重慶市2024-2025學年九年級上學期數學第一次月考模擬試卷（含詳解）

重慶市2024-2025學年九年級上學期數學第一次月考模擬試卷

選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.（4分）在0、1、-2、r田這四個數中，最小的數是（）

A.0B.1C.-2D.-V3

2.（4分）2023年癸卯年（兔年）春節(jié)即將來臨.春節(jié)期間，貼春聯，送祝福一直是我們的優(yōu)良傳統(tǒng).我

國傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個圖案構成.這四個圖案中是中心對稱圖形的是（）

(TLQ

cJO

3.(4分)拋物線y=2(x-3)2-5的頂點坐標是()

A.(-3,-5)B.(-3,5)C.(3,-5)D.(3,5)

4.(4分)如圖，ZAOB=45°,CD〃OB交OA于E,則//EC的度數為()

D

0乙------------B

A.130°B.135°（3.140°D.145°

5.（4分）若兩個相似三角形的面積之比為4：9則它們對應角的平分線之比為（）

A.2B.3（二逅D.逅

3232

6.（4分）如圖，在△N2C中，NC=90°,設立4NB,NC所對的邊分別為a,b,c,貝U（）

A

A.c=bsin5B.a=ccosB（3.a=btanBD.b=ctanB

7.（4分）估計（3/元~V^）xJE的值應在

）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

8.（4分）觀察下列圖形的規(guī)律，依照此規(guī)律,第20個圖形中“?”的個數為（

第一個第二個第三個第四個

A.402B.412C.422D.432

9.（4分）如圖，正方形4BCO中，E為3c邊上一點，連接DE,將DE繞點E逆時針旋轉90°得到ER

連接DRBF,若/NDF=a，則/EF8一定等于（）

A.aB.45°-aC.90°-3aD.—Q

2

10.（4分）有力個依次排列的能式：第1項是次，第2項是層+20+1,用第2項減去第1項，所得之差記

為仇，將仇加2記為歷，將第2項與歷相加作為第3項，將近加2記為犯，將第3項與為相加作為

第4項，……,以此類推.某數學興趣小組對此展開研究，得到3個結論①%=2。+9；②若第6項與

第5項之差為4057,則a=2024；③當n=k時，仇+62+63+64+…+瓦=2以+??；其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）

11.（4分）計算（1+J^）0+（―）-1+2cos30°=.

2

12.（4分）拋物線y=-2x2+1向下平移3個單位長度后得到的新拋物線的解析式為.

13.（4分）某種茶葉的價格兩次下降，每次下降的百分率相同，原來每袋125元，現在每袋80元，則每

次下降的百分率是.

14.（4分）若正多邊形的一個內角等于150°,則這個正多邊形的邊數是.

15.（4分）如圖，海中有一個小島一艘輪船由西向東航行，在點8處測得小島/在它的北偏東60°方

向上，航行12海里到達點。處，測得小島/在它的北偏東30°方向上，那么小島/到航線3c的距離

16.（4分）已知：如圖，AD、8E分別是△N3C的中線和角平分線，ADLBE,AD=BE=6,則/C的長

等于_______________________.

x+8>3x-2

17.（4分）若數加使關于x的一元一次不等式組的解集是x<〃?，且使關于y的分式方程

x<m

生士”=1有非負整數解，則符合條件的所有整數%的值之和為_______.

y-33-y

18.（4分）如果一個四位自然數M各個數位上的數字均不為0,且前兩位數字之和為5,后兩位數字之和

為8,則稱M為“會意數”.把四位數〃的前兩位數字和后兩位數字整體交換得到新的四位數.規(guī)

定卜（H）例如：M=2335,2+3=5,3+5=8,/.235是“會意數”.則

F（2335）=3523-2335力.如果“會意數"N=4162,貝IJF（N）=；已知四位自然數Seabed

是“會意數”，（6W4,d&7,且a、b、c、d均為正整數），若尸（S）恰好能被8整除，則滿足條件的

數S的最大值是.

三.解答題（共8小題，滿分78分）

19.（8分）計算:

(1)(a-2b)2-Qa-b)Q-b-a)+3〃?2b；

⑵必/r6x-10

(x+rK).、

X2-2X+1

20.（10分）如圖，已知△48C,4D平分/BAC.

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作4D的垂直平分線交48于點E,交NC于點尸，交4D于點G,連

接DE,DF.（保留作圖痕跡，不寫作法）

(2)求證：四邊形尸是菱形.

證明：萬是4D的垂直平分線

：.FA=(1),ED=。；

且G是4D的中點，即尸G是的中線

C.FGLAD

：./4GF=N4GE=9Q°

"：AD平分入R4C

???③________________

，ZBAD=ZCAD

在△/GE和A/G/中：<G)()

、/AGF=NAGE

...4AGE咨AAGF

二⑤____________

又：FA=FD,EA=ED

：.AE=AF=DE=DF

...四邊形/EDF是菱形

A

21.(10分)某校為了解七、八年級學生對安全知識的掌握情況，對七年級和八年級學生進行了安全知識

的測試，現從中各隨機選出20名同學的成績進行分析，將學生成績分為/、B、C、。四個等級.分別

是/：x<70,B：70Wx<80,C：80Wx<90,D：90^x^100,其中，七年級學生的成績?yōu)椋?6,75,

76,78,79,81,82,83,83,86,86,87,87,87,91,92,94,95,96,96.

八年級等級C的學生成績?yōu)椋?1,82,83,86,87,87,89.

兩組數據的平均數、中位數、眾數如表：

學生平均數中位數眾數

七年級8586a

八年級85b91

根據以上信息，解答下列問題:

(1)填空：a=；b=；m=.

(2)根據以上數據，你認為在此次知識測試中，哪個年級的成績更好？請說明理曲(一條理由即可)

(3)若該校七年級有850名學生參加測試，八年級有890名學生參加測試，請估計兩個年級參加測試

學生中成績優(yōu)秀(大于或等于90分)的學生共有多少人？

八年級學生知識成績扇形統(tǒng)計圖

B

15%

22.(10分)臘味食品深受川渝人的喜愛.春節(jié)將至，甲、乙兩單位打算為員工購買臘肉和香腸作為新年

福利.

(1)2023年12月份，甲單位花費4300元購買了40袋臘肉、50袋香腸，已知10袋臘肉和9袋香腸的

售價相同，求2023年12月份每袋臘肉和香腸的售價分別是多少元？

(2)由于市場供不應求，2024年1月份臘肉和香腸的價格均有上漲，其中每袋香腸的售價是每袋臘肉

售價的1.2倍，乙單位分別花費了2000元、3600元購買臘肉、香腸，一共購買了100袋，求2024年1

月份每袋臘肉的售價.

23.(10分)如圖，四邊形4BCZ)中，AB//CD,ZB=90°,48=4,BC=3,CD=1.動點尸，。分別以

每秒1個單位長度的速度從。，C同時出發(fā)，點P沿。一C方向運動，到達C點停止運動，點。沿折

線Cfg―/方向運動，到達4點停止運動，連接4P,AQ,設點尸、點。的運動時間為:。＞0)秒,

四邊形APCQ的面積為以

(1)請直接寫出/關于時間f的函數表達式，并注明自變量f的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；

(3)結合函數圖象，直接寫出四邊形NPC0的面積小于11時/的范圍.

y

12--1---r--r--r--r--r--T--T--T--T-i---

[1--L--I--------

10--

7一彳-彳-彳-一4+十一1++++]

6--r--r--r--F--F--F--T--T--7--7--T---；

24.（10分）為了增強體質，就讀于重慶文德中學校區(qū)的小明和就讀于十一中本部的哥哥每周都會從

各自學校出發(fā)前往涂山站匯合一同前往江南體育館打羽毛球，經勘測，騰黃大道公交站C在文德中學

CBD校區(qū)點A的正北方150米處，H^一中本部點B在點A的正東方600米處，點D在點B的東北方向，

點。在點C的正東方，涂山站￡在點。的正北方，點￡在點C的北偏東60°方向.（參考數據加-

1.4,百心1.7）

（1）求的長度；（結果精確到1米）

（2）周五放學，小明和哥哥分別從各自學校同時出發(fā)，前往點E處匯合，小明的路線為/-C-E,他

從點/步行至點C再乘坐公交車前往點E,假設小明勻速步行速度為80米每分鐘，公交車勻速行駛速

度為250米每分鐘，公交車行駛途中停靠了一站，上下客合計耗時2分鐘（小明上車和下車時間忽略不

計）.哥哥的路線為3-。-E,全程步行，他從點3經過點。買水（買水時間忽略不計）再前往點E,

假設哥哥勻速步行且速度為100米每分鐘.請問小明和哥哥誰先到達點￡呢？說明理由（結果保留兩

25.（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+fcc+c與x軸交于8兩點，與y軸交于點C,

直線y=_^x_2與X軸，y軸分別交于4。兩點，。點為0c中點.

（1）求拋物線表達式；

（2）點P為直線4D下方拋物線上一動點，過點尸作交/。于點〃，求9的最大值，以及

此時點P的坐標；

(3)將拋物線沿射線/。方向平移遙個單位，點￡為平移后的拋物線上一點，連接NC,若NECA=/

ADO,請直接寫出所有符合條件的點￡的坐標.

26.(10分)在△4BC中，NA4c=90°,4B=AC,點D為BC邊上一動點,連接4D,將/。繞著。點

逆時針方向旋轉90°得到DE,連接NE.

(1)如圖1,/8L2C,點D恰好為C77中點，AE與BC交于點、G,若48=4,求/E的長度；

(2)如圖2,DE與AB交于點、F,連接8￡,在氏4延長線上有一點尸，ZPCA=ZEAB,AB=AP+

MBD；

(3)如圖3,DE與4B交于點,F,且平分/END,點M為線段/尸上一點，點N為線段上一

點，連接DM,MN,點K為。M延長線上一點，將△ADK沿直線3K翻折至△ADK所在平面內得到^

BQK,連接DQ,在M,N運動過程中，當DM+WV取得最小值，且NDKQ=45°時，請直接寫出世

''BC

的值.

圖3

重慶市2024-2025學年九年級上學期數學第一次月考模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.（4分）在0、1、-2、”后這四個數中，最小的數是（）

A.0B.1C.-2D.-V3

【解答】解：在0,1,-2,這四個數中，最小的數是：-2.

故選：C.

2.（4分）2023年癸卯年（兔年）春節(jié)即將來臨.春節(jié)期間，貼春聯，送祝福一直是我們的優(yōu)良傳統(tǒng).我

國傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個圖案構成.這四個圖案中是中心對稱圖形的是（）

A.

C.

【解答】解：根據中心對稱圖形的定義可得：2選項圖為中心對稱圖形，A,C,。都不是.

故選：B.

3.（4分）拋物線y=2（x-3）2-5的頂點坐標是（）

A.（-3,-5）B.（-3,5）C.（3,-5）D.（3,5）

【解答】解：：拋物線y=2（x-3）2-5,

???它的頂點坐標為（3,-5）,

故選：C.

【解答】M：'：ZAOB=45°,CD//OB,

AZAED=ZAOB=45°，

VZAEC+ZAED^180°,

ZAEC=135°，

故選：B.

5.（4分）若兩個相似三角形的面積之比為4：9,則它們對應角的平分線之比為（）

A.—B.—C.D.

3232

【解答】解：：兩個相似三角形的面積之比為4：9,

兩個相似三角形的相似比為2：3,

.??它們對應角的平分線之比為2：3,

故選：A.

6.（4分）如圖，在△/5C中，NC=90°,設NB,NC所對的邊分別為a,b,c,貝U（）

【解答】解：：NC=90°,

siiiB=—,cosfi=—,tanB=—,

cca

.,.c——--,a—tcosB,a——--,b=atanB,所以/選項、C選項、。選項不符合題意，5選項符合

sinBtanB

題意.

故選：B.

7.（4分）估計xj工的值應在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【解答】解:原式=3?-1=^45-1，

V62=36,72=49,而36<45<49,

.,.6<V45<7,

?'-5<V45-1<6,

故選：C.

8.（4分）觀察下列圖形的規(guī)律，依照此規(guī)律，第20個圖形中的個數為（

第一個第二個第三個第四個

A.402B.412C.422D.432

【解答】解：根據所給圖形得，

第1個圖形中“?”的個數為：4=22-0；

第2個圖形中“?”的個數為：8=32-1；

第3個圖形中“?”的個數為：14=42-2；

第4個圖形中的個數為：22=52-3；

所以第〃個圖形中“?”的個數為：(“+1)2-(〃-1).

當”=20時，

(20+1)2-(20-1)=422.

故選：C.

9.(4分)如圖，正方形中，￡為3C邊上一點,連接。E,將DE繞點E逆時針旋轉90°得到ER

連接DRBF,若NADF=CL,則/￡7吆一定等于()

BEC

A.aB.45°-aC.90°-3aD.—Q

2

【解答】解：過點尸作FGLCB,交CB的延長線于點G,

由旋轉得，DE=EF,ZDEF=90°,

AZEDF=45°.

??,四邊形48cZ）為正方形，

：,CD=BC,ZADC=ZC=90°,

：.ZC=ZEGF=90°.

'：ZCDE+ZCED=90°,ZFEG+ZCED=90°,

：.ZCDE=ZFEG,

：.ACDE^AGEF（AAS）,

:.FG=CE,EG=CD.

:?EG=BC,

即BG+BE=BE+CE,

：.BG=CE=FG,

:?/FBG=45。.

?:/ADF=a,/EDF=45°,

：.ZCDE=ZFEG=45°-a,

:./EFB=/FBG-ZFEB=a.

故選：A.

10.（4分）有〃個依次排列的能式：第1項是修，第2項是層+2〃+1,用第2項減去第1項，所得之差記

為⑦,將仇加2記為歷，將第2項與歷相加作為第3項，將歷加2記為仇，將第3項與劣相加作為

第4項，……，以此類推.某數學興趣小組對此展開研究，得到3個結論①65=2Q+9；②若第6項與

第5項之差為4057,則67=2024；③當n=k時，61+62+63+64+…+瓦=2就+小；其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：由題知,

第1項為：〃2,

第2項為：第+1=(Q+1)2,

bi——(Q+1)2-=2Q+1,

Z?2=bi+2=2Q+3,

第3項為：Q2+2Q+1+2a+3=(Q+2)2,

63=62+2=24+5,

第4項為：Q2+4Q+4+2Q+5=(Q+3)2,

■■?，

以此類推，

第〃項為：(q+1)2,%=2Q+2〃-1(〃為正整數).

當n=5時，

力5=2Q+9.

故①正確.

第6項與第5項之差可表示為：(a+5)2-("4)2,

則(a+5)2-(a+4)2=4057,

解得a=2024.

故②正確.

當n=k時，

①+歷+如--卜bk

=2。+1+2。+3+2。+5+…+2。+2左-1

=2.4(1+2色、

2

=2ak+語.

故③正確.

故選：D.

二.填空題(共8小題，滿分32分，每小題4分)

11.(4分)計算(1+^Ti)°+(―)~1+2cos30°—3+V5

2

【解答】解：原式=l+2+2X近

2

=l+2+V^

=3+百一

故答案為3+V3.

12.（4分）拋物線y=-2x2+1向下平移3個單位長度后得到的新拋物線的解析式為--2/-2.

【解答】解拋物線y=-2x2+l向下平移3個單位長度后得到的新拋物線的解析式為y=-2x2+l-3=-

2K2-2,

故答案為：y=-2/-2.

13.（4分）某種茶葉的價格兩次下降，每次下降的百分率相同，原來每袋125元，現在每袋80元，則每

次下降的百分率是20%.

【解答】解：設每次下降的百分率為X,

根據題意得：125（1-x）2=80,

解得x=20%或x=9（舍去），

5

每次下降的百分率是20%；

故答案為：20%.

14.（4分）若正多邊形的一個內角等于150°,則這個正多邊形的邊數是12.

【解答】解：：正多邊形的一個內角等于150°,

,它的外角是：180°-150°=30°,

,它的邊數是:360°+30°=12.

故答案為：12.

15.（4分）如圖，海中有一個小島/,一艘輪船由西向東航行，在點8處測得小島/在它的北偏東60°

方向上，航行12海里到達點C處，測得小島”在它的北偏東30°方向上，那么小島/到航線2C的距

離等于_海里.

【解答】解：過點/作交3c的延長線于點E,

由題意得：5c=12海里，ZABC=90°-60°=30°,ZACE=90°-30°=60°,

；./BAC=NACE-NABC=30°,

：.ZBAC=ZABC,

二/。=2。=12海里，

在RtZX/CE1中，$出//。￡=鯉＞,

AC

：.AE=AC9smZACE=12X2/1=65/3（海里），

2

即小島/到航線BC的距離是6向海里，

故答案為：6M.

16.（4分）已知：如圖，AD,3E分別是的中線和角平分線，ADLBE,AD=BE=6,則NC的長

等于—蛇

—2—

【解答】解：過。點作。尸〃8E,

是△N2C的中線，ADLBE,

尸為EC中點，ADLDF,

AD=BE—6,則。尸=3,/尸={902+口衛(wèi)2=3^/^,

是△/BC的角平分線，ADLBE,

：.二ABG妾△DBG,

；.G為AD中點，

為《尸中點，

：.AC=^4F=^-X3斤小L

222

故答案為：9叵.

2

17.（4分）若數加使關于x的一元一次不等式組（八）的解集是x<加，且使關于y的分式方程

.X<IU

空士紋=1有非負整數解，則符合條件的所有整數機的值之和為2.

y-33-y

【解答】解：由x+8>3x-2,得xV5.

（Q>Q_O

???關于X的一元一次不等Y+式組Y/的解集是％〈冽，

???機W5.

???空+&=1,

y-33-y

J.y+m-2y=y-3.

???、v,—3+m?

-2

又???關于V的分式方程生+竺=1有非負整數解且m為整數，

y-33-y

..?多也是非負整數且四二3.

22

???加#3、m2-3.

-3W加W5且加W3.

；?m=-3或加=-1或加=1或加=5.

二.符合條件的m的和為-3+（-1）+1+5=2.

故答案為：2.

18.（4分）如果一個四位自然數/各個數位上的數字均不為0,且前兩位數字之和為5,后兩位數字之

和為8,則稱〃為“會意數”.把四位數M的前兩位數字和后兩位數字整體交換得到新的四位數.

規(guī)定F?。㎞例如：M=2335,,：2+3=5,3+5=8,；.235是“會意數”.則

99

F（2335）=3523-2332口2.如果“會意數"N=4162,則尸（N）=21；已知四位自然數5=獲而

99

是“會意數”，（bW4,dW7,且a、b、c、d均為正整數），若尸（S）恰好能被8整除，則滿足條件

的數S的最大值是4117.

【解答】解：：“會意數"N=4162,

：.N'=6241.

:.F（N）

=6241-4162=21;

9999

:數S=abcd是“會意數”，

???S千位上的數字為Q,百位上的數字為b,十位上的數字為C,個位上的數字為

：.S=1000。+1006+1Oc+d,

Sr=1000c+100d+10Q+b.

_S?"S_"990a~99b+990c+99d—

10(7-b+10c+d.

999^

Va+b=5,c+d=8,

??Q=5-b,c=8-d.

:?F(S)=-10(5-6)-b+10(8-d)+d=9b-9d+30.

???尸⑸恰好能被8整除，

?9b-9d+30=(8b-8d+24)+(b-d+6)=(%_^_4_g4.b-d+6是一個整數.

'?"1―8—8

：.b-d+6是8的倍數.

?.葦W4,dW7,S取最大值，各個數位上的數字均不為0,

千位上的數字。應取最大值，

百位上的b取最小值1.

??d=7,

??Q=4,C=1.

J滿足條件的數S的最大值=1000X4+100X1+10X1+7=4117.

故答案為：21,4117.

三.解答題（共8小題，滿分78分）

19.（8分）計算:

(1)(a-26)2-(a-b)(-b-a)+3a?26；

⑵2/r6X-10、

(x+l-寸)?

X2-2X+1

【解答】解：⑴(a-26)2-(a-b)(-Z?-a)+3a*2b

a2-4ab+4b2+a2-b2+6ab

=2Q2+2Q6+3b2；

⑵屋…等

_(3-x)(3+x).x2-l-6x+10

(x-1)2x-1

--(x-3)(x+3).x2-6x+9

(x-1)2x-1

=-(x-3)(x+3).x-1

(x-1)2(x-3)2

=-(x+3)

(x-1)(x-3)

=-x-3

X2-4X+3

20.(10分)如圖，已知△NBC,4D平分/B4c.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作4D的垂直平分線交N8于點E,交NC于點/，交/。于點G,連

接。E,DF.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)求證：四邊形/ED廠是菱形.

證明：尸是ND的垂直平分線

FD,②EA；

且G是/。的中點，即尸G是△足4。的中線

C.FGLAD

：./4GF=N4GE=90°

,：AD平分NR4c

/.③/DAB=/DAC

'NBAD=NCAD

在△/GE和ANGP中：,④()

LZAGF=ZAGE

:."GE會44GF

：.⑤AE=AF

又；FA=FD,E4=ED

：.AE=AF=DE=DF

四邊形/即尸是菱形

【解答】解：(1)圖形如圖所示:

:.FA=FD,ED=EA,

：G是/。的中點，即尸G是的中線，

C.FGLAD,

：.ZAGF=ZAGE=90°,

,：AD平分/BAC,

：.ZBAD=ZCAD,

在△/GE和AZG尸中，

，ZBAD=ZCAD

'AG=AG，

,ZAGE=ZAGF

:.AAGE咨AAGF(ASA),

；.AE=4F,

又,：FA=FD,EA=ED,

:.AE=AF=DE=DF,

四邊形/ED尸是菱形.

故答案為：FD,EA,ZDAB^ZDAC,AG^AG,AE=AF.

21.(10分)某校為了解七、八年級學生對安全知識的掌握情況，對七年級和八年級學生進行了安全知識

的測試，現從中各隨機選出20名同學的成績進行分析，將學生成績分為/、B,C、。四個等級.分別

是/：x<70,B：70^x<80,C：80Wx<90,￡>：90WxW100,其中，七年級學生的成績?yōu)椋?6,75,

76,78,79,81,82,83,83,86,86,87,87,87,91,92,94,95,96,96.

八年級等級C的學生成績?yōu)椋?1,82,83,86,87,87,89.

兩組數據的平均數、中位數、眾數如表：

學生平均數中位數眾數

七年級8586a

八年級85b91

根據以上信息，解答下列問題:

(1)填空：a=87；b=87；m=40.

(2)根據以上數據，你認為在此次知識測試中，哪個年級的成績更好？請說明理曲(一條理由即可)

(3)若該校七年級有850名學生參加測試，八年級有890名學生參加測試，請估計兩個年級參加測試

學生中成績優(yōu)秀(大于或等于90分)的學生共有多少人？

八年級學生知識成績扇形統(tǒng)計圖

【解答】解(1)七年級成績的眾數。=87分，八年級/、8等級學生人數為20X(10%+15%)=5(

人)，

則其成績的中位數6=8旺紅=87(分)，C等級人數所占百分比為且X100%=40%,即加=40,

220

故答案為:87,87,40；

(2)八年級成績更好，

???七、八年級成績的平均數相等，而八年級成績的中位數和眾數均大于七年級，

...八年級高分人數多于七年級，

所以八年級成績更好(答案不唯一)；

(3)800X且+890X40%=596(人)，

20

答：估計兩個年級參加測試學生中成績優(yōu)秀(大于或等于90分)的學生共有596人.

22.(10分)臘味食品深受川渝人的喜愛.春節(jié)將至，甲、乙兩單位打算為員工購買臘肉和香腸作為新年

福利.

(1)2023年12月份，甲單位花費4300元購買了40袋臘肉、50袋香腸，已知10袋臘肉和9袋香腸的

售價相同，求2023年12月份每袋臘肉和香腸的售價分別是多少元？

(2)由于市場供不應求，2024年1月份臘肉和香腸的價格均有上漲，其中每袋香腸的售價是每袋臘肉

售價的1.2倍，乙單位分別花費了2000元、3600元購買臘肉、香腸，一共購買了100袋，求2024年1

月份每袋臘肉的售價.

【解答】解：(1)設2023年12月份每袋臘肉的售價是x元，每袋香腸的售價是y元，

由題意得"40x+50y=4300,

[10x=9y

解得：卜=45,

ly=50

答：2023年12月份每袋臘肉的售價是45元，每袋香腸的售價是50元；

(2)設2024年1月份每袋臘肉的售價是m元，則每袋香腸的售價是12m元，

由題意得：2000+360C^=loo；

m1.2m

解得：m=50,

經檢驗，〃?=50是原方程的解，且符合題意，

答：2024年1月份每袋臘肉的售價是50元.

23.(10分)如圖，四邊形48c。中，AB//CD,NB=90°,48=4,BC=3,CD=7.動點尸，0分別

以每秒1個單位長度的速度從。，C同時出發(fā)，點P沿。一C方向運動，到達C點停止運動，點。沿

折線Cfgf”方向運動，到達/點停止運動，連接4P,AQ,設點尸、點。的運動時間為/(?>0)秒

,四邊形4PC。的面積為y.

(1)請直接寫出了關于時間/的函數表達式，并注明自變量f的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；

(3)結合函數圖象，直接寫出四邊形/PC0的面積小于11時/的范圍.

y”

12--1--r--r--r--r--r--T--T--T--i--i---

1]-------r--?--------

9--

7一彳-彳-彳一++十一『+十十十]

：.ZC=ZB=90°,

當點。在2C上，

連接NC,

由題意得，CQ=t,PC=7-t,

???y=SA4Pc+SA4C0=1pc>BC*Q?AB=/x(7-t)x3-tyx4f

即尸L(0W/W3)；

-22

如圖，當點0在48上時，

由題意得，AQ=(4+3)-t=rl-t,PC=rl-t,

：.y^—CAQ+PC)?3C=LX(7-汁7-力X3,

22

即>=-3什21(3</W7),

f]21

綜上所述，y關于時間t的函數表達式為尸7t4V(°<t<3)

k-3t+21(3<t<7)

(2)函數圖象如圖所示；

當3<tW7時，y隨f的增大而減小;

（3）由圖象知，四邊形4PCQ的面積小于11時f的范圍為OW/<1或學</W7.

24.（10分）為了增強體質，就讀于重慶文德中學C3。校區(qū)的小明和就讀于十一中本部的哥哥每周都會

從各自學校出發(fā)前往涂山站匯合一同前往江南體育館打羽毛球，經勘測，騰黃大道公交站C在文德中

學C8。校區(qū)點/的正北方150米處，H^一中本部點8在點N的正東方600米處，點。在點2的東北

方向，點。在點C的正東方，涂山站￡在點。的正北方，點￡在點C的北偏東60°方向.（參考數

據：&弋1.4,V3^1.7）

（1）求8。的長度；（結果精確到1米）

（2）周五放學，小明和哥哥分別從各自學校同時出發(fā)，前往點E處匯合，小明的路線為N-C-E,他

從點A步行至點C再乘坐公交車前往點E,假設小明勻速步行速度為80米每分鐘，公交車勻速行駛速

度為250米每分鐘，公交車行駛途中?？苛艘徽?，上下客合計耗時2分鐘（小明上車和下車時間忽略不

計）.哥哥的路線為3-。-E,全程步行，他從點8經過點。買水（買水時間忽略不計）再前往點E,

假設哥哥勻速步行且速度為100米每分鐘.請問小明和哥哥誰先到達點￡呢？說明理由（結果保留兩

位小數）.

C

A

【解答】解：（1）如圖，過點2作于廠,

C

A

由題意得/C=8尸=150加，AB=CF=600m,

?；/FBD=45°,NBFD=9Q°,

???ABFD是等腰直角三角形，

:.DF=BF=l5Qm,

:.BD=————=150我仁212（m）,

sinZFBD

答：8。的長度為212加；

(2)*：CD=CF+DF,

ACD=750m,

??,點E在點。的北偏東60°方向，

:?NECD=30°,

：.CE==1500V3ED=CD*tan/ECD=蒞。叵〃?,

cosNECD33

小明花費時間=150+80+1500?+250+2弋7.339(分鐘)，

3

哥哥花費時間=150&+100+運Yl_+100心6.33(分鐘)，

3

V7.339>6.33,

哥哥花費時間更少，

答：哥哥先到￡點.

25.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于N,B兩點,與y軸交于點C,

直線y=_^x-2與x軸，y軸分別交于/，。兩點，。點為OC中點.

(1)求拋物線表達式；

(2)點P為直線下方拋物線上一動點，過點P作/交于點〃，求P"的最大值，以及

此時點尸的坐標；

(3)將拋物線沿射線/D方向平移逐個單位，點E為平移后的拋物線上一點，連接NC,若/ECA=/

ADO,請直接寫出所有符合條件的點E的坐標.

【解答】解：(1)當x=0時，y=-2；

當y=-^x-2=0時，x=-4；

I?直線y=—與％軸，V軸分別交于小。兩點,

：.A(-4,0),Z)(0,-2),

：.OD=2,

?.?。點為0c中點,

.?.0C=20O=4,

：.C(0,-4),

把/(-4,0)和C(0,-4)代入y=/+6x+c,

得］0=16_4b+c

l-4=c

解得，b=3,

lc=-4

??.拋物線表達式為＞=/+3工-4；

(2)過P作P0J_x軸交/。于0,連接尸。，如圖,

(3)'：OD=2,OA=4,

AD=VOD240A2=2V5>

???將拋物線沿射線方向平移遙個單位，即為沿x軸正方向平移2個單位長度，沿y軸負方向平移1

個單位長度，

.,.平移后解析式為y=(x+2)2+3(x+2)-4-1—x2-x-7,

當E在直線NC左邊時，xE<0,如圖，i±A^AC±AM,交CE延長線于M,軸于H,則NML4

=ZMAC=ZAOC=90°,

AMACsAAOD,

.OAAM4c

ODAC2

,//HAM=N/CO=90°-AOAC,

：.LMAHsdACO,

?AMAHMHnANAHMH

??------=-------=-------二=2,

ACOCOA而NN

:.AH=MH=8,

：.M(-12,-8),

設直線CM解析式為：y=Ax+bi，

代入M(-12,-8),C(0,-4),

f-4=bi

得，

-8=-12kj+bj

b=-4

解得,i,

?i=y

直線CM解析式為：y—x-4，

3

f_14

聯立質'x-4

y=x2-x-7

解得x=2±%,

x3

'：xE<0,

?.2-后

-