相似三角形存在性問(wèn)題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專(zhuān)題08相似三角形存在性問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)，使得由該點(diǎn)及其他點(diǎn)構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問(wèn)題”.

【相似判定】

判定1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形；

判定2:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形是相似三角形；

判定3:有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標(biāo)系中相似三甭形存在性問(wèn)題的方法來(lái)源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ鉀Q

問(wèn)題.

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個(gè)是已知的，而另一三角形中有1或2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即可分為“單動(dòng)點(diǎn)''類(lèi)、"雙動(dòng)點(diǎn)”

兩類(lèi)問(wèn)題.

【思路總結(jié)】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會(huì)用的，這里也一樣不怎么用，對(duì)比判定2、3可

以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個(gè)三角形必然有相等角，關(guān)鍵點(diǎn)也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1:兩相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；

思路2:還存在另一組角相等.

事實(shí)上，坐標(biāo)系中在已知點(diǎn)的情況下，線段長(zhǎng)度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個(gè)問(wèn)題就可以了.

二、典例精析

例一、如圖，拋物線y=ox2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)。(2,

-3).點(diǎn)。是拋物線y=G?+bx+c上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,直線。。與線段相交于點(diǎn)E,當(dāng)與aABC相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】

（1）拋物線：y=f-2元-3;

（2）思路：考慮到△ABC和△80E有一組公共角，公共角必是對(duì)應(yīng)角.

/ABC的兩邊BA、BC與々OBE的兩邊BO、8E成比例即可，故可得:

_B_E—_B_A_B_E—_B_C

BOBCBOBA'

解得：BE=2?或BE=20

4

39

故E點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）或

4，-4

當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）時(shí)，直線0E解析式為y=-2x,

2

聯(lián)立方程：-2x=x-2x-3,解得：x、=g,x2=-A/3,

此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（6,-2吟或（-6,2⑻;

39

當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，直線OE解析式為、=-3無(wú)，

4，-4

_i+./TT-I-A/13

聯(lián)立方程：一3尤=f-2x—3,解得：x,="

、

此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)為或

/

綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(四,-2后)或卜否,2石)或或

說(shuō)明：過(guò)程應(yīng)詳細(xì)分類(lèi)討論兩種情況，分別求出結(jié)果.

例二、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-l與拋物線y=-%2+bx+c交于A、B兩點(diǎn)、,其中A(m,0)、

B(4,n),該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與％軸交于另一點(diǎn)O.

(1)求加、〃的值及該拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接3D、CD,在線段CO上是否存在點(diǎn)Q,使得以A、D、。為頂點(diǎn)的三角形與△A3。相似,

若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】

(1)m=l,n=3,

拋物線解析式為y=-x2+6x-5;

(2)思路：平行得相等角，構(gòu)造兩邊成比例

由題意得。(5,0),故直線解析式為：y=x-5,

：.CDIIAB,

：.￡CDA=ABAD,

考慮到點(diǎn)。在線段CD上，

.DAAB,,DAAD

,DQADDQAB'

8拒L

解得：DQ=弋或DQ=3亞,

故Q點(diǎn)坐標(biāo)為［，-1］或(2,-3).

三、中考真題演練

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線y=-/+bx+c上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為（0,2）,（4,0）,拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)M

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

⑶點(diǎn)。是線段3c（包含點(diǎn)2,。上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)。，交直線CM于點(diǎn)N,

若以點(diǎn)。，N,C為頂點(diǎn)的三角形與VCO般相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

2.(2023?湖北武漢?中考真題)拋物線G：y=/-2X-8交X軸于兩點(diǎn)(A在8的左邊)，交，軸于點(diǎn)C.

(1)

⑴直接寫(xiě)出4民c三點(diǎn)的坐標(biāo);

⑵如圖(1),作直線x=(0<t<4),分別交x軸，線段5C,拋物線G于D，E，尸三點(diǎn)，連接CF.若^BDE

與△CEF相似，求f的值;

3.(2023?湖北隨州?中考真題)如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，拋物線V-底+法+。過(guò)點(diǎn)4T0),8(2,0)

和C(0,2),連接BC,點(diǎn)PS?,")(機(jī)>0)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PN，x軸交直線BC于點(diǎn)M,交x軸

于點(diǎn)N.

(圖1)(圖2)

⑴亶填與小拋物線和直線BC的解析式;

(3)當(dāng)p點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以O(shè),P,Q為頂點(diǎn)的三角形與以8,C,N為頂

點(diǎn)的三角形相似(其中點(diǎn)P與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng))，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P和點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2022?四川綿陽(yáng)?中考真題)如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(-l,0),8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,

3),頂點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1.

(1)求拋物線的解析式；

(3)過(guò)點(diǎn)C作直線/與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E,連接AD,AE,DE,在直線/下方的拋物線上

是否存在一點(diǎn)跖過(guò)點(diǎn)M作板垂足為R使以M,F,E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與/4DE相似？若存在,

請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2022?湖南?中考真題)如圖，已知拋物線＞=辦2+法+3(。工0)的圖像與天軸交于41,0),3(4,0)兩點(diǎn),

與，軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若四邊形BCEF為矩形，CE=3.點(diǎn)/以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C沿CE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以每

秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)E沿斯向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)隨之停止.當(dāng)以/、E、N為頂點(diǎn)的

三角形與ABOC相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間f的值；

6.（2022?遼寧?中考真題）拋物線>=以2-2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3,0）,點(diǎn)C（0,-3）,直線y=-x+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

交拋物線于點(diǎn)E.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交AE于點(diǎn)8,交x軸于點(diǎn)。，交直線AC于點(diǎn)F.

圖①圖②

（1）求拋物線的解析式；

（3）如圖②，連接CD點(diǎn)。為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)。，A,E為頂點(diǎn)的三角形與AC。尸相似時(shí)（AE

與CD不是對(duì)應(yīng)邊），請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

7.（2022?廣西桂林?中考真題）如圖，拋物線y=-N+3尤+4與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），

與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/與龍軸交于點(diǎn)N,長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)尸位于點(diǎn)。的上方）在x軸上

方的拋物線對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng).

⑴直接寫(xiě)出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶過(guò)點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)跖當(dāng)ACRW和AQBN相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

8.(2022?廣西玉林?中考真題)如圖，已知拋物線：＞=-2爐+樂(lè)+，與x軸交于點(diǎn)A,8(2,0)(A在8的左

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑶過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線與線段8C交于點(diǎn)垂足為點(diǎn)H,若以P,M,C為頂點(diǎn)的三角形與相似，

求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

9.(2022.湖南衡陽(yáng)?中考真題)如圖，已知拋物線y=--x-2交無(wú)軸于A、8兩點(diǎn)，將該拋物線