與圓有關(guān)的最值與范圍問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點23與圓有關(guān)的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1斜率型最值（范圍）問題】............................................................2

【題型2直線型最值（范圍）問題】............................................................2

【題型3定點到圓上點的最值（范圍）】........................................................3

【題型4圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）】............................................4

【題型5過圓內(nèi)定點的弦長最值（范圍）問題】..................................................4

【題型6圓的切線長度最值（范圍）問題】......................................................5

【題型7周長面積型最值（范圍）問題】........................................................5

【題型8數(shù)量積型最值（范圍）問題】..........................................................6

【題型9坐標(biāo)、角度型最值（范圍）問題】......................................................6

【題型10長度型最值（范圍）問題】...........................................................7

?命題規(guī)律

1、與圓有關(guān)的最值與范圍問題

從近幾年的高考情況來看，與圓有關(guān)的最值與范圍問題是高考的熱點問題，由于圓既能與平面幾何相

聯(lián)系，又能與圓錐曲線相結(jié)合，命題方式比較靈活，故與圓相關(guān)的最值與范圍問題備受命題者的青睞.此類

問題考查形式多樣，對應(yīng)的解題方法也是多種多樣，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1與距離有關(guān)的最值問題】

在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離

最小、最大、范圍等.這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解得到相關(guān)結(jié)論.

1.圓上的點到定點的距離最值問題

一般都是轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值.

2.圓上的點到直線的距離最值問題

已知圓C和圓外的一條直線I,則圓上點到直線距離的最小值為：八一一廠，距離的最大值為：八一+r.

【知識點2利用代數(shù)法的幾何意義求最值】

1.利用代數(shù)法的幾何意義求最值

（1）形如〃=E2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.

（2）形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

（3）形如m=（x-a）2+（y-by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點（0力）的距離平方的最值問題.

【知識點3切線長度最值問題】

1.圓的切線長度最值問題

（1）代數(shù)法：直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；

（2）幾何法：把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題.

【知識點4弦長最值問題】

1.過圓內(nèi)定點的弦長最值問題

己知圓C及圓內(nèi)一定點P,則過P點的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦.

【知識點5解決與圓有關(guān)的最值與范圍問題的常用方法】

1.與圓有關(guān)的最值與范圍問題的解題方法

（1）數(shù)形結(jié)合法：處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借

助數(shù)形結(jié)合思想求解.

（2）建立函數(shù)關(guān)系求最值：根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系的特點選用參

數(shù)法、配方法、判別式法等進(jìn)行求解.

（3）利用基本不等式求解最值：如果所求的表達(dá)式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，如a2或者a+b的表

達(dá)式求最值，常常利用題設(shè)條件建立兩個變量的等量關(guān)系，進(jìn)而求解最值.同時需要注意，“一正二定

三相等”的驗證.

（4）多與圓心聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為圓心問題.

（5）參數(shù)方程：進(jìn)行三角換元，通過參數(shù)方程，進(jìn)行求解.

?舉一反三

【題型1斜率型最值（范圍）問題】

【例1】（23-24高二上?湖北武漢?階段練習(xí)）已知P（m,n）為圓C:（久一l）2+（y—1）2=1上任意一點，則有

的最大值為（）

A.—B.--C.1+—D.1--

3333

【變式1-1］（2024?河南?模擬預(yù)測）已知點P（x,y）在圓（久一1）2+（y-I）2=3上運動，則公的最大值為（）

A.-6-V30B.6+V30C.-6+V30D.6-V30

【變式1-2］（2024?陜西商洛?三模）已知P（x（）,yo）是圓C:/+產(chǎn)—2%-2y+1=0上任意一點，則也考■的

%0—3

最大值為（）

A.-2B.-iC.土"D.3

233

【變式1-3］（2024?福建南平?三模）已知P（m,n）為圓C：0—1/+（y—1）2=1上任意一點，則照的最

大值為.

【題型2直線型最值（范圍）問題】

【例2】（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）已知點PQ,y）是圓C：O—a）2+必=3（a>0）上的一動點，若圓C

經(jīng)過點4（1,夜），貝0-乂的最大值與最小值之和為（）

A.4B.2V6C.-4D.-2V6

【變式2-1］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）如果實數(shù)滿足等式/+y2+4x-2y-4=0,那么d+y?

的最大值是;2x-y的最大值是.

【變式2-2］（23-24高二上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）已知x,y是實數(shù)，且（久—+（y—2/=4.

⑴求3x+4y的最值；

（2）求?的取值范圍；

（3）求J/+y2的最值.

【變式2-3］（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知實數(shù)x,y滿足方程N(yùn)+f—公+1=0.求:

（14的最大值和最小值；

（2）j+x的最大值和最小值；

（3?2+儼的最大值和最小值.

【題型3定點到圓上點的最值（范圍）】

【例3】（2024?陜西銅川?三模）已知圓。（久一。）2+（、-6）2=1經(jīng)過點力（3,4）,則其圓心到原點的距離的

最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式3-11（23-24高三下?山東濟(jì)南?開學(xué)考試）己知P是圓。:/+產(chǎn)=9上的動點，點Q滿足所=（3,—4）,

點力（1,1）,則|4Q|的最大值為（）

A.8B.9C.V29+3D.V30+3

【變式3-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）M點是圓C:（x+2）2+產(chǎn)=1上任意一點，43為圓的:（x-2>+y2=3

的弦，且|4B|=2/，N為4B的中點，則|MN|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.47

【變式3-3]（2024?四川樂山?三模）已知圓0:%2+y2=i6,點F（—2弓+09）,點E是±2第一y+16=0

上的動點，過E作圓。的切線，切點分別為4B,直線48與E。交于點M,則|M用的最小值為（）

A3C3遙八5遙c3V19

A-7B--c-VD--

【題型4圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）】

[例4]（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測）已知跖N是圓C：比2+y2_2y_3=0上的兩個點，且|MN|=2近,

P為MN的中點，。為直線八x—y—3=0上的一點，則|PQ|的最小值為（）

A.2V2B.V2C.2-V2D.V2-1

【變式4-1]（2024?遼寧鞍山?二模）已知直線Z：￡—y—2=0,點C在圓0-1）2+產(chǎn)=2上運動，那么點C

到直線I的距離的最大值為（）

A.-V2+1B.-V2C.-V2D.—

2222

【變式4-2]（2024?河北?二模）已知力（巧,為），B（久2，力）是圓/+儼=9上的兩個動點，且叼久2+為乃=-p

若點M滿足前=2而，點P在直線比+By-4b=0上，則|MP|的最小值為（）

A.4V3B.3V3C.2V3D.V3

【變式4-3]（2024?湖南岳陽?二模）已知點4句,為）,3（>2，乃）是圓/+必=16上的兩點，若/HOB=],

則I%l+為—2|+I久2+>2—2|的最大值為（）

A.16B.12C.8D.4

【題型5過圓內(nèi)定點的弦長最值（范圍）問題】

【例5】（23-24高二上?重慶?期末）已知圓的方程為/+產(chǎn)一8%=0,則該圓中過點P（2,l）的最短弦的長

為（）

A.V10B.VilC.2V10D.2V11

【變式5-1]（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知直線〃tx+y—2t—43=0（teR）與圓C:（x—l）2+y2=16

相交于4B兩點，則弦長|A8|的取值范圍是（）

A.[2V3,8]B.[4V3,8]C.（4舊,8）D.[4,4V3]

【變式5-2]（23-24高二上?廣東珠海?期末）已知直線八mx-y-3m+1=0恒過點P,過點P作直線與

圓C：（x—+（y—2）2=25相交于/,B兩點,則的最小值為（）

A.4V5B.2C.4D.2^5

【變式5-3］（2024?江西贛州?二模）已知直線2:（m+ri）x+（m—n）y—2m—O（mn*0）.圓C:（x—2）2+（y—

2）2=8,則（）

A./過定點（1,-1）B./與。一定相交

C.若/平分。的周長，則m=1D./被。截得的最短弦的長度為4

【題型6圓的切線長度最值（范圍）問題】

【例6】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知尸為直線/:x—y+l=0上一點，過點P作圓C:（x-+產(chǎn)=i的

一條切線，切點為/,則|P川的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【變式6-1］（2024?新疆?二模）從直線x—y+2=0上的點向圓萬2+丫2-4萬一4了+7=0引切線，則切

線長的最小值為（）

A.—B.IC.—D.--1

242

【變式6-2］（2024?四川宜賓?二模）已知點P是直線x+y+3=0上一動點，過點P作圓C:（x++產(chǎn)=i

的一條切線，切點為力，則線段P4長度的最小值為（）

A.2V3B.2V2C.V2D.1

【變式6-3］（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知點P為直線I:3x—4y+12=0上的一點，過點P作圓C:（光—3尸+

（y—2）2=1的切線PM,切點為M,則切線長|PM|的最小值為（）

12口13「V170?V194

AA-TB-Tc--D--

【題型7周長面積型最值（范圍）問題】

【例7】（2024?上海普陀?二模）直線2經(jīng)過定點P（2,l）,且與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A,B兩點，

。為坐標(biāo)原點，動圓M在△OAB的外部，且與直線1及兩坐標(biāo)軸的正半軸均相切，則△048周長的最小值是

（）

A.3B.5C.10D.12

【變式7-1］（2024?山西呂梁?一模）已知圓。:（久一4）2+3-2）2=4,點「為直線刀+丫+2=0上的動點,

以PQ為直徑的圓與圓Q相交于4B兩點，則四邊形P4QB面積的最小值為（）

A.2V7B.4V7C.2D.4

【變式7-2］（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)尸為直線x—y=0上的動點，為圓C：（x-2）2+y2=1

的兩條切線，切點分別為4B,則四邊形4PBC的周長的最小值為（）

A.3B.2+V3C.4D.2+2V3

【變式7-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知4（一3,0）,B（0,3）,設(shè)C是圓M:/+y2一2%一3=0上一動點，

則△ABC面積的最大值與最小值之差等于（）.

A.12B.6V2C.6D.3近

【題型8數(shù)量積型最值（范圍）問題】

【例8】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線丫=爐一4久+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C

上，力B為圓C的直徑，點P是直線3久+4y+10=0上任意一點；則麗?麗的最小值為（）

A.4B.12C.16D.18

【變式8-11（2024?全國?模擬預(yù)測）已知圓。是圓心為原點的單位圓,48是圓。上任意兩個不同的點，M（2,0）,

則|加+而|的取值范圍為（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（2,4）D.（2,6）

【變式8-2]（2024?河南開封?二模）已知等邊△ABC的邊長為百，尸為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且|而|=1,

則而?麗的取值范圍是（）

A?卜粉B.卜渭]C.[1,4]D,[1,7]

【變式8-3]（2024?河北唐山?二模）已知圓C：/+（y—3尸=4,過點（0,4）的直線I與工軸交于點P,與圓C

交于4B兩點，則而?（刀+方）的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2]D.[0,2）

【題型9坐標(biāo)、角度型最值（范圍）問題】

【例9】（2024?江西?模擬預(yù)測）已知點”是圓％2+、2=1上一點，點可是圓。（％-3）2+儼=3上一點，

則NCMN的最大值為（）

A.-B.-C.-D.-

2346

【變式9-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知直線-y+2=0與圓。:/+y2=1,過直線，上的任意一點P

作圓。的切線Q4,PB,切點分別為4,B,貝I」乙4。8的最小值為（）

A.—B.—C.-D.-

4326

【變式9-2]（23-24高一下?河南洛陽?期末）在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，已知。（0,0）,力（果0）,曲線C上任

一點M滿足|0M|=4|AM|,點P在直線y=&（%-1）上，如果曲線C上總存在兩點到點P的距離為2,那么點

P的橫坐標(biāo)t的范圍是（）

A.1<t<3B.1<t<4C.2<t<3D.2<t<4

【變式9-3]⑵-24高二上?江西九江?期末）已知點P在直線Z:3久+4y+3=0上，過P作圓M:x2+y2-6%-

4y+9=0的兩條切線，切點為4B,貝吐APB的最大值為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【題型10長度型最值（范圍）問題】

【例10】（2024?山東棗莊?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知4（一3,0）,8（1,0）〃為圓。。一3）2+（＞-

3）2=1上動點，則|P*2+|PB|2的最小值為（）

A.34B.40C.44D.48

【變式10-1]（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）已知圓C:/+y2=4上兩點力（打〃1）,8（＞2，月）滿足打利+

為力=0,則|打+V3yi+6|+|x2+V3y2+6]的最小值為（）

A.3V2-2B.6-2V2

C.6V2-4D.12-4V2

【變式10-2]（2024?四川成都?模擬預(yù)測）已知P為直線Z:x+y=O上一點，過點P作圓M：（x-+（y-

1）2=1的切線P力（4點為切點），B為圓N:（x—3）2+（y—3）2=4上一動點.則|P周+|PB|的最小值是

（）

A.V31-2B.3V2-1C.V31D.2近一2

【變式10-3]（23-24高三上?遼寧大連?階段練習(xí)）已知圓的:（%—2）2+（y—3）2=1,圓（無—3尸+（y—

4）2=9,M,N分別是圓Ci，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（）

A.5V2-2B.V17-1C.6+2迎D.5近一4

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?江西?模擬預(yù)測）已知實數(shù)a,b滿足。2+》2=。一小則|a+b-3|的最小值為（）

A.V2B.2C.苧D.4

2.（2024?四川攀枝花?三模）由直線y=x上的一點P向圓（久—4/+必=4引切線，切點為Q,則|PQ|的最

小值為（）

A.V2B.2C.V6D.2V2

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）直線y=k久+2被圓好+、2一6萬一7=0截得的弦長的最小值為（）

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

4.（2024?山東濟(jì)南?三模）圓。-I）2+（y+=4上的點到直線3x+4y—14=0的距離的最大值為（）

A.3B.4C.5D.9

5.（2024?陜西漢中?二模）已知OM:/+y2—2%—2y—2=0,直線〃2久+y+2=0,P為/上的一動點，

A,3為OM上任意不重合的兩點，則cos乙4PB的最小值為（）

A?一等B.4C.-gD.-I

6.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知點M是直線匕:a久+y—2a=0和《x—ay+2=0（aGR）的交點，4（一1,0）,

且點M滿足|M4|=；|M陰恒成立，若C（2,2）,則2|M4|+|MC|的最小值為（）

A.V6B.2V6C.V10D.2V10

7.（23-24高二上?黑龍江,期末）已知直線y=kx+2（fcGR）交圓。+y2=9于PQc-yi）,Q（久2，乃）兩點，

則|3打+4%+16|+|3冷+4y2+16|的最小值為（）

A.9B.16C.27D.30

8.（2024?陜西西安一模）已知圓。的方程為：/+y=1,點4（2,0）,B（0,2）,P是線段上的動點，過P

作圓。的切線，切點分別為C,D,現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形PC。。的面積的最小值為1；②四邊形PC。。

的面積的最大值為次；③麗?麗的最小值為-1；④瓦?麗的最大值為去其中所有正確說法的序號為（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①④

二、多選題

9.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）已知圓C:%2+y2-4%-5=0,點P（a,Z?）是圓C上的一點，則下列說法正確

的是（）

A.圓C關(guān)于直線x—3y—2=0對稱

B.已知4（1,一2）,8（5,0）,則|P川2+的最小值為32—12應(yīng)

C.2a+b的最小值為2—

D.弋2的最大值為廣

a+34

10.（2024?吉林延邊?一模）已知力。1，丫1）,8。2，丫2）是圓。:/+：/=4上的兩點，則下列結(jié)論中正確的是

（）

A.若點。到直線力B的距離為魚，貝！||4