北師版九年級數(shù)學上冊期末復(fù)習（易錯題60題31個考點）

期末復(fù)習（易錯題60題31個考點）一．解一元二次方程-配方法（共1小題）1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1二．根的判別式（共2小題）2．已知等腰三角形的三邊長分別為a、b、4，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，則m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或363．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．三．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）4．一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根分別為x1，x2，則+＝（）A． B．1 C． D．四．由實際問題抽象出一元二次方程（共1小題）5．某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個．設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182五．配方法的應(yīng)用（共1小題）6．老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：（1）直接寫出：（x﹣1）2﹣2的最小值為．（2）求出代數(shù)式x2﹣10x+33的最小值；（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．六．反比例函數(shù)的圖象（共1小題）7．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax+b與（其中a，b是常數(shù)，ab≠0）的大致圖象是（）A． B． C． D．七．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共6小題）8．如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．39．如圖，是反比例函數(shù)y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條雙曲線于A、B兩點，若S△AOB＝3，則k2﹣k1的值是（）A．8 B．6 C．4 D．210．如圖，已知點A在反比例函數(shù)y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，點D為斜邊AC的中點，連DB并延長交y軸于點E．若△BCE的面積為8，則k＝．11．如圖，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A，C兩點，AB⊥x軸于B，CD⊥x軸于D，則四邊形ABCD的面積為．12．如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩點，過點A作AC⊥x軸，交OB于點D，垂足為C，連接OA，若△ADO的面積為1，D為OB的中點，則k的值為．13．如圖，正方形ABCD的頂點A，B分別在y軸正半軸和x軸正半軸上，過點C的反比例函數(shù)的圖象交正方形對角線BD于點E．若正方形的面積為40，且點E是BD的中點，則k的值為．八．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共2小題）14．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點P，且AC過原點O，AB∥x軸，點C的坐標為（6，3），反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A，P兩點，則k的值是（）A．4 B．3 C．2 D．115．如圖，已知點A（3，3），B（3，1），反比例函數(shù)圖象的一支與線段AB有交點，寫出一個符合條件的k的整數(shù)值：．九．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共4小題）16．如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（2，3），B（m，﹣2），則不等式ax+b的解集是（）A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞317．如圖，直線y1＝﹣x+4，y2＝x+b都與雙曲線y＝交于點A（1，m），這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接寫出當x＞0時，不等式x+b＞的解集；（3）若點P在x軸上，連接AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，求此時點P的坐標．18．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（﹣3，4），點B的坐標為（6，n）．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）連接OB，求△AOB的面積；（3）在x軸上是否存在點P，使△APC是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖，平行于y軸的直尺（一部分）與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A，C，與x軸交于點B，D，連接AC．點A，B的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD為2，OB＝2，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b．（1）請結(jié)合圖象直接寫出不等式kx+b＞的解集；（2）求直線AC的解析式；（3）平行于y軸的直線x＝n（2＜n＜4）與AC交于點E，與反比例函數(shù)圖象交于點F，當這條直線左右平移時，線段EF的長為，求n的值．一十．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）20．某杠桿裝置如圖，桿的一端吊起一桶水，阻力臂保持不變，在使杠桿平衡的情況下，小明通過改變動力臂L，測量出相應(yīng)的動力F數(shù)據(jù)如表：（動力×動力臂＝阻力×阻力臂）動力臂（L/m）…0.51.01.52.02.5…動力（F/N）…300150100a60…請根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律探求，當動力臂L長度為2.0m時，所需動力是（）A．150N B．90N C．75N D．60N一十一．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）21．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝2x+m與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C．已知點A，B的坐標分別為（1，4）和（﹣2，n）．（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式．（2）請直接寫出不等式2x+m＜的解．（3）若點E在反比例函數(shù)圖象上且∠CAE＝45°，求點E的坐標．一十二．二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）22．黃岡中學是百年名校，百年校慶上的焰火晚會令很多人記憶猶新．有一種焰火升高高度為h（m）與飛行時間t（s）的關(guān)系式是，若這種焰火在點燃升空后到最高處引爆，則從點火到引爆所需時間為s；23．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝t，兩個不同點（3，m），（t+1，n）在拋物線上．（1）若m＝n，求t的值；（2）若n＜m＜c，求t的取值范圍．一十三．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）24．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數(shù)）．其中正確結(jié)論的有（）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤25．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（x1，0），且0＜x1＜1，下列結(jié)論：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．326．如圖是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且該圖象與x軸的一個交點在點（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，并經(jīng)過點（﹣2.3，y1）與點（1.5，y2），則下列結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③y1＞y2；④對于任意實數(shù)m，都有am2+bm＜a+b．其中正確結(jié)論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4一十四．拋物線與x軸的交點（共1小題）27．如圖，拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點D，動點E在y軸上，點F在以點B為圓心，半徑為1的圓上，則DE+EF的最小值是．一十五．二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）28．某超市銷售一種商品，成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關(guān)系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為多少元？（3）設(shè)每天的總利潤為w元，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？29．某食品公司通過網(wǎng)絡(luò)平臺直播，對其代理的某品牌瓜子進行促銷，該公司每天拿出2000元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購買者．已知該瓜子的成本價格為6元/kg，每日銷售y/（kg）與銷售單價x（元/kg）滿足關(guān)系式：y＝kx+b，部分數(shù)據(jù)如表：銷售單價x（元/kg）12…10每日銷售量（kg）49004800…4000經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價不低于成本價格且不高于30元/kg．設(shè)該食品公司銷售這種瓜子的日獲利為w（元）．（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式是，x的范圍是；w與x的函數(shù)關(guān)系式是；（2）當銷售單價定為多少時，銷售這種瓜子日獲利最大？最大利潤為多少元？（3）網(wǎng)絡(luò)平臺將向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相關(guān)費用，若此時日獲利的最大值為42100元，直接寫出a的值．30．北京冬奧會的召開燃起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1：y＝﹣近似表示滑雪場地上的一座小山坡，小雅從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y＝ax2+x+c運動．（1）當小雅滑到離A處的水平距離為6米時，其滑行達到最高位置為米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡頂正上方時，與坡頂距離不低于米，請求出a的取值范圍．一十六．二次函數(shù)綜合題（共6小題）31．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點C（0，6），在y軸上有一點E（0，﹣2），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求△ADE面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由．32．拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F(xiàn)三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．33．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線解析式及B，C兩點坐標；（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；（3）該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．34．如圖1，拋物線y1＝ax2﹣3x+c的圖象與x軸的交點為A和B，與y軸交點為D（0，4），與直線y2＝﹣x+b交點為A和C，且OA＝OD．（1）求拋物線的解析式和b值；（2）在直線y2＝﹣x+b上是否存在一點P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）將拋物線y1圖象x軸上方的部分沿x軸翻折得一個“M”形狀的新圖象（如圖2），若直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個公共點，請求出此時n的取值范圍．35．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣5），連接BC．N是線段BC上方拋物線上一點，過點N作NM⊥BC于M．（1）求拋物線的解析式和點B的坐標；（2）求線段NM的最大值；（3）若點P是y軸上的一點，是否存在點P，使以B，C，P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點P的坐標，若不存在，請說明理由．36．蔬菜大棚是一種具有出色保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它的出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線的一部分AED構(gòu)成（以下簡記為“拋物線AED”），其中AB＝4m，BC＝6m，現(xiàn)取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，OE＝7m，若以O(shè)點為原點，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖①所示平面直角坐標系．請結(jié)合圖形解答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）如圖②，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，其中L，R在拋物線AED上，若FL＝NR＝0.75m，求兩個正方形裝置的間距GM的長；（3）如圖③，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，大棚截面的陰影為BK，此刻，過點K的太陽光線所在的直線與拋物線AED交于點P，求線段PK的長．一十七．菱形的性質(zhì)（共1小題）37．如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．一十八．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）38．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．一十九．矩形的性質(zhì)（共2小題）39．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，過P點作AD的垂線交AD于F點，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．740．如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向左扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下面判斷錯誤的是（）A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對角線BD的長度減小 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變二十．正方形的性質(zhì)（共3小題）41．在直線l上依次擺放著7個正方形，已知斜放置的3個的面積分別是a、b、c，正放置的4個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4的值為（）A．a(chǎn)+b+c B．a(chǎn)+c C．a(chǎn)+2b+c D．a(chǎn)﹣b+c42．正方形ABCD的對角線AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角頂點E在線段AC上，EF、EG與BC、CD邊相交于M、N．（1）如圖1，若E點與O點重合，求證：EM＝EN；（2）如圖2，若E點不與O點重合：①EM還等于EN嗎？說明理由；②試找出MC、CN、EC三者之間的等量關(guān)系，并說明理由．43．正方形ABCD的邊長為6，正方形DEFG的頂點E、F分別在正方形ABCD的對角線AC和BC邊上，BF＝2CF，連接CG．（1）求證：AE＝CG；（2）求AE2+CE2的值．二十一．垂徑定理（共1小題）44．已知⊙O的半徑是5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，則AB與CD的距離是（）A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．無法判斷二十二．垂徑定理的應(yīng)用（共1小題）45．“青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個竹筒水容器，圖2為該竹筒水容器的截面．已知截面的半徑為10cm，開口AB寬為12cm，這個水容器所能裝水的最大深度是cm．二十三．圓周角定理（共1小題）46．如圖所示，⊙O是正方形ABCD的外接圓，P是⊙O上不與A、B重合的任意一點，則∠APB等于（）A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°二十四．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）47．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，＝，AC為直徑，DE⊥BC，垂足為E．（1）求證：CD平分∠ACE；（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的長．二十五．三角形的外接圓與外心（共2小題）48．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長為1，圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣49．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圓．（1）求⊙O的半徑；（2）若在同一平面內(nèi)的⊙P也經(jīng)過B、C兩點，且PA＝2，請直接寫出⊙P的半徑的長．二十六．平行線分線段成比例（共1小題）50．如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD∥BC，BE的延長線交AD于點G，且BG∥DF，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．二十七．相似三角形的判定（共2小題）51．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：（1）當t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．52．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，動點M以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜3）．（1）當t為何值時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在某一時刻t，使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．二十八．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）53．如圖，在正方形ABCD中，點G是BC上一點，且，連接DG交對角線AC于F點，過D點作DE⊥DG交CA的延長線于點E，若AE＝3，則DF的長為（）A．2 B． C． D．54．矩形ABCD中，BC＝2AB，M為AD邊的中點，點P為對角線BD的中點，以點P為頂點作∠EPF＝90°，PE交AB邊于點E，PF交AD邊于點F．（1）如圖，則＝．（2）求證：BE﹣2MF＝AB．（3）作射線EF與射線BD交于點G，若BE：AF＝3：4，EF＝，求DG的長．二十九．位似變換（共2小題）55．如圖，在平面直角坐標系中，已知點E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣1，﹣1）．以原點O為位似中心，把△EFO擴大到原來的2倍，則點E的對應(yīng)點E'的坐標為（）A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）56．在平面直角坐標系中，△COD與△AOB位似比為，位似中心為原點O，若點C的坐標為（﹣3，﹣2），則其對應(yīng)點A的坐標是．三十．解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）57．學科綜合我們在物理學科中學過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．觀察實驗為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖2所示的實驗，即通過細管MN可以看見水底的物塊C，但不在細管MN所在直線上，圖3是實驗的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點A，C，B在同一直線上，測得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度數(shù)．（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：，，）三十一．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）58．風電項目對于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為30°的坡地新安裝了一架風力發(fā)電機，如圖1．某校實踐活動小組對該坡地上的這架風力發(fā)電機的塔桿高度進行了測量，圖2為測量示意圖．已知斜坡CD長16米，在地面點A處測得風力發(fā)電機塔桿頂端P點的仰角為45°，利用無人機在點A的正上方53米的點B處測得P點的俯角為18°，求該風力發(fā)電機塔桿PD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）59．圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識別的最遠水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別，社區(qū)及時將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）60．如圖，某校無人機興趣小組為測量教學樓的高度，在操場上展開活動．此時無人機在離地面30m的D處，操控者從A處觀測無人機D的仰角為30°，無人機D測得教學樓BC頂端點C處的俯角為37°，又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學樓BC之間的距離AB為60m，點A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此時無人機D與教學樓BC之間的水平距離BE的長度（結(jié)果保留根號）；（2）求教學樓BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

期末復(fù)習（易錯題60題31個考點）一．解一元二次方程-配方法（共1小題）1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1【答案】D【解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故選：D．二．根的判別式（共2小題）2．已知等腰三角形的三邊長分別為a、b、4，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，則m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【答案】A【解答】解：當a＝4時，b＜8，∵a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；當b＝4時，a＜8，∵a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；當a＝b時，∵a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的兩根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故選：A．3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1?（﹣3m2）＝4+12m2＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由題意得：，解得：，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3m2＝﹣3，∴m＝±1，∴m的值為±1．三．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）4．一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根分別為x1，x2，則+＝（）A． B．1 C． D．【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣1，所以+＝＝＝1．故選：B．四．由實際問題抽象出一元二次方程（共1小題）5．某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個．設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【答案】B【解答】解：依題意得五、六月份的產(chǎn)量為50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故選：B．五．配方法的應(yīng)用（共1小題）6．老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：（1）直接寫出：（x﹣1）2﹣2的最小值為﹣2．（2）求出代數(shù)式x2﹣10x+33的最小值；（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．【答案】（1）﹣2；（2）8；（3）﹣21．【解答】解：（1）當x＝1時，（x﹣1）2﹣2有最小值，是﹣2，故答案為：﹣2；（2）x2﹣10x+33＝（x﹣5）2+8，則代數(shù)式x2﹣10x+33的最小值是8；（3）∵﹣x2+7x+y+12＝0，∴y＝x2﹣7x﹣12，∴x+y＝x2﹣6x﹣12＝（x﹣3）2﹣21，∴x+y的最小值是﹣21．六．反比例函數(shù)的圖象（共1小題）7．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax+b與（其中a，b是常數(shù)，ab≠0）的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：若a＞0，b＞0，則y＝ax+b經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)y＝（ab≠0）位于一、三象限，若a＞0，b＜0，則y＝ax+b經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)y＝（ab≠0）位于二、四象限，若a＜0，b＞0，則y＝ax+b經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)y＝（ab≠0）位于二、四象限，若a＜0，b＜0，則y＝ax+b經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)y＝（ab≠0）位于一、三象限，故選：A．七．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共6小題）8．如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【答案】A【解答】解：連接正方形的對角線，由正方形的性質(zhì)知對角線交于原點O，過點A，B分別作x軸的垂線．垂足分別為C、D，點B在函數(shù)y＝上，如圖：∵四邊形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵點A在第二象限，∴n＝﹣3，故選：A．9．如圖，是反比例函數(shù)y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條雙曲線于A、B兩點，若S△AOB＝3，則k2﹣k1的值是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解答】解：由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可知，S△BOC＝S△AOC＝∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝3∴﹣＝3∴k2﹣k1＝6故選：B．10．如圖，已知點A在反比例函數(shù)y＝（x＜0）上，作Rt△ABC，點D為斜邊AC的中點，連DB并延長交y軸于點E．若△BCE的面積為8，則k＝16．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△BCE的面積為8，∴，∴BC?OE＝16，∵點D為斜邊AC的中點，∴BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，又∠EOB＝∠ABC，∴△EOB∽△ABC，∴，∴AB?OB＝BC?OE∴k＝AB?BO＝BC?OE＝16．故答案為：16．11．如圖，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A，C兩點，AB⊥x軸于B，CD⊥x軸于D，則四邊形ABCD的面積為2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知：OB＝OD，AB＝CD，∵四邊形ABCD的面積等于S△ADB+S△BDC，∵A（1，1），B（1，0），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，0）∴S△ADB＝（DO+OB）×AB＝×2×1＝1，S△BDC＝（DO+OB）×DC＝×2×1＝1，∴四邊形ABCD的面積＝2．故答案為：2．12．如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩點，過點A作AC⊥x軸，交OB于點D，垂足為C，連接OA，若△ADO的面積為1，D為OB的中點，則k的值為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過B作BE⊥x軸于E，∵AC⊥x軸于C，∴△ACO與△BEO的面積相等，∴△ADO的面積與梯形CDBE的面積相等，又∵DC∥BE，∴△OCD∽△OEB，∵D為BO的中點，∴＝，即＝，解得S△OCD＝，∴S△OEB＝1+＝，即|k|＝，解得k＝±，又∵k＜0，∴k＝﹣，故答案為：﹣．13．如圖，正方形ABCD的頂點A，B分別在y軸正半軸和x軸正半軸上，過點C的反比例函數(shù)的圖象交正方形對角線BD于點E．若正方形的面積為40，且點E是BD的中點，則k的值為16．【答案】16．【解答】解：作CG⊥x軸于G，設(shè)C（a，），又由四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABO+∠BCG＝90°．又∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠GBC．又∠AOB＝∠BGC＝90°，∴△AOB≌△BGC（AAS）．∴OB＝CG，AO＝BG．又CG＝，OG＝OB+BG＝a，∴AO＝BG＝OG﹣OB＝a﹣．∴A（0，a﹣）．∵四邊形ABCD為正方形，∴對角線AC與BD互相平分．∵E為BD的中點，∴E為AC的中點．∴E（，）．又E在反比例函數(shù)y＝，∴k＝a2．∴a2＝4k．又正方形的面積為AB2＝40，且AB2＝OA2+OB2，∴（a﹣）2+（）2＝40．∴a2﹣2k+2×＝40．∴2k+k＝40．∴k＝16．故答案為：16．八．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共2小題）14．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點P，且AC過原點O，AB∥x軸，點C的坐標為（6，3），反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A，P兩點，則k的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：∵在菱形ABCD中，對角線BD與AC互相垂直且平分，∴PA＝PC，∵AC經(jīng)過原點O，且反比例函數(shù)y＝的圖象恰好經(jīng)過A，P兩點，∴由反比例函數(shù)y＝圖象的對稱性知：OA＝OP＝AP＝CP，∴OP＝OC．過點P和點C作x軸的垂線，垂足為E和F，∴△OPE∽△OCF，∴OP：OC＝OE：OF＝PE：CF＝1：3，∵點C的坐標為（6，3），∴OF＝6，CF＝3，∴OE＝2，PE＝1，∴點P的坐標為（2，1），∴k＝2×1＝2．故選：C．15．如圖，已知點A（3，3），B（3，1），反比例函數(shù)圖象的一支與線段AB有交點，寫出一個符合條件的k的整數(shù)值：k＝4（答案不唯一）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖可知：k＞0，∵反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與線段AB有交點，且點A（3，3），B（3，1），∴把B（3，1）代入y＝得，k＝3，把A（3，3）代入y＝得，k＝3×3＝9，∴滿足條件的k值的范圍是3≤k≤9的整數(shù)，故k＝4（答案不唯一），故答案為：k＝4（答案不唯一）．九．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共4小題）16．如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（2，3），B（m，﹣2），則不等式ax+b的解集是（）A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3【答案】A【解答】解：∵A（2，3）在反比例函數(shù)上，∴k＝6．又B（m，﹣2）在反比例函數(shù)上，∴m＝﹣3．∴B（﹣3，﹣2）．結(jié)合圖象，∴當ax+b＞時，﹣3＜x＜0或x＞2．故選：A．17．如圖，直線y1＝﹣x+4，y2＝x+b都與雙曲線y＝交于點A（1，m），這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接寫出當x＞0時，不等式x+b＞的解集；（3）若點P在x軸上，連接AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，求此時點P的坐標．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入雙曲線y＝，可得k＝1×3＝3，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝；（2）∵A（1，3），∴當x＞0時，不等式x+b＞的解集為：x＞1；（3）y1＝﹣x+4，令y＝0，則x＝4，∴點B的坐標為（4，0），把A（1，3）代入y2＝x+b，可得3＝+b，∴b＝，∴y2＝x+，令y＝0，則x＝﹣3，即C（﹣3，0），∴BC＝7，∵AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，∴CP＝BC＝，或BP＝BC＝，∴OP＝3﹣＝，或OP＝4﹣＝，∴P（﹣，0）或（，0）．18．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（﹣3，4），點B的坐標為（6，n）．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）連接OB，求△AOB的面積；（3）在x軸上是否存在點P，使△APC是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）將A（﹣3，4）代入y＝，得m＝﹣3×4＝﹣12∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣；將B（6，n）代入y＝﹣，得6n＝﹣12，解得n＝﹣2，∴B（6，﹣2），將A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分別代入y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴所求的一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+2；（2）當y＝0時，﹣x+2＝0，解得：x＝3，∴C（3，0），∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOC＝×3×2＝3，∴S△AOB＝6+3＝9；（3）存在．過A點作AP1⊥x軸于P1，AP2⊥AC交x軸于P2，如圖，∴∠AP1C＝90°，∵A點坐標為（﹣3，4），∴P1點的坐標為（﹣3，0）；∵∠P2AC＝90°，∴∠P2AP1+∠P1AC＝90°，而∠AP2P1+∠P2AP1＝90°，∴∠AP2P1＝∠P1AC，∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，∴＝，即＝，∴P1P2＝，∴OP2＝3+＝，∴P2點的坐標為（﹣，0），∴滿足條件的P點坐標為（﹣3，0）、（﹣，0）．19．如圖，平行于y軸的直尺（一部分）與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A，C，與x軸交于點B，D，連接AC．點A，B的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD為2，OB＝2，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b．（1）請結(jié)合圖象直接寫出不等式kx+b＞的解集；（2）求直線AC的解析式；（3）平行于y軸的直線x＝n（2＜n＜4）與AC交于點E，與反比例函數(shù)圖象交于點F，當這條直線左右平移時，線段EF的長為，求n的值．【答案】（1）2＜x＜4；（2）y＝﹣x+；（3）或3．【解答】解：（1）根據(jù)圖象可知：不等式kx+b＞的解集為：2＜x＜4；（2）將A點坐標（2，3）代入y＝，得：m＝xy＝2×3＝6，∴y＝；又OD＝4，∴C（4，1.5），將A（2，3）和C（4，1.5）分別代入y＝kx+b，得，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+；（3）當x＝n時，點E的縱坐標為﹣n+，點F的縱坐標為，依題意，得：﹣n+﹣＝，解得n＝或n＝3．一十．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）20．某杠桿裝置如圖，桿的一端吊起一桶水，阻力臂保持不變，在使杠桿平衡的情況下，小明通過改變動力臂L，測量出相應(yīng)的動力F數(shù)據(jù)如表：（動力×動力臂＝阻力×阻力臂）動力臂（L/m）…0.51.01.52.02.5…動力（F/N）…300150100a60…請根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律探求，當動力臂L長度為2.0m時，所需動力是（）A．150N B．90N C．75N D．60N【答案】C【解答】解：由表可知動力臂與動力成反比的關(guān)系，設(shè)方程為：L＝，從表中取一個有序數(shù)對，可?。?.5，300）代入L＝，∴K＝150．∴L＝．把L＝2.0m代入上式，∴F＝75N．故選：C．一十一．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）21．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝2x+m與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C．已知點A，B的坐標分別為（1，4）和（﹣2，n）．（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式．（2）請直接寫出不等式2x+m＜的解．（3）若點E在反比例函數(shù)圖象上且∠CAE＝45°，求點E的坐標．【答案】（1）直線AB的解析式為y＝2x+2，反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）x＜﹣2或0＜x＜1；（3）E（，3）或（﹣12，﹣）．【解答】解：（1）把A（1，4）分別代入y＝2x+m和y＝得，4＝2+m，4＝，∴m＝2，k＝4，∴直線AB的解析式為y＝2x+2，反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）把（﹣2，n）代入y＝2x+2得n＝2×（﹣2）+2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），∴不等式2x+m＜的解為x＜﹣2或0＜x＜1；（3）∵直線ABy＝2x+2與x軸交于點C，∴C（﹣1，0），如圖，過點A作AM⊥x軸于點M，∴AM＝4，CM＝2，∠AMC＝90°，∴AC＝2，設(shè)點E使得∠CAE＝45°，延長AE交x軸于點F，過點F作FN⊥AC于點N，∴∠CNF＝∠AMC＝90°，∵∠ACM＝∠FCN，∴△ACM∽△FCN，∴AM：CM＝FN：CN＝2：1，即FN＝2CN，∵∠CAE＝45°，∴∠AFN＝∠CAE＝45°，∴AN＝NF＝2CN，∵AN+CN＝AC，∴2CN+CN＝2，∴CN＝，NF＝，∴CF＝CN＝，∴OF＝，即F（，0），設(shè)直線AF的解析式為：y＝k′x+b，∴，解得，∴直線AF的解析式為：y＝﹣3x+7，令＝﹣3x+7，解得x＝1（舍）或x＝，∴E（，3）；如圖，過點A作AG⊥AF與反比函數(shù)交于一點E′，∴直線AG的解析式為：y＝x+，令＝x+，解得x＝1或x＝﹣12，∴E′（﹣12，﹣）．綜上，符合題意的點E的坐標為E（，3）或（﹣12，﹣）．一十二．二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）22．黃岡中學是百年名校，百年校慶上的焰火晚會令很多人記憶猶新．有一種焰火升高高度為h（m）與飛行時間t（s）的關(guān)系式是，若這種焰火在點燃升空后到最高處引爆，則從點火到引爆所需時間為4s；【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得焰火引爆處為拋物線的頂點處，頂點處的橫坐標即代表從點火到引爆所需時間，則t＝﹣20×＝4s，故答案為4s．23．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝t，兩個不同點（3，m），（t+1，n）在拋物線上．（1）若m＝n，求t的值；（2）若n＜m＜c，求t的取值范圍．【答案】（1）t＝4．（2）＜t＜2或t＞4．【解答】解：（1）∵m＝n，∴點（3，m）與（t+1，n）關(guān)于對稱軸x＝t對稱，∴＝t，∴t＝4．（2）①如圖1，當t＜0時，當x＝3時，m＞c，不符合題意．②當t＝0時，c是最小值，不符合題意．③如圖2，當t＞0時，∵m＜c，∴3＜2t，∴t＞，∵m＞n，∴點（3，m）到對稱軸x＝t的距離要大于點（t+1，n）到對稱軸x＝t的距離，∴|3﹣t|＞1，當t＞3時，t﹣3＞1，∴t＞4，當t＜3時，3﹣t＞1，∴t＜2，綜上得，t的取值范圍為：＜t＜2或t＞4．一十三．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）24．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數(shù)）．其中正確結(jié)論的有（）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【解答】解：①∵對稱軸在y軸的右側(cè)，∴ab＜0，由圖象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正確；②當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正確；③由對稱知，當x＝2時，函數(shù)值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正確；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正確；⑤當x＝1時，y的值最大．此時，y＝a+b+c，而當x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正確．故②③⑤正確．故選：B．25．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（x1，0），且0＜x1＜1，下列結(jié)論：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（x1，0），且0＜x1＜1，∴x＝﹣3時，y＝9a﹣3b+c＞0；∵對稱軸是直線x＝﹣1，則＝﹣1，∴b＝2a．∵a＞0，∴b＞a；再取x＝1時，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0．∴①、③正確．故選：C．26．如圖是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且該圖象與x軸的一個交點在點（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，并經(jīng)過點（﹣2.3，y1）與點（1.5，y2），則下列結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③y1＞y2；④對于任意實數(shù)m，都有am2+bm＜a+b．其中正確結(jié)論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣﹣1，∴b＝2a＜0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，所以c＞0，∴abc＞0，①正確，符合題意．∵圖象與x軸的一個交點在點（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，對稱軸為直線x＝﹣1，∴圖象與x軸的另一個交點在點（1，0）和（2，0）之間，∴x＝1時，y＝a+b+c＝3a+c＞0，②正確，符合題意．∵1.5﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2.3），∴點（﹣2.3，y1）到對稱軸的距離小于點（1.5，y2）到對稱軸的距離，∴y1＞y2，③正確，符合題意．∵x＝﹣1時y＝a﹣b+c為函數(shù)最大值，∴m≠1時，﹣m≠﹣1，即am2﹣bm+c＜a﹣b+c，∴am2﹣bm＜a﹣b，存在m，當x＝m時，am2+bm≥a+b，故④錯誤，不符合題意．故選：C．一十四．拋物線與x軸的交點（共1小題）27．如圖，拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點D，動點E在y軸上，點F在以點B為圓心，半徑為1的圓上，則DE+EF的最小值是﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：對于y＝x2﹣4x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，解得x＝1或3，故點A、B、C的坐標分別為（0，3）、（1，0）、（3，0），函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣＝2，則點D（4，3），過點D作y軸的對稱點H（﹣4，3），連接BH交y軸于點E，交圓B于點F，則點E、F為所求點，理由：∵點H、D關(guān)于y軸對稱，則EH＝ED，則DE+EF＝HE+EF＝HF為最小，則DE+EF最小＝HF＝HB﹣1＝﹣1＝﹣1．故答案為：﹣1．一十五．二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）28．某超市銷售一種商品，成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關(guān)系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為多少元？（3）設(shè)每天的總利潤為w元，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（30，150）；（80，100）分別代入得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+180；（2）設(shè)利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；令﹣x2+210x﹣5400＝3600，解得x＝60或x＝150（舍），∴如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為60元；（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，∵﹣1＜0，∴當x≤105時，w隨x的增大而增大，∵30≤x≤80，∴當x＝80時，w最大，最大為5000元．∴當銷售單價定為80元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是5000元．29．某食品公司通過網(wǎng)絡(luò)平臺直播，對其代理的某品牌瓜子進行促銷，該公司每天拿出2000元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購買者．已知該瓜子的成本價格為6元/kg，每日銷售y/（kg）與銷售單價x（元/kg）滿足關(guān)系式：y＝kx+b，部分數(shù)據(jù)如表：銷售單價x（元/kg）12…10每日銷售量（kg）49004800…4000經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價不低于成本價格且不高于30元/kg．設(shè)該食品公司銷售這種瓜子的日獲利為w（元）．（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣100x+5000，x的范圍是6≤x≤30；w與x的函數(shù)關(guān)系式是w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）；（2）當銷售單價定為多少時，銷售這種瓜子日獲利最大？最大利潤為多少元？（3）網(wǎng)絡(luò)平臺將向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相關(guān)費用，若此時日獲利的最大值為42100元，直接寫出a的值．【答案】（1）y＝﹣100x+5000；6≤x≤30；w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）．（2）銷售單價定為28元時，獲利最大，為46400元；（3）a＝2．【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，當x＝1時，y＝4900，當x＝2時，y＝4800，代入y＝kx+b得，，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣100x+5000，且x＞1；由于銷售單價不低于成本價格（6元＞且不高于30元/kg，則w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）．故答案為：y＝﹣100x+5000；6≤x≤30；w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）．（2）由（1）知，w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）．∵a＝﹣100＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，有最大值，函數(shù)圖象的對稱軸為x＝﹣＝28，∵6≤x≤30，∴當x＝28時，函數(shù)w有最大值，為46400，∴銷售單價定為28元時，獲利最大，為46400元；（3）收取α元后，利潤為w＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，∵a＝﹣100＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，有最大值，又函數(shù)圖象的對稱軸為x＝﹣＝28+a，∵a＜4，∴當x＝28+a時，獲利最大值為42100元，將x＝28+a代入得，（28+a﹣6﹣a）[﹣100（28+a）+5000]﹣2000＝42100，解得a＝2或a＝86（舍），∴a＝2．30．北京冬奧會的召開燃起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1：y＝﹣近似表示滑雪場地上的一座小山坡，小雅從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y＝ax2+x+c運動．（1）當小雅滑到離A處的水平距離為6米時，其滑行達到最高位置為米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡頂正上方時，與坡頂距離不低于米，請求出a的取值范圍．【答案】（1）a＝﹣，c＝4；（2）﹣≤a＜0．【解答】解：（1）由題意可知拋物線C2：y＝ax2+x+c過點（0，4）和（6，），將其代入得：，解得，．∴a＝﹣，c＝4；（2）∵拋物線C2經(jīng)過點（0，4），∴c＝4，拋物線C1：y＝﹣＝﹣（x﹣8）2+，當x＝8時，運動員到達坡頂，即82a+8×+4＞+，解得a≥﹣，∴﹣≤a＜0．一十六．二次函數(shù)綜合題（共6小題）31．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點C（0，6），在y軸上有一點E（0，﹣2），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求△ADE面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函數(shù)的解析式為：y＝，（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y＝，過點D作DG⊥x軸于G，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖設(shè)D（m，），則點F（m，），∴DF＝﹣（）＝，∴S△ADE＝S△ADF+S△EDF＝×DF×AG+DF×EH＝×DF×（AG+EH）＝×4×DF＝2×（）＝，∴當m＝時，△ADE的面積取得最大值為．（3）y＝的對稱軸為x＝﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，當PA2＝PE2時，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此時P（﹣1，1）；當PA2＝AE2時，9+n2＝20，解得，n＝，此時點P坐標為（﹣1，）；當PE2＝AE2時，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）．綜上所述，P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．32．拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F(xiàn)三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．（2）t的值為2或；（3）點P在一條定直線y＝2x﹣2上．【解答】解：（1）當y＝0時，x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，當x＝0時，y＝﹣8，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．（2）∵F是直線x＝t與拋物線C1的交點，∴F（t，t2﹣2t﹣8）．①如圖，若△BE1D1∽△CE1F1時．則∠BCF1＝∠CBO，∴CF1∥OB．∵C（0，﹣8），∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．解得：t＝0（舍去）或t＝2．②如圖，若△BE2D2∽△F2E2C時．過F2作F2T⊥y軸于點T．∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，∴∠F2CT＝∠OBC，又∵∠CTF2＝∠BOC，∴△BCO∽△CF2T，∴，∵B（4，0），C（0，﹣8），∴OB＝4，OC＝8．∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，∴＝，∴2t2﹣3t＝0，解得：t＝0（舍去）或，綜上，符合題意的t的值為2或；（3）點P在一條定直線上．由題意知拋物線C2：y＝x2，∵直線OG的解析式為y＝2x，∴G（2，4）．∵H是OG的中點，∴H（1，2）．設(shè)M（m，m2），N（n，n2），直線MN的解析式為y＝k1x+b1．則，解得：，∴直線MN的解析式為y＝（m+n）x﹣mn．∵直線MN經(jīng)過點H（1，2），∴mn＝m+n﹣2．同理，直線GN的解析式為y＝（n+2）x﹣2n；直線MO的解析式為y＝mx．聯(lián)立，得，∵直線OM與NG相交于點P，∴n﹣m+2≠0．解得：，∵mn＝m+n﹣2，∴P（，）．設(shè)點P在直線y＝kx+b上，則，整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比較系數(shù)，得，∴k＝2，b＝﹣2．∴當k＝2，b＝﹣2時，無論m，n為何值時，等式恒成立．∴點P在定直線y＝2x﹣2上．33．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線解析式及B，C兩點坐標；（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；（3）該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4，點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0）．（2）點D的坐標為（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4），（3）E的坐標為（﹣1，）．【解答】解：（1）把點A的坐標代入解析式得b＝，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4，∴點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0）．（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①若AC為對角線，設(shè)AC的中點為F，則根據(jù)中點坐標公式可得F的坐標為（﹣，2），設(shè)點D的坐標為（a，b），則有，解得a＝﹣4，b＝4，此時點D的坐標為（﹣4，4），②若以AB為對角線，設(shè)AB的中點為F，則F的坐標為（﹣1，0），設(shè)點D的坐標為（a，b），則有，解得a＝﹣2，b＝﹣4，此時點D的坐標為（﹣2，﹣4），③若以BC為對角線，設(shè)BC的中點為F，則點F的坐標為（，2），設(shè)點D的坐標為（a，b），則有，解得a＝4，b＝4，此時點D的坐標為（4，4），綜上所述，點D的坐標為（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；（3）存在，理由如下：∵tan∠ACO＝＝＜1，∴∠ACO＜45°，∴E不可能出現(xiàn)在直線AC下方，也不可能在直線AC上，當點E在直線AC上方時，∠ACE＝45°，過點E作EM⊥AC，如圖：根據(jù)點A（﹣3，0）和點C（0，4）可得直線AC的解析式為y＝，設(shè)直線AC與對稱軸交于點H，∴點H（﹣1，），HC＝，∵EH∥y軸，∴∠EHM＝∠HCO，∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝＝，∴EM＝HM，∵∠ACE＝45°，∴EM＝CM，∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM，解得HM＝，∴EM＝，在Rt△EMH中，EH＝，解得EH＝，∴E的縱坐標為＝，∴點E的坐標為（﹣1，）．34．如圖1，拋物線y1＝ax2﹣3x+c的圖象與x軸的交點為A和B，與y軸交點為D（0，4），與直線y2＝﹣x+b交點為A和C，且OA＝OD．（1）求拋物線的解析式和b值；（2）在直線y2＝﹣x+b上是否存在一點P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）將拋物線y1圖象x軸上方的部分沿x軸翻折得一個“M”形狀的新圖象（如圖2），若直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個公共點，請求出此時n的取值范圍．【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4；（2）在直線y2＝﹣x﹣4上存在點P使得△ABP是等腰直角三角形，點P的坐標為（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）﹣8＜n＜﹣4．【解答】解：（1）∵D（0，4），∴OD＝4，∵OA＝OD，點A在x的負半軸上，∴A（﹣4，0），把A（﹣4，0），D（0，4）分別代入y1＝ax2﹣3x+c，得，解得：，∴該拋物線的解析式為y1＝﹣x2﹣3x+4，把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0，解得：b＝﹣4；（2）存在．在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），如圖1，設(shè)直線y2＝﹣x﹣4與y軸交于點G，則G（0，﹣4），∴OG＝4，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∴OA＝OG，∴△AOG是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，當∠APB＝90°時，如圖1，過點P作PH⊥x軸于點H，∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°，∴∠ABP＝45°＝∠BAP，∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH＝BH，即H是AB的中點，∴H（﹣，0），∴點P的橫坐標為﹣，當x＝﹣時，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣，∴P1（﹣，﹣）；當∠ABP＝90°時，則∠APB＝∠BAP＝45°，∴BP＝AB＝5，∴P2（1，﹣5）；綜上所述，在直線y2＝﹣x﹣4上存在點P使得△ABP是等腰直角三角形，點P的坐標為（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴拋物線y1＝﹣x2﹣3x+4的頂點為（﹣，），沿x軸翻折后的解析式為y＝（x+）2﹣，把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0，解得：n＝﹣4，聯(lián)立拋物線y＝（x+）2﹣與直線y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n，整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0，當Δ＝16+4（n+4）＝0時，n＝﹣8，∴當直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個公共點時，﹣8＜n＜﹣4．35．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣5），連接BC．N是線段BC上方拋物線上一點，過點N作NM⊥BC于M．（1）求拋物線的解析式和點B的坐標；（2）求線段NM的最大值；（3）若點P是y軸上的一點，是否存在點P，使以B，C，P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣6x﹣5，B（﹣5，0）；（2）NM的最大值為．（3）以B，C，P為頂點的三角形與△ABC相似，點P（0，﹣1），（0，）．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），C（0，﹣5）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣6x﹣5，令﹣x2﹣6x﹣5＝0，解得，x1＝﹣5，x2＝﹣1，∴B（﹣5，0）；（2）如圖，過點N作NG⊥x軸與BC交于點G，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，把B（﹣5，0），C（0，﹣5）分別代入得：，解得，，∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣5，∴NG＝（﹣x2﹣6x﹣5）﹣（﹣x﹣5）＝﹣x2﹣5x，∴當x＝﹣＝﹣時，NG有最大值為，又∵MN＝NG，∴NM的最大值為．（3）存在，以B，C，P為頂點的三角形與△ABC相似，此時點P（0，﹣1），（0，）；理由如下：∵C（0，﹣5），∴OC＝5，∵A（﹣1，0），B（﹣5，0），∴OB＝5，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BAC＜135°，即點P只能在點C上方的y軸上，∴∠PCB＝∠ABC＝45°，設(shè)P（0，a），則a＞﹣5，∴AB＝4，BC＝5，CP＝a+5，∵以點B，C，P為頂點的三角形與△ABC相似，∴①△PCB∽△ABC，∴PC：AB＝BC：BC＝1，即（5+a）：4＝1，解得a＝﹣1，∴P（0，﹣1）；②△BCP∽△ABC，∴BC：AB＝PC：BC，即5：4＝（5+a）：5，解得a＝，∴P（0，）．綜上，以B，C，P為頂點的三角形與△ABC相似，此時P（0，﹣1），（0，）．36．蔬菜大棚是一種具有出色保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它的出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線的一部分AED構(gòu)成（以下簡記為“拋物線AED”），其中AB＝4m，BC＝6m，現(xiàn)取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，OE＝7m，若以O(shè)點為原點，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖①所示平面直角坐標系．請結(jié)合圖形解答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）如圖②，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，其中L，R在拋物線AED上，若FL＝NR＝0.75m，求兩個正方形裝置的間距GM的長；（3）如圖③，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，大棚截面的陰影為BK，此刻，過點K的太陽光線所在的直線與拋物線AED交于點P，求線段PK的長．【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝﹣x2+7；（2）3﹣）m；（3）PK＝m．【解答】解：（1）由題意可知四邊形ABCD為矩形，OE為BC的中垂線，∴AD＝BC＝6m，則OB＝3m，∵AB＝4m，OE＝7m，∴A（﹣3，4），D（3，4），E（0，7），設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+7；（2）∵四邊形LFGT，四邊形SMNR均為正方形，F(xiàn)L＝NR＝0.75m，∴MN＝FG＝FL＝NR＝0.75m，延長LF交BC于點H，延長RN交BC于點J，則四邊形FHJN，四邊形ABFH均為矩形，∴FH＝AB＝4m，F(xiàn)N＝HL，∴HL＝HF+FL＝4.75m，∵y＝﹣x2+7，當y＝4.75時，4.75＝﹣x2+7，解得x＝±，∴H（﹣，0），J（，0），∴FN＝HJ＝3m，∴GM＝FN﹣FG﹣MN＝（3﹣）m；（3）∵BC＝6m，OE垂直平分BC，∴OB＝OC＝3m，∴B（﹣3，0），C（3，0），∵A（﹣3，4），∴直線AC的解析式為：y＝﹣x+2，∵太陽光為平行光，設(shè)過點K平行于AC的光線的解析式為：y＝﹣x+t，由題意可得，y＝﹣x+t與拋物線相切，令﹣x+t＝﹣x2+7，整理得，x2﹣2x+3t﹣21＝0，則Δ＝（﹣2）2﹣4（3t﹣21）＝0，解得t＝；∴y＝﹣x+，x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，∴P（1，），當y＝0時，x＝11，即K（11，0），∴PK＝＝m．一十七．菱形的性質(zhì)（共1小題）37．如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC＝120°，則MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．【答案】D【解答】解：如圖，過點M作ME⊥AB于點E，連接BD交AC于O，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等邊三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，點M運動到DE上，且DE⊥射線AB時，DE取得最小值，此時DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長為6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故選：D．一十八．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）38．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．【答案】（1）證明過程見解答；（2）AC的長為10．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBF是菱形；（2）解：∵四邊形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，∵點D是BC的中點，∴△ABC的面積＝2△ABD的面積，∴菱形ADBF的面積＝△ABC的面積＝40，∴AB?AC＝40，∴×8?AC＝40，∴AC＝10，∴AC的長為10．一十九．矩形的性質(zhì)（共2小題）39．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，過P點作AD的垂線交AD于F點，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．7【答案】B【解答】解：如圖，連接AP、EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四邊形AEPF為矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵點P從B點沿著BD往D點移動，∴當AP⊥BD時，AP取最小值．下面求此時AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝＝10．∵S△ABD＝＝，∴AP＝＝＝．∴EF的長度最小為：．故本題選B．40．如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向左扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下面判斷錯誤的是（）A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對角線BD的長度減小 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變【答案】C【解答】解：向左扭動矩形框架ABCD，只改變四邊形的形狀，四邊形變成平行四邊形，A不符合題意；此時對角線BD減小，對角線AC增大，B不合題意．BC邊上的高減小，故面積變小，C符合題意，四邊形的四條邊不變，故周長不變，D不符合題意．故選：C．二十．正方形的性質(zhì)（共3小題）41．在直線l上依次擺放著7個正方形，已知斜放