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是和；直線與被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是和；的內(nèi)錯(cuò)角是和．故答案為：和；和；和．【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的概念，熟練掌握兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·河北邢臺(tái)·七年級(jí)邢臺(tái)三中?？茧A段練習(xí)）如圖，（1）當(dāng)直線、被直線所截時(shí)，的內(nèi)錯(cuò)角是；（2）的同位角是；（3）的同旁內(nèi)角是．【答案】、、、【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)同位角的定義進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）當(dāng)直線、被直線所截時(shí)，的內(nèi)錯(cuò)角是．故答案為：．（2）的同位角是、．故答案為：、．（3）的同旁內(nèi)角是、、．故答案為：、、．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義，同位角：在截線同旁,被截線相同的一側(cè)的兩角；內(nèi)錯(cuò)角：在截線兩旁,被截線之內(nèi)的兩角；同旁內(nèi)角：在截線同旁,被截線之內(nèi)的兩角．2．（2023下·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，填空．（1）若直線，被直線所截，則與是同位角；（2）若直線，被直線所截，則與是內(nèi)錯(cuò)角；（3）與是直線和直線被直線所截構(gòu)成的角；（4）與是直線和直線被直線所截構(gòu)成的角；（5）圖中的同旁內(nèi)角有個(gè)，它們是．【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)同位3，，【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義逐個(gè)求解即可．【詳解】解：（1）若直線，被直線所截，則與是同位角；（2）若直線，被直線所截，則與是內(nèi)錯(cuò)角；（3）與是直線和直線被直線所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角；（4）與是直線和直線被直線所截構(gòu)成的同位角；（5）圖中的同旁內(nèi)角有3個(gè)，它們是，，，故答案為：，，，內(nèi)錯(cuò)，，，同位，3，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義，能根據(jù)圖形找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】例題：（2023下·上海徐匯·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，已知，垂足為，，垂足為，，試說明直線與平行．

解∶∵，垂足為B，垂足為D，(已知)，∴____，____(_____)即，，又∵(___)，∴____=____(___)，∴(___)．【答案】、、垂直的定義、已知、、、等量代換、同位角相等，兩直線平行．【分析】根據(jù)垂直的性質(zhì)，平行線的判定求證即可．【詳解】證明：∵，垂足為B，垂足為D，(已知)，∴，(垂直的定義)即，，又∵(已知)，∴(等量代換)，∴(同位角相等，兩直線平行)．故答案為：、、垂直的定義、已知、、、等量代換、同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直的定義，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建龍巖·七年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，如果，求證：；．觀察下面的解答過程，補(bǔ)充必要的依據(jù)或結(jié)論．

證明：∵（已知），（______________），∴（_______________），又∵（已知），∴（____________）（等式的性質(zhì)）∴（_______________）又∵（_____________），∴（等式的性質(zhì)）∵（已知），∴，∴（___________________________）【答案】對(duì)頂角相等；等量代換；；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，平行線的判定定理，進(jìn)行作答即可．【詳解】證明：∵（已知），（對(duì)頂角相等），∴（等量代換），又∵（已知），∴（）（等式的性質(zhì)）∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）又∵（鄰補(bǔ)角互補(bǔ)），∴（等式的性質(zhì)）∵（已知），∴，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）故答案為：對(duì)頂角相等；等量代換；；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，平行線的判定定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，與互余．(1)與平行嗎？為什么？(2)若，則與平行嗎？為什么？【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析【詳解】解：（1）．理由如下：，，與互余，，，．（2）．理由如下：由（1）知，，，．【考點(diǎn)四兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)】例題：（2023上·黑龍江綏化·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，，垂足分別為D、F，．求證：．（

）：∵，（已知）∴（

）∴（

）（同位角相等，兩直線平行）∴（

）∵（

）∴（

）∴（

）∴（

）【答案】證明；垂直的定義；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；同角的補(bǔ)角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用同角的補(bǔ)角相等可得，進(jìn)而可得，最后利用平行線的性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】證明：∵，（已知）∴（垂直的定義）∴（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵（已知）∴（同角的補(bǔ)角相等）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西西安·八年級(jí)高新一中校考階段練習(xí)）如圖，已知，，求證：．【答案】見解析，【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角，平行線的判定與性質(zhì)．明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由題意可得，，證明，進(jìn)而可得，證明，進(jìn)而可證．【詳解】證明：由題意知，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考期中）推理填空：如圖：，．求證：．

證明：因?yàn)椋ㄒ阎?，（____________），得，所以（____________），得，因?yàn)椋ㄒ阎?，得（等量代換），所以（____________），所以（____________）．【答案】對(duì)頂角相等；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定及性質(zhì)．【詳解】證明：因?yàn)椋ㄒ阎?，（?duì)頂角相等），得，所以（同位角相等，兩直線平行），得，因?yàn)椋ㄒ阎?，得（等量代換），所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），所以（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），故答案為：對(duì)頂角相等；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【考點(diǎn)五根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度】例題：（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)在同一條直線上，連接，過點(diǎn)作，已知．(1)求證：；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、利用鄰補(bǔ)角求角的度數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)可得，從而得出，從而即可得出；（2）由角平分線的定義可得，利用鄰補(bǔ)角求出，從而得出，最后由平行線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：，，

，．

；（2）解：平分，，

，，

，

，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，點(diǎn)在邊上，分別交，于點(diǎn)，，平分，，

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定，是解決本題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行線的判定：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵．∴．∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，又∵，∴．2．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，F(xiàn)、G是、上的兩點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證明即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【考點(diǎn)六平行線的性質(zhì)與判定探究角的關(guān)系】例題：（2023下·遼寧營(yíng)口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）、BC，BD分別平分和，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．(1)求的度數(shù)．(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是多少？為什么？(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化．請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)不變，【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由（1）知，再根據(jù)角平分線的定義知、，可得，即；（2）由得、，根據(jù)平分知，從而可計(jì)算；（3）由得、，根據(jù)平分知，從而可得結(jié)果．【詳解】（1），，，，平分，平分，，，，；（2），，，，；由（1）可知：，，，；（3）不變，．，，，平分，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知直線，且和分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上．(1)之間的關(guān)系為；(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，之間的關(guān)系為；(3)如果點(diǎn)P（點(diǎn)P和A、B不重合）在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，之間關(guān)系為．【答案】(1)∠3=∠1+∠2；(2)∠3=∠1+∠2(3)或【分析】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，平行于同一直線的兩條直線平行．（1）過點(diǎn)P作，如圖1，由于，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，所以；（2）由（1）中的證明過程，可知之間的關(guān)系不發(fā)生變化；（3）根據(jù)題意，畫出圖形，分點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上和點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上兩種情況；利用平行線的性質(zhì)可推出之間的關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)P作，∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵（已知），∴（平行于同一條直線的兩直線平行），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，∴∠3=∠1+∠2（等量代換）；故答案為：∠3=∠1+∠2；（2）解：由（1）的證明過程知，之間的關(guān)系不發(fā)生變化；故答案為：∠3=∠1+∠2；（3）解：過點(diǎn)P作，∵，∴；當(dāng)點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上時(shí)，如左圖，則，∠1=∠CPQ=∠3+∠4，∴，即；當(dāng)點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上時(shí)，如右圖，∵，∴，∠2=∠CPQ=∠3+∠4，∴，即；綜上，或．故答案為：或．2．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次空間與圖形的學(xué)習(xí)中，小明遇到了下面的問題：如圖1，若，點(diǎn)P在、內(nèi)部，探究，，的關(guān)系．小明只完成了（1）的部分證明．(1)請(qǐng)你繼續(xù)完成的證明并在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)睦碚撘罁?jù)同時(shí)完成過點(diǎn)作．∵，∴________（

）∴____（

）又∵∴∴________．(2)小明猜想：是不是類似的問題都可以過點(diǎn)P作來實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移從而推導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論呢？．如圖2，若，點(diǎn)P在、外部，，，的關(guān)系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化請(qǐng)寫出它們的關(guān)系，并證明；若沒有發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．(3)探究：若，如圖3，圖4，請(qǐng)直接寫出小于平角的，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；；平行于同一條直線的兩條直線平行；；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)(3)；【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定；（1）首先過點(diǎn)P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，，從而證得；（2）同（1）的方法可得，，，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法分別結(jié)合圖3，圖4，得出，，的關(guān)系，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作．∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵∴∴．故答案為：；；平行于同一條直線的兩條直線平行；；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；．（2）發(fā)生變化，應(yīng)是．證明：如圖2，過點(diǎn)作．∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴又∵∴∴．即（3）如圖3，過點(diǎn)作，∵，，∴∴又∵∴∴．即如圖4，過點(diǎn)作，∵，∴∴又∵∴∴．即【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023下·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和是對(duì)頂角的是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了對(duì)頂角的定義，如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，且角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由對(duì)頂角的定義可知，只有A選項(xiàng)中的和是對(duì)頂角，故選：A．2．（2024上·重慶沙坪壩·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行的性質(zhì)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到，再由平行的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵，∴，又∵，∴，故選C．3．（2023上·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，下列條件中不能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的判定定理，掌握平行線的判定條件是關(guān)鍵，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)逐一判斷，即可得出答案．【詳解】解：A、可判斷平分，不能判斷，符合題意；B、由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可判斷，不符合題意；C、由同位角相等，兩直線平行，可判斷，不符合題意；D、由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可判斷，不符合題意；故選：A．4．（2024上·山西長(zhǎng)治·七年級(jí)統(tǒng)考期末）風(fēng)箏是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于東周春秋時(shí)期的產(chǎn)物，其材質(zhì)在不斷改進(jìn)之后，坊間開始用紙做風(fēng)箏，稱為“紙鳶”．如圖所示的紙骨架中，與構(gòu)成同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是同位角的定義，關(guān)鍵是知道哪兩條直線被第三條直線所截．根據(jù)同位角的定義解答即可【詳解】解：如圖可知，和是同位角，故選：．5．（2024上·甘肅蘭州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，為上一點(diǎn)，，且平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論：；；平分；平分．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】此題考查了角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，延長(zhǎng)，交于，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可解答，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于，∵，∴，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴錯(cuò)誤；正確，∵平分，∴，∵，∴，∴，可見，的值未必為，只要和為即可，∴平分，平分不一定正確．故選：．二、填空題6．（2023下·吉林松原·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，，，則的度數(shù)是．

【答案】50【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得，再根據(jù)角的和差關(guān)系求解．【詳解】解：，，，，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角的性質(zhì)和角的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)頂角相等求出的度數(shù)．7．（2024上·重慶黔江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，平分，且，則．

【答案】/121度【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由角平分線的定義得出的度數(shù)，進(jìn)而得出的度數(shù)，由即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，平分，，，，，．故答案為：8．（2023下·河南焦作·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有下列說法：①能與構(gòu)成同旁內(nèi)角的角的個(gè)數(shù)有2個(gè)，②能與構(gòu)成同位角的角的個(gè)數(shù)有2個(gè)；③能與構(gòu)成同旁內(nèi)角的角的個(gè)數(shù)有4個(gè)。其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義意義判斷即可，同位角：當(dāng)形成三線八角時(shí)，如果有兩個(gè)角分別在兩條直線的同一方，并且在第三條直線的同一旁，這樣的一對(duì)角，叫做同位角；內(nèi)錯(cuò)角：如果兩個(gè)角都在兩直線的內(nèi)側(cè)，并且在第三條直線的兩側(cè)，那么這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；如果有兩個(gè)角都在兩條直線的內(nèi)側(cè)，并且在第三條直線的同旁，那么這樣的一對(duì)角，叫做同旁內(nèi)角．【詳解】解：與構(gòu)成同旁內(nèi)角的是，有2個(gè)，故①正確；與構(gòu)成同位角的角的是，有1個(gè)，故②錯(cuò)誤；與構(gòu)成同旁內(nèi)角的角的是，有5個(gè)，故③錯(cuò)誤；故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)概念．9．（2024上·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有經(jīng)驗(yàn)的漁夫用魚叉捕魚時(shí)，不是將魚叉對(duì)準(zhǔn)他看到的魚，這是由于光從空氣射入水中時(shí)，發(fā)生折射現(xiàn)象．如圖，水面與底面平行，光線從空氣射入水中時(shí)發(fā)生了折射，變成光線射到水底處，射線是光線的延長(zhǎng)線，，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、幾何圖中角度的計(jì)算，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，故答案為：．10．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副直角三角尺如圖1疊放，現(xiàn)將含的三角尺固定不動(dòng)，將含的三角尺繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當(dāng)時(shí)，有一組邊，再繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺的過程中，請(qǐng)你寫出符合要求的（）的度數(shù)是度．【答案】或或【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，再由平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∵，∴；

當(dāng)時(shí)，∵，∴．

綜上所述，的度數(shù)為或或；故答案為：或或．三、解答題11．（2024上·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，．(1)求證：；(2)若，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計(jì)算．掌握平行線的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得到，進(jìn)而推出，即可得出結(jié)論；（2）平行線的性質(zhì)，得到，角平分線得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，即可．【詳解】（1）證明：∵∴．

又∵，∴，

∴；（2）∵，∴

又∵平分∴

又∵∴．12．（2024上·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是學(xué)生用兩塊三角板拼成的圖形，其中，，三點(diǎn)在同一條直線上，，，三點(diǎn)在同一條直線上，，，，過點(diǎn)作平分交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的度