圓與直線綜合（16題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

專(zhuān)題21圓與直線綜合

更盤(pán)點(diǎn)?置擊看考

目錄

題型一：點(diǎn)與圓的位置............................................................................1

題型二：圓軌跡方程及阿圓........................................................................2

題型三：兩圓位置關(guān)系............................................................................3

題型四：兩圓公共弦及公切線......................................................................4

題型五：到直線距離定值的圓上點(diǎn)..................................................................4

題型六：圓與直線：弦心距最值范圍................................................................6

題型七：圓與直線：弦心角型范圍..................................................................7

題型八：圓與直線：弦三角形面積范圍..............................................................7

題型九：折線系數(shù)不同型“將軍飲馬”..............................................................8

題型十：圓切線：切線長(zhǎng)范圍......................................................................9

題型十一：圓切線：切點(diǎn)弦方程...................................................................10

題型十二：圓切線：切點(diǎn)三角形、四邊形最值.......................................................11

題型十三：圓切線：切點(diǎn)弦求參范圍...............................................................12

題型十四：圓切線：角度范圍最值.................................................................13

題型十五：圓切線：三角型旋轉(zhuǎn)切線...............................................................14

題型十六：圓過(guò)定點(diǎn).............................................................................15

^突圍?錯(cuò);住蝗分

題型一：點(diǎn)與圓的位置

:指I點(diǎn)I迷I津

；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（%—。產(chǎn)+?一份2=/,一般方程/+y2+Ox+Ey+/=0,點(diǎn)MQo，州），則有：

（1）點(diǎn)在圓上：（X0—〃）2+（yo—Z?）2=，,xo2+yo2+￡>xo+Eyo+F=O；

（2）點(diǎn)在圓外：（XQ—4）2+（yo—。）2>d,x^+yo^+Dxo+Eyo+FX）；

22

〕（3）點(diǎn)在圓內(nèi)：（的一02+（%—力2<凡xo+yo+￡>xo+Eyo+F<O.

；容易錯(cuò)誤的點(diǎn)：

:一定要把圓配成標(biāo)準(zhǔn)形式，保證右邊是正數(shù)（半徑平方有意義）

U———————————————————————————————————————————————————————————————————————————-

1.（24-25,江西?模擬）若點(diǎn)P（-l,2）在圓C：f+y+尤+,+"2=0的外部，則機(jī)的取值可能為（）

A.5B.1C.-4D.-7

2.（24-25?河北唐山?模擬）已知圓C的方程為d+y2-2〃認(rèn)+4〃7+5〃/-3加+3=0,若點(diǎn)。,一2M）在圓外，

則加的取值范圍是（）

A.（-oo,l）L（4,+oo）B.（0,+ao）

C.（1,4）D.

3.（24-25?浙江?模擬）已知點(diǎn)尸（0,2）關(guān)于直線x-y+l=。對(duì)稱的點(diǎn)。在圓C：x2+y2+2x+m=0^,則實(shí)數(shù)

〃z的取值范圍是（）

A.m>-4B.m<lC.-4<m<lD.機(jī)<-4或機(jī)>1

4.（24-25?江蘇南京?模擬，多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知?jiǎng)訄A

U（x-2租-1）~=4?。?九片0）則下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

B.存在圓C,其所有點(diǎn)均在第一象限

C.存在定直線/,被圓C截得的弦長(zhǎng)為定值

D.所有動(dòng)圓C有兩條公切線

5.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）點(diǎn)「（1,-。）關(guān)于直線彳-丫=。的對(duì)稱點(diǎn)在圓0-2）2+（丁-4）2=13內(nèi)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

題型二：圓軌跡方程及阿圓

指I點(diǎn)I迷I津

已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA/PB=k,且K不等于1的點(diǎn)P的軌跡，是一個(gè)圓心

在A、B兩個(gè)點(diǎn)的所在直線上的圓。這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱

作阿氏圓

即PA=KPB,k不等于1,則P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，可直接設(shè)點(diǎn)推導(dǎo)

1.（24-25,江蘇鹽城,模擬）已知圓C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)W3,0）,M為線段AB的

中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)河的軌跡方程為（）

A.x2+（y-l）2=4B./+⑶一2）2=1

C.x2+（j-l）2=1D.（x-l）2+y2=l

2.（24-25?遼寧沈陽(yáng)?模擬）在VABC中，點(diǎn)項(xiàng)-2,0）,點(diǎn)C（2,0）,點(diǎn)A滿足吧=應(yīng)，則VABC面積的最

IAC|

大值為（）

A.4>/2B.872C.4A/6D.8痣

3.（24-25?湖南郴州?模擬）已知線段A3的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,4）,端點(diǎn)A在圓（x-l）?+（y-2）?=4上運(yùn)動(dòng),

則線段A3的中點(diǎn)尸的軌跡方程為（

7o

A.（x-2）2+（y-3）2=2B.(x-2)+(y-3)-=l

C.（x-3）2+（y-4）2=1D.(X-5)2+(J-5)2=2

4.（24-25?黑龍江佳木斯?模擬，多選）公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書(shū)中，曾

研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于己知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或

圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標(biāo)系中4（-2,0）,3（2,0）,滿足|R4|=21P邳的點(diǎn)P的軌跡為

C,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，「=|為半徑的圓

B.軌跡C上的點(diǎn)到直線3x-4y+5=0的最小距離為工

2

C.若點(diǎn)（x,y）在軌跡。上，則％+若y的最小值是-2

D.圓/+（>-。）2=4與軌跡C有公共點(diǎn)，則。的取值范圍是-Wlvaw地

33

Ipci

5.（24-25?重慶?模擬）已知點(diǎn)A（O,1）,B（0,-l）,C（0-2）,動(dòng)點(diǎn)尸滿足:\PA\+\PB\=10,且房r2,

則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為.

題型三：兩圓位置關(guān)系

指I點(diǎn)I迷I津

兩圓的位置關(guān)系應(yīng)考慮圓心距ICC21和兩圓的半徑之間的關(guān)系：

回兩圓外離，|C；C2\>rv+r2

團(tuán)兩圓外切，貝UlGGI=z；+u；

回兩圓相交，貝！］k-2|<］。。2|<4+弓；

回兩圓內(nèi)切,則|GC2H

團(tuán)兩圓內(nèi)含，則|GG|>h-引.

1.（24-25?江蘇揚(yáng)州?模擬）若圓M:（無(wú)一cos0）2+（y-sin。）？=1（0V。<2兀）與圓N:Y+/一2了-4y=0交于

A、B兩點(diǎn),貝han—4VB的最大值為（）

44

2R2A/5

A.D.-----------C.D.

45I3

2.（24-25?全國(guó)?模擬）已知圓Af是與直線/：x+y-4=0,圓C:無(wú),+/一16元一12y+82=0都相切的半徑最小

的圓，則圓M的半徑和圓心坐標(biāo)分別是（）

A.V2;（3,l）B.百;（4,2）C.g；（3,l）D.&;（4,2）

3.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)N在圓0:/+9=4上，點(diǎn)P（6+2cos0,2sin。），6>eR,則使得，尸MV

是面積為3c的等邊三角形的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25?江蘇常州?模擬，多選）已知直線/：ox+by=1,圓。］:X?+丁=1,圓Q+（y-Z?）~=1,eR.

則下列說(shuō)法正確的有（）

A.若圓心。2在直線/上，則直線,與圓0相切

B.若圓心。2在圓01內(nèi)，則直線/與圓。1相離

C.若直線/與圓。|相切，則圓。I與圓。2相切

D.若直線/與圓。|相交，則圓心。2在圓。|外

5.（24-25?天津?模擬）在平面直角坐標(biāo)系尤。了中，若圓G：（x-2y+（y-l）2=l上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸關(guān)于直線

x+>=0的對(duì)稱點(diǎn)。在圓C?:（x+2）2+丁=/什>o）上，則廠的取值范圍是.

題型四：兩圓公共弦及公切線

指I點(diǎn)I迷I津

公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程（%2,V項(xiàng)系數(shù)相同）相減便可得公共弦所在直線的方程.

1.（24-25?全國(guó)?模擬）已知圓q：（x-iy+y2=4與圓+y2-4x+2y+3=0交于兩點(diǎn)，貝（）

A.-jlB.2A/2C.3A/2D.472

2.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知圓G：/+y2=4,圓C轉(zhuǎn)/+尸-4尤-4y+4=0,兩圓的公共弦所

在直線方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0C.x+y+l=QD.x+y-l=0

3.（24-25?湖南?模擬）圓C|：（x+iy+（y+2）2=l與圓G：（尤一2）2+仃一2）2=4的內(nèi)公切線長(zhǎng)為（）

A.3B.5C.V26D.4

4.（24-25?重慶?開(kāi)學(xué)考試，多選）已知圓G：V+y2=l，C2：（x-3）2+（y—3）2=r2&>0）,則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.當(dāng)r=l時(shí)，圓C］與圓G有2條公切線

B.當(dāng)廠=2時(shí)，y=i是圓Ci與圓&的一條公切線

C.當(dāng)r=3時(shí)，圓C1與圓C?相交

D.當(dāng)r=4時(shí)，圓與圓C2的公共弦所在直線的方程為y=-x+g

5.（24-25?山東濰坊?模擬）梵高《星月夜》用夸張的手法描繪了充滿運(yùn)動(dòng)和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半

徑為1的圓。的一段圓弧E,且弧E所對(duì)的圓心角為1.設(shè)圓C的圓心C在點(diǎn)。與弧E中點(diǎn)的連線所在直線

上.若存在圓C滿足：弧E上存在四點(diǎn)滿足過(guò)這四點(diǎn)作圓。的切線，這四條切線與圓C也相切，則弧E上的

點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為.

題型五：到直線距離定值的圓上點(diǎn)

指I點(diǎn)I迷I津

解決圓上點(diǎn)到直線距離為定值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以以下幾個(gè)圖形來(lái)理解和計(jì)算.注意，不同的數(shù)據(jù)，圖形會(huì)

有出入，思維不變。

1.（24-25?全國(guó)?模擬）若圓C：（x-a『+（y-a）2=8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為血，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）

A.（―3,-1）c（1,3）B.（-3,3）

C.[—1,1]D.（-3,-

2.（22-23高三?安徽滁州?模擬）如果圓（x-4）2+（y-“）2=l（a>0）上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍為

A.[V2,2]B.[72,272]C.口,點(diǎn)]D.[1,2問(wèn)

3.（21-22高三?四川成都?模擬）若圓/+/一4了-4丫-10=0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線/：依+勿=0的距

離為2夜，則直線/的傾斜角的范圍是（）

71、兀、

A.r一,——

1212

4.（2023?山西?模擬預(yù)測(cè)，多選）已知圓C:x2+（y_l『=i，點(diǎn)。為直線/：履+尸2左-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，則下

列說(shuō)法正確的是（）

A.圓心C到直線/的最大距離為8

B.若直線/平分圓C的周長(zhǎng)，則左=-1__

C.若圓C上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為貝|J-16一商<:<一16+用

21515

D.若左=1,過(guò)點(diǎn)。作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為（2,3）時(shí)，-AQ8有最大值

5.（2020高三全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C與x軸的正半軸相切于點(diǎn)4圓心在直線y=2無(wú)上，若點(diǎn)A在直線

彳-'-4=。的左上方且到該直線的距離等于下，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

題型六：圓與直線：弦心距最值范圍

指I點(diǎn)I迷I津

圓的弦長(zhǎng)的求法：

（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為「，弦心距為d,弦長(zhǎng)為L(zhǎng),貝=r2-d2;

[y=kx+m

（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于W%,%）,聯(lián)立直線與圓的方程1（尤_好+（,_6）2=產(chǎn)，消去y，

得到一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程，從而可求出入+%,%％，根據(jù)弦長(zhǎng)公式朋=J?+%I-，即

可得出結(jié)果.

1.（24-25?重慶?模擬）已知點(diǎn)A、8在圓。：/+9=16上，且的中點(diǎn)M在圓C:（尤-2）2+9=1上，則

弦長(zhǎng)|AB|的最小值為（）

A.2A/3B.2近C.4后D.2y/15

2.（24-25?江蘇南京?模擬）已知圓C：（X-3）2+（J-4）2=9,直線/：mx+y-2m-3=0則直線/被圓C

截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）_

A.2sB.V10C.2A/2D.瓜

3.（24-25?江蘇常州?模擬）已知直線/1：x-ay+l=0與圓C：（無(wú)一/+（廣爐=1相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)VABC

面積最大時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1或-1B.百或一百C,或-1D.-g或一6

4.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)，多選）已知點(diǎn)M在直線/:y-4=Mx-3）上，點(diǎn)N在圓O:/+y2=9上，則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)N至I]/的最大距離為8

4

B.若/被圓。所截得的弦長(zhǎng)最大，則左=]

C.若/為圓。的切線，則左的取值為。或三

24

D.若點(diǎn)M也在圓。上，則點(diǎn)。至IJ/的距離的最大值為3

5.（24-25高三上?廣西?模擬）兩條都與V軸平行的直線之間的距離為6,它們與拋物線V=4x和圓

"+4）2+/=4分別交于點(diǎn)人，/DC,D,則|陰?|8|的最大值為.

6.（22-23高三上?江蘇泰州?期中）已知圓。：x2+/=l,定點(diǎn)4（3,0）,過(guò)A點(diǎn)的直線I與圓。相交于B、

C兩點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)均在x軸上方，如圖，若0C平分/AOB,則直線I的斜率為.

題型七：圓與直線：弦心角型范圍

指I點(diǎn)I迷I津

直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)，則與圓心所構(gòu)成的三角形，必是等腰三角形，此時(shí)，圓心到直線的垂線段是

等腰三角形底邊上的高（中線，角平分線）

1.（22-23高三?福建三明?模擬）已知圓/+>2=4與直線3x-4y+c=0相交于A,8兩點(diǎn)，若NAO8=90。（其

中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)。的值為_(kāi)

A.±5B.±50C.±10D.±10百

2.（23-24?陜西咸陽(yáng)?模擬）已知圓。是以圓V+_/=1上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，圓

C:（x+l）2+（y+2）2=5與圓。交于A,3兩點(diǎn)，則當(dāng)NACB最大時(shí)，VABC的面積為（）

A.2B.73C.72D.1

3

3.（21-22高三下?河北衡水?模擬）已知直線/：x+沖+1=0與圓。/相交于不同的兩點(diǎn)A,B,

若0AO8為銳角，則/"的取值范圍為（）

‘岳而、

丁?。〣.

—\J-M

厲］（近

rf-,+00D.________

\3'37

4.（22-23?山東煙臺(tái),期中，多選）已知直線/：xsina-ycos<z-l=。與圓0：/+,2=6相交于A,B兩點(diǎn)，

貝I（）

2

A.VA03的面積為定值B.cosZAOB=--

C.圓。上總存在3個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為2D.線段A3中點(diǎn)的軌跡方程是無(wú)2+丁=1

5.（2020?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知圓0：/+/=1,/為過(guò)點(diǎn)（0,2）的動(dòng)直線，若/與圓。相切，則直線/的傾

斜角為;若/與圓。相交于A、3兩點(diǎn)，則當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)的弦長(zhǎng)為.

題型八：圓與直線：弦三角形面積范圍

指I點(diǎn)I迷I津

直線與圓相交，交點(diǎn)與圓心所構(gòu)成的三角形最值范圍，有以下幾類(lèi):

1.圓圓心與半徑確定，直線過(guò)定點(diǎn)，但不知道傾斜角（斜率位置）

2.直線已知，圓心或者半徑未知。

1.（2019?湖南?三模）直線/：y=&+l與圓0：/+丁=4交于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)VAOB的面積最大時(shí)，弦

所對(duì)的劣弧長(zhǎng)為

2.（21-22?江蘇南京?模擬）已知直線x—y+m=0（機(jī)eR）與圓C：（尤-2『+（＞-以=4交于A,B兩點(diǎn)，C為

圓心，當(dāng)VABC的面積最大時(shí)，實(shí)數(shù)加的值為（）

A.±2B.-3或1C.0或1D.-1或3

3.（2017?廣東東莞?二模）已知過(guò)原點(diǎn)的直線4與直線4：x+3y+l=O垂直，圓C的方程為

-^2+/-2ax-2oy=l-2fl2（＜7＞0）,若直線人與圓C交于N兩點(diǎn)，則當(dāng)‘CMN的面積最大時(shí)，圓心C的

坐標(biāo)為

4.（23-24?廣東佛山?模擬，多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線/：3+'+1-3機(jī)=0恒過(guò)點(diǎn)（3,-1）

B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,1）,且在X，〉軸上截距相等的直線方程為x+y-2=0

C.已知A（2,3）,B（-U）,點(diǎn)尸在無(wú)軸上,則|4+|冏的最小值是5

D.若直線/過(guò)點(diǎn)（3,2）,且與MV軸的正半軸分別交于A8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則VAQB面積的最小

值為12

5.（2020?浙江,模擬預(yù)測(cè)）已知圓0：/+產(chǎn)=1,/為過(guò)點(diǎn)（0,2）的動(dòng)直線，若/與圓0相切，則直線/的傾

斜角為;若/與圓。相交于A、3兩點(diǎn)，則當(dāng)△Q4B的面積最大時(shí)的弦長(zhǎng)為.

題型九：折線系數(shù)不同型“將軍飲馬”

指I點(diǎn)I迷I津

1.（22-23?湖北武漢?期中）己知圓O:f+/=4上的動(dòng)點(diǎn)用和定點(diǎn)A（-1,0）,B（2,2）,則21M的最小

值為_(kāi)

A.2#B.2A/7C.472D.2M

2.（20-21?安徽?模擬）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三

巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓

是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為2（A>0,/U1）,那么點(diǎn)M

的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓。：/+產(chǎn)=1和點(diǎn)0，點(diǎn)磯4,2）,M為圓。上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJ

2w回+|兒回的最小值為（）

A.2而B(niǎo).2710

C.735D.737

3.（2021?江西贛州?模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)

期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：己知?jiǎng)?/p>

點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,2的距離之比為九（九>0,4*1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知

在平面直角坐標(biāo)系中，圓。：1+產(chǎn)=1、點(diǎn)和點(diǎn)M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則21MAi-Ml的

最大值為（）

4.（23-24高二下?吉林長(zhǎng)春?模擬，多選）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平

面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)48的距離之比為定值4（24）的點(diǎn)的軌跡是圓”后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，

稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（T1）,3（-3,9）,點(diǎn)尸是滿足人;的

阿氏圓上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)。為拋物線E：V=4x上的動(dòng)點(diǎn)，0在直線尸-1上的射影為以，尸為拋物線E的

焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.|AQ|-|Q目的最小值為2

B./的面積最大值為3+上叵

2

C.當(dāng)NPE4最大時(shí)，APF的面積為工+邁

82

D.|尸耳+3|尸引的最小值為3而’

5.（20-21?浙江嘉興?模擬）已知圓O:V+y2=i上的動(dòng)點(diǎn)”和定點(diǎn)A（_go）,則2|MA|+|M8|的

最小值為.

題型十：圓切線：切線長(zhǎng)范圍

指I點(diǎn)I迷I津

圓切線，基本方法和思維，是轉(zhuǎn)化必如下圖的對(duì)稱切線三角形。

22

1.（23-24?江蘇無(wú)錫?期中）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓￡：,+多=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是片，F(xiàn)2,

ab

離心率為4.Af,尸是橢圓E上的點(diǎn)，加耳的中點(diǎn)為N,|ON|+|NF；|=2,過(guò)戶作圓Q:x2+（y—4）2=i的一

條切線，切點(diǎn)為B,則「邳的最大值為（）

A.2.72B.276C.2#>D.5

2.（22-23?重慶沙坪壩?模擬）過(guò)〉2=公上任一點(diǎn)作（x-3）2+y2=l的切線切于P,Q兩點(diǎn)，則歸。|的最小值

為一—

A.叵B,1C.D.記

233

3.（2024?山東聊城?一模）已知P是圓+/=1外的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作圓c的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A,

B,當(dāng)PA.P3的值最小時(shí)，點(diǎn)P到圓心C的距離為（）

A.</2B.0C.72D.2

4.（23-24高二下?四川德陽(yáng),模擬，多選）直線4：m（2x-3）+2ny=0-tg/2：

〃（2尤-7）-2妝=0（狽”艮4+〃2片0）的交點(diǎn)為尸，記點(diǎn)尸的軌跡為C1,動(dòng)點(diǎn)。在曲線。2：y=e2i上,

下列選項(xiàng)正確的有（）

A.若點(diǎn)gjeG，則：=一1

B.G是面積為2兀的圓

C.過(guò)。作C1的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為6

D.有且僅有一個(gè)點(diǎn)。，使得G在。處的切線被G截得的線段長(zhǎng)為2

5.（23-24?福建泉州?模擬）已知圓。1：x2+（y-2）2=3,圓。2：（x-3）2+（y-6）2=11,過(guò)％軸上一點(diǎn)尸分

別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是N,當(dāng)|尸M|+|PN|取到最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為.

題型十一：圓切線：切點(diǎn)弦方程

"旨I點(diǎn)I迷I津

切點(diǎn)弦方程求解，可以有如下兩種思路

1.公共弦法：過(guò)圓C外一點(diǎn)作圓的切線以，網(wǎng)，則切點(diǎn)4,8與C,尸四點(diǎn)共圓，線段CP就是圓的一條直徑.兩

；圓方程相減可得公共弦所在直線方程.

；2二級(jí)結(jié)論法：（x—“尸+?一。）2=戶外一*點(diǎn)P（x（）,yo）做切線，切點(diǎn)所在直線方程（切點(diǎn)弦方程）為：（必一〃）（x

—a）+（yo—b）（y—b）=r2.

1.（23-24高三上?遼寧大連?模擬）已知圓M：f+（y_2）2=l和直線/：,二%,點(diǎn)P為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)尸作圓M的切線PAP5,切點(diǎn)為A3,當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）

A.x—y+l=0B.2x—2y—l=0

C.2x—y+1=0D.2%—2y+l=0

2.（23-24?江蘇揚(yáng)州?模擬）己知圓C:（x-l）2+（y-3）2=1,若點(diǎn)P在直線x-y-3=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作圓C

的兩條切線PAPB,切點(diǎn)分別為則直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（）

3.（22-23高三?四川涼山?模擬）已知點(diǎn)Af為直線x+y-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引圓Y+產(chǎn)=i的兩條切線,

切點(diǎn)分別為A,3,則點(diǎn)P（0,-l）到直線AB的距離的最大值為（）

,2?5「疝NA/17

2323

4.（23-24?浙江臺(tái)州,模擬，多選）己知尸（4,2）,A（4,0）,點(diǎn)。為圓O：尤?+9=4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓。的

切線，切點(diǎn)分別為"、N,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若圓C:（x—2）2+（y—3）2=l,則圓。與圓C有四條公切線

B.若劉y滿足f+y=4,貝U-44瓜+yW4

C.直線MV的方程為2x+y-1=0

D.+的最小值為加

6.（21-22?山西太原?期中）已知點(diǎn)P是直線3x-2y-6=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓V+產(chǎn)=1的切線，切點(diǎn)

分別是A,B,則直線A2恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

題型十二：圓切線：切點(diǎn)三角形'四邊形最值

指I點(diǎn)I迷I津

切點(diǎn)三角形面積，思維是依托切線三角形來(lái)轉(zhuǎn)化

:V./

4一

1.（23-24?江蘇淮安?模擬）已知拋物線y?=2px上三點(diǎn)A（2,2）,3,C,直線A&AC是圓

222

（X-2）+y=r0〈”笠的兩條切線，則VABC的面積最大值為（）

I57

A.8-72B.12

_64^n72不

99

2.（23-24?重慶北倍?模擬）如圖，已知直線/：2x+y+〃?=0與圓。：/+/=2相離，點(diǎn)尸在直線/上運(yùn)動(dòng)

且位于第一象限，過(guò)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別是加、N,直線MN與無(wú)軸、y軸分別交于R、7兩點(diǎn)，

且.ORT面積的最小值為或，則m的值為（）

C.±6D.±5

3.（22-23?浙江嘉興?模擬）已知圓O：x2+y2=2,過(guò)直線/：2x+y=5在第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸作圓。的兩

條切線，切點(diǎn)分別是A,B,直線A8與兩坐標(biāo)軸分別交于N兩點(diǎn)，則面積的最小值為（）

4.（22-23?江蘇南京?期中，多選）過(guò)原點(diǎn)的直線/與圓M：/+/+2X-2?-16=0交于A,B兩點(diǎn),且/不

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,則（）

A.弦AB長(zhǎng)的最小值為8_

B.ZkA/AB面積的最大值為40

C.圓”上一定存在4個(gè)點(diǎn)到/的距離為20

D.48兩點(diǎn)處圓的切線的交點(diǎn)位于直線x-y-16=。上

5.（21-22?四川成都?模擬）如圖，P為橢圓G：X+￡=l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作橢圓G的切線交圓C2：x2+y2=24

86

于M,N,過(guò)M,N作。2切線交于Q,則。的軌跡方程為；S”。的最大值為.

題型十三：圓切線：切點(diǎn)弦求參范圍

1.（23-24?浙江?模擬）已知圓。:%2一2%+丁2=。與直線/：丁=如+2加（m>0）,過(guò)/上任意一點(diǎn)尸向圓C引切

線，切點(diǎn)為A和5,若線段長(zhǎng)度的最小值為企,則實(shí)數(shù)加的值為（）

A2夕近rV14NA/14

7727

2.（23-24?遼寧沈陽(yáng)?期末）已知圓M：d+（y-6）2=l和橢圓C：土+;/=1,點(diǎn)尸為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

v710

點(diǎn)尸作圓M的切線Bl,PB,切點(diǎn)為A,B,則弦長(zhǎng)|AB|的范圍為（）

-4正7拒］「4指3723013A/2301「4后8收

A.B..C.2,——D.—-，^―

3.（14-15高三?云南?模擬）設(shè)直線/與拋物線y=+2相交于A1兩點(diǎn)，與圓c：/+（>一5）2=產(chǎn)（廠>0）相切

于點(diǎn)且M為線段4B中點(diǎn),若這樣的直線/恰有4條，則廠的取值范圍是

A.（1,3）B.（1,4）C.（2,3）D.（2,4）

4.（21-22?浙江湖州?模擬，多選）已知圓M:尤2+（y-2）2=l,點(diǎn)尸為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓M的兩

條切線，切點(diǎn)分別為A,B,直線A8與MP交于點(diǎn)C,則下列結(jié)論正確的是（）

A.四邊形上4A/B周長(zhǎng)的最小值為2+者

B.IABI的最大值為2

Q

C.若尸（1,0）,則三角形上4B的面積為￡

D.若。（巫,0）,貝UICQ的最大值為g

44

5.（2024?廣東梅州?一模）已知圓C:（x-4）2+y2=5,點(diǎn)尸在拋物線T：V=4x上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P引圓C的切

線，切點(diǎn)分別為A,B,則|鈿|的取值范圍為.

題型十四：圓切線：角度范圍最值

指I點(diǎn)I迷I津

和圓的切線有關(guān)的角度問(wèn)題，難度較難.圓有關(guān)的角度恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，可通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式將

角度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度問(wèn)題，尋求恒成立的臨界條件，由此構(gòu)建不等式求解出參數(shù)范圍.

1.（21-22?江蘇蘇州?模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A（0,4）,3（2,0）,若在圓

加：尤2+丁+2苫+4>+5=〃2上存在點(diǎn)P,使得為直角，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是（）

A.15B.25C.35D.45

2.（21-22高三上?北京豐臺(tái)?模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，A,3是直線x+y="上的兩點(diǎn)，且|A5|=10.若

對(duì)于任意點(diǎn)P（cose,sine）（0we<2/r）,存在A,B使NAP3=90°成立，則加的最大值為（）

A.20B.4C.4近D.8

3.（21-22?安徽合肥?模擬）阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的

性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)鼠k>0

且上Ri）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.已知圓C的圓心C在直線y=2x-4上，半徑為1.點(diǎn)

A（0,3）,若圓C上存在點(diǎn)使sinNMQ4=2sinNH4O,則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍（）

4412

A.B.OWaW-C.IWQW—D.—

335

4.（22-23?貴州黔東南?模擬，多選）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,3的距離之

比為定值彳(幾/1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為"阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(T3),3(2,3),

動(dòng)點(diǎn)尸滿足?麗?=2,記點(diǎn)尸的軌跡為圓C,又已知?jiǎng)訄A。：(x-cos6)2+(y-sine)2=1.則下列說(shuō)法正確的

是()

A.圓C的方程是(x-4)2+(y_3)2=16

B.當(dāng)。變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為/+>2=1

C.當(dāng)。=?時(shí)，過(guò)直線AO上一點(diǎn)。引圓C的兩條切線，切點(diǎn)為E,F,則NEQF的最大值為工

22

D.存在〃使得圓C與圓。內(nèi)切

5.(22-23高三下,江蘇無(wú)錫?模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C滿足：圓心在x軸上，且與圓

/+(y-2)2=l相外切.設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)為M,N,若圓心C在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在V軸正半軸上總存在定

點(diǎn)P,使得/MPN為定值，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為.

題型十五：圓切線：三角型旋轉(zhuǎn)切線

指I點(diǎn)I迷I津

圓的動(dòng)切線

(a,b)到直線系M:—a)cos6+(y-b)sin夕=1?(046,2萬(wàn))距離,每條直線的距離

A/COS20+sin20

\直線系M：(無(wú)一2兀05，+(>一1)卜111夕=/?(0(，(2%)表示圓(尤一2)2+(>—13)2=尺2的切線集合,

72元容產(chǎn)東廣州履冊(cè)一薪萱理素M-xc^e'+^nO=i,b<0<2n:豆于商面褊嬴~

(1)M中所有直線均經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)；

(2)存在定點(diǎn)尸不在河中的任意一條直線上；

(3)對(duì)于任意整數(shù)”,”23,存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上；

(4)M中的直線所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等；

其中真命題的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

2.(20-21?北京?模擬)設(shè)直線系xcos0+(y-2)sine=l(OW6W2;r),