圓錐曲線綜合大題歸類（15題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

專題24圓錐曲線綜合大題歸類

更盤點(diǎn)?置擊看考

目錄

題型一：大題基礎(chǔ)：五個(gè)方程.....................................................................1

題型二：直線橫截式..............................................................................2

題型三：直線“雙變量”型過(guò)定點(diǎn)....................................................................3

題型四：面積最值范圍型.........................................................................4

題型五：面積比值范圍型.........................................................................5

題型六：定值型..................................................................................6

題型七：斜率“和”型..............................................................................7

題型八：斜率“積”型..............................................................................8

題型九：斜率“比值”型............................................................................8

題型十：斜率復(fù)合型.............................................................................10

題型十一：切線型...............................................................................10

題型十二：三角函數(shù)型轉(zhuǎn)化難題...................................................................12

題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn).........................................................13

題型十四：非對(duì)稱型.............................................................................14

題型十五：點(diǎn)代入型.............................................................................15

英突圍?檐:住蝗分

題型一：大題基礎(chǔ)：五個(gè)方程

基本模板實(shí)戰(zhàn)模板

l^設(shè)點(diǎn)，A(x1；y；),B(X2,y2)

2、方程1：設(shè)直線：y-y0=k(x-x0)--此處還有千言萬(wàn)語(yǔ)，在后邊分類細(xì)說(shuō)。

3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他(很少出現(xiàn))，注意一個(gè)計(jì)算技巧，方程要事先去分

母

4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關(guān)于x(或者y)的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立

后方程

的二次項(xiàng)能否為零--這就是實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)。

5、(1)A>0；(2)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0；一—這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須

考慮。

6、方程4、5：韋達(dá)定理

7、尋找第六個(gè)方程，第六個(gè)方程其實(shí)就是題目中最后一句話

1.(24-25高二上?廣西梧州?階段練習(xí))已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在拋物線C:y2=2px(p>0)上，Q(-2,3),點(diǎn)p到C的

準(zhǔn)線的距離為d,且d+|P0的最小值為5.

⑴求C的方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線/與C交于兩點(diǎn)，且直線QA的斜率與直線的斜率之積為求/的斜率.

2.(2022?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))己知橢圓C與雙曲線2--2丁=1有相同的焦點(diǎn)，且橢圓C過(guò)點(diǎn)尸］,|

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

(2)已知橢圓C的左焦點(diǎn)為R過(guò)尸作直線/與橢圓。交于A、5兩點(diǎn)，若弦A5中點(diǎn)在直線y=G上，求直線

O

/的方程.

3.(2024?四川南充?一模)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸(尤,丁)與定點(diǎn)尸(L0)的距離和尸到定直線/:x=2的距離的比是常數(shù)也，

2

記點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)/'(-1,。)，若曲線C上兩點(diǎn)M,N均在無(wú)軸上方，且同以〃尸W,1rM+求直線的

斜率.

4.(24-25高三上?廣東惠州?期中)已知雙曲線C:V-y2=i及直線/：y=履一1.

(D若/與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；_

⑵若/與C交于兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△Q4B的面積為萬(wàn)，求實(shí)數(shù)%的值.

題型二：直線橫截式

;指I點(diǎn)I迷I津

(1)直線AB方程為x=ty+m,聯(lián)立曲線方程，

:結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理得到只關(guān)于t、機(jī)的方程，即可求出t、機(jī)的關(guān)系，即可進(jìn)一步討論直線AB過(guò)定點(diǎn)

1的情況；

；(2)設(shè)直線時(shí)注意考慮AB斜率不存在的情況，聯(lián)立方程也要注意討論判別式.

22

1.(24-25高三上?河北邯鄲?階段練習(xí))已知雙曲線C:力-方=l(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為

A(-2,0),3(2,0),離心率為五.過(guò)點(diǎn)(4,0)的直線/與C的右支交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率

2

分別為4,%,%.(1)若左=：,求：k3.

⑵證明:《化+匕)為定值.

22

2.(2024高二上?江蘇?專題練習(xí))已知橢圓C：、+方=1(〃>6>0),若橢圓的焦距為4且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,血)，

過(guò)點(diǎn)7卜痛，。)的直線交橢圓于P,0兩點(diǎn).

(1)求橢圓方程；

(2)若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)S(s,0)使得NPST=NQST恒成立？若存在，求出s的值;

若不存在，說(shuō)明理由.

22

3.(24-25高三上?河北石家莊?階段練習(xí))已知焦距為2方的橢圓C：3+4=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為廠,

ab

右頂點(diǎn)為A,過(guò)尸作直線/與橢圓C交于8、。兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A),當(dāng)軸時(shí)，130=1.

⑴求橢圓C的方程；

(2)證明：NA4D是鈍角.

22

4.(24-25高三上?福建福州?階段練習(xí))已知橢圓C：=+1=lg>b>0)的右焦點(diǎn)尸在直線x+2y-l=0上，

ab

A,2分別為C的左、右頂點(diǎn)，且|AF|=3怛耳.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在過(guò)點(diǎn)G(-1,O)的直線/交C于M,N兩點(diǎn)，使得直線3N的斜率之和等于-1?若存在，求

出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型三：直線“雙變量”型過(guò)定點(diǎn)

:指I點(diǎn)I迷I津：

當(dāng)題中的直線既無(wú)斜率，又不過(guò)定點(diǎn)線，就要設(shè)成“雙變量”型：y=^+m,依舊得討論k是否存在

情況

當(dāng)直線既不過(guò)定點(diǎn)，也不知斜率時(shí)，設(shè)直線，就需要引入兩個(gè)變量了。

(1)設(shè)成y=kx+mo此時(shí)直線不包含斜率不存在，注意適當(dāng)?shù)膶?duì)此補(bǔ)充討論。

(2)設(shè)成x=ty+/n,此時(shí)直線不包含水平，也要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充討論。

(3)設(shè)“雙變量”時(shí)，第一種設(shè)法較多。因?yàn)橐话闱闆r下，沒(méi)有了定點(diǎn)在x軸上，那么第二種設(shè)法實(shí)

際上也沒(méi)有特別大的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。如第1題。

(4)重要！雙變量設(shè)法，在授課時(shí)，一定要講清楚以下這個(gè)規(guī)律：

一般情況下，試題中一定存在某個(gè)條件，能推導(dǎo)出倆變量之間的函數(shù)關(guān)系。這也是證明直線過(guò)定

點(diǎn)的理論根據(jù)之一。

1?(24-25高三二重關(guān)對(duì)麗營(yíng)'巨而靛萬(wàn)河鹿商F(2,0)植葡后茄苒送置'藪14而韜癡1尊「

若動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡記為曲線C.

⑴求C的方程；

(2)不過(guò)點(diǎn)下的直線與C交于橫坐標(biāo)不相等的A,B兩點(diǎn),且|AF|+怛同=6,若的垂直平分線交無(wú)軸于點(diǎn)

N,證明：N為定點(diǎn).

2.(24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知橢圓C:二+丁=1,點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn)，直線/:>=區(qū)+加

3

與橢圓C相交于"，N兩點(diǎn),

⑴若左=1,。為初V的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，口口=回，求實(shí)數(shù)，"的值；

114

⑵若直線AM,4V的斜率為七22,且勺+&=2,證明：直線政V過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).

3.(24-25高三上?江蘇南通階段練習(xí))已知橢圓C：，+/=1(。>6>0)的離心率為5，點(diǎn)4(0,1)在C上.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為8,點(diǎn)P,2是橢圓上的兩點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，若直線AP,AQ與x軸交于點(diǎn)E,歹，若5E=3尸,

求證：直線PQ恒過(guò)定點(diǎn).

4.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知川-忘,0）,點(diǎn)。在圓月：（x-夜尸+/二胎上運(yùn)動(dòng)，線段帆的垂

直平分線交線段。月于點(diǎn)尸，設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)c與X軸交于AB兩點(diǎn)G4在8點(diǎn)左側(cè)），直線/交C于M,N兩點(diǎn)（M,N均不在x軸上），設(shè)直線

k

的斜率分別為匕若含=2,證明：直線/過(guò)定點(diǎn).

題型四：面積最值范圍型

i指?點(diǎn)?迷?津

求最值求范圍，屬于前邊知識(shí)額綜合應(yīng)用，主要是以下兩點(diǎn)要注意

1.注意變量的范圍。

2.式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復(fù)習(xí)

一些常見(jiàn)的思維：

1.可以借助均值不等式求最值。

2.分式型，多可以通過(guò)構(gòu)造來(lái)求最值，如下幾種常見(jiàn)的。

分式型：以下幾種求最值的基本方法

反比例函數(shù)型:吧士可以分離常數(shù)，利用“左加右減上加下減”畫圖

（1）px+q

（2）mx+"與+c型,可以設(shè)mx+n=t,換元，簡(jiǎn)化一次項(xiàng)，然后構(gòu)造均值或者對(duì)勾函數(shù)

ax+bx+cmx+n

求解。

ax23+Zzx+c

（3）+e型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解

1.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:0暇=1（。＞0力＞0）的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)

的百倍，過(guò)C上一點(diǎn)尸作C的兩條漸近線的平行線，分別交y軸于S,T兩點(diǎn)，且|OS"OT|=4.

（1）求雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)尸的直線《與雙曲線的左、右兩支分別交于A8兩點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AS的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

歹且與4垂直的直線4交直線。。于點(diǎn)“，點(diǎn)N滿足麗=涼+癡，求四邊形航4N3面積的最小值.

2.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是圓A:無(wú)2+J/+2X+1-4/=0（。＞1）上一點(diǎn)，且

5（1,0）,線段PB的垂直平分線交線段以于點(diǎn)M,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,且曲線C與直線y=石相切.

⑴求C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)（0,4）且斜率為人的直線/與曲線C交于3E兩點(diǎn)，求AODE面積的最大值.

3.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）平面內(nèi)有一點(diǎn)用（1,0）和直線/：x=2,動(dòng)點(diǎn)尸（x,y）滿足：P到點(diǎn)F?的距

離與尸到直線/的距離的比值是變.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線E,曲線E上有A&C、。四個(gè)動(dòng)點(diǎn).

2

⑴求曲線E的方程；

⑵若A在x軸上方，2亭+9=。，求直線的斜率；

（3）若C、。都在x軸上方，耳（TO）,直線C瑪〃。片，求四邊形的面積的最大值.

22

4.（24-25高二上?重慶?階段練習(xí)）已知橢圓。$+三=1（（1>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片和尸2,焦距為

azbz

2.動(dòng)點(diǎn)在橢圓C上，當(dāng)線段峭的中垂線經(jīng)過(guò)片時(shí)，有二1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，過(guò)原點(diǎn)。作0M:（尤-尤0）2+（y-%）2=|的兩條切線，分別與橢圓C交于點(diǎn)尸和點(diǎn)。，直線。只。。

的斜率分別記為除區(qū).當(dāng)點(diǎn)、M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

①證明：心以恒為定值，并求出這個(gè)值；

②求四邊形OPMQ面積的最大值.

題型五：面積比值范圍型

1.（23-24高二下?湖南?期末）已知橢圓E：《+《=l（a〉6〉0）的離心率e=孝，且E上的點(diǎn)到點(diǎn)。（0,2）

的距離的最大值為亭.

⑴求E的方程；

（2）過(guò)。的直線/與E交于A8,記A關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)為C.

①試證直線3c恒過(guò)定點(diǎn)產(chǎn)；

②若民c在直線y=2上的投影分別為綜G,記APBB,小PBG，/CG的面積分別為st,s2,s3,求芝區(qū)的取

值范圍.

22

2.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）已知雙曲線C:鼻-/=1（4>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為乙，F(xiàn)2,

且焦距為4,左頂點(diǎn)為E,過(guò)右焦點(diǎn)尸2的動(dòng)直線/交C于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)/垂直于x軸時(shí)，|AB|=6.

⑴求C的方程；

s

（2）若動(dòng)直線/與C的左支交于點(diǎn)A,右支交于點(diǎn)8,求丁^的取值范圍.

3.（24-25高二上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）己知圓M與直線3x-J7y+4=0相切于點(diǎn)（1,近），圓心M在x軸

上.

（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/：⑵篦+l）x+（加+l）y=7租+4（/neR）與圓M交于尸，。兩點(diǎn)，當(dāng)歸0=29時(shí)，求實(shí)數(shù)加的值；

（3）過(guò)點(diǎn)M且不與x軸重合的直線與圓河相交于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0A08分別與直線x=8相

交于C,。兩點(diǎn)，記A。45Aoe。的面積為印邑，求行的最大值.

4.（23-24高三上?浙江?開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知橢圓;+/=也的左，右焦點(diǎn)分別為入F2,拋物線y2=4mx

的焦點(diǎn)為尸2，拋物線的弦48和橢圓的弦CO交于點(diǎn)F?,且ABLCD,E為C。的中點(diǎn).

（2）記A/IBE的面積為工。平碼的面積為S?,求要的最小值.

題型六：定值型

指I點(diǎn)I迷I津

求定值問(wèn)題常見(jiàn)的思路和方法技巧：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

求定值題型，運(yùn)算量大，運(yùn)算要求高，屬于中等以上難度的題

1.（2024?湖南衡陽(yáng).一模）如圖，已知點(diǎn)尸|、尸2分別是橢圓￡：3+丁=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。是負(fù)半軸上

的一點(diǎn)，|。。|=2,過(guò)點(diǎn)。的直線/與E交于點(diǎn)A與點(diǎn)反

（1）求面積的最大值；

（2）設(shè)直線總的斜率為人和直線PB的斜率為心，橢圓E上是否存在點(diǎn)尸，使得尤人為定值，若存在，求出

點(diǎn)P與值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（23-24高二下.上海金山?期末）己知橢圓7：1+丁=1（常數(shù)。22）,點(diǎn)A（a,l）,3（_a,l）,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

a

（1）求橢圓離心率的取值范圍；

（2）若尸是橢圓/上任意一點(diǎn)，OP=mOA+nOB,求m+〃的取值范圍；

（3）設(shè)M（石,％）,N（9,%）是橢圓/上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足勺時(shí)?左皿=kOA-kOB，試探究△切亞的面積是否為定值，

說(shuō)明理由.

3.（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知圓C:/+,2=16分別與x、y軸正半軸交于43兩點(diǎn)，尸為圓

C上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若線段AP上有一點(diǎn)Q,滿足愈=2切，求點(diǎn)。的軌跡方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(3,4)的直線加截圓C所得弦長(zhǎng)為2近，求直線m的方程；

⑶若尸為圓C上異于A8的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與V軸交于點(diǎn)M,直線BP與x軸交于點(diǎn)N,求證為

定值.

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知點(diǎn)小月分別為橢圓「：+y=1的左、右焦點(diǎn)，直線/：'=履+,與橢圓

r有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線月居垂足分別為點(diǎn)/、N.

(1)求證:t2=2k2+1;

(2)求證：的法?前為定值，并求出該定值;

題型七：斜率“和”型

指I點(diǎn)I迷I津

22

「+3=1(?！?〉0)

給定橢圓""'與橢圓上定點(diǎn)p(x0,y。)，過(guò)P點(diǎn)走兩條射線PA、PB,與橢圓交與A

和B兩點(diǎn)，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有

⑴、若k]+k,=t,則直線AB過(guò)定點(diǎn)(X。一2k,-yo-生*?)

tat

(2)、若1乜=3則直線A3過(guò)定點(diǎn)(當(dāng)工+x0,申蟲(chóng)+%)

id—btu—b

1.(2024?河南關(guān)B州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為P,P(x。,%)是C上一點(diǎn)且

l2

\PF\-\PF\=xl+x0,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(-8,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)①若/與C相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若/與C在第一象限內(nèi)的兩個(gè)不同交點(diǎn)為且。關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為R,證明：直線A7?,8次的傾斜

角之和為死.

2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓。：提+/=1伍>6>0)的離心率為白，過(guò)點(diǎn)尸(0,a)的直線/與

橢圓C相交于兩點(diǎn)，當(dāng)/過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，|旗|=2.

⑴求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)/斜率存在時(shí)，線段OP上是否存在定點(diǎn)2,使得直線QA與直線Q8的斜率之和為定值.若存在，求出

點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2024?山東淄博?二模）已知橢圓￡+".=1（?>&>0）的離心率為迫，且四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的菱形的面

a2b22

積為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵四邊形ABC。的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC,8。過(guò)原點(diǎn)。，設(shè)4&,%）,8（々,必），滿足尤/2=4%%.

①求證：直線和直線BC的斜率之和為定值；

②求四邊形ABCD面積的最大值.

22

4.（2024?四川宜賓?三模）已知橢圓E：匕=1的左右焦點(diǎn)分別為居，F(xiàn),,過(guò)焦點(diǎn)耳斜率為%的直線4

54

119

與橢圓E交于A，8兩點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)尸2斜率為心的直線乙與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)，且不+r=-

rV|/v2'I

（1）求直線k與4的交點(diǎn)N的軌跡M的方程；

（2）若直線。4,OB,OC,的斜率分別為七4,kOB,koc,kOD,問(wèn)在（1）的軌跡M上是否存在點(diǎn)P,

滿足七4+BB+ac+自0=0,若存在，求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

題型八：斜率“積”型

1.（2025?廣東?一模）設(shè)A8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為卜也,0）,（右,0）.直線AH相交于點(diǎn)H,且它們的斜

率之積是設(shè)點(diǎn)〃的軌跡方程為C.

⑴求C；

（2）不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線/與曲線C相交于￡、b兩點(diǎn)，且直線AE與直線AF的斜率之積是-g,求證：直線/恒

過(guò)定點(diǎn).

22

2.（2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:。珠=l（a〉0,b>0）過(guò)點(diǎn)“（2,3）,離心率為2.

⑴求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)。（T,6）的直線/交C于S,T兩點(diǎn)（異于點(diǎn)M）,證明：當(dāng)直線MS,MT的斜率均存在時(shí)，MS,

MT的斜率之積為定值.

22

3.（2024?江西九江.二模）已知雙曲線C:三-斗=1（°>0力>0）的離心率為百，點(diǎn)43,4）在C上.

cib

（1）求雙曲線C的方程；

（2）直線/與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,若直線E4,PB的斜率互為倒數(shù)，證明：直線/過(guò)定點(diǎn).

2

尸V1

4.（2024?廣東深圳.模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：1r+方=1（。>6>0）的離心率為右頂點(diǎn)。與C的上，下

頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為2月.

⑴求C的方程；

（2）不過(guò)點(diǎn)。的動(dòng)直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，直線。A與Q8的斜率之積恒為（，證明直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出

這個(gè)定點(diǎn).

題型九：斜率“比值”型

指I點(diǎn)I迷I津;

設(shè)拋物線y?=2px(p〉0),其上不同的三點(diǎn)：P(x0,y0),A(x1(yJKx2,y2)乂八戶x?

當(dāng)?shù)男甭蔾",kpB滿足：

(1)、卜"=t(tHO)時(shí)過(guò)定點(diǎn)(X?！?，殳一丫。)

2/1rDnDVt{?U

⑵、kxk=t(twO)時(shí)IAB過(guò)定點(diǎn)(x°-型,-y()),(或者—y)

rPzAi1DPBr\Dv,*Vc.?v0

t2pt

1.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A(-2,0),3(2,0),點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上運(yùn)動(dòng)，PDJLx軸，

垂足為，點(diǎn)M滿足加=與麗，點(diǎn)M的軌跡為W,過(guò)點(diǎn)的直線/交W于點(diǎn)￡F.

⑴求W的方程；

(2)若直線/的傾斜角為60。，求直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)；

(3)設(shè)直線AE,8尸的斜率分別為尤，k2,證明)為定值，并求出該定值.

2.(2024.廣東廣州.模擬預(yù)測(cè))已知在平面直角坐標(biāo)系9中，雙曲線C：)/=1伍6>0)過(guò)嚴(yán)碼

和(7,3忘)兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若S,T為雙曲線C上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，M為ST中點(diǎn)，且ST為圓G的一條非直徑的弦，記GM

斜率為a,斜率為心，證明：g為定值.

22

3.(2024?河南新鄉(xiāng).模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:「+?=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為G，B，且閨周=2,

ab

過(guò)點(diǎn)F2作兩條直線44,直線4與C交于AI兩點(diǎn)，△耳AB的周長(zhǎng)為4應(yīng).

⑴求C的方程；

(2)若的面積為:，求人的方程；

(3)若乙與C交于兩點(diǎn)，且乙的斜率是乙的斜率的2倍，求|肱的最大值.

221

4.(2024.廣西.模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:1+當(dāng)=1的離心率為:，AB,。分別為橢圓C的左，右

ab2

頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。為橢圓C上異于A,8的一動(dòng)點(diǎn)，A/MB面積的最大值為2相.

⑴求橢圓C的方程；

⑵過(guò)右焦點(diǎn)P的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，直線/:x=4交x軸于尸，過(guò)M,N分別作/的垂線，交/于S,T

兩點(diǎn)，H為I上除點(diǎn)P的任一點(diǎn).

(i)證明：S工MPN=4sAMPS,S/^NPT;

k+k

(ii)設(shè)直線HM、HN、HF的斜率分別為《、k>k3,求下工的值.

題型十：斜率復(fù)合型

22

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:^+,=1,4,4分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，耳,耳分別為橢圓C的

左、右焦點(diǎn)，斜率存在的直線/交橢圓c于尸,Q兩點(diǎn)，記直線4ap4,4Q,2A的斜率分別為?

3

(1)證明：k3K=_%,

(2)若勺+%=g(e+%),求以&加的取值范圍.

3.(2023?廣東?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)為橢圓C：1+卓=1(0>1)上的一點(diǎn)，點(diǎn)3(-2,0).

(1)求c的離心率；

(2)若直線/交C于兩點(diǎn)(M,N不與點(diǎn)8重合)，且直線8MBN,MN的斜率滿足(kBM+^w)+3=0,

證明：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

3(2024?四川南充.模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式

7(x-2)2+y2+7(X+2)2+/=6-

(1)求點(diǎn)尸的軌跡「的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)8(1,1)作兩條斜率分別為尤,右的直線4和k，分別與：T交于G。和E,廣，線段CD和EF的中點(diǎn)分別

為G,H,若3代+&)+3左他=1，證明直線GH過(guò)定點(diǎn).

4.(2024.新疆喀什?三模)已知雙曲線E：尤2-3>2=3的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,A是直線/：y=-二x

a

(其中。是實(shí)半軸長(zhǎng)，C是半焦距)上不同于原點(diǎn)0的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為K的直線AK與雙曲線E交于

N兩點(diǎn)，斜率為內(nèi)的直線入鳥(niǎo)與雙曲線E交于P，。兩點(diǎn).

11…

⑴求鼠+丁的值；

(2)若直線OM,ON,OP,OQ的斜率分別為殳M，k。N，kOP,k0Q,問(wèn)是否存在點(diǎn)A,滿足

5+^+%+乜=0,若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

題型十一：切線型

指I點(diǎn)I迷I津

在利用橢圓（雙曲線）的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線：

（1）設(shè)切線方程為>=區(qū)+帆與橢圓方程聯(lián)立，由A=0進(jìn)行求解；

22

（2）橢圓（雙曲線）0土斗=1在其上一點(diǎn)（%,%）的切線方程為丫丫、,、，，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)

ab，。丫=[

a2~b2~

證明直線等士誓=1與橢圓（雙曲線）22相切.

ab土+匕=1

a2~b2

不上=1V_3V=1）

雙曲線/b2的以（/，％）為切點(diǎn)的切線方程為a2b1

拋物線的切線：

⑴點(diǎn)戶（4,幾）是拋物線寸=2如由籃片0）上一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)尸的切線方程是：yoy=m（xo+x）；

（2）點(diǎn)戶（x。,幾）是拋物線f=2沖。"0）上一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)尸的切線方程是：xox=m（yo+y）.

1.（24-25高二上?湖南衡陽(yáng)?階段練習(xí)）已知拋物線C:/=4y,過(guò)點(diǎn)。（。,2）的直線/交拋物線于A,B兩點(diǎn),

拋物線在點(diǎn)A處的切線為4,在點(diǎn)8處的切線為4,直線4與4交于點(diǎn)

⑴設(shè)直線4，4的斜率分別為勺，h,證明：M2=-2；

（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M求學(xué)MN的取值范圍.

22

2.（24-25高二上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）已知M（2,1）為橢圓C：*■+方=1（〃>"0）上的點(diǎn)，C的焦距為.

⑴求橢圓C的方程；

⑵點(diǎn)尸為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓。：Y+>2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,求|西+方|的取值

范圍.

3.（24-25高三上?上海?開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線「爐-y=]的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B,M為雙曲線:T上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（0,2）.

（1）求點(diǎn)M到「的兩條漸近線的距離之積；

（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)0的雙曲線「的切線方程；

（3）設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，且在漸近線的上方，直線PA,P8分別與y軸交于點(diǎn)C,。.過(guò)點(diǎn)P作:T的兩條切線，

分別與y軸交于點(diǎn)E,尸（E在尸的上方），證明：I"|=|。刃.

4.（23-24高三上.重慶南岸.階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)〃到（1,0）的距離等于到直線久=-1的

距離.

（1）求M的軌跡方程；

（2）P為不在無(wú)軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作（1）中M的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為A,B；直線48與PO垂直（。為

坐標(biāo)原點(diǎn)），與x軸的交點(diǎn)為R,與尸。的交點(diǎn)為。；

（i）求證：R是一個(gè)定點(diǎn)；

（ii）求版的最小值.

題型十二：三角函數(shù)型轉(zhuǎn)化難題

指I點(diǎn)I迷I津

在一直一曲五個(gè)方程(韋達(dá)定理代入型)題型中，主要的難點(diǎn)在于怎么轉(zhuǎn)化出“第六個(gè)方程”。

1.具有明顯的可轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理特征的。屬于較容易的題。

2.隱藏較深的條件，需要用一些技巧，把條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定

理。

3.沒(méi)有固定的轉(zhuǎn)化技巧，可以在訓(xùn)練中積累相關(guān)化歸思想。

22

1.(2024?天津和平?二模)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，橢圓與+與的右焦點(diǎn)為點(diǎn)凡橢圓上

ab

Ab2H

頂點(diǎn)為點(diǎn)A,右頂點(diǎn)為點(diǎn)5,且滿足--二.

AB7

(1)求橢圓的離心率；

⑵是否存在過(guò)原點(diǎn)0的直線/,使得直線/與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C且與直線A尸交于點(diǎn)。，滿足

3A/3|FE>|=2|C￡)|sinZ￡)(95,若存在，求出直線/的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2024?山東濟(jì)南?三模)如圖所示，拋物線y2=2pxO>0)的準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)(-2,3),

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若角。為銳角，以角a為傾斜角的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)尸，且與拋物線交于A、2兩點(diǎn)，作線段的

垂直平分線/交x軸于點(diǎn)P,證明:1萬(wàn)1-1bP|cos2e為定值，并求此定值.

22

3.(2024?廣西桂林?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C：3+竟萬(wàn)=1過(guò)定點(diǎn)網(wǎng)忘,1),過(guò)點(diǎn)尸的兩條動(dòng)直線交橢圓于

4(與,%)產(chǎn)(久2/2)，直線PAP8的傾斜角互補(bǔ)，尸為橢圓C的右焦點(diǎn).

(1)設(shè)M是橢圓C的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線MN,N為垂足,

(2)在尸中，記==若直線AB的斜率為求sina-sin2的最大值.

4.（2024?廣東湛江?一模）已知尸（4,3）為雙曲線。：1-%=1（4>02>0）上一點(diǎn)，M,N分別為雙曲線C的

左、右頂點(diǎn)，且直線尸河與PN的斜率之和為2.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）不過(guò)點(diǎn)尸的直線/：>=履+，與雙曲線C交于兩點(diǎn)，若直線PAPB的傾斜角分別為a和夕，且

a+j3=^3兀,證明：直線/過(guò)定點(diǎn).

4

題型十三：韋達(dá)定理不能直接用：定比分點(diǎn)

指I點(diǎn)I迷I津

若有X]=2X2

1.利用公式（%+義）=&+2+三,可消去參數(shù)

X[X2X[X]

2.可以直接借助韋達(dá)定理反解消去兩根

定比分點(diǎn)型，即題中向量（或者線段長(zhǎng)度滿足）

可以利用公式5+乜）=石+2+2,可消去

?X]冗？X[

22

1.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：=+當(dāng)=l（a>8>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，兩焦點(diǎn)耳,耳與短

ab

軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，點(diǎn)尸虛,在橢圓c上.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)片且斜率不為。的直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，與直線x=-3交于點(diǎn)。.設(shè)通=4麗，詼=々砥,

證明：4+4為定值.

22

2.（2024.重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：=+5=1（八6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為％F2,兩焦點(diǎn)吃F2

ab

與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，點(diǎn)尸（血,當(dāng)）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，與直線了=-3交于點(diǎn)D

①設(shè)AAB心內(nèi)切圓的圓心為/,求tan/MB的最大值；

②設(shè)通=4福，防=%砒，證明：4+4為定值.

3.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A3關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱，|AB|=4,。/過(guò)點(diǎn)A,B且與直線x+2=0相

切.

⑴求圓心知的軌跡E的方程；

（2）是否存在與圓（X-4）2+丁=8相切且斜率大于。的直線滿足：與曲線E交于尸、。兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)

D,且而=2匹？若存在，求直線/的方程，若不存在，說(shuō)明理由.

2

4.（2024?貴州?三模）已知雙曲線C:Y一q=1,過(guò)點(diǎn)P（l,l）的直線/與雙曲線C相交于A8兩點(diǎn).

（1）點(diǎn)尸能否是線段A8的中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)48都在雙曲線C的右支上，直線/與x軸交于點(diǎn)。，設(shè)西=4湎，麗=求￡+7的

取值范圍.

題型十四：非對(duì)稱型

指I點(diǎn)I迷I津

平移齊次化的步驟，

（1）平移；

（2）與圓錐曲線聯(lián)立并其次化；

（3）同除/；

（4）利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明結(jié)論；如果是過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題還需要平移回去.

1.（22-23高三下?河北石家莊?階段練習(xí)）已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)