中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：三角形全等的判定綜合題（解析版）

專題02三角形全等的判定（綜合題）

AB=DE-\

AC=DF\

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

“邊邊邊”或

斜邊和一條直角邊對應(yīng)相"SSS”

等的兩個直角三角形全等

“斜邊、直角邊"或"HL"

12.2三角形全等的判定兩邊和它們的夾角對應(yīng)

相等的兩個三角形全等

“邊角邊”或“SAS”

AB=DE]=

兩個角和其中一個角的對邊=/〃^三△/)/：/',

對應(yīng)相等的兩個三角形全等Ns=Z￡J

兩角和它們的夾邊對應(yīng)

“角角邊”或“AAS”相等的兩個三角形全等

“角邊角”或“ASA”

易錯點撥

知識點1：全等三角形判定1——“邊邊邊”

全等三角形判定1——“邊邊邊”

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

細節(jié)剖析：

如圖，如果⑷8'=AB,Z'C'=AC,B'C'=BC,貝lUABCg/kN'B'C'.

A

知識點2：全等三角形判定2——“邊角邊”

1.全等三角形判定2—“邊角邊”

兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.

細節(jié)剖析:

如圖，如果AB=A'B',NA=NA',AC=A'C,則△ABCgZX幺'8'C'.注意：這里的角，指的

是兩組對應(yīng)邊的夾角.

2.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等,兩個三角形不一定全等.

如圖，Z\ABC與4ABD中，AB=AB,AC=AD,ZB=ZB,但aABC與4ABD不完全重合，故不全

等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.

A

知識點3：全等三角形判定3——“角邊角”

全等三角形判定3—“角邊角”

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

細節(jié)剖析:

如圖，如果/A=/N',AB=/'B',ZB=ZB',則△ABC0Z\Z'8'C'.

知識點4：全等三角形判定4——“角角邊”

1.全等三角形判定4—“角角邊”

兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）

細節(jié)剖析：

由三角形的內(nèi)角和等于180。可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等,

也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.

2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

如圖，在AABC和4ADE中，如果DE〃:BC,那么NADE=/B,ZAED=ZC,又/A=NA,?AABC

和4ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

知識點5：判定方法的選擇

1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表:

已知條件可選擇的判定方法

一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA

兩角對應(yīng)相等ASAAAS

兩邊對應(yīng)相等SASSSS

2.如何選擇三角形證全等

（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中,

可以證這兩個三角形全等；

（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等;

（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)?

（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

知識點6：判定直角三角形全等的一般方法

由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等,或兩直角邊對應(yīng)相等,

這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”,“ASA”或“SAS”判定定理.

知識點7：判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理

在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角

邊”或“HU）.這個判定方法是直角三角形所獨有的,一般三角形不具備.

細節(jié)剖析：

（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小

就確定了.

（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等,

首先考慮用斜邊、直角邊定理,再考慮用一般三角形全等的證明方法.

（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件,書寫時必須在兩

個三角形前加上里或

X易錯題專訓(xùn)等r

選擇題

1.（2022?雨花區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知A43C的三條邊和三個角，則甲、乙、丙三個三角形中和4L8C全

等的是（）

【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)全等三角形的判定一一判斷即可.

【規(guī)范解答】解：：乙4=180。-42。-51。=87。，

根據(jù)44S可以判定甲與ZL48C全等，根據(jù)4X4可以判定乙與A48C全等.

故選：A.

【考察注意點】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

2.(2022春?遼陽期末)在A42C中，D,￡分別是NC、2C上的點，過點。作。尸，DG±BC,垂足

分別是點尸，G,連接DE,若DF=DG,BE=DE,則下面三個結(jié)論：

①BF=BG；

②DE〃BF；

③AADF2ACDG.

其二中正確的是()

BEGC

A.①③B.②③C.①②D.①②③

【易錯思路引導(dǎo)】連接5。，根據(jù)垂直定義可得NDE4=N5FD=N5GQ=NOGC=90。，再根據(jù)//L證

明RtZkBFD之RtASGO,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得5/=BG,/FBD=/GBD,即可判斷①，再根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NG5D=N5Z)￡,從而可得NFBD=NBDE,即可判斷②，最后根據(jù)4ZVCZ),

即可判斷③.

【規(guī)范解答】解：連接班),

?:DFJLAB,DG±BC,

：.ZDFA=ZBFD=/BGD=ZDGC=90°,

?：DF=DG,BD=BD,

：.RtABFD^RtABGD(HL),

:,BF=BG,

故①正確；

VRtA5FZ)^RtA^G￡>,

???ZFBD=ZGBD,

?；BE=DE,

：.ZGBD=ZBDE,

：./FBD=/BDE,

：.DE//BF,

故②正確；

■:乙4FD=NDGC=90°,DF=DG,AD豐CD,

：./\ADF和△CDG不全等，

故③不正確；

所以，上面三個結(jié)論，其中正確的是①②，

故選：C.

【考察注意點】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022春?保定期末）如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離,

我軍戰(zhàn)士想到一個辦法.他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底

部點3;然后轉(zhuǎn)過身，保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點E上；最后，他用步測的辦法量

出自己與￡點的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離,這里判定A48C會△〃￡廠的理由是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAA

【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：戰(zhàn)士的視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點3；然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視

線落在了我軍陣地的點E上；

得N4=ND,

?；AC=DF,

：.ZACB=ZDFE=90°,

：.判定4ABC咨ADFE的理由是/S4

故選：C.

【考察注意點】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注

意：全等三角形的判定定理有S4S,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有血等.

4.（2022?播州區(qū)二模）如圖，在AIBC中，BC<AC,N/+NC=60。，點。在2c上，點￡■在/C上，連

接DE,ZABC=ZDEC,過點8作aLL/C于點?若DB=AB,則空遮■的值為（）

BF

BDC

A.1B.2C.2V3D.373

【易錯思路引導(dǎo)】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△G48名△ED8得/G=D￡,BG=BE,得等

腰△GBE,由三線合一的性質(zhì)得5尸是底邊中線和頂角平分線，得直角△AFG,利用三角函數(shù)得出FG和

8尸的關(guān)系，從而得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：如圖，連接2E,作/GBE=NABC,交。延長線于G,

ZBAC+ZC=60°,

：.ZABC^120°,

'：ZGBA+ZABE=ZABE+ZDBE,

：.ZGBA=ZDBE,

；NBAG=NABC+NC,/BDE=NDEC+/C,/ABC=/DEC,

：.ZBAG=ZBDE,

,:AB=BD,

:.AGAB<AEDB(ASA),

:.AG=DE,BG=BE,

'：BF.LAC,

：.FG=FE,ZGBF=/EBF=L/GBE=L/4BC=60。,

22

??tanZGBF=電=?,

BF

：.FG=yf3BF,

：.EG=243BF,

.AE+ED_AE+AG_EG_班BF

,.―^T~BFBFBF-

故選：C.

【考察注意點】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),

正確作輔助線構(gòu)建三角形全等是解本題的關(guān)鍵.

5.Q021秋?荔灣區(qū)期末）如圖，A42c/△4ED,點￡在線段3c上，Zl=40°,則的度數(shù)是（）

A.70°B.68°C.65°D.60°

【易錯思路引導(dǎo)】依據(jù)即可得到/4E7）=/3,AE=AB,ZBAC=ZEAD,再根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)，即可得到的度數(shù)，進而得出N/即的度數(shù).

【規(guī)范解答】解：；A4BC也△/￡!）,

：.ZAED=ZB,AE=AB,ZBAC=ZEAD,

：.Z1=ZBAE^4O0,

：./\ABE中，NB=—=70。，

2

N4ED=70。,

故選：A.

【考察注意點】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是

解題的關(guān)鍵.

6.（2021春?丹東期中）如圖：在中，N/2C=45。，AD,BE分別為BC、/C邊上的高，40、3E相

交于點尸.下列結(jié)論：①/尸CD=45。；②AE=EC；③％的S^FC=AD：FD；@若BF=2EC,則8C=

BDC

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②

【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)垂直定義可得N/O8=N/OC=90。，再利用/48C=45。，得到從而可

證明△2。尸0△4DC,進而得到尸D=CD,即可判斷①根據(jù)次2C,BE±AC,即可判斷②，根據(jù)三角

形面積公式和它們有一條公共邊可得也空=毀，即可判斷③，若BF=2EC,根據(jù)△3。9出△工"?可

,△AFCCD

以得到8/=/C,從而可得E是/C的中點，然后可以推出斯是NC的垂直平分線，最后由線段垂直平

分線的性質(zhì)即可判斷④.

【規(guī)范解答】解：

...ZADB=ZADC=90°,

'：ZABC=45°,

：.ZBAD^90°-N4BD=45°,

：.AD=BD,

'：BELAC,

：.NBEC=90。,

：.ZEBC+ZACB=90°,

*/ZEBC+ZBFD=90°,

：.ZBFD^ZACB,

:.ABDF沿4ADC(AAS),

:.DF=CD,

：.NFCD=NDFC=45。,

故①正確；

'：BELAC,

:.AE豐EC,

故②不正確；

W-^AF'BD

...MABF=2_______=BD_,

SAAFCyAF'CDCD

:?SMBF：S^FC=AD：FD,

故③正確；

△2。尸名△4DC,

：.BF=AC

,：BF=2EC,

：.AC=2EC,

為NC的中點，

'：BELAC,

...RE為線段NC的垂直平分線，

：.BA=BC,

故④正確，

所以，正確結(jié)論的序號是：①③④，

故選：A.

【考察注意點】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關(guān)

鍵.

7.（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在A45c中，AB>AC,4D是AIBC的角平分線，點E在/C上,

過點￡作EFLBC于點R延長C8至點G,使BG=2尸C,連接EG交于點"，EP平分NGEC,交

的延長線于點尸，連接PH,PB,PG,若NC=/EGC+/BAC,則下列結(jié)論：

①/APE=L/AHE；②PE=HE；③AB=GE；④S盤AB=S&PGE?

2

其中正確的有（）

A.①②③B.①②③④C.①②D.①③④

【易錯思路引導(dǎo)】過點P分別作GE,/瓦/。的垂線，垂足分別為1,M,N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理

可知，PM=PN=PI,易證P"平分N3GE,即NPHM=NPHI.設(shè)/PEH=a,ZPAB=^,,由外角的性

質(zhì)可得B，ZAHE=2a-2p,所以NAPE=^N4HE；故①正確；由外角的性質(zhì)可得

90°-a+p,由三角形內(nèi)角和可得，NHPE=180°-a-(90°-a+p)=90。-0,所以NPHE半/HPE,即

PE豐HE；故②不正確；在射線/C上截取CK=EC,延長8C到點心使得CL=FC,連接2K,LK,易

證AEFC咨AKLC(4SS),所以EF=LK,NL=NEFC=90。,易證尸G=B3所以AGEFm△,BKL

(SAS),所以NEGF=NKBC,GE=BK,由外角的性質(zhì)可知，ZBAC=ZBKC,所以/8=BK=GK,故③

正確；因為1^APG￡=—GE*PI,AB—GE>PM=PI>所以SA/MB=SAPGE.故④正

22

確.

【規(guī)范解答】解：過點尸分別作GE,AB,/C的垂線，垂足分別為/,M,N,

:/P平分N2/C,PMLAB,PN±AC,

：.PM=PN,ZPAB=ZPAC,

■:PE平分NGEC,PN±AC,PlVEH,

：.PI=PN,ZPEH=ZPEN,

：.PM=PN=PI,

：.ZPMH=ZPIH,

,:PH=PH,

：.NPHM=ZPHI,

：.RtAPMH^BAAPIH(HL),

：.ZPHM=/PHI,

設(shè)/PEH=a,/PAB=B，

:./PEN=a,NB4N=B，

對于ZUPE,ZPEC=ZPAE+ZAPE,

NAPE=a-0,

對于/HEC=/BAC+/AHE,

：.ZAHE=2a-2p,

AZAPE=—ZAHE；故①正確；

2

?：/AHE+/MHE,4PHM=/PHI,

：.ZPHE=9Q0-a+p,

AZHPE=1SO0-a-(90。-a+p)=90。-0,

:?/PHE*/HPE,BPPE^HE；故②不正確；

在射線4C上截取CK=EC,延長到點￡,使得CL=FC,連接BK,LK,

??,NECF=ZLCK,

:?△EFSXKLC(ASS),

:?EF=LK,/L=/EFC=90。,

■:BG=2FC,FC=CL,

:?BG=FL,

：.FG=BL,

：./\GEF^ABKL(SAS)f

：?/EGF=NKBC,GE=BK,

,?ZACB=/EGC+NBAC,ZACB=/KBC+/BKC,

：.ZBAC=ZBKC,

:?AB=BK,

:?GE=AB,故③正確；

,*,^APAB~—~9AB9PA/,^APGE~—~GE*PIj

22

又,：AB=GE,PM=PI,

:,S&PAB=S4PGE?故④正確.

故選：D,

【考察注意點】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)定

理，作出輔助線，構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵.

二.填空題

8.（2022秋?洪澤區(qū)校級月考）如圖，若/1=/2,若根據(jù)44S,加上條件/A=/B,則有

BOC.

【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)全等三角形的判定方法44S,即可解答.

【規(guī)范解答】解：,:—B,Z1=Z2,OC=OC,

：.AAOC^^BOC（AAS）,

故答案為：/A=/B.

【考察注意點】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法44S是解題的關(guān)鍵.

9.（2022春?泰興市期末）如圖，A48C的頂點/、B、C都在小正方形的頂點上，我們把這樣的三角形叫

做格點三角形.則圖中與A43c有唯一公共頂點C且與&43C全等的格點三角形共有19個（不包括

【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)以點C為唯一公共點，其它兩個點在格點上，作出與A43C全等的三角形即

可.

【規(guī)范解答】解：如圖：

與&4BC有唯一公共頂點C且與73。全等的格點三角形有：

△CEBi，△"Bi,△。小為，△CEi%，△CEiS,ACA2B3,ACA2B4,/\CE2B4,ACE2B5,ACA3B5,

△CA3B6,△C86￡'3，△CE387,△。123，ACA}E2,/\CA2E,△。出生，△C3E1，AG43E,

共有19個，

故答案為：19.

【考察注意點】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

10.（2022春?永州期末）如圖，ABLCF,垂足為8,4B〃DE,點、E在CF上,CE=FB,AB=DE,依據(jù)

以上條件可以判定A42c絲△￡>￡￡這種判定三角形全等的方法，可以簡寫為&4S.

【易錯思路引導(dǎo)】依據(jù)42,CRAB//DE,可得A43C和△￡）所都是直角三角形，由CE=EB,可得3C

=EF,所以可用S4V判定A48C絲△￡>￡/,于是答案可得.

【規(guī)范解答】解：：/臺，。/,AB//DE,

：.A4BC和△￡>￡尸都是直角三角形.

,:CE=FB,CE為公共部分，

：.CB=EF,

又,：AB=DE,

:.△ABgADEF（SAS）.

故答案為：SAS.

【考察注意點】本題考查的是直角三角形全等的判定定理及平行線的性質(zhì)；兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等

的兩個三角形全等.

11.（2022春?靜安區(qū)校級期中）如圖，線段兩點的坐標(biāo)分別為/（-4,0）、B（-2,-4）,在x軸的

下方存在點C,使以點/,B,C為頂點的三角形與全等，則點C的坐標(biāo)為（-6,-4）或

【易錯思路引導(dǎo)】存在兩種情況，畫出圖形，根據(jù)/的坐標(biāo)和全等三角形的性質(zhì)求出即可;

【規(guī)范解答】解：*(-4,0)、8(-2,-4),

222

：?°B=y](_2-Q)+(-4-0)=2遙,4B=q(-2+4)2+(-4-0)2=75，

：.OB=AB,

當(dāng)以點4B,C為頂點的三角形與A42。全等，存在兩種情況：

四邊形ACBO是平行四邊形，

,：A(-4,0)、2(-2,-4),O(0,0),

AC(-6,-4)；

②△NB。絲△45C,如圖2,連接OC交于P,過點P作尸nLx軸于尸，過點C作CEJ_x軸于E,

V

'：AC=AO,BC=OB,

???/8是。。的垂直平分線，

:.ZAPO=90%

???5田。=工4、4=工乂2?義0尸，

22

.-.OP=^ZL,

由勾股定理得：4P=dKO2-op2=《42_

VSA^TO=-1X4PF=AX±ZLXSV5_,

2255

；.PF=&,

5

?*?°F=VOP2-PF2

,JPF//CE,OP=PC,

：.OE=2OF=退,CE=2PF=^-,

55

，c的坐標(biāo)是（-絲，-獨）；

55

綜合上述：C的坐標(biāo)是（-6,-4）或（-絲，-11）.

55

【考察注意點】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理,

直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力，用了分類討論思想，有一定的難度.

12.（2021秋?江油市期末）如圖，A48C的三邊/8、BC、C/長分別為30,40,50.其三條角平分線交于

點。，則S.BO：SABCO：S/\CAC=3：4：5?

o

【易錯思路引導(dǎo)】作0DL2C于。，OELAC^E,。尸，43于尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。。=?！?

OF,根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【規(guī)范解答】解：作OD_L8C于。，OE_L4C于E,OFUB于F,

?.?三條角平分線交于點O,ODLBC,OE1.AC,OFLAB,

：.OD=OE=OF,

?'?S^ABO：Swco：SACAO=AB：BC：CA=3：4：5,

故答案為：3：4：5.

【考察注意點】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的

關(guān)鍵.

13.(2021春?武侯區(qū)校級月考)如圖，在RS/8C中，NACB=90。,8。是//8C的平分線，DE1.AB,垂

足為E,若力臺。和A4OE的周長分別為30和6,則2C的長為12.

【易錯思路引導(dǎo)】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD=DE,故可得出NO+CD=/D+DE=/C,再根據(jù)全等

三角形的判定定理得出△BCD四△BED,故BE=3C,由此可得出/E的長，由的周長=/E+4D+DE

=AE+AC即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：:臺。是NN8C平分線，DELAB,

：.DE=CD,

：.AD+CD=AD+DE=AC,

在RtASCZ)與RSED中，

[BD=BD,

(DE=CD'

:.RtABCD烏RtABED(HL),

：.BE=BC,

：.LADE的周長=UE+/Z)+Z)E=/￡+NC=6,

4ABC的周長=/8+/C+8C=JB￡+/E+3C+/C=2BC+/E+/C=30,

.\25C=30-6=24,

：.BC=12.

故答案為：12.

【考察注意點】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解答此題的

關(guān)鍵.

14.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，OP平分NMON,PALON,垂足為力,。是射線0M上的一個動點,

若尸、。兩點距離最小為8,則4=8.

【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)題意點0是射線0M上的一個動點，要求P。的最小值，需要找出滿足題意的點

Q,根據(jù)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，所以過點P作垂直O(jiān)M,此時的

PQ最短，然后根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得PA=PQ.

【規(guī)范解答】解：過點P作尸。，。拉，垂足為。，則尸0長為P、。兩點最短距離，

「平分/MON,PALON,PQLOM,

：.PA=PQ=S,

【考察注意點】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是要根據(jù)直線外一點與直線上各點連接的

所有線段中，垂線段最短，找出滿足題意的點。的位置.

15.（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在A43C中，AC=BC,/4BC=54°,CE平分NACB,4D平分/

CAB,CE與AD交于點F,G為ZU8C外一點，ZACD=ZFCG,ZCBG=ZCAF,連接。G.下列結(jié)

論：①△ACFQ4BCG；②/2GC=117。；③S^ACE=SACFD+SMCG；④AD=DG+BG.其中結(jié)論正確的是

①②④（只需要填寫序號）.

【易錯思路引導(dǎo)】①利用N&4即可證明A4CFgZ\8CG；

②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可進行判斷；

③根據(jù)角平分線定義即可進行判斷；

④連接8尸，可知點尸為三角形角平分線交點，即8尸平分//8C,可得/C8尸

ZCAF,然后證明△2CF042CG(ASA),可得BF=BG=4F,FD=DG.進而可以進行判斷.

【規(guī)范解答】解：①：CE平分NNC8,

NACE=NBCE,

'：ZACD=ZFCG,

：.ZACF+ZFCD=ZFCD+ZBCG.

：.NACF=ZBCG,

在A4CF和中，

'/ACF=NBCG

<AC=BC，

1ZCAF=ZCBG

:.LACF咨ABCG(ASA),故①正確;

②：ZACB=180°-2x54°=72°,

ZBCG=ZACF=^-X°=^6°,

2

ZCBG=ZCAF=^-x54°=21°,

2

/.ZSGC=180°-36°-27°=117,故②正確;

③S^ACD=SACFD+S^ACF，

S.CD=SACFE^SMCG，

??S^ACE^S^CFD+SABCG；故③錯誤;

④如圖，連接BE

可知點尸為三角形角平分線交點，

即BF平分NABC

：.ZCBF^Z.ABC=~Z.BAC=ZCAF'

：.ZCBF=ZCBG,

在△8CF和中，

，ZBCF=ZBCG

<BC=BC，

，/CBF=NCBG

:.△BCF"ABCG(ASA),

；.BF=BG=AF,FD=DG.

"：AD=AF+FD.

AD=BG+DG,故④正確

故答案為：①②④.

【考察注意點】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△BCF

出ABCG.

三.解答題

16.（2022?益陽）如圖，在RtA42c中，NB=90°,CD//AB,DEL4c于點、E,且CE=4B.求證△CEO

【易錯思路引導(dǎo)】由垂直的定義可知，ZDEC=ZB=90°,由平行線的性質(zhì)可得，ZA=ZDCE,進而

由ASA可得結(jié)論.

【規(guī)范解答】證明：'：DE±AC,NB=90。,

：.ZDEC=ZB=9Q°,

'JCD//AB,

：.NA=/DCE,

在△CEO和A48C中，

，ZDCE=ZA

<CE=AB，

,ZDEC=ZB

...△CEDmAABC（ASA）.

【考察注意點】本題主要考查全等三角形的判定，垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定

定理是解題基礎(chǔ).

17.（2022春?寧德期末）如圖，已知NMON,點/,B在邊ON上,。4=3,48=5,點C是射線（W上一

個動點（不與點。重合），過點8作8OL/C,交直線/C于點。，延長8。至點￡,使得DE=BD,連

接2C,EC,AE,OE.

（1）說明△/CEgZUCB的理由；

（2）直接寫出。E的取值范圍.

【易錯思路引導(dǎo)】（1）由題意可知，NC是3E的垂直平分線，由中垂線的性質(zhì)可知，AE=AB,CE=

CB,進而由SSS可證得結(jié)論；

（2）在aONE中，由三角形的三邊關(guān)系可知，AE-OA<OE<AE+OA,當(dāng)點￡在線段08的返向延長線

時，的最小值為2,由此可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：（1）解法一：

'：BDLAC,DE=BD,

二/C是BE的垂直平分線.

：.AE=AB,CE=CB,

在A4CE和和NC8中,

，AE=AB

?CE=CB)

,AC=AC

:■.△ACE芻AACB(SSS).

解法二：

'JBDVAC,

：.ZCDE=ZCDB=90°.

"：DE=BD,CD=CD,

:ACDE迫4CDB(”S).

ZECD=ZBCD,CE=CB.

又：/C=/C,

.'.△ACEqAACB(SAS).

(2)由(1)知,AE=AB,

在△CME中，由三角形的三邊關(guān)系可知，AE-OA<OE<AE+OA,

即2VOEC8,

當(dāng)點￡在線段03的返向延長線時，OE的最小值為2；

：.2<OE<8.

【考察注意點】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是掌握

相關(guān)性質(zhì)與判定.

18.(2022春?通川區(qū)期末)如圖，在四邊形加9CD中，AB=AC,BE平分NCB4,連接若AD=AE,Z

DAE=/CAB.

(1)求證：AADC^^AEBi

(2)若NC18=36。，求證：CD//AB.

【易錯思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)S/S證明全等.

(2)只需證明N/CO=NC43即可.

【規(guī)范解答】(1)證明：:/。//二/。/?,

ZDAE-ZCAE=ZCAB-ACAE.

NDAC=/EAB.

在△D4C和△E43中

'AD=AE

,?,<ZDAC=ZEAB

,AC=AB

ADAC^/\EAB(SAS)

(2)證明：；4B=4C,ZCAB=36°,

：.ZABC=ZACB=^-(180°-36°)=72°,

2

,：BE平分/CAB,

：.ZABE=^ZABC=36°.

2

：.ZABE=ZBAC=36°.

"：/\DAC^/\EAB,

：.NDCA=NEBA=36。.

：.ZDCA=ZBAC=36°.

：.CD//AB.

【考察注意點】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正確找齊全等三角形的條件是求解本題的關(guān)鍵.

19.(2022春?秦都區(qū)期末)AABC和ZkADE如圖所示，其中N4BC=N/C5,ZADE^ZAED,NB4C=N

DAE.

(1)如圖①，連接8￡、CD,求證：BE=CD；

(2)如圖②，連接5￡、CD、BD,若/BAC=NDAE=60°,CDLAE,4D=3,CD=5,求2