中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：最值問題綜合訓(xùn)練題（解析版）

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)最值問題綜合訓(xùn)練題

一、選擇題

1.如圖，點(diǎn)4方的坐標(biāo)分別為42,0)*(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，3c=1,點(diǎn)〃為線段/C

的中點(diǎn)，連接。加，則0M的最大值為()

A.72+1B.V2+-1C.2>/2+1D.2亞-g

【答案】B

【分析】

如圖所示，取AB的中點(diǎn)N,連接ON,MN,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知OMVON+MN,則當(dāng)ON與

MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線即可解答.

【解析】

解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N,連接ON,MN,三角形的三邊關(guān)系可知OMVON+MN,則當(dāng)ON與

MN共線時(shí)，0M=ON+MN最大，

?.?4(2,0),3(0,2),

則aABO為等腰直角三角形，

AB=yloA2+OB2=2V2,N為AB的中點(diǎn)，

.*.0N=-^=V2,

2

又?:M為AC的中點(diǎn)，

...MN為△ABC的中位線，BC=L

則MN=pc=；,

.\0M=0N+MN=V2+1,

?,?0M的最大值為行+；

故答案選：B.

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)ON與MN共

線時(shí)，0M=ON+MN最大.

2.如圖，在歐中，AB=2,ZABC=Q0°,ZACB=45°,〃是呢的中點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)

D,AEV1,BFL1,垂足分別為其F,則力加"的最大值為（）

C.2V3D.372

【答案】A

【分析】

把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段,然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】

解：如圖，過點(diǎn)C作CKL1于點(diǎn)K,過點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)H,

在RtAAHB中，

VZABC=60°,AB=2,

/.BH=1,AH=V3,

在Rt^AHC中，ZACB=45°,

AC=4AH2+CH2=7(V3)2+(V3)2=V6,

?點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，

；.BD=CD,

在4BFD與△0?中，

ZBFD=ZCKD=90°

<NBDF=ZCDK

BD=CD

：.ABFD^ACKD(AAS),

.*.BF=CK,

延長AE,過點(diǎn)C作CNLAE于點(diǎn)N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RSACN中，AN<AC,

當(dāng)直線1±AC時(shí)，最大值為新，

綜上所述，AE+BF的最大值為八.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題

的關(guān)鍵.

a

3.如圖，點(diǎn)/(。，3),8S,1)都在雙曲線y上，點(diǎn)C,D分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)(C,D不

同時(shí)與原點(diǎn)重合)，則四邊形ABCD的周長的最小值為()

C.2V10+2V2D.8也

【分析】

先把A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出a與b的值，確定出A與B坐標(biāo)，再作

A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P,B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,

3),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得此時(shí)

四邊形PABQ的周長最小，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得.

【解析】

分別把點(diǎn)點(diǎn)。，3),3(41)代入y得

。=1,6=3,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1).

如圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,3),

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為GT)；連接PQ分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、點(diǎn)D,此時(shí)四邊形ABCD的周長最小,

四邊形ABCD周長為：O/+DC+C8+A8=OP+Z)C+C0+A8=PQ+/2

=7(-1-3)2+(3+1)2+7(1-3)2+(3-1)2

=4亞+2亞=6五.

故選B.

【點(diǎn)睛】

考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最

短解決有關(guān)幾何圖形周長最短的問題是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，正方形2■力內(nèi)接于線段腑在對(duì)角線加上運(yùn)動(dòng)，若。。的面積為2n,MN=\,

則△力掰V周長的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】__

解：。。的面積為2n,則圓的半徑為如，則-2血=月6；

由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)。是點(diǎn)力關(guān)于物的對(duì)稱點(diǎn)，

過點(diǎn)。作。'//BD,且使。'=1,

連接A4'交.BD千點(diǎn)、N,取MU1,連接4ACM,則點(diǎn)火以為所求點(diǎn),

理由：\'A'C//MN,且HC=MN,則四邊形腕沖"為平行四邊形，

貝A'N=CM=AM,

故△力腑的周長必上47+1為最小，

則/"右仃=3,

則△力掰V的周長的最小值為3+1=4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱-最短問題，正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，凡

是涉及最短距離的問題，一般要結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱

點(diǎn).

5.如圖，圓與坐標(biāo)軸分別交于原點(diǎn)。，點(diǎn)［(6,0)和8(0,2),點(diǎn)月是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。

(0,-3),則所長度的最小值為()

A.472-710B.872-710C.2旄-技D-5--./10

【答案】D

【解析】

解：連接力￡,取4?的中點(diǎn)7,連接67,PT.

,：A(6,0),B(0,2),

(24=6,OB=2,

AB=VOB2-K)A2=2

TB=AT=PT=yp^,

.?.7(3,1),

,"(0,-3),

*'*CT=-^32+^2=5,

：.PC^CT-PT=5-V10?

的最小值為5-710.

故選：D.

二、填空題

6.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的力處牧馬，而他正位于他的小屋方的西8km北7km處,

他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路徑是

km.

小河

b..............5小屋

【答案】17

【分析】

如圖（見解析），將小河看成直線腑由題意先作力關(guān)于脈的對(duì)稱點(diǎn)，連接46,構(gòu)建直角三

角形，則力、8就是最短路線在以如中，/ADB=90°,除8km,A'&A沙A'A,利用勾股

定理即可求出AB.

【解析】

如圖，做出點(diǎn)A關(guān)于小河腑的對(duì)稱點(diǎn)A',連接月'￡交MN千點(diǎn)、P,則就是牧童要完成這件

事情所走的最短路程長度.

在Rt/\ADB中，由勾股定理求得/'8=J/'D2+082=J（7+4+4）2+82=17（km）.

則他要完成這件事情所走的最短路程是17km.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

7.已知點(diǎn)MU）,3（3,5）,在x軸上的點(diǎn)C,使得/C+BC最小，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為.

【答案】I4

【分析】

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB,與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C,連接AC,則力C+6C的最小

值等于4方的長，利用待定系數(shù)法求得直線4方的解析式，即可得到點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解析】

解：如圖所示，作點(diǎn)力關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)0,連接08與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C,

連接力C,則4＞式1的最小值等于46的長，

,：A(1,1),

：.A(1,-1),

設(shè)直線A'￡的解析式為尸kx+b(CO),

-\=k+b

把4(1,-1),B(3,5)代入得

5=3k+b'

解得

y=3廣4,

4

當(dāng)y=O時(shí)，,

4

點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為

4

故答案為：~■

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合

軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

8.如圖，已知矩形/比248=4,況1=6,點(diǎn)〃為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)￡為a1邊上任意一點(diǎn)，則

MA+MD+ME的最小值為.

【答案】4+3省

【解析】

【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.

分別以力〃、4/為邊構(gòu)造等邊等邊△如管，連接尸G,

易證△月肱匡△力仍：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

過尸作FHLBC交歐于〃點(diǎn)，線段9的長即為所求的最小值.

9.如圖，/月如=45°,角內(nèi)有一點(diǎn)己P0=10,在角兩邊上有兩點(diǎn)0、、（均不同于點(diǎn)。）,

則的周長最小值是；當(dāng)周長最小時(shí)，的度數(shù)=_.

【答案】10V290°

【解析】

思路引領(lǐng)根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，作出尸關(guān)于以、如的對(duì)稱點(diǎn)以N,連接力￡,根據(jù)兩點(diǎn)之

間線段最短得到最小值線段，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出仞V的值即可.

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求得AOMN^Z.ONM=ZOP》ZOPR,即可求得ZQPR的度數(shù).

答案解析：分別作尸關(guān)于以、如的對(duì)稱點(diǎn)以N.

連接就交力、如交于aR,則△&/?符合條件.

連接OM、ON,

則OM=ON=OP=\Q,

/MON=/乂0熱/N0P=2/A0B=2X45°=90°,

故△就W為等腰直角三角形.

/.M^7IO2+IO2^IOV2.

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到/幽LN〃溝，/ONM=/OPR,

：.ZOMNyZ.ONM=ZOPb/OPR,

,：△加亞為等腰直角三角形，

：.4OMNv/ONM=9G,

：./OP//OPR=9Q°,

即N07?=9O°.

故答案為10夜，90°.

A\A

10.如圖，0M的半徑為4,圓心〃的坐標(biāo)為(5,12),點(diǎn)尸是0M上的任意一點(diǎn)，PALPB,且

P4、尸B與X軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則AB的最小值為_.

A0\Bx

【答案】18

【分析】

由RtAAPB中4B=2OP知要使取得最小值，則尸。需取得最小值，連接OM,交0”于點(diǎn)P,當(dāng)

點(diǎn)尸位于P位置時(shí)，OP取得最小值，據(jù)此求解可得.

【解析】

解：連接OP,

PAVPB,

AAPB=90°,

\'AO=BO,

AB=2PO,

若要使45取得最小值，則尸。需取得最小值，

連接OM,交?！ㄓ邳c(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時(shí)，OP取得最小值，

過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)。，

則00=5,MQ=n,

:.OM=13,

又MP'=4,

OP'=9,

AB=2OP'=18,

故答案是：18.

【點(diǎn)睛】

本嬴主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

得出26取得最小值時(shí)點(diǎn)尸的位置.

11.如圖，在口△45。中，ZACB=9Q°,N￡=30°,AB=4,。是況1上一動(dòng)點(diǎn)，連接2〃過

點(diǎn)。作血助于E,過點(diǎn)￡作”在交理于點(diǎn)F,則6F的最大值是

【答案】,

【分析】

如圖，取熊的中點(diǎn)。，連接陽OF,延長也交相于T.證明%'=3241,推出點(diǎn)￡的在以

。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)“與。。相切時(shí)，6F的值最大.

【解析】

解：如圖，取力。的中點(diǎn)。，連接陽OF,延長播交相于T.

,：ZACB=9Q°,力6=4,/夕=30°,

：.ZCAB=QQ°,AC=^AB=2,

,：CELAD,

./月比―90°,

'AO=OC=\,

OE=yAC=1,

.?.點(diǎn)￡在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)a與。。相切時(shí)，）的值最大，

?.,直線5直線"都是。。的切線，

：.FC=FE,

：./FCE=AFEC,

"：ZCA^ZACE=9Q°,/力?N￡6F=90°,

：./CAE=/FCE,

'：4CER/AET=9N,N4//刃T=90°,

：.AFEC=AEAT,

：.ZCAE=ZEAT=30°,

VCF=FE,OC=OE,

：.OFVEC,

■:AD上CE,

'：OF//AD,

：.ZCOF^ZCAD=30°,

...CF=tan30°=—,

3

???〃的最大值為，.

故答案為：理.

【點(diǎn)睛】

本以主要考查直角三角形30°角的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，線段的垂直平分線的性質(zhì)等

知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)￡在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)7T與。。相切

時(shí)，成的值最大.

12.如圖，ZA0B=30°，點(diǎn)M、N分別在邊0A、0B上，且0M=l,0N=3,點(diǎn)P、Q分別在邊0B、

0A上，則MP+PQ+QN的最小值是.

【答案】V10

【解析】

試題分析：作M關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)M',N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)N',連接兩對(duì)稱點(diǎn)M'N',交OB、0A

于P、Q.此時(shí)MP+PQ+QN有最小值，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，MP+PQ+

QN=M'P+PQ+QN'=M'N',M'N'的長度就是所求的MP+PQ+QN的最小值.分別連接

0M',0N',NN'0A=NA0B=30°,NM'0B=NA0B=30°,所以NM'ON'=90º,所以三角形

M'ON'是直角三角形,0M'=0M=l,0N'=0N=4,由勾股定理得M'N'為如.所以MP+PQ+QN的最

小值是

考點(diǎn)：1.線段垂直平分線性質(zhì)；2.勾股定理；3.求最小值問題.

13.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5,P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足NPAB=NPBC,則線段

CP的最小值是.

【答案】a-4.

【分析】

連接0C與圓0交于點(diǎn)P,先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的圓0上，再利用勾股定理求出0C即可.

【解析】

VZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°,

VZPAB=ZPBC,

AZBAP+ZABP=90°,

AZAPB=90°,

,-.OP=OA=OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），

...點(diǎn)P在以AB為直徑的。0上，連接0C交。0于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小，

,在矩形ABCD中,AB=8,BC=5,

在RIYXBCO中，VZOBC-9O0,BC=5,0B=4,

oc=^BO2+BC2=V41，

.\PC=OC-0P=V41-4.

??.PC最小值為"1-4.

故答案為d-4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)與圓的的位置關(guān)系、圓周角定理及最短路徑等知識(shí)，會(huì)求圓外一點(diǎn)到圓的最大距

離和最小距離是解題的關(guān)鍵.

14.如圖平行四邊形ABCD中AB=AD=6,ZDAB=60°,F為AC上一點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，則EF+BF

的最小值為

【答案】373.

【解析】

試題分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D,連接ED,EF+BF

最小值=ED,然后解直角三角形即可求解：

平行四邊形ABCD中AB=AD=6,...平行四邊形ABCD是菱形.

...AC與BD互相垂直平分.，點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱.

如圖，連接BD,ED,則ED就是所求的EF+BF的最小值的線段.

為AB的中點(diǎn)，ZDAB=60°,ADE±AB,

ED=4AD2-AE2=A/62-32=373.

/.EF+BF的最小值為3g.

考點(diǎn)：1.軸對(duì)稱-最短路線問題；2.平行四邊形的性質(zhì)；3.菱形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理.

三、解答題

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線-x?+6x+c經(jīng)過點(diǎn)月（4,0）、B（0,4）、C.其對(duì)

稱軸1交x軸于點(diǎn)D,交直線46于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)夕為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值；

（3）點(diǎn)兒為直線力￡上的一點(diǎn)（點(diǎn)"不與點(diǎn)尸重合），在拋物線上是否存在一點(diǎn)以使以點(diǎn)￡、

F、N、〃為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，不存在，說明理由.

【答案】（1）y=-f+3￡+4；（2）V17+4V2；（3）存在，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（七包，一2±友1）,

24

（…一上拽!）或（［=）.

2424

【分析】

(1)把點(diǎn)/(4,0)、B(0,4)代入拋物線尸-三+陵+c中，求得6和c即可；

(2)作點(diǎn)6關(guān)于直線)的對(duì)稱軸“，連接4C交/于一點(diǎn)尸，點(diǎn)刀即為使周長最小的點(diǎn),

由對(duì)稱可知，PB'=PB,即△45T周長的最小值為：BC+Cff.

(3)設(shè)MQm,一講+3勿+4),①當(dāng)成為邊時(shí)，貝|/〃四則少(加，一〃+4),所以加仁冊(cè)=

j即I-0+3勿+4-(-h+4)|=y,求出加的值，代入即可；②當(dāng)緒為對(duì)角線時(shí)，成的中

335

點(diǎn)為(7，k)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)兒的坐標(biāo)，再由點(diǎn)兒是直線拉?上一點(diǎn)，可知-3+%+

ZO

1Q

4=檔3/+1，解得力的值即可.

【解析】

解：(1)把點(diǎn)力(4,0)、B(0,4)代入拋物線尸-f+bx+c中,

-16+4/7+c=0Egb=3

得,I,解得c=4

拋物線的解析式為：y=-f+3戶4,

(2)由拋物線解析式可知，hx=~,C(-l,0),

如圖，作點(diǎn)8關(guān)于直線)的對(duì)稱軸4,連接交/于一點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為使△4%周長最小的

設(shè)直線8C的解析式為廣加x+〃，代入￡(3,4),(7(-1,0)

4=3m+n

得

0=-m+n

m=1

解得

n=1

?二直線少Gy=x+L

335

當(dāng)x=5'7=2+1=2

:.p(I,I),

,：B(0,4),<7(-1,0),B'(3,4),

??BC^J42+F=VP7,CB'=J(-1-3)~+(-4)=4V2,

△小周長的最小值為：BC+CB'=07+4上.

（3）存在，以點(diǎn)及F、N、〃為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（山豆,

2

一^^）,（且一或（5在理

42424

325

?拋物線的解析式為：y=-f+3x+4=-（x-彳）2+—

325

??.￡（］,J

設(shè)直線力方的解析式為尸px+q

0=4p+q

代入4(4,0)、B(0,4)得4=q

P=-l

解得

q=4

直線力￡的解析式為：y=-x+4,

、1,335

當(dāng)x=5，y=--+4=-

設(shè)M（m,-廬3研4）,

①當(dāng)緒為邊時(shí)，則"〃就

N（m,-加4）,

:,NM=EF=,,即|-萬+3加4-（-加4）I=,，

解得片:（舍）或1或七包或H,

2222

.??〃（；，弓）或（。，一士四），（上回，一ZzE

242424

335

②當(dāng)露為對(duì)角線時(shí)，露的中點(diǎn)為（J,—）,

2o

19

??.點(diǎn)兒的坐標(biāo)為（3-勿，nf-3/77+y）,

1935

二?-3+研4=冰一3%+彳，解得力二萬（舍），m=-,

綜上，滿足以點(diǎn)區(qū)F、N、〃為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（處包，

2

7+2用、4-7317-2用、T/521、

-----）,（z,-------）或（彳，「）.

42424

【點(diǎn)睛】

本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形存在性問題，解題過程中注意需要分類討

論.

16.如圖，在矩形月氏/中，A8=6,四=8,點(diǎn)￡,夕分別是邊切，歐上的動(dòng)點(diǎn)，且N*F=90°

(1)證明：XABFsXFCE；

(2)當(dāng)"取何值時(shí)，/AED最大.

【答案】(1)見解析；(2)y

【分析】

(1)根據(jù)題意可得N￡=NC=90°,/AFB=4FEC,即可得出結(jié)論；

(2)取力￡的中點(diǎn)0,連接切、0F,根據(jù)N4方=N4宏=90°,得出4、D、E、產(chǎn)四點(diǎn)共圓,

當(dāng)。。與歐相切時(shí)，N加。的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【解析】

解：(1)證明：?.?四邊形相切是矩形，

：.ZB=ZC^=90o,

,：ZAFE^Q°,

：.ZAFB+ZEFC=90°,,:4EFC+/FEC=9Q°,

/.AAFB=/FEC,

:.XABFsXFCE.

(2)取四的中點(diǎn)0,連接必、OF.

’:/AFE=4ADE=9Q°,

0A=0D=0E=OF,

.?"、D、E、尸四點(diǎn)共圓，

ZAED=ZAFD,

.?.當(dāng)。。與歐相切時(shí)，N加力的值最大,

:.BF=CF=4,

*：XABFSXFCE,

.AB_BF

''~FC~^C，

.6=J_

…1―EC

Q1A

DE=DC-CE=6--=—,

33

.?.當(dāng)=g時(shí)，即的值最大.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，根據(jù)題意得出。。與歐相切時(shí)，N4”的值

最大是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在四邊形/BCD中，NB=ND=90。,E,尸分別是2C,C。上的點(diǎn)，連接/E,AF,EF.

(1)如圖①，AB=AD,/B/D=120°,ZEAF=60°.求證：EF=BE+DF-

(2)如圖②，NBAD=120。,當(dāng)ANEF周長最小時(shí)，求4EF+4FE的度數(shù)；

(3)如圖③，若四邊形A3。為正方形，點(diǎn)￡、尸分別在邊8C、CD上,且NE/F=45。，若

BE=3,DF=2,請(qǐng)求出線段E尸的長度.

【答案】(1)見解析；(2)ZAEF+ZAFE=120°(3)EF=5.

【分析】

(1)延長FD到點(diǎn)G,使。G=8E,連接AG,首先證明^ABE^ADG,則有/￡=AG,ZBAE=ZDAG,

然后利用角度之間的關(guān)系得出/￡/尸=/E4G=60。，進(jìn)而可證明△￡■//0△G/R,貝I]

EF=FG=DG+DF,則結(jié)論可證；

(2)分別作點(diǎn)A關(guān)于8c和的對(duì)稱點(diǎn)4,A",連接44,交2。于點(diǎn)￡,交CD于點(diǎn)尸,根據(jù)

軸對(duì)稱的性質(zhì)有/'E=/E,4"尸=4尸，當(dāng)點(diǎn)發(fā)、E、F、4在同一條直線上時(shí)，?/〃即為△/跖

周長的最小值，然后利用N/E尸+乙4五￡=/￡'4/+/區(qū)44+/尸/。+44"求解即可；

(3)旋轉(zhuǎn)△/BE至的位置，首先證明△尸/尸絲△￡1//,則有昉=FP,最后利用

￡尸=尸尸=尸。+。尸=2石+￡)廠求解即可.

【解析】

(1)證明：如解圖①，延長陽到點(diǎn)G,使。G=8￡,連接/G,

在LABE和&ADG中,

AB=AD,

NABE=/ADG,

BE=DG,

:.^ABE^ADG(SAS),

：.AE=AG9ZBAE=ZDAG,

vZBAD=120°,ZEAF=60°,

/BAE+/FAD=ZDAG+/FAD=60°.

/./LEAF=/FAG=60°,

在AEAF和AGAF中，

AE=AG,

<ZEAF=/GAF,

AF=AF,

:AEAF知GAF(SAS).

：.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF；

(2)解如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于8c和CO的對(duì)稱點(diǎn)4,A",連接交5c于點(diǎn)E,交CD

于點(diǎn)廠.

由對(duì)稱的性質(zhì)可得A'E=AE,A"F=AF,

止匕時(shí)AAEF的周長為AE+EF+AF=A'E+EF+A'F=A'A".

二當(dāng)點(diǎn)4、E、F、/在同一條直線上時(shí)，即為A/E尸周長的最小值.

-：ZDAB=12G°,

AAAE+N/〃=180°—120。=60°.

??.NEAA=NEAA,/FAD=ZA",ZEAfA+NEAA=ZAEF,NFAD+NA〃=ZAFE,

ZAEF+ZAFE=NEAA+/EAA+/FAD+/A"=2(/44%+N/〃)=2x60。=120。；

(3)解：如解圖，旋轉(zhuǎn)△/HE至△功P的位置，

/PAE=/DAE+/PAD=/DAE+/EAB=90°,

AP=AE,ZPAF=ZPAE-ZEAF=90°-45°=45°=ZEAF.

在APAF和LEAF中,

AP=AE,

<ZPAF=ZEAF,

AF=AF,

:./\PAF^/\EAF{SAS'）.

EF=FP.

：.EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

18.如圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意

一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.

⑴求證：aAMB咨AENB；

⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；

⑶當(dāng)AM+BM+CM的最小值為6+1時(shí)，求正方形的邊長.

【答案】（1）見解析；（2）①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),

AM+BM+CM的值最小，理由見解析；（3）41

【解析】

解：⑴,.?△ABE是等邊三角形，

，BA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,

...ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.

即NBMA=NNBE.

又；MB=NB,

AAAMB^AENB（SAS）

⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小

②如圖，連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，

AM+BM+CM的值最小.

理由如下：連接MN.由⑴知，AAMB^AENB,

.\AM=EN.

VZMBN=60°,MB=NB,

...△BMN是等邊三角形.

/.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短"，得EN+MN+CM=EC最短

...當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長

⑶過E點(diǎn)作EF±BC交CB的延長線于F,

，NEBF=90°-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長為x,則BF=gx,EF=f.

在RtZ\EFC中，

VEF2+FC2=EC2,

(1)2+(3x+x)2=(V3+1)2

解得，x=&(舍去負(fù)值).

???正方形的邊長為0.

19.如圖，正方形ABCD中，AB=2近，0是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，0E=2,連接

DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AE,CF.

(1)求證：AE=CF；

(2)若A,E,0三點(diǎn)共線，連接0F,求線段OF的長.

(3)求線段0F長的最小值._

【答案】(1)證明見解析；(2)V26;(3)5a-2

【分析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，可證明4ADE絲ZXCDF,即可得到AE=CF；

(2)先利用A4DE三ACD尸，求得CF長，\ABO^\CPF,求得CP=2尸產(chǎn)，然后設(shè)PF=x利

用勾股定理求得x的值，即可求得0F的長；

(3)本題考查了利用三角形全等轉(zhuǎn)化的思想解決問題.

【解析】

(1)證明：如圖1,由旋轉(zhuǎn)得：/EDF=90。，ED=DF,

四邊形ABCD是正方形，

NADC=90°,AD=CD,

/ADC=NEDF,

即/ADE+/EDC=/EDC+NCDF,

/ADE=/CDF,

在AADE和ACDF中，

AD=CD

?「<NADE=ZCDF,

DE二DF

AADE=ACDF,

z.AE=CF；

（2）解：如圖2,過尸作OC的垂線，交BC的延長線于尸,

???0是BC的中點(diǎn)，且AB=BC=26，

???A,E,。三點(diǎn)共線，

OB=-yj'5,

由勾股定理得：AO=5,

vOE=2,

，AE=5—2=3,

由（1）知：AADE=ACDF,

/DAE=/DCF,CF=AE=3,

???/BAD=/DCP,

/./OAB=/PCF,

?//ABO=/P=90。，

AABO^ACPF,

.ABCP2>/5c

,?——/=~=2,

OBPF舊

CP=2PF,

設(shè)PF=x,則CP=2x,

由勾股定理得：32=X2+（2X）2,

x=￡l或一Wi（舍），

55

.”=述，OPf+述:辿，

555

(3)解：如圖3,由于0E=2,所以E點(diǎn)可以看作是以。為圓心，2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng),

延長8人到「點(diǎn)，使得AP=OC,連接PE,

AE=CF,/PAE=/OCF,

APAE三AOCF,

PE=OF,

當(dāng)PE最小時(shí)，為。、E、P三點(diǎn)共線，

OP=7OB2+PB2=’(石『+(3可=572,

PE=OF=OP-OE=5V2-2,

.〔OF的最小值是5拒-2.

圖1

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、幾何圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、利用三角形全等解決問題的相關(guān)知識(shí)，解題

關(guān)鍵是注意構(gòu)造輔助線進(jìn)行解答.

20.如圖，拋物線y=a尤2-23a（a為常數(shù)，?<0）與x軸分別交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)力在點(diǎn)8

的左側(cè)），與P軸交于點(diǎn)C,且OB=OC.

備用國

⑴求a的值；

⑵點(diǎn)〃是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)夕（加，〃）是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接MBC、

CD、BP,當(dāng)N/?4=N物時(shí)，求加的值；

⑶點(diǎn)4為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，〃=2,點(diǎn)〃為線段砍的中點(diǎn)，連接4K當(dāng)力〃最大時(shí)，求點(diǎn)”

的坐標(biāo).

【答案】（1）-1

⑵T

⑶((6g+134A+52

-1313-

【分析】

(1)先求得4名C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)。8=。。即可求得。的值；

(2)過點(diǎn)P作PE，x軸于點(diǎn)E,證明△BCD是直角三角形，進(jìn)而ABCDSABEP,根據(jù)相似的性

質(zhì)列出比例式進(jìn)而代入點(diǎn)尸的坐標(biāo)解方程即可；

(3)接2D,取2。的中點(diǎn)0,連接。河，根據(jù)題意，點(diǎn)K在以。為圓心，2為半徑的圓上，則M

在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)與圓的距離求最值，進(jìn)而求得的解析式為

J=|X+1,根據(jù)⑷/〃DK,設(shè)直線DK的解析式為v=；x+6,將點(diǎn)。代入求得6,進(jìn)而設(shè)

K(m,|加+g),根據(jù)DK=2,進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程解方程求解即可.

【解析】

2

(1),**y=ax—2ax—3a—a(x?—2x—3)=Q(X—3)(x+l)

令歹=0,解得再=一1,、2二3

令X=o,y=-3a

,??拋物線》="2—2辦-3〃《為常數(shù)，。＜0)與x軸分別交于46兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)6的左側(cè)),

與P軸交于點(diǎn)C,

二?拋物線與工軸的交點(diǎn)為4T0),3(3,0)。(0,-3a)

:.0B=3

?;OB=OC

/.0C=3

C(0,3)

/.—3a=3

解得"T

⑵如圖，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)E,

y——x~+2x+3=—（x—1）~+4

?■-B（3,0）,C（3,0）

.?.CZ）=jF+f打+32=3"瓦）=J（3-iy+42=2退

:.CD2+BC2=20,BD2=20

:.CD2+BC2=BD2

.?.△38是直角三角形，且/BCQ=90。

PE_LAB

ZPEB=ZPCD=90°

又丁ZPBA=ZCBD

:心BCDSREP

,CDBC

,PE~BE

P[m,n）在拋物線y=-/+2x+3上,

n=-m2+2/+3

PE=-n=m2-2m-3,BE=3-m

-.-----V-2----=-3-V-2-

m2—2m—33—m

整理得（3機(jī)+4）（加-3）=0

4

解得叫=-],啊=3（舍）

???尸（見”）在第三象限，

:.m<0

4

m=—

3

（3）

如圖，連接5。，取&D的中點(diǎn)。，連接跳,

:.QM=；DK=1

根據(jù)題意點(diǎn)K在以。為圓心，2為半徑的圓上，

則〃在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)4。,“三點(diǎn)共線，且M在/。的延長線上時(shí)，最大，如圖,

???S(3,0),D(l,4)

二。(號(hào)，券)即。(2,2)

V4T0),。(2,2)

設(shè)直線的解析式為尸質(zhì)+d，代入點(diǎn)N(T,0),Q(2,2),

f0=—k+d

“2=2上+d

解得；

b=-

[3

???直線/〃的解析式為＞=2；2

???DK//QM

設(shè)直線OK的解析式為＞=+6

:A=-+b

3

解得6=g

210

則OK的解析式為＞=+?

設(shè)點(diǎn)K(加■加+/)(機(jī)＞0),

??,。(1,4),DK=2

解得町=而+

6g+13-613（舍去）

1313

6V13+13

二.m=------------

13

21026713+13104713+52

--=—x------1=-------

33313313

上,6布+134后+52、

K[------------,-------------）

1313

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，點(diǎn)與圓的距離求最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確的

添加輔助線并熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

21.在A/3C中，Z5=90°,〃為歐延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)￡為線段47,5的垂直平分線的交點(diǎn),

連接用，EC,ED.

圖I圖2圖3

（1）如圖1,當(dāng)ZB/C=50。時(shí)，則乙1瓦）=°；

（2）當(dāng)N8/C=60。時(shí)，

①如圖2,連接力〃判斷即的形狀，并證明；

②如圖3,直線小與協(xié)交于點(diǎn)E滿足NC/*=NC4E.9為直線小上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)尸E-PD的

值最大時(shí)，用等式表示如心與力6之間的數(shù)量關(guān)系為,并證明.

【答案】（1）80；（2）是等邊三角形；（3）PE-PD=2AB.

【分析】

（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知/E=EC=ED,再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得Z￡4C=/EC4,

/EDC=NECD,利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得=由此求解即可；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出乙4獨(dú)=244c3=60。即可證明“即是等邊三角形；

（3）根據(jù)利用對(duì)稱和三角形兩邊之差小于第三邊，找到當(dāng)依-尸。的值最大時(shí)的尸點(diǎn)位置，再

證明對(duì)稱點(diǎn)郵與兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明"CD泌EDD,

從而可知PE-PO=PE-尸O'=EO'=/C,再根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)可知/C=2/3即可得出結(jié)

論.

【解析】

解：（1）,??點(diǎn)￡為線段力乙5的垂直平分線的交點(diǎn)，

/.AE=EC=ED,

：.ZEAC=ZECA,/EDC=/ECD,

：.NEAC+ZEDC=ZACE+/ECD=ZACD,

NEAC+ZEDC+ZACD+ZAED=360°,

/.2ZACD+ZAED=360°,

ZACD+ZACB=1SO°,

：.ZAED=2ZACB,

???在"臺(tái)。中，ZB=90。，ABAC=50°9

/.ZACB=40°,

ZAED=2ZACB=80°9

故答案為：80°.

（2）①結(jié)論：是等邊三角形.

證明：\?在△ZBC中，ZS=90°,44c=60。,

ZACB=30°f

由（1）得：ZAED=2ZACB=60°,AE=EC=ED,

???功是等邊三角形.

②結(jié)論：PE-PD=2AB.

證明：如解圖1,取〃點(diǎn)關(guān)于直線4尸的對(duì)稱點(diǎn)。外連接如、PD'-

解圖1

PD'=PD,

V\PE-PD'\<ED',等號(hào)僅只E、郵三點(diǎn)在一條直線上成立,

如解圖2,P、E、加三點(diǎn)在一條直線上，

解圖2

由⑴得：ZCAE+ZEDC=ZACD,

又ZCFD=NCAE,

：.NCFD+NCDE=NACD,

又,/AACD+AACB=\80°,NCFD+NCDE+ZPCD=180°,

，ZPCD=ZACB=30°,

,??點(diǎn)〃、點(diǎn))是關(guān)于直線力少的對(duì)稱點(diǎn)，

CD=CD',/D'CD=2NPCD=60°,

△。'⑺是等邊三角形，

/.CD=DD',ZCDD'=60°,

???△/ED是等邊三角形，

/.AD=ED,NADE=60°,

，NADC+ND'DA=ZD'DA+NEDD,

/.NADC=ZEDD',

在△/(%>和AE。。中，

AD=ED

ZADC=ZEDD',

CD=D'D

:."CD三AED'D(S4S)

/.AC=ED',

'：PD'=PD,

/.PE-PD^PE-PD'=ED'=AC,

在A/3C中，ZB=90。，ZACB=30°,

，AC=2AB,

：.PE-PD=2AB

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形性質(zhì)和

判定等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是利用對(duì)稱將尸E-PD轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系找到尸的位置，并證明

對(duì)稱點(diǎn)加與力。兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形.

22.如圖，拋物線了=辦2+瓜-6交x軸于4-2,0),5(6,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0,-6),點(diǎn)0為線段

8c上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求。4+0。的最小值；

(3)過點(diǎn)。作交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)己連接尸4%，記△尸/。與△依。的面

積分別為MS,，設(shè)5=&+邑，當(dāng)S最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求S的最大值.

【答案】⑴N竹盧2尸6；(2)有最小值10；(3)P(3,-y)時(shí)，S有最大值自

【分析】

(1)運(yùn)用待定系數(shù)法設(shè)尸a(x+2)(尸6),將。(0,-6)代入，即可求得答案；

(2)如圖1,作點(diǎn)。關(guān)于直線比1的對(duì)稱點(diǎn)，連接2。，QO',CO',BO',由久。，關(guān)

于直線歐對(duì)稱，得出四邊形功是正方形，根據(jù)，+0。^AO',QO'=0。，得出答案；

(3)運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線式；AC.&的解析式，設(shè)尸(加，g/2叱6),聯(lián)立方程組，得

=

yx—622

■‘=_3x升-4m年+用m_6,求得。(以士券乜，皿+”。),再運(yùn)用三角形面積公式求得答案?

【解析】

解：(1),?,拋物線交X軸于力(-2,0),B(6,0)兩點(diǎn)，

...設(shè)尸a(x+2)(k6),將。(0,-6)代入，

得：—12a=-6,

解得：a—y,

y=y(x+2)(尸6)/2尸6,

???拋物線的解析式為y=1盧2尸6；

(2)如圖1,作點(diǎn)。關(guān)于直線理的對(duì)稱點(diǎn)，連接力，Q0',CO',BO',

'：0B=0C=6,ZB0C=9Q°,

:"BCO=45°,

,：0、O'關(guān)于直線式'對(duì)稱，

...加垂直平分，

00'垂直平分比；

四邊形￡“少是正方形，

AO'(6,-6),

在Rt/\ABO'中，AO'=YIAB^+O'B2=Vs2+62=io,

VQAA-QO'?AO',QO'=QO,

：.QO+QA=QA+QO'^AO'=5,即點(diǎn)0位于直線月O'與直線理交點(diǎn)時(shí),

仇葉力有最小值10；

(3)設(shè)直線比'的解析式為尸履+d,

'：B(6,0),C(0,-6),

6左+d=05/口k=\

人-6，解得:

d=-6

...直線式1的解析式為y=^6,

設(shè)直線4。的解析式為y=mx+n,

,：A(-2,0),C(0,-6),

—2加+〃=0,_m=—3

6，解得:

n-----on=-6

直線4。的解析式為尸-3尸6,

'：PQ//AC,

???直線網(wǎng)的解析式可設(shè)為y=~3x+b,

由(1)可設(shè)尸(出g科2片6),代入直線內(nèi)的解析式,

得：g檔2療6=-3/+8,

解得：b=Wnf~\~m-6,

直線尸0的解析式為y=-3x+g加+zzr6,

y=x-6

聯(lián)立方程組，得：12,

y=-3x+一加+加-6

2

m2+2m-12

x=-----------------

解得：8

m2+2m-60

y=------------------

8

m2+2m-12m2+2m-60

.?.0(),

88

由題意：SAPACPVSAPBQ=SAPAB-SAQAB,

':P,0都在第四象限，

:.p,0的縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù),

.?.5=y\AB\<-nf+2m+^-y|初?(-貯號(hào)二絲)

32cr3,215

=——2m+9m—o=——2(m—3)H---2-,，

由題意，得0</<6,

.?.勿=3時(shí)，S最大，

即9(3,-y)時(shí)，S有最大值

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將軍飲

馬的最值問題，利用二次函數(shù)求最值等，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形

結(jié)合思想是解題關(guān)鍵.

23.如圖，已知正方形力以切的邊長為4、點(diǎn)夕是2夕邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接你過點(diǎn)夕作用

的垂線交力。于點(diǎn)￡,以此'為邊作正方形以7衣頂點(diǎn)G在線段所上，對(duì)角線￡久"相交于點(diǎn)

0.

(1)若AP=1,貝I]AE=；

(2)①點(diǎn)。與△加石的位置關(guān)系是,并說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)夕從點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)〃也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長；

(3)在點(diǎn)夕從點(diǎn)力到點(diǎn)方的運(yùn)動(dòng)過程中，線段力￡的大小也在改變，當(dāng)AP=,AE達(dá)

到最大值，最大值是.

3

【答案】(1)(2)①點(diǎn)。在△力比的外接圓上，見解析；②2拒；(3)2,1

【分析】

【解析】

解：(1)；四邊形力比上四邊形陽密是正方形，

:./A=NB=/EPGS,PFLEG,AB=BC=4,/0EP^45°,

：./AER/APE=90°,/BPC+NAPE=gQ°,

/./AEP=ZBPC,

:.XAPEsXBCP,

.AEAP?AE1

..——=——，即n——=-,

BPBC4-14

3

解得