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文檔簡介
2025屆湖北省小池濱江高級中學(xué)高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是雙曲線的左、右焦點,是的左、右頂點,點在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的漸近線方程為()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.3.復(fù)數(shù),若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱,則等于()A. B. C. D.4.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點,則的最大值為A.2 B. C. D.5.已知集合,,則()A. B.C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)z滿足(其中i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的虛部是()A. B.1 C. D.i8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)9.已知,,,則()A. B.C. D.10.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交11.在中,,,,點,分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.912.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進(jìn)行分類的方法,最先見于《周禮·春官·大師》,分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”為打擊樂器,“土、匏、竹”為吹奏樂器,“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”,則含有打擊樂器的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列,,則的最小值為________.14.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,,則球的表面積為__________.15.已知函數(shù)有且只有一個零點,則實數(shù)的取值范圍為__________.16.請列舉用0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,試求曲線在點處的切線;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是矩形,,,分別是,的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)設(shè),求三棱錐的體積.19.(12分)如圖,在棱長為的正方形中,,分別為,邊上的中點,現(xiàn)以為折痕將點旋轉(zhuǎn)至點的位置,使得為直二面角.(1)證明:;(2)求與面所成角的正弦值.20.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)為等腰三角形,可求出點P的坐標(biāo),又由的斜率為可得出關(guān)系,即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖,因為為等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.2、B【解析】
利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算,考查復(fù)數(shù)模的計算,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
先通過復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱,得到,再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱,且復(fù)數(shù),所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算和幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進(jìn)而利用弦長公式求得|AB|的表達(dá)式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長|AB|=4.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,判別式找到解決問題的突破口.5、C【解析】
求出集合,計算出和,即可得出結(jié)論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
先化簡求出,即可求得答案.【詳解】因為,所以所以故選:A【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運算,注意計算的準(zhǔn)確度,屬于簡單題目.7、A【解析】
由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.9、C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡可得,即可求得結(jié)果.【詳解】,所以,即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.10、D【解析】
通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯誤,故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,直線與直線的位置關(guān)系,難度不大.11、B【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡單題目.12、B【解析】
分別求得所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù),根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法;“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法;所求概率.故選:.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解,關(guān)鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、27【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.14、【解析】
如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,計算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長方體是解題的關(guān)鍵.15、【解析】
當(dāng)時,轉(zhuǎn)化條件得有唯一實數(shù)根,令,通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時,,故不是函數(shù)的零點;當(dāng)時,即,令,,,當(dāng)時,;當(dāng)時,,的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,可作出的草圖,如圖:則要使有唯一實數(shù)根,則.故答案為:.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.16、231,321,301,1【解析】
分個位數(shù)字是1、3兩種情況討論,即得解【詳解】0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有:(1)當(dāng)個位數(shù)字是1時,數(shù)字可以是231,321,301;(2)當(dāng)個位數(shù)字是3時數(shù)字可以是1.故答案為:231,321,301,1【點睛】本題考查了分類計數(shù)法的應(yīng)用,考查了學(xué)生分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】
(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),可以求出曲線在點處的切線,利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程;(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),對實數(shù)進(jìn)行分類討論,可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】(1)當(dāng)時,函數(shù)定義域為,,所以切線方程為;(2)當(dāng)時,函數(shù)定義域為,在上單調(diào)遞增當(dāng)時,恒成立,函數(shù)定義域為,又在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時,函數(shù)定義域為,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時,設(shè)的兩個根為且,由韋達(dá)定理易知兩根均為正根,且,所以函數(shù)的定義域為,又對稱軸,且,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法,考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問題,考查了分類思想.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取中點,連,,根據(jù)平行四邊形,可得,進(jìn)而證得平面平面,利用面面垂直的性質(zhì),得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,利用等積法,即可求解.【詳解】(Ⅰ)取中點,連,,由,可得,可得是平行四邊形,則,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中點,則,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明,以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積,其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)在折疊前的正方形ABCD中,作出對角線AC,BD,由正方形性質(zhì)知,又//,則于點H,則由直二面角可知面,故.又,則面,故命題得證;(2)作出線面角,在直角三角形中求解該角的正弦值.【詳解】解:(1)證明:在正方形中,連結(jié)交于.因為//,故可得,即又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系,且平面,面,又面,所以(2)因為為直二面角,故平面平面,又其交線為,且平面,故可得底面,連結(jié),則即為與面所成角,連結(jié)交于,在中,,在中,.所以與面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì),利用定義求線面角,屬于中檔題.20、(1);(2)①82,②分布列見解析,【解析】
(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計算公式計算即可;(2)①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項分布,不是超幾何分布,利用二項分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3,隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為,∴;;;;∴的分布列為0123∵,∴數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查古典概型的概率計算以及二項分布期望的問題,涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計值等知識,是一道容易題.21、(1)見解析,(2)【解析】
(1)根據(jù)等差中項的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫出的通項即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.
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