中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：完全平方公式（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+6類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（原卷版）

第06講完全平方公式

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握完全平方公式以及完全平方公式的特點(diǎn)，完全平方公式的

①完全平方公式

幾何意義并能夠熟練應(yīng)用其解決問題。

②添括號(hào)法則

2.掌握添加括號(hào)的法則，能夠熟練的運(yùn)用。

02思維導(dǎo)圖

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01完全平方公式

1.完全平方公式：

①完全平方和公式：

兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的的和這兩個(gè)數(shù)乘積的兩倍。

即：（。+為2=o可以是兩個(gè)數(shù)，也可以是兩個(gè)式子。

②完全平方差公式：

兩個(gè)數(shù)的差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的的和這兩個(gè)數(shù)的乘積的兩倍。

即：（。-。2=。可以是兩個(gè)數(shù)，也可以是兩個(gè)式子。

2.完全平方公式的式子特點(diǎn)：

21

（a+bf=a+2ab+b：一個(gè)二項(xiàng)式的平方，等于這個(gè)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)的加上這

兩項(xiàng)的。注意每一項(xiàng)都包含前面的符號(hào)。

巧記：首平方加尾平方，首位兩倍放中央。

3.完全平方公式的幾何背景：

圖1中面積的整體表示為：(a+bf

用各部分面積之和表示為：a2+2ab+b2

所以(a+by=a2+2aZ?+

用同樣的方法表示圖2的面積即可得到：

(a—=ci"-2ab+信。圖1圖2

4.完全平方和公式與完全平方差公式的轉(zhuǎn)化:

(ci++2ab+b1,(ci——cC~—2ab+F

a?+2ab+b--4ab-ct--2ab+b~

(a+b)2-4ab=(a-b)2

【即學(xué)即練1】

1.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：

⑵(產(chǎn)；

(1)(4m+n)2；y—

(3)(-a-b)2(4)(-a+b)2

【即學(xué)即練2】

2.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：

(1)632；(2)982；(3)700.12；(4)499.92.

【即學(xué)即練3】

3.已知/+y2=26,xy=3,求(x+y)2和(x-y)2的值.

【即學(xué)即練4】

4.若要使4/+mx+16成為完全平方式，則常數(shù)機(jī)的值為()

A.-8B.±8C.-16D.±16

【即學(xué)即練5】

5.若x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m的值為()

A.3B.9C.±3D.±9

【即學(xué)即練6】

驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是()

(y+x)2=y2+2xy+x2

(y+無)2-(y-x)2=4孫

知識(shí)點(diǎn)02添括號(hào)法則

1.添括號(hào)法則：

在條加括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面時(shí)正號(hào)，括到括號(hào)里面的每一項(xiàng)都,若括號(hào)前面是負(fù)號(hào),

則括到括號(hào)里面的每一項(xiàng)都要。

即：a-b+c=a+()；a-b+c=a-()

【即學(xué)即練1】

,7.計(jì)算題：

(1)(a-2b-3c)之；(2)(x+2y-z)Cx-2y-z)-(x+y-z)2.

題型精講

題型01利用完全平方公式計(jì)算

【典例1】計(jì)算：

2

(1)(-5a+4b)2；(2)(2a-L)

3

(3)&」)2；(4)(-mn+—)2

324

【變式1】計(jì)算：

(1)(x-6)2(2)(-2x-y)2

(3)(-p+3q)2(4)[(2m+?)(2m-n)]2.

【變式2】計(jì)算：

(1)(1+4a)2；(2)(-5+3y)2(3)(x2-6y)2；

2222

(4)(-2x-y)；(5)(2?+l)-4a(a-1)；(6)(Xx+2y)+(Ax_2y).

題型02利用完全平方公式簡(jiǎn)便運(yùn)算

【典例1】利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算：

(1)1012=(+)2=；

(2)9.82=(________)2=.

【變式1】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：20032-2003X8+16=

【變式2】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：2022+202X196+982.

題型03利用完全平方公式變形求值

【典例1］已知a+6=4,ab—2,則/十戶二()

A.8B.10C.12D.16

【變式1】已知(〃+Z?)2=12,ab=2,則(a-b)2的值為()

A.8B.20C.4D.16

【變式2】已知a-6=3,ab=l,求下列代數(shù)式的值.

(1)/+/；(2)(a+6)2

【變式3】已知(a-b)2=25,ab=-6,求下列各式的值.

(1)J+M；(2)a^+b^.

題型04利用完全平方式的特點(diǎn)求值

【典例1］若W+依+64為一個(gè)完全平方式，則k的值為()

A.16B.±16C.8D.±8

【變式1】若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式/+(4-2)x+16是一個(gè)完全平方式，那么上的值是(

A.-6B.6C.±6D.10或-6

【變式2】若多項(xiàng)式4/-(k-1)孫+25『是關(guān)于x、y的完全平方式，則人的值為()

A.21B.19C.21或-19D.-21或19

【變式4】將整式9x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它成為一個(gè)完全平方式，下列添加錯(cuò)誤的是(

A.6xB.-6xC.9x，D.3x

4

【變式5］若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式j(luò)?+nx+m是完全平方式，則m與n的關(guān)系式為()

22

A.//I477-B.根=-4a~C.—D.——

44

題型02完全平方公式的幾何意義

【典例1］如圖，利用圖中面積的等量關(guān)系可以得到的公式是(

2

A./-b=a(?+1)+b(〃-b)

B.Qa-Z?)2=〃2_2ab+b2

C.a2-b2=(〃+/?)(a-b)

D.(a+b)2=a2+2ab+b2

【變式1】?jī)蓚€(gè)邊長(zhǎng)為。的大正方形與兩個(gè)邊長(zhǎng)為〃的小正方形按如圖所示放置，如果〃-6=2,仍=26,

C.40D.44

【變式2】如圖所示，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為〃和4如果〃+b=10,ab=20,那么陰影部分的面積是

()

C.30D.40

【變式3】如圖1,小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為〃和。，將四塊這樣的長(zhǎng)方形按如圖2所示位置擺放.

(1)圖2中的四邊形E尸GH為正方形，其邊長(zhǎng)為.

(2)能用圖2中的圖形面積關(guān)系來驗(yàn)證的等式是：=.

(3)若x-y=3,孫=4,求x+y的值.

AabD

題型02平方差公式與完全平方公式的綜合

【典例1】計(jì)算：

(1)(3x-2y-1)之；(2)(〃+2b-c)(a-2b-c)-(a-b-c)2

【變式1】計(jì)算下列各式：

(1)(f+3y)2-(^--3y)2；(2)(2a-36+1)2

【變式2】已知m2+n2-6m+10n+34=0,求m+n.

【變式3】閱讀理解.

已知(a-12)2+(14-a)2=6,求(a-13)2的值.

解:由(〃-12)2+(14-4)2=6,可得[(〃-13)+1『+[(。-13)-1]2=6.

整理得(。-13)之+2(〃-13)+1+(〃-13)2-2Ca-13)+1=6.

2(〃-13)2+2=6

得(a-13)2=2.

請(qǐng)仿照上述方法，完成下列問題：

(1)已矢口(a-98)2+(96-。)2=10,求(〃-97)2的值.

(2)已知(Q-2024)2=8,求(Q-2025)2+(2023-a)2的值.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.小華在利用完全平方公式計(jì)算時(shí)，墨跡將結(jié)果“=4/?.-+25『”中的一項(xiàng)染黑了，則墨跡覆蓋的這一

項(xiàng)及其符號(hào)可能是（）

A.+10孫B.+10孫或-10孫

C.+20孫D.+20孫或-20孫

2.已知/+%-3=0,那么代數(shù)式工（x-2)+(x+2)2+5值是()

A.14B.15C.16D.17

3.已知a=5+5b,則代數(shù)式/-10H+25院的值是（）

A.16B.20C.25D.30

4.若a、b是某長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，且有（a+6）2=16,（a-b）2=4,則該長(zhǎng)方形面積為（）

A.3B.4C.5D.6

5.若（2r+3y）2=（2x-3y）2+（）成立，則括號(hào)內(nèi)的式子等于（）

A.24xyB.12xyC.6xyD.4xy

6.如果/+（m-1）x+9是一個(gè)完全平方式，那么M的值是（)

A.7B.-7C.-5或7D.-5或5

7.已知a+b=5,ab=-2,貝lja2-ab+b1的值是()

A.30B.31C.32D.33

8.設(shè)〃=%-2022,Z?=x-2024,c=x-2023.若4Z2+/?2=16,貝1Jc2的值是（）

A.5B.6C.7D.8

9.有兩個(gè)正方形A,B,現(xiàn)將8放在A的內(nèi)部，得到圖①，將A,8并列放置后構(gòu)成新的正方形，得到圖

②.若圖①陰影面積為3,正方形A,2的面積之和為11,則圖②陰影面積是()

①②

A.8B.9C.12D.15

10.已知a+b+c=0,a2+b2+c2=4,那么a4+b4+c4的值是()

A.6B.8C.20D.34

11.計(jì)算：(a+26)2=；(3x-1)2=

12.若(龍+y)2=9,(x-y)2=5,則孫=.

13.若|x+y-5|+(xy-6)2=0,則/+/的值為.

14.已知：a+b—3,ab—5,貝U-2。-2b+6=.

15.小聰在學(xué)習(xí)完乘法公式后，發(fā)現(xiàn)完全平方公式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃位驍?shù)形結(jié)合，

可以解決很多數(shù)學(xué)問題.如圖擺放兩個(gè)正方形卡片,A、M、B在同一直線上.若

AB=5,且兩個(gè)正方形面積之和為13,則陰影部分的面積為.

16.已知：a-b=3,ab—l,試求：

(1)/+3"+廬的值；(2)(a+6)2的值.

17.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：

(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(Q+A+C)2

18.閱讀下列解答過程：

已知：xWO,且滿足f-3x=l.求：的值.

解：Vx2-3x=LAx2-3x-1=0

?*,x-3-~=0,即x-^-=3-

-1?x2^y=(x」)2+2=32+2=11.

X2X

請(qǐng)通過閱讀以上內(nèi)容，解答下列問題：

已知aWO,且滿足(2.7+1)(1-2a)-(3-2a)2+9a2=14a-7,

i2

求：(1)a92」:?的值；(2)——---------的值?

242

a5a+a+5

19.在數(shù)學(xué)中，通?？梢赃\(yùn)用一些公式來解決問題.比如，運(yùn)用兩數(shù)和的完全平方公式(。+6)2=/+2湖+廬，

能夠在三個(gè)代數(shù)式“+乩ab,