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文檔簡介

云南省麗江市2025屆高考仿真卷數(shù)學試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個根,,且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.設i為虛數(shù)單位,若復數(shù),則復數(shù)z等于()A. B. C. D.03.在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點的坐標為()A. B. C. D.4.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域為的是()A. B. C. D.5.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點,已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于()A. B.1 C. D.6.一個盒子里有4個分別標有號碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個,記下它的標號后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標號最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種7.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)8.已知函數(shù)在上有兩個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.10.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上,它的底面邊長為,側(cè)棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值為()A. B.C. D.12.設全集,集合,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.,則f(f(2))的值為____________.14.已知數(shù)列滿足,則________.15.雙曲線的左右頂點為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點的任一點,連接交圓于點,設直線的斜率分別為,若,則_____.16.等邊的邊長為2,則在方向上的投影為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程,某地的民調(diào)機構(gòu)隨機選取了該地的100名市民進行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機選取3人進行座談,用表示年齡在)內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當最大時,求的值.18.(12分)如圖,在直角中,,通過以直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)得到().點為斜邊上一點.點為線段上一點,且.(1)證明:平面;(2)當直線與平面所成的角取最大值時,求二面角的正弦值.19.(12分)為響應“堅定文化自信,建設文化強國”,提升全民文化修養(yǎng),引領(lǐng)學生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”,某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中,在某高中學校隨機抽取了120名學生做調(diào)查,統(tǒng)計結(jié)果顯示:樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系?男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計(2)為做好文化建設引領(lǐng),實驗組把該校作為試點,和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經(jīng)從所調(diào)查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表,這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會,記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數(shù),求5的分布列及數(shù)學期望附表及公式:.20.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時,證明:對;(2)若函數(shù)在上存在極值,求實數(shù)的取值范圍。21.(12分)已知x∈R,設,,記函數(shù).(1)求函數(shù)取最小值時x的取值范圍;(2)設△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,求△ABC的面積S的最大值.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論fx(2)當x≥-1時,fx+a

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡,構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)復數(shù)除法的運算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)運算,屬于基礎題.3、C【解析】

利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復數(shù)i(2+i)=2i﹣1對應的點的坐標為(﹣1,2),故選:C【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.4、B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域為,正確;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域為,錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎題.5、D【解析】

建立平面直角坐標系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系,如圖所示,∵,,,∴,設拋物線,代入點,可得∴焦點為,即焦點為中點,設焦點為,,,∴.故選:D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點間的距離等基礎知識;考查運算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應用意識.6、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應用,屬于基礎題.7、D【解析】

由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因為函數(shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后,得到圖像所對應的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.8、C【解析】

對函數(shù)求導,對a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點處的函數(shù)值進行判斷求解.【詳解】∵,.當時,,在上單調(diào)遞增,不合題意.當時,,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當時,則時,,在上單調(diào)遞減,時,,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個零點,只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)解決函數(shù)零點的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎題.10、C【解析】

如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計算長度,設球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設球半徑為,則,解得,故.故選:.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.11、B【解析】

列出循環(huán)的每一步,進而可求得輸出的值.【詳解】根據(jù)程序框圖,執(zhí)行循環(huán)前:,,,執(zhí)行第一次循環(huán)時:,,所以:不成立.繼續(xù)進行循環(huán),…,當,時,成立,,由于不成立,執(zhí)行下一次循環(huán),,,成立,,成立,輸出的的值為.故選:B.【點睛】本題考查的知識要點:程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎題型.12、A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

先求f(1),再根據(jù)f(1)值所在區(qū)間求f(f(1)).【詳解】由題意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案為:1.【點睛】本題考查分段函數(shù)求值,考查對應性以及基本求解能力.14、【解析】

項和轉(zhuǎn)化可得,討論是否滿足,分段表示即得解【詳解】當時,由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.顯然當時不滿足上式,∴故答案為:【點睛】本題考查了利用求,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算,分類討論的能力,屬于中檔題.15、【解析】

根據(jù)雙曲線上的點的坐標關(guān)系得,交圓于點,所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設,交圓于點,所以易知:即.故答案為:【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點的坐標關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見二級結(jié)論,此題可以簡化計算.16、【解析】

建立直角坐標系,結(jié)合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系,由題意可知:,,,則:,,且,,據(jù)此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算,向量投影的定義與計算等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)分布列見解析,(1)【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù),結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù);的可能取值為0,1,1,由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由數(shù)學期望公式即可求得其數(shù)學期望.(1)先求得年齡在內(nèi)的頻率,視為概率.結(jié)合二項分布的性質(zhì),表示出,令,化簡后可證明其單調(diào)性及取得最大值時的值.【詳解】(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,年齡在的人數(shù)為人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.所以的可能取值為0,1,1.所以,,,所以的分市列為011.(1)設在抽取的10名市民中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為,服從二項分布.由頻率分布直方圖可知,年齡在內(nèi)的頻率為,所以,所以.設,若,則,;若,則,.所以當時,最大,即當最大時,.【點睛】本題考差了離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望的求法,二項分布的綜合應用,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)先算出的長度,利用勾股定理證明,再由已知可得,利用線面垂直的判定定理即可證明;(2)由(1)可得為直線與平面所成的角,要使其最大,則應最小,可得為中點,然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,進一步得到正弦值.【詳解】(1)在中,,由余弦定理得,∴,∴,由題意可知:∴,,,∴平面,平面,∴,又,∴平面.(2)以為坐標原點,以,,的方向為,,軸的正方向,建立空間直角坐標系.∵平面,∴在平面上的射影是,∴與平面所成的角是,∴最大時,即,點為中點.,,,,,,,設平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,同理,設平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,∴,,故二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值,考查學生的運算求解能力,是一道中檔題.19、(1)見解析,沒有(2)見解析,【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系.(2)先判斷出的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】(1)男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學423072不喜歡閱讀中國古典文學301848總計7248120所以,沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系.(2)設參加座談會的男生中喜歡中國古典文學的人數(shù)為,女生中喜歡古典文學的人數(shù)為,則.且;;.所以的分布列為則.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗,考查隨機變量分布列和數(shù)學期望的求法,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.20、(1)見證明;(2)【解析】

(1)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,進而求得函數(shù)的最小值,得到要證明的結(jié)論;(2)問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上有解,法一:對a分類討論,分別研究a的不同取值下,導函數(shù)的單調(diào)性及值域,從而得到結(jié)論.法二:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域,再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值.【詳解】(1)當時,,于是,.又因為,當時,且.故當時,,即.所以,函數(shù)為上的增函數(shù),于是,.因此,對,;(2)方法一:由題意在上存在極值,則在上存在零點,①當時,為上的增函數(shù),注意到,,所以,存在唯一實數(shù),使得成立.于是,當時,,為上的減函數(shù);當時,,為上的增函數(shù);所以為函數(shù)的極小值點;②當時,在上成立,所以在上單調(diào)遞增,所以在上沒有極值;③當時,在上成立,所以在上單調(diào)遞減,所以在上沒有極值,綜上所述,使在上存在極值的的取值范圍是.方法二:由題意,函數(shù)在上存在極值,則在上存在零點.即在上存在零點.設,,則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).即的值域為,所以,當實數(shù)時,在上存在零點.下面證明,當時,函數(shù)在上存在極值.事實上,當時,為上的增函數(shù),注意到,,所以,存在唯一實數(shù),使得成立.于是,當時,,為上的減函數(shù);當時,,為上的增函數(shù);即為函數(shù)的極小值點.綜上所述,當時,函數(shù)在上存在極值.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,涉及函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的應用,函數(shù)的最值的求法,考查構(gòu)造法的應用,是一道綜合題.21、(1);(2)【解析】

(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算,以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到f(x)=,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案;(2)先求出C的大小,再根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求出,根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】(1).令,k∈Z,即時,,取最小值,所以,所求的取值集合是;(2)由,得,因為,所以,所以,.在中,由余弦定理,得,即,當且僅當時取等號,所以的面積,因此的面積的最大值為.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運算和二倍角公式,兩角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面積公式,屬于中檔題.22、(1)見解析;(2)-∞,1【解析】

(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對a分類討論,即可得出單調(diào)性.

(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,當x=-1時,0≤-1e+1恒成立.當x>-1時,a≤xe【詳解】解法一:(1)

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