威海市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

威海市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.633.若復(fù)數(shù)()在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在直線上,則等于()A. B. C. D.4.記等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為.若,,則()A. B. C. D.5.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.a(chǎn)c<bc D.6.已知數(shù)列中,,若對于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.7.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.28.在平面直角坐標(biāo)系中,已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)到直線的距離之和的最大值為,若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A. B. C. D.10.正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.5411.已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯(cuò)誤的是()A.該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元12.已知定義在上的奇函數(shù)滿足:(其中),且在區(qū)間上是減函數(shù),令,,,則,,的大小關(guān)系(用不等號(hào)連接)為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓.直線與圓相切,且與圓相交于,兩點(diǎn),則弦的長為_________14.若為假,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15.在中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),則__________,________.16.已知F為拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),M(﹣4,3),則△PMF周長的最小值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)對于非負(fù)整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個(gè)好集合.以下記為的元素個(gè)數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時(shí)說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.18.(12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BD⊥DC,△PCD為正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E為PC的中點(diǎn).(1)證明:AP∥平面EBD;(2)證明:BE⊥PC.19.(12分)橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),求四邊形面積的最大值.20.(12分)已知三點(diǎn)在拋物線上.(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),若直線過點(diǎn),求此時(shí)直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當(dāng),且時(shí),求面積的最小值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)P,Q分別為,的中點(diǎn).求證:(1)PQ平面;(2)平面.22.(10分)2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中,居民生活垃圾分類逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí),面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì),通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:(i)得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于則只有1次:(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)概率如下:贈(zèng)送話費(fèi)(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求X的分布列.附:,若,則,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐的體積最大,設(shè)球的半徑為,此時(shí),故,則球的表面積為,故選C.考點(diǎn):外接球表面積和椎體的體積.2、B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.3、C【解析】

由題意得,可求得,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得選項(xiàng).【詳解】由題意得,解得,所以,所以,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由,和,可求得,從而求得和,再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式,還考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定,故錯(cuò)誤;對B,因?yàn)閥=cx為增函數(shù),且a>b,所以ca>cb,正確對C,因?yàn)閥=xc為增函數(shù),故,錯(cuò)誤;對D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù),故,錯(cuò)誤故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

先根據(jù)題意,對原式進(jìn)行化簡可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于綜合性較強(qiáng)的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.7、D【解析】

由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項(xiàng)等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍,所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓,再通過此圓的圓心到直線距離,半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和,即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由,得,.設(shè)線段的中點(diǎn),則,在圓上,到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍,點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和,而圓的圓心到直線的距離為,,,..故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積,點(diǎn)到直線的距離,數(shù)列求和等知識(shí),是一道不錯(cuò)的綜合題.9、B【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為,若展開式中有常數(shù)項(xiàng),則,解得,當(dāng)r取2時(shí),n的最小值為5,故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.10、C【解析】

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,解得或(舍),,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項(xiàng)和的關(guān)系.11、D【解析】

用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項(xiàng)逐一分析,由此判斷出說法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項(xiàng)說法正確;月收益最低,B選項(xiàng)說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益,C選項(xiàng)說法正確,后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長萬元,所以D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】因?yàn)?,所以,即周期為4,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以可作一個(gè)周期[-2e,2e]示意圖,如圖在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)?,因此,選A.點(diǎn)睛:函數(shù)對稱性代數(shù)表示(1)函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)為偶函數(shù)(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱);(2)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,函數(shù)關(guān)于直線對稱,(3)函數(shù)周期為T,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用直線與圓相切求出斜率,得到直線的方程,幾何法求出【詳解】解:直線與圓相切,圓心為由,得或,當(dāng)時(shí),到直線的距離,不成立,當(dāng)時(shí),與圓相交于,兩點(diǎn),到直線的距離,故答案為.【點(diǎn)睛】考查直線與圓的位置關(guān)系,相切和相交問題,屬于中檔題.14、【解析】

由為假,可知為真,所以對任意實(shí)數(shù)恒成立,求出的最小值,令即可.【詳解】因?yàn)闉榧?,則其否定為真,即為真,所以對任意實(shí)數(shù)恒成立,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用,利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中,,,可得因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn),所以故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.16、5【解析】

△PMF的周長最小,即求最小,過做拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,轉(zhuǎn)化為求最小,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖,F(xiàn)為拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),M(﹣4,3),拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F(0,2),準(zhǔn)線方程為y=﹣2.過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,則有,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,所以△PMF的周長最小值為55.故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,,.(2);證明見解析.(3)證明見解析.【解析】

(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果;(2)設(shè),其中,由知;由可知或,分別討論兩種情況可的結(jié)果;(3)記,則,設(shè),由歸納推理可求得,從而得到,從而得到,可知存在元素滿足題意.【詳解】(1),,,.(2)設(shè),其中,則由題意:,故,即,考慮,可知:,或,若,則考慮,,,則,,但此時(shí),,不滿足題意;若,此時(shí),滿足題意,,其中為相異正整數(shù).(3)記,則,首先,,設(shè),其中,分別考慮和其他任一元素,由題意可得:也在中,而,,,對于,考慮,,其和大于,故其差,特別的,,,由,且,,以此類推:,,此時(shí),故中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.【點(diǎn)睛】本題考查集合中的新定義問題的求解,關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求,根據(jù)集合元素的要求進(jìn)行推理說明,對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求,屬于較難題.18、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OE,利用三角形中位線可得AP∥OE,從而可證AP∥平面EBD;(2)先證明BD⊥平面PCD,再證明PC⊥平面BDE,從而可證BE⊥PC.【詳解】證明:(1)連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OE因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形∴O為AC中點(diǎn),又E為PC中點(diǎn),故AP∥OE,又AP平面EBD,OE平面EBD所以AP∥平面EBD

;(2)∵△PCD為正三角形,E為PC中點(diǎn)所以PC⊥DE因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,又BD平面ABCD,BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD,故PC⊥BD又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE,所以BE⊥PC.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,線面平行一般轉(zhuǎn)化為線線平行來證明,直線與直線垂直通常利用線面垂直來進(jìn)行證明,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).19、(1)(2)最大值.【解析】

(1)根據(jù)通徑和即可求(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓,利用,用含的式子表示出,用換元,可得,最后用均值不等式求解.【詳解】解:(1)依題意有,,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.所以,.所以.令,則,所以,因,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),即四邊形面積的最大值.【點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法,是難題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】

(Ⅰ)設(shè)出直線的方程并代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理以及斜率公式,變形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐標(biāo),,再用基本不等式求得的最小值,從而可得三角形的面積的最小值.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨設(shè)的三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)在軸右側(cè)(包括軸),設(shè),,,的斜率為,又,則,①因?yàn)?,所以②由①②得,,(且)從而?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“

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