中考數(shù)學(xué)平行四邊形的綜合壓軸題及答案

中考數(shù)學(xué)一一平行四邊形的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及答案

一、平行四邊形

1.（1）、動手操作：

如圖①：將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點C.處，折痕為EF,若

NABE=20。，那么NE廣。'的度數(shù)為一.

（2）、觀察發(fā)現(xiàn)：

小明將三角形紙片ABC（AB>AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為

AD,展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF,展

平紙片后得到AAEF（如圖③）.小明認(rèn)為AAEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理

由.

（3）、實踐與運用：

將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF,折痕與AD邊交于點E,與BC

邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F

重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ（如圖④），求NMNF的大

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得NAEB=70。，根據(jù)折疊重合的角相

等，得NBEF=NDEF=55。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NEFC=125°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

ZEFC'=NEFC=125°；

（2）根據(jù)第一次折疊，得NBAD=NCAD；根據(jù)第二次折疊，得EF垂直平分AD,根據(jù)等角

的余角相等，得NAEG=NAFG,則AAEF是等腰三角形；

（3）由題意得出：NNMF=NAMN=NMNF,MF=NF,由對稱性可知，MF=PF,進而得出

AMN0&MPF,得出3ZMNF=180°求出即可.

試題解析：（1）、???在直角三角形ABE中，ZABE=20°,

ZAEB=70°,

ZBED=110",

根據(jù)折疊重合的角相等，得NBEF=NDEF=55°.

?，-ADIIBC,

ZEFC=125°,

再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到NEFC=ZEFC=125°.；

（2）、同意，如圖，設(shè)AD與EF交于點G

由折疊知，AD平分NBAC,所以NBAD=NCAD.

由折疊知，ZAGE=ZDGE=90°,

所以NAGE=ZAGF=90",

所以NAEF=ZAFE.

所以AE=AF,

即△AEF為等腰三角形.

(3)、由題意得出：NNMF=NAMN=NMNF,

MF=NF,

由折疊可知，MF=PF,

NF=PF,

而由題意得出：MP=MN,

又：MF=MF,

AMNaAMPF,

ZPMF=ZNMF,而NPMF+zNMF+zMNF=180°,

即3NMNF=180°,

ZMNF=60°.

考點：1.折疊的性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.等腰三角形的

判定

2.如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點P為正方形AD邊上的一點（不與點

A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,

折痕為EF,連接BP、BH.

（1）求證：ZAPB=NBPH；

（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，求證：APDH的周長是定值;

（3）當(dāng)BE+CF的長取最小值時，求AP的長.

【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.（3）2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出NPBC=NBPH,進而利用平行線的性質(zhì)得出

ZAPB=ZPBC即可得出答案；

（2）首先證明△ABP2△QBP,進而得出4BCH2△BQH,即可得出

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）過F作FM_LAB,垂足為M,則FM=BC=AB,證明△EFM2ABPA,設(shè)AP=X,利用折

疊的性質(zhì)和勾股定理的知識用x表示出BE和CF,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

試題解析：（1）解：如圖1,

???PE=BE,

二ZEBP=ZEPB.

文:ZEPH=ZEBC=90",

ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP.

即NPBC=ZBPH.

又：ADIIBC,

/.ZAPB=ZPBC.

/.ZAPB=ZBPH.

(2)證明：如圖2,過B作BQ_LPH,垂足為Q.

圖2

由(1)知NAPB=ZBPH,

又:ZA=ZBQP=90°,BP=BP,

在小ABP和4QBP中，

ZAPB=NBPH

{ZA=ZBQP=90°,

BP=BP

/.△ABP至△QBP(AAS),

/.AP=QP,AB=BQ,

又「AB=BC,

BC=BQ.

又NC=ZBQH=90。，BH=BH,

在^BCH和4BQH中，

BC=BQ

{ZC=ZBQH=9Q°,

BH=BH

：.△BCHV△BQH(SAS),

CH=QH.

/.△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

?△PDH的周長是定值.

(3)解：如圖3,過F作FM_LAB,垂足為M,貝UFM=BC=AB.

又；EF為折痕,

/.EF±BP.

/.ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,

/.ZEFM=ZABP.

又：ZA=ZEMF=90°,

在小EFM和^BPA中，

NEFM=ZABP

[ZEMF=ZA,

FM=AB

：.△EFMV△BPA(AAS).

EM=AP.

設(shè)AP=x

在RtAAPE中，(4-BE)2+x2=BE2.

2

x

解得BE=2+—,

8

x2

CF=BE-EM=2+——x,

8

V21

BE+CF=——x+4=-(x-2)2+3.

44

當(dāng)x=2時，BE+CF取最小值,

AP=2.

考點：幾何變換綜合題.

3.如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6cm,D為邊AB中點.動點P、Q在邊AB上同時從

點D出發(fā)，點P沿DfA以lcm/s的速度向終點A運動.點Q沿DfB玲D以2cm/s的速度

運動，回到點D停止.以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN.將APQN繞QN的中點旋

轉(zhuǎn)180。得到AMNQ.設(shè)四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S(cm?),點P運

動的時間為t(s)(0<t<3).

(1)當(dāng)點N落在邊BC上時，求t的值.

(2)當(dāng)點N到點A、B的距離相等時，求t的值.

(3)當(dāng)點Q沿D玲B運動時，求S與t之間的函數(shù)表達式.

(4)設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F,直接寫出四邊形PEMF

與四邊形PQMN的面積比為2：3時t的值.

3型

【答案】(1)2(2)2(3)S=S新PQMN=2SAPNQ=2t2；424(4)

15

t=亍

t=l或7

【解析】

試題分析：(1)由題意知：當(dāng)點N落在邊BC上時，點Q與點B重合，此時DQ=3；

(2)當(dāng)點N到點A、B的距離相等時，點N在邊AB的中線上，此時PD=DQ；

333

(3)當(dāng)04仁百時，四邊形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當(dāng)為仁'時，四

邊形PQMN與4ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN.

312

(4)MN、MQ與邊BC的有交點時，此時耳<t<5,列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的

面積表達式后，即可求出t的值.

試題解析：(1)△PQN與^ABC都是等邊三角形，

???當(dāng)點N落在邊BC上時，點Q與點B重合.

/.DQ=3

/.2t=3.

3

t=2；

(2)???當(dāng)點N到點A、B的距離相等時，點N在邊AB的中線上,

PD=DQ,

3

當(dāng)ovt<2時,

此時,PD=t,DQ=2t

/.t=2t

t=0(不合題意，舍去)，

3

當(dāng)2?tV3時，

止匕時，PD=t,DQ=6-2t

/.t=6-2t,

解得t=2；

綜上所述，當(dāng)點N到點A、B的距離相等時，t=2；

(3)由題意知：此時，PD=t,DQ=2t

當(dāng)點M在BC邊上時，

/.MN=BQ

PQ=MN=3t,BQ=3-2t

/.3t=3-2t

3

解得t=5

3

如圖①，當(dāng)0蟲出時，

式9小

PNQ=4PQ2=4t2；

小

2

,,S=S菱形PQMNTZSAPNQ=t2，

33

如圖②，當(dāng)Mt呈時，

設(shè)MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F,

MN=PQ=3t,NE=BQ=3-2t,

ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3,

V△EMF是等邊三角形，

SAEMF=4ME2=4(5t-3)2

S=S菱形PQMN-S△MEF=-2~(5t—3)2

S__7火215媳9\3

424

（4）MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F,

312

此時弓<t<5,

15

t=l或7

回①

考點：幾何變換綜合題

4.在△ABC中，AB=BC,點0是AC的中點，點P是AC上的一個動點（點P不與點A,

O,C重合）.過點A,點C作直線BP的垂線，垂足分別為點E和點F,連接0E,0F.

（1）如圖1,請直接寫出線段0E與0F的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)NABC=90。時，請判斷線段0E與0F之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明

理由

【答案】（1）OF=OE；（2）OF_LEK,OF=OE,理由見解析；（3）0P的長為#一0或

2石

亍.

【解析】

【分析】（1）如圖1中，延長E0交CF于K,證明AAOE2ACOK,從而可得OE=OK,再

根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE；

（2）如圖2中，延長E0交CF于K,由己知證明△ABE空△BCF,△AOE^△COK,繼而可

證得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得OFLEK,OF=OE；

（3）分點P在A0上與C0上兩種情況分別畫圖進行解答即可得.

【詳解】（1）如圖1中，延長E0交CF于K,

ZEAO=ZKCO,

OA=OC,ZAOE=ZCOK,△AOE合△COK,/.OE=OK,

???AEFK是直角三角形，:OF=LEK=OE；

2

ZABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBF=90°,/.ZBAE=ZCBF,

AB=BC,.〔AABEB△BCF,BE=CF,AE=BF,

???△AOE合△COK,AE=CK,OE=OK,FK=EF,

AEFK是等腰直角三角形，OFLEK,OF=OE；

（3）如圖3中，點P在線段AO上，延長EO交CF于K,作PH_LOF于H,

在RtAEFK中，tanNFEK=正，/.ZFEK=3O°,ZEKF=60°,

3

1

，EK=2FK=4,0F=-EK=2,

2

△OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2,

在RtAPHF中，PH=-PF=1,HF=V3,0H=2-6，

0P=Jr+（2—6）2=瓜-亞.

如圖4中，點P在線段OC上，當(dāng)PO=PF時，ZPOF=ZPFO=30°,

ZBOP=90°,

33

綜上所述：OP的長為遙—逝■或2叵.

3

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰

直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點0(0,0)，點A(5,0),點B(0,

3).以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點。，B,C的對應(yīng)點分別

為D,E,F.

(1)如圖①，當(dāng)點。落在BC邊上時，求點。的坐標(biāo)；

(2)如圖②，當(dāng)點。落在線段BE上時，AD與BC交于點、H.

①求證△ADB^△AOB；

②求點H的坐標(biāo).

(3)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為AKDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)

果即可).

圖①圖②

【答案】(1)D(1,3)；(2)①詳見解析；②H(―,3)；(3)

30-3取<§<30+3用

4——4,

【解析】

【分析】

(1)如圖①，在RtAACD中求出CD即可解決問題；

(2)①根據(jù)HL證明即可;

②，設(shè)AH=BH=m,貝!JHC=BC-BH=5-m,在RtAAHC中，AH2=HC2+AC2,構(gòu)建方程求出

m即可解決問題；

(3)如圖③中，當(dāng)點D在線段BK上時，ADEK的面積最小，當(dāng)點D在BA的延長線上

時，ADEK的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；

【詳解】

(1)如圖①中，

圖①

A(5,0),B(0,3),

04=5,08=3,

???四邊形AOBC是矩形，

AC=OB=3,OA=BC=5,NOBC=NC=90°,

???矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到，

AD=AO=5,

在R3ADC中，CD=y/Q一AC?二%

BD=BC-CD=1,

.D(1,3).

(2)①如圖②中，

圖②

由四邊形AOE尸是矩形，得到N/WE=90。,

?.,點。在線段BE上，

ZADB=90°,

由(1)可知，AD=AO,5LAB=AB,Z>408=90°,

Rt4ADB^Rt4AOB(HL).

②如圖②中，ADB^AAOB,得到NBAD=NBAO,

又在矩形AOBC中，。川1BC,

：.ZCBA=Z.OAB,

：.ZBAD=NCBA,

：.BH=AH,設(shè)AH=BH=m,貝!|HC=BC-BH=5-m,

在RtAAHC中，???AH2=HC2+AC2,

.m2=32+(5-m)2,

17

..m~—，

5

17

BH=—,

5

17

H(—,3).

5

(3)如圖③中，當(dāng)點。在線段BK上時，AOEK的面積最小，最小值=g?DE?DK=；x3x

，匚南、30-3西

(5--------)=-----------------，

當(dāng)點。在B4的延長線上時，△DEK的面積最大，最大面積二工XDEXKO=LX3X

22

(5+V34)_30+3A/34

4.

綜上所述，30-3734^30+3V34

44

【點睛】

本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等

知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決

問題.

6.已知：在菱形ABC。中，E,F是B。上的兩點，S.AEWCF.

求證：四邊形AECF是菱形.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得ABUCD,AB^CD,ZADF=NCDF,由"SAS"可證△A。心△CDF,可得

AF=CF,由△ABEVACOF,可得AE=CF,由平行四邊形的判定和菱形的判定可得四邊形

AECF是菱形.

【詳解】

證明：,四邊形ABC。是菱形

ABWCD,AB=CD,NADF=NCDF,

-：AB=CD,NADF=NCDF,DF=DF

：.△ADF^△CDF(SAS)

AF=CF,

■：ABWCD,AEWCF

ZABE=NCDF,ZAEF=ZCFE

:.NAEB=NCFD,NABE=NCDF,AB=CD

：.△ABE^△CDF(AAS)

AE=CF,且AEIICF

?四邊形AECF是平行四邊形

又,：AF=CF,

?四邊形AEC尸是菱形

【點睛】

本題主要考查菱形的判定定理，首先要判定其為平行四邊形，這是菱形判定的基本判定.

7.如圖，四邊形ABCD中，ADIIBC,ZA=90°,BD=BC,點E為CD的中點，射線BE交AD

的延長線于點F,連接CF.

(1)求證：四邊形BCFD是菱形；

(2)若AD=1,BC=2,求BF的長.

AD

￡

----------------VC

【答案】(1)證明見解析(2)2班

【解析】

(1)-，-AFWBC,：.ZDCB=ZCDF,ZFBC=NBFD,

,點E為CD的中點，，OE=EC,

NFBC=NBFD

在4BCE與AFOE中，<ZDCB=ZCDF,

DE=EC

：.△BCE竺△FDE,：.DF=BC,

又,「OFIIBC,：.四邊形BCOF為平行四邊形，

BD=BC,：.四邊形BCFD是菱形；

(2),四邊形BCFO是菱形，,BD=OF=8C=2,

22

在RtABA。中，AB=y/BD-AD=^3>

-：AF=AD+DF=l+2=3,在RtABAF中，BF=AB?+AF2=2幣.

8.如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AC=60cm,ZA=60°,點D從點C出發(fā)沿CA方向以

4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻

速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t

秒(0<t<15).過點D作DF_LBC于點F,連接DE,EF.

(1)求證：AE=DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由；

(3)當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)能，t=10；(3)t=”■或12.

2

【解析】

【分析】

(1)利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角ACDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得

DF的長，即可證明；

（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方

程求得t的值；

（3）ADEF為直角三角形,分3EDF=90°和NDEF=90°兩種情況討論.

【詳解】

解：（1）證明：,在RtAABC中，ZC=900-ZA=30",

11

/.AB=—AC=—x60=30cm，

22

?/CD=4t,AE=2t,

又；在RtACDF中，ZC=30°,

1

DF=-CD=2t,DF=AE；

2

（2）能，

DFIIAB,DF=AE,

?四邊形AEFD是平行四邊形，

當(dāng)AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，即60-4t=2t,解得：t=10,

.,.當(dāng)t=10時,AEFD是菱形；

（3）若ADEF為直角三角形，有兩種情況：

①如圖1,ZEDF=90",DEIIBC,

圖1

則AD=2AE,即60-4t=2x23解得：t=—,

2

②如圖2,ZDEF=90°,DE±AC,

圖2

則AE=2AD,即2t=2(60—4t),解得：t=12,

綜上所述，當(dāng)1=—或12時，ADEF為直角三角形.

2

9.在正方形ABCD中，點E,F分別在邊BC,CD上，且NEAF=NCEF=45。.

⑴將AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG（如圖①），求證：△AEG2△AEF；

⑵若直線EF與AB,AD的延長線分別交于點M,N（如圖②），求證：EF2=ME2+NF2；

⑶將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請你直接寫出線段EF,

BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,NEAF=NGAE=45°,故可證△AEGVAAEF；

（2）將AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG,連結(jié)GM.由（1）知

△AEG2AAEF,則EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出

CE=CF,BE=BM,NF=〃DF,然后證明NGME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出

EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF2=ME2+NF2；

（3）將4ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ABG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到

△AD0△ABG,則DF=BG,再證明△AEG2△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代換

得到EF=BE+DF.

試題解析：⑴丫AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ABG,

AF=AG,ZFAG=90",

???ZEAF=45",

ZGAE=45°,

在小AGE與^AFE中,

AG=AF

,Z.GAE=FAE=45°

AE=AE

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a.

將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到AABG,連結(jié)GM.

則以AD這AABG,DF=BG.

由(1)知丁AEG2△AEF,

EG=EF.

,,,ZCEF=45°,

ABME、ADNF、ACEF均為等腰直角三角形，

CE=CF,BE=BM,NF=』DF,

a-BE=a-DF,

BE=DF,

/.BE=BM=DF=BG,

/.ZBMG=45°,

/.ZGME=45°+45°=90°,

/.EG2=ME2+MG2,

,,,EG=EF,MG=3BM=/DF=NF,

/.EF2=ME2+NF2；

(3)EF2=2BE2+2DF2.

如圖所示，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，

將AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AAGH,連結(jié)HM,HE.

由(1)知丁AEHC△AEF,

則由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(DF2+BE2)=EF2

圖③

考點：四邊形綜合題

10.圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均

為1,每個小正方形的頂點叫做格點.

（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON,使點N在格點上，且NMON=90。；

（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD,使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直

角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角

形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）.

圖1圖2

【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.

【解析】

試題分析：（1）過點。向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN即可；

（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可.

試題解析：（1）過點。向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN,如圖1

（2）等腰直角三角形MON面積是5,因此正方形面積是20,如圖2所示；于是根據(jù)勾股

定理畫出圖3：

考點：1.作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖；2.勾股定理.

11.如圖①，四邊形ABC。是知形，AB=1,3C=2,點七是線段上一動點（不與

瓦C重合），點尸是線段胡延長線上一動點，連接上,跖,?！晟敖籄。于點G.設(shè)

BE=x,AF=y,己知》與X之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

圖①圖②

（1）求圖②中y與x的函數(shù)表達式；

（2）求證：/）EIOF；

（3）是否存在無的值，使得△DEG是等腰三角形?如果存在，求出X的值;如果不存在，

說明理由

5、5—、六,3

【答案】（1）y=-2x+4（0<x<2）；（2）見解析；（3）存在，x=—或------或一.

422

【解析】

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法可得y與x的函數(shù)表達式；

（2）證明△CDE-△ADF,得NADF=NCDE,可得結(jié)論;

（3）分三種情況：

①若DE=DG,則NDGE=NDEG,

②若DE=EG,如圖①，作EHIICD,交AD于H,

③若DG=EG,貝此GDE=ZGED,

分別列方程計算可得結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)―/cx+b,

由圖象得：當(dāng)x=1時，y=2,當(dāng)x=0時，y=4,

k+b=2[k=-2

代入得:4，得4

[b=4[b=4

.y=-2x+4(0<x<2)；

(2)BE=x,BC=2

.CE=2-x,

CE2-x_1CD1

,AF-4-2x-2，AD-2

CECD

'AF~AD'

-四邊形ABC。是矩形，

ZC=ZDAF=90°,

/.△CDE-△ADF,

??NADF--Z.CDE,

/.ZADF+NEDG=NCDE+NEDG=90°,

/.DE±DF；

(3)假設(shè)存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，

①若DE=DG,貝此DGE=ZDEG,

■■■四邊形ABCD是矩形，

ADWBC,Z8=90°,

/.NDGE=NGEB,

NDEG—Z.BEG,

在4?！?和4BEF中，

ZFDE=ZB

<ZDEF=ZBEF,

EF=EF

：.△DEF*△BEF(AAS),

DE=BE=x,CE=2-x,

在RtACDE中，由勾股定理得：1+(2-x)2=x2,

5

X~4；

②若DE=EG,如圖①，作EHIICD,交AD于“，

(圖①)

ADWBC,EHWCD,

.四邊形CDHE是平行四邊形，

/.ZC=90°,

?四邊形是矩形，

:.EH=CD=\,DH=CE=2-x,EHA.DG,

/.HG=DH=2-x,

AG=2x-2,

EHIICD,DCWABf

...EHIIAF,

「.△EHGs△FAG,

EH_HG

AF-AG?

1_2-x

4—2x2x—2

-x_5-75_5+7?（舍）

??xi----，x2----〈古J

③若DG=EG,貝此GDE=NGED,

■：ADWBC,

NGDE=NDEC,

NGED—Z.DEC,

,/ZC=NEDF=90°,

「.△CDE-△DFE,

CE_DE

~CD~~DF"

'：△CDE-△ADF,

DECDI

DF-AD-2

CE_1

~CD~2

13

?2-x——,X——,

22

綜上，x=.或5-6或&.

422

【點睛】

本題是四邊形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似和全等

的性質(zhì)和判定，矩形和平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理和逆定理等知識，運用相似三

角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

12.如圖①，在矩形A3CD中，點P從A3邊的中點E出發(fā)，沿著石—6—C速運動，

速度為每秒2個單位長度，到達點C后停止運動，點。是AD上的點，AQ=10,設(shè)

APAQ的面積為y,點。運動的時間為，秒，y與￡的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

(1)圖①中，BC=_,圖②中機=.

⑵當(dāng)t=l秒時，試判斷以尸。為直徑的圓是否與邊相切?請說明理由：

⑶點P在運動過程中，將矩形沿尸。所在直線折疊，貝打為何值時，折疊后頂點A的對應(yīng)

點A'落在矩形的一邊上.

圖①

117

【答案］⑴8,18,20乂2)不相切,證明見解析;(3)t=一、5、—.

23

【解析】

【分析】

(1)由題意得出AB=2BE,t=2時，BE=2x2=4,求出AB=2BE=8,AE=BE=4,t=ll時，

2t=22,得出BC=18,當(dāng)t=0時，點P在E處，m=AAEQ的面積=▲AQxAE=20即可；

2

(2)當(dāng)t=l時，PE=2,得出AP=AE+PE=6,由勾股定理求出PQ=2后，設(shè)以PQ為直徑的

圓的圓心為。',作O'N_LBC于N,延長NO,交AD于M,則MN=AB=8,O'MIIAB,

MN=AB=8,由三角形中位線定理得出O'M=LAP=3,求出O'N=MN-O'M=5＜：圓O的半徑，

2

即可得出結(jié)論；

(3)分三種情況：①當(dāng)點P在AB邊上，A，落在BC邊上時，作QF_LBC于F,則

QF=AB=8,BF=AQ=1O,由折疊的性質(zhì)得：PA'=PA,A'Q=AQ=10,NPA'Q=NA=90。，由勾股定

理求出A'F=，A'02_Q尸2=6,得出A'B=BF-A'F=4,在RtAA'BP中，BP=4-2t,PA'=AP=8-

(4-2t)=4+2t,由勾股定理得出方程，解方程即可；

②當(dāng)點P在BC邊上，A，落在BC邊上時，由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP,證出NAPQ=NAQP,

得出AP=AQ=A'P=10,在RtAABP中，由勾股定理求出BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=6,解

方程即可；

③當(dāng)點P在BC邊上，A，落在CD邊上時，由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP,A'Q=AQ=10,在

RtADQA'中，DQ=AD-AQ=8,由勾股定理求出DA'=6,得出A'C=CD-DA'=2,在RtAABP和

RtAA'PC中，BP=2t-4,CP=BC-BP=22-2t,由勾股定理得出方程，解方程即可.

【詳解】

(1)?.?點P從AB邊的中點E出發(fā)，速度為每秒2個單位長度，

AB=2BE,

由圖象得：t=2時，BE=2x2=4,

AB=2BE=8,AE=BE=4,

t=ll時，2t=22,

BC=22-4=18,

當(dāng)t=0時，點P在E處，m=AAEQ的面積=-AQxAE=-xl0x4=20；

22

故答案為8,18,20；

(2)當(dāng)t=l秒時，以PQ為直徑的圓不與BC邊相切，理由如下:

當(dāng)t=l時，PE=2,

AP=AE+PE=4+2=6,

???四邊形ABCD是矩形，

ZA=90°,

PQ=J+AD?=A/102+62=2A/34，

設(shè)以PQ為直徑的圓的圓心為O',作O'N_LBC于N,延長NO,交AD于M,如圖1所示:

則MN=AB=8,O'MIIAB,MN=AB=8,

O'為PQ的中點，

O"M是CAPQ的中位線,

1

O'M=-AP=3,

2

O'N=MN-O'M=5<734，

???以PQ為直徑的圓不與BC邊相切；

（3）分三種情況：①當(dāng)點P在AB邊上，A,落在BC邊上時，作QF_LBC于F,如圖2所

圖2

貝QF=AB=8,BF=AQ=1O,

四邊形ABCD是矩形，

二ZA=ZB=ZBCD=ZD=90°,CD=AB=8,AD=BC=18,

由折疊的性質(zhì)得：PA'=PA,A'Q=AQ=10,NPA'Q=NA=90。，

■-A，F(xiàn)=A/A22-GF2=6,

A'B=BF-A'F=4,

在RtAA'BP中,BP=4-2t,PA'=AP=8-(4-2t)=4+2t,

由勾股定理得:42+(4-2t)2=(4+2t)2,

解得：t=—；

2

②當(dāng)點P在BC邊上，A，落在BC邊上時，連接AA1如圖3所示:

由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP,

/.ZAPQ'=NA'PQ,

ADIIBC,

ZAQP=NA'PQ,

ZAPQ=NAQP,

AP=AQ=A'P=10,

在RtAABP中，由勾股定理得：BP=7102-82=6>

文:BP=2t-4,

.2t-4=6,解得：t=5；

由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP,A'Q=AQ=10,

在RtADQA'中，DQ=AD-AQ=8,

由勾股定理得：DA三J102—82=6,

A'C=CD-DA'=2,

在RtAABP和RtAA'PC中，BP=2t-4,CP=BC-BP=18-(2t-4)=22-2t,

由勾股定理得：AP2=82+(2t-4)2,A'P2=22+(22-2t)2,

82+(2t-4)2=22+(22-2t)2,

17

解得：t=二；

3

117

綜上所述，t為一或5或一時，折疊后頂點A的對應(yīng)點A，落在矩形的■邊上.

23

【點睛】

四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象、直線與圓

的位置關(guān)系、三角形中位線定理、等腰三角形的判定、以及分類討論等知識.

13.猜想與證明：

如圖1,擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B、C、G三點在一條直線上，CE在邊

CD上，連接AF,若M為AF的中點，連接DM、ME,試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

拓展與延伸：

(1)若將"猜想與證明"中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不

變，則DM和ME的關(guān)系為.

(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,使點F在邊CD上，點M仍為AF

的中點，試證明（1）中的結(jié)論，仍然成立.

證明見解析.

試題分析：延長EM交AD于點H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到ADIIEF,得到△FME和

△AMH全等，得到HM=EM,根據(jù)RtAHDE得到HM=DE,則可以得到答案；（1）、延長

EM交AD于點H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到ADIIEF,得到△FME和^AMH全等，得

到HM=EM,根據(jù)R3HDE得至l」HM=DE,則可以得到答案；（2）、連接AE,根據(jù)正方形

的性質(zhì)得出NFCE=45°,ZFCA=45。，根據(jù)RTAADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根據(jù)

RTAAEF中AM=MF得出AM=MF=ME,從而說明DM=ME.

試題解析：如圖1,延長EM交AD于點H,?.?四邊形ABCD和CEFG是矩形，,ADIIEF,

ZEFM=ZHAM,

又NFME=NAMH,FM=AM,

rZEFM=HAM

在小FME和4AMH中，＜FM=AM

ZFME=ZAMH

/.△FME&△AMH(ASA)

HM=EM,

在RTAHDE中，HM=DE,

/.DM=HM=ME,

/.DM=ME.

(1)、如圖1,延長EM交AD于點H,

???四邊形ABCD和CEFG是矩形，

ADIIEF,

ZEFM=NHAM,

又「NFME=NAMH,FM=AM,

rZEFM=HAM

在AFME和AAMH中，F(xiàn)M=AM

ZFME=ZAMH

△FME之△AMH(ASA)

HM=EM,

在RTAHDE中，HM=EM

DM=HM=ME,

/.DM=ME,

(2)、如圖2,連接AE,

四邊形ABCD和ECGF是正方形，

ZFCE=45°,ZFCA=45",

AE和EC在同一條直線上，

在RTAADF中，AM=MF,

/.DM=AM=MF,

在RTAAEF中，AM=MF,

AM=MF=ME,

DM=ME.

14.如圖1,若分別以AABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACOE和BCFG為正方

形，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形.

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)NC=90。時，求證：AABC與△OCF的面積相等.

（2）引申：如果NCN90。時，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若

不成立，請說明理由；

（3）運用：如圖3,分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACOE、BCFGABMN

正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形.已知△ABC中，4C=3,BC=4.當(dāng)

zc=。時，圖中陰影部分的面積和有最大值是.

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）18.

【解析】

試題分析：（1）因為AC=DC,ZACB=ZDCF=90",BC=FC,所以△ABC合△DFC,從而

△ABCVADFC的面積相等；

（2）延長BC到點P,過點A作APLBP于點P；過點D作DCUFC于點Q.得到四邊形

ACDE,BCFG均為正方形，AC=CD,BC=CF,NACP=NDCQ.所以△APS△DQC.

于是AP=DQ.又因為SAABC='BC?AP,SADFC=-FC?DQ,所以SAABC=SADFC;

22

（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和

有最大值，則三角形ABC的面積最大，當(dāng)△ABC是直角三角形，即NC是90度時，陰影部

分的面積和最大.