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福建省漳州市2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.2.記遞增數(shù)列的前項和為.若,,且對中的任意兩項與(),其和,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項,則()A. B.C. D.3.已知數(shù)列的通項公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.784.若,則“”的一個充分不必要條件是A. B.C.且 D.或5.已知雙曲線的離心率為,拋物線的焦點坐標(biāo)為,若,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.6.已知實數(shù),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.7.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為()A.3 B. C. D.8.如圖,平面四邊形中,,,,為等邊三角形,現(xiàn)將沿翻折,使點移動至點,且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.9.()A. B. C. D.10.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題11.關(guān)于函數(shù),有下述三個結(jié)論:①函數(shù)的一個周期為;②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域為.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①② B.② C.②③ D.③12.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本,將這7本作業(yè)本混放在-起,小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則過原點且與曲線相切的直線方程為____________.14.(5分)已知為實數(shù),向量,,且,則____________.15.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則_________.16.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值為,則實數(shù)的值是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為求a,b的值;證明:.18.(12分)已知橢圓:的長半軸長為,點(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,為直線上任一點,過點橢圓上點處的切線為,,切點分別,,直線與直線,分別交于,兩點,點,的縱坐標(biāo)分別為,,求的值.19.(12分)如圖,三棱臺中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20.(12分)(江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知平行于軸的動直線交拋物線:于點,點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線,,軸都相切,設(shè)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若直線與曲線相切于點,過且垂直于的直線為,直線,分別與軸相交于點,.當(dāng)線段的長度最小時,求的值.21.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,和均為邊長為的等邊三角形.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)求函數(shù)的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.2、D【解析】
由題意可得,從而得到,再由就可以得出其它各項的值,進(jìn)而判斷出的范圍.【詳解】解:,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項,或者或者是該數(shù)列中的項,又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列,,,,只有是該數(shù)列中的項,同理可以得到,,,也是該數(shù)列中的項,且有,,或(舍,,根據(jù),,,同理易得,,,,,,,故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.3、D【解析】
先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值,可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項公式,然后代入轉(zhuǎn)化計算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當(dāng)為奇數(shù)時,,當(dāng)為偶數(shù)時,所以當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,,所以故選:D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.4、C【解析】,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C.5、A【解析】
求出拋物線的焦點坐標(biāo),得到雙曲線的離心率,然后求解a,b關(guān)系,即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為(1,0),則p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以雙曲線的漸近線方程為:y=±.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法,涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.6、B【解析】
根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】解:∵,∴,,.∴.故選:B.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐,如圖:
直三棱柱的體積為,消去的三棱錐的體積為,
∴幾何體的體積,故選B.點睛:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵;幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐,結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積,相減可得幾何體的體積.8、A【解析】
將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同,由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,在中,計算半徑即可.【詳解】由,,可知平面.將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同.由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,記的外心為,由為等邊三角形,可得.又,故在中,,此即為外接球半徑,從而外接球表面積為.故選:A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.9、A【解析】
分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當(dāng),即時,;當(dāng),即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、C【解析】
①用周期函數(shù)的定義驗證.②當(dāng)時,,,再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,而,當(dāng)時,再求值域.【詳解】因為,故①錯誤;當(dāng)時,,所以,所以在上單調(diào)遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,易知,故當(dāng)時,,故③正確.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.12、A【解析】
利用計算即可,其中表示事件A所包含的基本事件個數(shù),為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果,其中,小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果,由古典概型的概率計算公式,小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)切點坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點的切線方程,將原點代入切線方程,求出的值,于此可得出所求的切線方程.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為,,,,則曲線在點處的切線方程為,由于該直線過原點,則,得,因此,則過原點且與曲線相切的直線方程為,故答案為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查過點作函數(shù)圖象的切線方程,求解思路是:(1)先設(shè)切點坐標(biāo),并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程;(2)將所過點的坐標(biāo)代入切線方程,求出參數(shù)的值,可得出切點的坐標(biāo);(3)將參數(shù)的值代入切線方程,可得出切線的方程.14、5【解析】
由,,且,得,解得,則,則.15、0.4【解析】
因為隨機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對稱性,即得解.【詳解】因為隨機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱,所.【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性在求概率中的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】
把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,用表示,利用基本不等式可求實數(shù)的值.【詳解】,解得=1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用,綜合了基本不等式,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】分析:第一問結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點在切線上也在函數(shù)圖像上,從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式,從而求得結(jié)果;第二問可以有兩種方法,一是將不等式轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,從而求得結(jié)果,二是利用中間量來完成,這樣利用不等式的傳遞性來完成,再者這種方法可以簡化運(yùn)算.詳解:(1)解:,由題意有,解得(2)證明:(方法一)由(1)知,.設(shè)則只需證明,設(shè)則,在上單調(diào)遞增,,使得且當(dāng)時,,當(dāng)時,當(dāng)時,,單調(diào)遞減當(dāng)時,,單調(diào)遞增,由,得,,設(shè),,當(dāng)時,,在單調(diào)遞減,,因此(方法二)先證當(dāng)時,,即證設(shè),則,且,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,則當(dāng)時,(也可直接分析顯然成立)再證設(shè),則,令,得且當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.,即又,點睛:該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題,在求解的過程中,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有關(guān)切線的問題,還有就是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式,可以構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題來解決,也可以借用不等式的傳遞性,借助中間量來完成.18、(1);(2).【解析】
(1)因為點在橢圓上,所以,然后,利用,,得出,進(jìn)而求解即可(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,直線的方程為,分別聯(lián)立方程:和,利用韋達(dá)定理,再利用,,即可求出的值【詳解】(1)由橢圓的長半軸長為,得.因為點在橢圓上,所以.又因為,,所以,所以(舍)或.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題,聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參,屬于中檔題19、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進(jìn)而得線面平行;(Ⅱ)過點作的垂線,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過點作的垂線,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點,;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20、(1).(2)見解析.【解析】試題分析:(1)設(shè)根據(jù)題意得到,化簡得到軌跡方程;(2)設(shè),,,,構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最值.解析:(1)因為拋物線的方程為,所以的坐標(biāo)為,設(shè),因為圓與軸、直線都相切,平行于軸,所以圓的半徑為,點,則直線的方程為,即,所以,又,所以,即,所以的方程為.(2)設(shè),,,由(1)知,點處的切線的斜率存在,由對稱性不妨設(shè),由,所以,,所以,,所以.令,,則,由得,由得,所以在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,取得極小值也是最小值,即取得最小值,此時.點睛:求軌跡方程,一般是問誰設(shè)誰的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可,而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式,例如,可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來理解,然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類題計算一定要仔細(xì).21、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面,即證,即可;(2)以為坐標(biāo)原點,以為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量,代入公式,即可得到結(jié)果.【詳解】(1)取的中點,連接,因為均為邊長為的等邊三角形,所以,,且因為,所以,所以,又因為,平面,平面,所以平面.又因為平面,所以平面平面.(2)因為,為等邊三角形,所以,又因為,所以,,在中,由正弦定理,得:,所以.以為坐標(biāo)原點,以
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