一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第03講一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(新高考專用)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)人支)==署，則曲線y=f(久)在點(diǎn)(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的

三角形的面積為()

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

2.(2024?上海?高考真題)已知函數(shù)/(')的定義域?yàn)閰^(qū),定義集合時(shí)={%()|%0ER,xE(一8,%0),/(%)</(%())},

在使得M=[-L1]的所有/(%)中，下列成立的是()

A.存在/(%)是偶函數(shù)B.存在f(%)在％=2處取最大值

C.存在/(%)是嚴(yán)格增函數(shù)D.存在/(%)在%=-1處取到極小值

3.(2023?全國(guó)?高考真題)函數(shù)/(%)=爐+。％+2存在3個(gè)零點(diǎn)，貝必的取值范圍是()

A.(—8,—2)B.(—8,—3)C.(—4,—1)D.(—3,0)

4.(2023?全國(guó)?高考真題)曲線y=總在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為()

Ae—e"e.e「e.3e

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-xH—

,4)2’44’24

5.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)=ae%—In%在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則Q的最小值為().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

6.(2022,全國(guó)?高考真題)函數(shù)/(%)=cos%+(%+l)sin%+1在區(qū)間[0,2n]的最小值、最大值分別為()

A.-B.--,-C.-+2D.--,-+2

22222222

7.(2022?全國(guó)?高考真題)已知Q=b=cos；,c=4sinJ,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.(2022?全國(guó)?高考真題)當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)/(%)=aln%+g取得最大值一2,則/'(2)=()

A.—1B.—C.-D.1

22

9.(2022?全國(guó)?高考真題)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36兀，且

3<Z<3V3,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A-[18,?]B.洋用C.洋閣D.[18,27]

10.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)a=0.1e°i,6=[,c=—ln0.9,貝!]（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、多項(xiàng)選擇題

11.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=2爐-3a/+1,則（）

A.當(dāng)a>1時(shí)，”久）有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，x=0是八支）的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/（久）的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)（1"（1））為曲線y="久）的對(duì)稱中心

12.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)“久）=（K―1）2（久—4）,則（）

A.久=3是/（x）的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，f（%）</（x2）

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，-4</（2久—1）<0D.當(dāng)一1<%<0時(shí)，/（2-x）>/（x）

13.（2023?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)人久）的定義域?yàn)镽,人盯）=必（0）+//。），則（）.

A./（0）=0B./⑴=0

C.是偶函數(shù)D.x=0為fO）的極小值點(diǎn)

14.（2023?全國(guó)?高考真題）若函數(shù)/'（久）=。111%+^+/（（1k0）既有極大值也有極小值，貝!!（）.

A.be>0B.ab>0C.b24-8ac>0D.ac<0

15.（2022?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/（%）=sin（2%+R）（0<0<n）的圖像關(guān)于點(diǎn)傳,0）中心對(duì)稱，則（）

A./（久）在區(qū)間（0,工）單調(diào)遞減

B.”久）在區(qū)間（-工，號(hào)）有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線x=r是曲線丫=/（%）的對(duì)稱軸

D.直線y=％是曲線y=f。）的切線

16.（2022?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/'（%）及其導(dǎo)函數(shù)7''（%）的定義域均為R,記g（x）=/'（X），若/"（I-2x）,

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-￡)=0C./(—l)=f(4)D.g(—l)=g(2)

17.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)=爐—%+1,則()

A./(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./(%)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=/O)的切線

三、填空題

18.(2024?全國(guó)?高考真題)曲線y=爐—3x與y=-(x-I)?+a在(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，貝!]a的取

值范圍為.

19.(2024?全國(guó)?高考真題)若曲線丫=砂+%在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線丫=m0+1)+。的切線，則。=

20.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)ae(0,1),若函數(shù)/(>)=凝+(1+a尸在(0,+8)上單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是.

21.(2022?全國(guó)?高考真題)曲線y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

22.(2022?全國(guó)?高考真題)已知x=和久=町分別是函數(shù)/'(久)=2砂—e/(。>0且(241)的極小值點(diǎn)

和極大值點(diǎn).若/<久2，則a的取值范圍是.

23.(2022?全國(guó)?高考真題)若曲線y=(x+a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范圍是.

四、解答題

24.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)=a(x-1)—Inx+1.

⑴求人切的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)aW2時(shí)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，/(%)<e^T恒成立.

25.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(久)=In六+ar+6(x-1尸

(1)若6=0,且/''(久)>0,求a的最小值；

(2)證明：曲線y=f(久)是中心對(duì)稱圖形；

(3)若f(x)>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<久<2,求6的取值范圍.

26.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/■(久)=(1一ax)ln(l+%)—x.

(1)當(dāng)。=一2時(shí)，求/(%)的極值；

(2)當(dāng)X20時(shí)，f(x)>0,求a的取值范圍.

27.(2024?天津?高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=%ln%.

(1)求/(%)圖象上點(diǎn)(1)(1))處的切線方程；

(2)若/(%)>a(x-在％e(0,+8)時(shí)恒成立，求Q的值;

1

(3)若比1，%26(0,1).證明1/01)-/(尤2)1W1的一比2艮

28.(2024?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)fO)=x+fcln(l+x)(fc豐0),直線/是曲線y=f(x)在點(diǎn)>0)

處的切線.

(1)當(dāng)k=—1時(shí)，求/'(X)的單調(diào)區(qū)間.

(2)求證：2不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0).

(3)當(dāng)卜=1時(shí)，設(shè)點(diǎn)A(t,/(t))(t>0),C(0J(t)),0(0,0),B為2與y軸的交點(diǎn)，S^co與S^BO分另U表示△四。

與aAB。的面積.是否存在點(diǎn)力使得2s=15SOBO成立？若存在，這樣的點(diǎn)4有幾個(gè)？

(參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

29.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/'(久)=e*-ax—a3.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程;

(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

30.(2024?上海?高考真題)對(duì)于一個(gè)函數(shù)/(%)和一個(gè)點(diǎn)M(a,b),令s(%)=(%-a/+(/(%)-b)2,若

P(%0，/(%0))是s(%)取到最小值的點(diǎn)，則稱P是M在/(%)的“最近點(diǎn)

⑴對(duì)于/(久)=：(久＞0),求證：對(duì)于點(diǎn)M(0,0),存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P是M在/(x)的“最近點(diǎn)”；

⑵對(duì)于/(久)=e，,M(l,0),請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)P,它是M在f(x)的“最近點(diǎn)”，且直線MP與y=f(X)在點(diǎn)P

處的切線垂直；

(3)已知y=/(幻在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)f'Q),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)處1-—

g(t)),M2(t+l,/(t)+5(t)).若對(duì)任意的teR,存在點(diǎn)P同時(shí)是如,“2在/⑺的“最近點(diǎn)”，試判斷人龍)的

單調(diào)性.

31.(2023?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/(嗎^x-x3eax+b,曲線y=/。)在點(diǎn)處的切線方程為y=-x+1.

(1)求a,b的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

32.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/'(%)=g+a)ln(l+久).

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求曲線y=/0)在點(diǎn)處的切線方程.

⑵若函數(shù)八久)在(0,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

33.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(久)=ax-翳,xe(0.71

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)+sinx<0,求a的取值范圍.

34.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)=(§+a)ln(l+%).

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(L/(D)處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說(shuō)明理由.

⑶若“X)在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

35.(2023?天津?高考真題)已知函數(shù)/'(X)=G+yinQ+l).

(1)求曲線y=/(')在％=2處的切線斜率；

(2)求證：當(dāng)X>0時(shí)，f(x)>1；

(3)證明：|<ln(n!)—(九+g)Irm+九41.

36.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)=a(e%+①一%.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

□

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(%)>21na+

37.(2023?全國(guó)?高考真題)(1)證明：當(dāng)OV%V1時(shí)，x—x2<sinx<x；

(2)已知函數(shù)/(%)=COSQX-ln(l-％2),若％=0是f(%)的極大值點(diǎn)，求Q的取值范圍.

38.(2022?天津?高考真題)已知a,bER,函數(shù)/(%)=ex—asin%,g(%)=by[x

(1)求函數(shù)y=/(%)在(0/(0))處的切線方程；

(2)若y=/(%)和y=g(%)有公共點(diǎn)，

(i)當(dāng)。=0時(shí)，求b的取值范圍；

(ii)求證：a2+62>e.

39.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)=a%-：—(a+l)ln%.

(1)當(dāng)a=0時(shí),求/(%)的最大值；

(2)若/(%)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

40.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)=一%,g(%)=第2+Q,曲線y=/(%)在點(diǎn)處的切線

也是曲線y=g(%)的切線.

⑴若無(wú)1=—1,求Q；

(2)求。的取值范圍.

41.(2022?浙江?高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=2+ln%(%>0).

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知GR,曲線y=/(%)上不同的三點(diǎn)(%3，/(%3))處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，b