圓錐曲線中的切線與切點弦問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點28圓錐曲線中的切線與切點弦問題【六大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1求圓錐曲線的切線方程】...............................................................2

【題型2圓錐曲線的切點弦問題】...............................................................3

【題型3切點弦過定點問題】...................................................................3

【題型4與切點弦有關(guān)的面積問題】............................................................5

【題型5與切點弦有關(guān)的定值問題】............................................................6

【題型6與切點弦有關(guān)的最值(范圍)問題】....................................................7

?命題規(guī)律

1、圓錐曲線中的切線與切點弦問題

圓錐曲線是高考的重點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，切線與切點弦問題的考查頻率變高，

考查形式多種多樣，以選擇題或填空題的形式考查時，主要考查切線方程與切點弦方程，難度不大；以解

答題的形式考查時，主要考查切點弦問題和以切線為載體的面積、最值、定值等問題，難度較大；復(fù)習(xí)時

要加強此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1圓錐曲線中的切線與切點弦】

1.圓錐曲線的切線和切點弦

(1)切線方程：

過圓錐曲線/x2+G?+Dx+劭+尸=0(/、c不全為0)上的點M(xo,次)的切線的方程為

Axx0+Cyy0++尸=。

(2)切點弦方程：

當(dāng)在曲線外時，過M可引該二次曲線的兩條切線，過這兩個切點的弦所在直線的方程為：

Axx0+Cyy0++F=0

上述兩條為一般結(jié)論.特別地：

①對于橢圓/+其上有一點M(xo,yo),則過該點作切線得到的切線方程等+巖=1.

當(dāng)M在橢圓外時，過M引兩條切線得到兩個切點，則過這兩個切點的直線方程為筌+巖=1.

②更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項時，即圓錐曲線形式為/爐+5孫+。2+以+切+尸=0(3片0)時，過點

M(xo,/)Nxx3C

有對應(yīng)的一條直線為。+盯。+呼。+。二產(chǎn)+￡Z±2O+/=O；當(dāng)亂在原圓錐

曲線上時，這條直線為過M的切線；當(dāng)M在曲線外時，過M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過

這兩個切點的弦的直線.

2.圓錐曲線的切線和切點弦的相關(guān)結(jié)論

22

(1)過橢圓三+方=1上一點P(xo，y0)的切線方程為+督=1；

(2)過橢圓，+營=1外一點P(x0,yo)的切點弦方程為登+督=1；

(3)過雙曲線=—*=1上一點P(x0,yo)的切線方程為粵—翳=1；

Cluab

(4)過雙曲線U=1外一點P(Xo,yo)的切點弦方程為學(xué)一督=1.

?舉一反三

【題型1求圓錐曲線的切線方程】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)橢圓9+竽=1上點尸(1,1)處的切線方程是.

【變式1-1](2023?河南?模擬預(yù)測)若直線1與單位圓(圓心在原點)和曲線。-《=1均相切，則直線I

48

的一個方程可以是.

【變式1-2】(24-25高三上?湖南?開學(xué)考試)已知橢圓+：=l(a>b>0)過點(0,佝和(1,何

(1)求M的離心率；

(2)若直線/:y=x+爪與M有且僅有一個交點，求/的一般式方程.

?2

【變式1-3](2024高三?全國?專題練習(xí))在直角坐標(biāo)系％oy中，曲線C：y二:與直線丁二々％+a,(a>0)

4

交與MN兩點，

(1)當(dāng)k=0時，分別求。在點"和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點尸，使得當(dāng)后變動時，總有4OPM=NOPN?說明理由.

【題型2圓錐曲線的切點弦問題】

[例2](2024?福建福州?模擬預(yù)測)過M(2,—2p)引拋物線/=2py(p>0)的切線，切點分別為4B.^AB

的斜率等于2,貝加=()

A.-B.-C.1D.2

42

【變式2-1](2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測)設(shè)拋物線C：、2=6%的焦點為尸，過尸的直線交C于4,3兩點，

分別以43為切點作C的切線4，12,若人與％交于點P，且滿足|PF|=2百，貝=()

A.5B.6C.7D.8

【變式2-2](2024高三?全國?專題練習(xí))已知P(l,l)是雙曲線外一點，過P引雙曲線/-9=1的兩條切

線P4PB,48為切點，求直線的方程.

【變式2-3](24-25高三上?河南?開學(xué)考試)已知橢圓C:5+，=l(a>b〉0)的短軸長為2,點(1,?)在

橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)點7(研鹿)在橢圓C上(點7不在坐標(biāo)軸上)，證明：直線芋+ny=1與橢圓C相切；

(3)設(shè)點P在直線為=-1上(點P在橢圓C外)，過點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為4B,。為坐標(biāo)原點，

若^PAB^DAOAB的面積之和為1,求直線4B的方程.

【題型3切點弦過定點問題】

【例3】(2024?湖南?三模)已知拋物線E:/=2pK(p>0)的焦點為尸，過尸且斜率為2的直線與￡交于4

2兩點，\AB\=10.

(1)求E的方程；

(2)直線廣支=-4,過/上一點尸作E的兩條切線PM,PN,切點分別為N.求證：直線MN過定點，并求出

該定點坐標(biāo).

【變式3-1](2024高三?全國?專題練習(xí))已知橢圓。捺+/=1(。>6>0)的離心率為6=f,橢圓上的點

P與兩個焦點％、尸2構(gòu)成的三角形的最大面積為

⑴求橢圓C的方程；

(2)若點Q為直線x+y—2=0上的任意一點，過點Q作橢圓C的兩條切線QD、QE(切點分別為E),試

證明動直線DE恒過一定點，并求出該定點的坐標(biāo).

2

【變式3-2](2024高三?全國?專題練習(xí))已知拋物線C:/=2py的焦點與橢圓C':?+y2=1的上頂點重合,

4

點2是直線Lx—2y-8=0上任意一點，過點4作拋物線的兩條切線，切點分別為M、N.

(1)求拋物線C的方程.

(2)證明直線MN過定點，并且求出定點坐標(biāo).

【變式3-31(23-24高二下?內(nèi)蒙古通遼?期中)已知橢圓￡：捺+/=l(a>b>0)的長軸為雙曲線今—9=1

的實軸，且離心率為:

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

22

(2)已知橢圓a+左=l(a>b>0)在其上一點QO0,yo)處的切線方程為翳+翳=1.過直線尤=4上任意一

點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為4AM為橢圓的左頂點.

①證明：直線過定點；

②求△4BM面積的最大值.

【題型4與切點弦有關(guān)的面積問題】

【例4】(2024?江西新余?一模)過點P(2,—1)作拋物線/=4y的兩條切線，切點分別為/,B,PA,PB

分別交x軸于E,歹兩點，。為坐標(biāo)原點，則△尸跖與△048的面積之比為()

A.—B.—C.-D.-

2324

【變式4-1](2024?湖北?模擬預(yù)測)拋物線久2=2y上有四點4B,C,D,直線力C,BD交于點P,且麗=APA,

麗=2而(0<4<1).過4B分別作「的切線交于點。，若沁=；,則4=()

A.遺B—C.遺D.i

2333

【變式4-2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知橢圓的：，+2=1(a>b>0)與拋物線C2：/=2py(p>0)

有相同的焦點F(0,l),且橢圓Ci過點(1,-乎).

(1)求橢圓的與拋物線。2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓的上一點「在芯軸下方，過點P作拋物線C2的切線，切點分別為4B，求aPAB的面積的最大值.

【變式4-3](2024?貴州黔東南?二模)已知拋物線正必=2%的焦點為F,A,B,C為E上不重合的三點.

⑴若麗+麗+麗=6,求|向|+|而|+|同|的值；

(2)過4B兩點分別作E的切線4，12,4與%相交于點。，過4B兩點分別作A，%的垂線6，3b與〃相交

于點

(i)若|A8|=4,求△A8D面積的最大值；

(ii)若直線AB過點(1,0),求點M的軌跡方程.

【題型5與切點弦有關(guān)的定值問題】

【例5】(2024?河北?三模)已知橢圓C：《+，=l(a>b>0)的離心率為個，(0,a)是橢圓的短軸的一個

頂點.

⑴求橢圓C的方程.

(2)設(shè)圓。：/+丫2=42+/，過圓。上一動點P作橢圓c的兩條切線，切點分別為4B.設(shè)兩切線的斜率均

存在，分別為的，的，問：的心是否為定值？若不是，說明理由；若是，求出定值.

【變式5-1](23-24高三上?浙江?期中)已知雙曲線E：/一，=1(a>0,b>0)過點Q(3,2),且離心率

2222

為2,F2,FI為雙曲線E的上、下焦點，雙曲線E在點Q處的切線/與圓/2：x+(y-c)=10(c=Va+fa)

交于/,3兩點.

(1)求4Fp4B的面積；

(2)點P為圓?2上一動點，過P能作雙曲線E的兩條切線，設(shè)切點分別為M,N,記直線MFi和N%的斜率分別

為ki，k2>求證：的卜2為定值.

【變式5-2](2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知拋物線=2py(p>1)的焦點為F,過點P(l,-1)作拋物

線E的兩條切線，切點分別為+\FN\=5.

(1)求拋物線E的方程；

(2)過點P作兩條傾斜角互補的直線匕/2,直線匕交拋物線E于4B兩點，直線6交拋物線E于C,D兩點，連接

AD,BC,AC,BD,設(shè)力的斜率分別為%0的8，心。，問：的C^B+心。的8是否為定值？若是，求出定

值；若不是，說明理由.

【變式5-3]（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知圓C:/+y2=*有以下性質(zhì)：①過圓。上一點M（xo，y（））的圓

的切線方程是與％+%丫=「2.②若MOofo）為圓C外一點，過M作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則直

線4B的方程為x（）x+yoy=M；③若不在坐標(biāo)軸上的點M（xo，yo）為圓C外一點，過M作圓C的兩條切線，切點

分別為48,則。M垂直4B,即歐B/OM=—1，且。M平分線段48.

（1）類比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過橢圓。':《+/=19>6>0）上一點用（久0，%）的切線方程（不要求證明）；

（2）過橢圓C':5+，=1。>b〉0）外一點M（xo，y（j）作兩直線，與橢圓相切于4、B兩點,求過4B兩點的直

線方程；

（3）若過橢圓C':5+，=l（a>b>0）外一點M（右,yo）（M不在坐標(biāo)軸上）作兩直線，與橢圓相切與4,8兩點,

求證:七B?為定值，且。M平分線段A8.

【題型6與切點弦有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例6】（2024?浙江?模擬預(yù)測）記橢圓C：d+2y=1的左右焦點為Fi，4,過&的直線，交橢圓于力，B,

A,B處的切線交于點P,設(shè)AFiF2P的垂心為從貝UP"的最小值是（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

【變式6-1]（23-24高二下?福建泉州?期末）已知拋物線「：y=9好的焦點為尸，過F的直線1交「于點A,B,

4

分別在點4B處作r的兩條切線，兩條切線交于點P,則心+焉的取值范圍是（）

\PA\￡|PB|

A.（0,1]B,（0,1]C,（0,A]D.（/

【變式6-2]（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測）已知過點（0,2）的直線Z與拋物線=2py（p>0）交于4B兩點,

拋物線在點力處的切線為在B點處的切線為％，直線匕與直線％交于點M,當(dāng)直線/的傾斜角為45°時，團(tuán)8|=

4V6.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)線段48的中點為N,求樵的取值范圍.

【變式6-3](2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)已知動圓M與圓的：(x++y2=49和圓C2：(x-I)2+y2=1

都內(nèi)切，記動圓圓心M的軌跡為匚

(1)求「的方程；

(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為4/+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+尸=0,則曲線上一

Axx

點Oo,Vo)處的切線方程為：o+B(xoy+yox)+Cyoy+D(x0+久)+E(y0+y)+F=0.試運用該性質(zhì)解

決以下問題：點P為直線x=9上一點(P不在x軸上),過點P作「的兩條切線P&,PA2,切點分別為4,A2.

(i)證明：4血1PC2;

(ii)點為關(guān)于久軸的對稱點為直線不遇2交匯軸于點N，直線PC2交曲線「于G，H兩點.記△GC2N,AHC2N

的面積分別為SI，S2,求Si-S2的取值范圍.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(23-24高二下?江西鷹潭?期末)拋物線必=9乂在點(1,3)處的切線的斜率為()

33

A.-1B.--C.-D.1

22

2.(23-24高二上?湖北武漢?期中)過點(4,3g)作直線，使它與雙曲線彳一9=1只有一個公共點，這樣的

直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

3.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知直線I與橢圓r,點％分別為橢圓n,+y2=1的左右焦點，直線z,

F2N1I,垂足分別為點M,N（M,N不重合），那么“直線嗚橢圓r相切”是“|%M|?I尸2N|=1”的（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

4.（23-24高二上?江西吉安?期末）已知過圓錐曲線2+9=1上一點PQ0,y。）的切線方程為管+影=1.

過橢圓^+￡=1上的點力（3,-1）作橢圓的切線I,則過a點且與直線I垂直的直線方程為（）

124

A.x—y—3=0B.xy—2=0

C.2,x+3y—3=0D.3%—y—10—0

5.（23-24高二下?河南駐馬店?階段練習(xí)）已知拋物線C:%2=2py（p〉0）的焦點為R過點P（3,-2）作C

的兩條切線，切點為/,B,且。為C上一動點，若|QF|+|PQ|的最小值為5,則的面積為（）

A.75B.—C.-D.—

224

6.（2024?河北?模擬預(yù)測）過橢圓C：1上的點力（巧,yj,8（町,乃）分別作。的切線，若兩切線的

43

交點恰好在直線八％=4上，貝?丫2的最小值為（）

399

A.--B.--C.-9D.-

244

7.（2024?山東?模擬預(yù)測）已知拋物線C：/=4y,過直線八x+2y=4上的動點P可作C的兩條切線，記

切點為4B,則直線AB（）

A.斜率為2B.斜率為±2C.恒過點（0,-2）D.恒過點（一1,一2）

8.（2024?全國?模擬預(yù)測）拋物線后產(chǎn)=》的焦點為尸，P為其準(zhǔn)線上任意一點，過點P作E的兩條切線，切

點為4B（點4與P在拋物線同側(cè)）,則且??麗+而?麗的最小值為（）

A.1B.2C.3D.-

4

二、多選題

9.（23-24高二上?山西呂梁?期中）已知雙曲線E過點（—2,3加）且與雙曲線9一9=1共漸近線，直線［與雙

曲線E交于4B兩點，分別過點4B且與雙曲線E相切的兩條直線交于點P,則下列結(jié)論正確的是（）

A.雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是

O1O

B.若A8的中點為（1,4）,則直線，的方程為9x—16y+55=0

C.若點4的坐標(biāo)為（向,乃），則直線力P的方程為9久6-4yly+36=0

D.若點P在直線3x—4y+6=0上運動，則直線Z恒過點（3,6）

10.（23-24高三上?山西運城?期末）已知拋物線/=2py（p>0）的焦點為F,過點F的直線，與拋物線交于4、

B兩點，與其準(zhǔn)線交于點D,F為力。的中點，且|4用=6,點M是拋物線上船間不同于其頂點的任意一點，

拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點N,拋物線在4B兩點處的切線交于點7,則下列說法正確的是（）

A.拋物線焦點F的坐標(biāo)為（0,3）

B.過點N作拋物線的切線，則切點坐標(biāo)為（士最§

C.在△FMN中，若|MN|=t|MF|,tGR,貝賓的最大值為迎

D.\TF\2=\AF\■\BF\

11.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測）已知橢圓?+,=1,。為原點，過第一象限內(nèi)橢圓外一點P（&,%）作橢圓

的兩條切線，切點分別為/,B.記直線。4OB,P4PB的斜率分別為七,七#3，3，若的.后=：，則（）

A.七-七為定值B.（所+備）?（七+七）為定值

C.殉-%的最大值為2D.5殉-3yo的最小值為4

三、填空題

12.（2024高二?全國?專題練習(xí)）過點P（3,3）作雙曲線C：x2-y2=1的兩條切線，切點分別為4,8，求直

線力B的方程.

13.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)尸為圓。：/+y2=5上任意一點，過點尸作橢圓9+[=1的兩條切線，

切點分別為N,B,點O,尸到直線的距離分別為贏，d2,貝Ud「d2的