有關(guān)等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的常見壓軸題（原卷版）-2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項訓(xùn)練

專題1有關(guān)等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的常見壓軸題

1.(2021?武漢一初慧泉中學(xué)九年級月考)問題背景

(1)如圖1,已知AIDE均為等邊三角形，且點(diǎn)。在線段3c上，求證：4ABDmAACE；

嘗試應(yīng)用

(2)如圖2,已知AIBC中，AB=AC,乙B/C=120。，尸為線段2C上一點(diǎn)，以AP為邊作等邊三角形2PQ,

連接C0,M為線段C0的中點(diǎn)，連接/M,AP.求證：AP=2AM；

拓展創(chuàng)新

(3)已知AIBC中，AB=AC,NA4c=120。，G為平面內(nèi)一點(diǎn)，若乙4G2=90。，4BGC=150。，請直接寫

,AG

出擊的值?

實數(shù)根，且。、6、C分別是ZU8C中N/、BB、NC的對邊.

(1)求證：A48c直角三角形;

(2)若。=6,設(shè)點(diǎn)尸為48邊上任一點(diǎn)，PELBC于E,/為/尸的中點(diǎn)，過A作BC的平行線,

地,癡交此平行線于。.當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動的時候,求黑的值.

3.(2021?武漢市卓刀泉中學(xué)九年級月考)如圖1,點(diǎn)尸為等腰放A43C斜邊N8下側(cè)一個動點(diǎn)，連AP、BP

，且■尸5=45。，過。作CE1/P于點(diǎn)48=12.

(2)求二后的值；

(3)如圖2,當(dāng)A4PC為等腰三角形時，則其面積為.

4.(2021?重慶十八中兩江實驗中學(xué)九年級月考)已知：在A42c中，乙42c=90。，點(diǎn)。為直線BC上一點(diǎn)

,連接/。并延長，過點(diǎn)C作/C的垂線交4D的延長線于點(diǎn)瓦

(1)如圖1,若4艮4c=60°,CE=^AC,AB=1,求線段的長度；

(2)如圖2,若/C=EC,點(diǎn)尸是線段A4延長線上一點(diǎn)，連接即與8C交于點(diǎn)況且440=乙4?！昵笞C：AF

=2BH；

(3)如圖3,AB=2,2C=6,點(diǎn)〃為NE中點(diǎn)，連接CM,當(dāng)|。0力加］最大時，直接寫出△的區(qū)?的面積.

點(diǎn)尸從點(diǎn)N出發(fā)，沿NC以每秒5個單位長度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為/秒(/>0),過

點(diǎn)尸作AB的垂線交AB于點(diǎn)

(2)求EW的長，(用含有/的代數(shù)式表示)

(3)若將點(diǎn)P繞點(diǎn)"逆時針旋轉(zhuǎn)90°于點(diǎn)N.

①求瓦V的長(用含f的代數(shù)式表示)

②在點(diǎn)尸運(yùn)動的同時，作點(diǎn)2關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)Q,連結(jié)尸。.當(dāng)A/。尸為等腰三角形時，直接寫出犯勺值.

6.(2021?西安市鐵一中學(xué)九年級開學(xué)考試)如圖1.在A48C中，乙4=120。，AB=AC,點(diǎn)D、E分別在

邊AB、AC±,AD^AE,連接3E,點(diǎn)〃、N、P分別為DE、BE、5c的中點(diǎn)，連接NM、NP.

圖1圖2

(1)圖1中，線段2W、AP的數(shù)量關(guān)系是,NMVP的度數(shù)為；

(2)將A4OE繞點(diǎn)，順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置.連接MP.你認(rèn)為△7WP是什么特殊三角形，請寫出

你的猜想并證明你的結(jié)論；

(3)把A4DE繞點(diǎn)/在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，若40=3,48=5,請寫出人1"面積的最大值.

7.(2021?沙坪壩?重慶八中九年級月考)已知，在等腰直角三角形28C中，ZACB=90°,AC=BC,

點(diǎn)。在邊NC上運(yùn)動，連接AD,過C作。0//N3交AD的延長線于點(diǎn)

(1)如圖1,點(diǎn)。為/C邊上的中點(diǎn)，BD=45,求CM的長；

(2)如圖2,過點(diǎn)N作NEL3M于點(diǎn)E,交CM于點(diǎn)、F,連接。尸，求證：BD=AF+DF

(3)如圖3,過點(diǎn)N作交AD的延長線于點(diǎn)E,P為BE的中點(diǎn)，48=2右，請直接寫出CP的最小

值.

8.(2021?諸暨市開放雙語實驗學(xué)校九年級期中)(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,A4cB和△OCE均為等邊三角形，點(diǎn)4,D,E在同一直線上，連接2E.

填空：①的度數(shù)為；

②線段ND,2E之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)拓展探究

如圖2,△/(力和△DCE均為等腰直角三角形，"C2=ZDC￡=9O。，點(diǎn)4D,E在同一直線上，CM為ADC

K中DE邊上的高，連接3E,請判斷^班的度數(shù)及線段CN,AE,2E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,在正方形N3C。中，CD=6,若點(diǎn)尸滿足尸。=1，且乙8月。=90。，請直接寫出點(diǎn)4到AP的距離.

9.(2021?重慶字水中學(xué)九年級三模)如圖，在等邊“3C中，是BC邊上的高，點(diǎn)￡為線段上一點(diǎn)

,連EB、EC.

(1)如圖1,將線段班繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)至斯，使點(diǎn)尸落在A4的延長線上.

①求/CE尸的度數(shù)；

②求證：AB=AF+6AE;

(2)如圖2,若48=4,將線段防繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)過程中與邊ZC交于點(diǎn)X,當(dāng)/E=C〃時，請直接寫出

+的最小值.

10.(2021?吉林省第二實驗學(xué)校九年級月考)已知RtA48c中，z_C/8=90。，4B=4,AC=3,點(diǎn)P從點(diǎn)

3處出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿8-4-C,運(yùn)動時間為/秒，以/尸為斜邊作等腰直角三角形

尸勿，點(diǎn)0始終在點(diǎn)”的右上方，

(1)用(表示線段，尸的長.

(2)點(diǎn)。落在線段2c上時，求t的值.

(3)點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動時，點(diǎn)?是點(diǎn)/關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)4與A4C8的頂點(diǎn)所連線段平行△/C2

的一條直角邊時，求△N8C與△///重疊部分的面積S的值.

(4)點(diǎn)E是線段/C中點(diǎn)，當(dāng)直線把A1BC的面積分為2：3兩部分時，直接寫出f的值.

11.(2021?長春市第二實驗中學(xué)九年級月考)如圖，在放A42C中，ZC=9O°,BC=4cm,AC=8cm,

點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿/C方向以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，PDLAC,尸。=24,點(diǎn)歹在射線/C上，F(xiàn)P=2PA,

以尸。、尸尸為鄰邊構(gòu)造矩形PDE凡設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為，(s).

(1)AF=(用含t的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點(diǎn)3落在DE上時，求f的值.

(3)連接BRA48尸是等腰三角形時，求才的值.

（4）當(dāng)點(diǎn)E在的邊的垂直平分線上時，直接寫出/的值.

備用圖

12.（2021?南師附中樹人學(xué)校九年級月考）如圖1,若△。跖的三個頂點(diǎn)。，E,尸分別在A48C各邊上,

則稱△￡）￡尸是AIBC的內(nèi)接三角形.

（.1）如圖2,點(diǎn)。，E,尸分別是等邊三角形N8C各邊上的點(diǎn)，且AD=3￡=CR則△￡>￡尸是9臺。的內(nèi)接

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形或等邊三角形D.直角三角形

（2）如圖3,已知等邊三角形N2C,請作出A45C的邊長最小的內(nèi)接等邊三角形DEf（保留作圖痕跡，

不寫作法）

（3）問題：如圖4,A//8C是不等邊三角形，點(diǎn)。在邊上，是否存在A48C的內(nèi)接等邊三角形?！晔?？如果

存在，如何作出這個等邊三角形？

①探究1：如圖5,要使△￡>￡下是等邊三角形，只需N￡DF=60。，DE=DF.于是，我們以點(diǎn)。為角的頂點(diǎn)任

作乙￡。尸=60。，且DE■交3c于點(diǎn)E,DF如C于點(diǎn)F.

我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，位置2（如圖7）中的點(diǎn)E與點(diǎn)C重合.

在點(diǎn)￡由位置1中的位置運(yùn)動到位置2中點(diǎn)C的過程中，DE逐漸變大而。尸逐漸變小后再變大，如果存在某個

時刻正好。￡=。尸，那么這個等邊三角形尸就存在（如圖8）.理由：是等邊三角形.

②探究2：在2C上任取點(diǎn)E,作等邊三角形。斯（如圖9）,并分別作出點(diǎn)E與點(diǎn)2、點(diǎn)C重合時的等邊三角

形。8尸和DCF".連接依，F(xiàn)F",證明：FF+FF”=BC.

③探究3：請根據(jù)以上的探究解決問題：如圖10,A45c是不等邊三角形，點(diǎn)。在邊上，請作出A42c的

內(nèi)接等邊三角形。斯.（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖10

13.(2021?合肥實驗學(xué)校九年級二模)等腰直角A4O8和等腰直角△COD按如圖方式放置，4AOB=4

OD=90°,連接/C、BD,二者交于點(diǎn)P.

(1)求證：BD=AC；

(2)連接。P,若0P平分44。。，且角乙4。。=40。，求乙8。。的度數(shù);

(3)點(diǎn)M、N分別是/夙CD的中點(diǎn)，連接MV,求受MN的值.

A

14.（2021?湖南郴州?中考真題）如圖1,在等腰直角三角形48C中，/B4c=90°.點(diǎn)E,尸分別為

AB,/C的中點(diǎn)，H為線段EF上一動點(diǎn)、（不與點(diǎn)E