自動控制原理第四章-根軌跡

令開環(huán)增益Ｋ從０變化到∞，用解析方法求不同Ｋ所對應(yīng)的特征根的值，將這些值標(biāo)在Ｓ平面上，并連成光滑的粗實線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著Ｋ值的增加，根軌跡的變化趨勢?！欤矗备壽E的基本概念從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:１.穩(wěn)定性：因為根軌跡全部位于左半Ｓ平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的Ｋ值都是穩(wěn)定的。２.穩(wěn)態(tài)性能：因為開環(huán)傳函有一個位于坐標(biāo)原點的極點，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ當(dāng)K=0時，S1=0，S2=-1３．暫態(tài)性能

（１）當(dāng)０<Ｋ<０.25時，閉環(huán)特征根為實根，系統(tǒng)是過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。

（２）當(dāng)Ｋ＝０.25時，兩特征根重合，均為－0.5，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。（３）當(dāng)Ｋ＞０.25時，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ由以上分析得知：

根軌跡就是控制系統(tǒng)特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)變化在S平面上移動的軌跡。根軌跡表明了系統(tǒng)參數(shù)對閉環(huán)極點分布的影響，通過它可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。二．繪制系統(tǒng)根軌跡的依據(jù)

圖示系統(tǒng)的特征方程繪制根軌跡是求解特征方程的根，特征方程可改寫為

§４－１根軌跡的基本概念——開環(huán)傳函

是復(fù)變量Ｓ的函數(shù)，根據(jù)上式兩邊的幅值和相角分別相等的條件，可以得到這就是滿足特征方程的幅值條件和相角條件，是繪制系統(tǒng)根軌跡的重要依據(jù)?，F(xiàn)進一步將繪制根軌跡的幅值條件和相角條件轉(zhuǎn)換成實用的形式?！欤矗备壽E的基本概念…此時，幅值條件和相角條件可寫成§４－１根軌跡的基本概念

－開環(huán)零點．－開環(huán)極點．注意這個形式和求穩(wěn)態(tài)誤差的式子不同，需變換成這種形式．將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成下列標(biāo)準(zhǔn)的因子式…（＊）（＊＊）×p2×p1Os0§４－１根軌跡的基本概念三．根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點設(shè)某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點如圖，在Ｓ平面中的任意一點，用相角條件可以判斷是不是根軌跡的點。１．從到各零極點連直線２．用量角器量,…等各個角．３．將量好的值代入（＊＊）式，若等式成立，則就是根軌跡上的點．×p3Oz1§４－１根軌跡的基本概念不滿足，故不是根軌跡上的點?！羛2×p1Os0×p3Oz1在繪制根軌跡時，在感興趣的區(qū)段，要比較細致地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個根軌跡上的點。允許有一定的誤差，比如±５°。而其它區(qū)段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來。繪制根軌跡圖時，Ｓ平面虛軸和實軸的坐標(biāo)比例應(yīng)取得一致。幅值條件改寫當(dāng)，必有Ｓ＝，即起點是開環(huán)極點。當(dāng)，必有Ｓ＝，即終點是開環(huán)零點。但在控制系統(tǒng)中，總有n>m，所以根軌跡從n個開環(huán)極點處起始，到m個開環(huán)零點處終止，剩下的n－m條根軌跡將趨于無窮遠處。舉例如題，，起點：０，－１，無零點，n=２，m=0，n－m=2，有兩條根軌跡→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則三．根軌跡的分支數(shù)根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)相同。四．實軸上的根軌跡

在實軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖所示。為在實軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在和之間任選一個試驗點。§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則１．共軛復(fù)數(shù)極點到的幅角之和為０°，相互抵消，因此開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點、零點對實軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實軸上的開環(huán)零、極點。２．若實軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗點左側(cè)的開環(huán)零、極點提供的相角為０°,而右側(cè)的相角為180°。點滿足相角條件，所以～之間是根軌跡?！痢痢?2-4§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則例４－１：（單位反饋）①∵有三個極點，根軌跡有三條分支σjω②∵n=3,

m=2∴有３－２＝１條根軌跡→∞，２條終止于開環(huán)零點。③在實軸上不同段上取試驗點oo-3-1§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則五．根軌跡的漸近線１．根軌跡中（n－m）條趨向無窮遠處的分支的漸近線的傾角為…，（n-m-1)當(dāng)時，求得的漸近線傾角最小，增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨立的漸近線只有（n－m）條．§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則２.漸近線與實軸的交點漸近線的交點總在實軸上，即必為實數(shù)．在計算時，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點的實部代入即可．§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則六.分離點和會合點兩條根軌跡分支在Ｓ平面上某一點相遇，然后又立即分開的點，稱根軌跡的分離點（或會合點）。它對應(yīng)于特征方程中的二重根（如例４－２，實軸上的根軌跡要從某一點分開，然后沿漸近線方向趨向無窮遠處，把分離點所對應(yīng)的Ｋ1值代入特征方程，應(yīng)求得二重根）。

∵根軌跡關(guān)于實軸對稱，∴分離點或會合點必然是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)．常見的分離點或或會合點位于實軸上。求方程式的根，可以確定分離點或會合點?！欤矗怖L制根軌跡的基本規(guī)則

例４－２，求分離點上的坐標(biāo)。系統(tǒng)的特征方程為或上式的根因為分離點在０至－１之間，故為分離點的坐標(biāo)，而舍棄用幅值條件確定分離點的增益：§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則七.根軌跡與虛軸的交點當(dāng)增加到一定數(shù)值時，根軌跡可能穿過虛軸，進入右半Ｓ平面，這表示將出現(xiàn)實部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的焦點，并計算對應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。在根軌跡與虛軸的交點處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點確定根軌跡與虛軸的交點。可以用代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定?！欤矗怖L制根軌跡的基本規(guī)則續(xù)例４－２，將代入特征方程。當(dāng)時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實部虛部在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分離點，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點附近取幾個試驗點，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線?！欤矗怖L制根軌跡的基本規(guī)則§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則八.根軌跡的出射角和入射角當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點（或零點）時，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）．根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點的切線方向與實軸正方向的夾角稱為出射角．出射角表示根軌跡從復(fù)數(shù)極點出發(fā)時的走向．開環(huán)復(fù)數(shù)零點處，根軌跡的入射角為式中即為其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角開環(huán)復(fù)數(shù)極點處，根軌跡的出射角為§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則求從出發(fā)根軌跡的出射角。用量角器量后，得，在圖上標(biāo)出。的出射角和對稱?！欤矗撤答伩刂葡到y(tǒng)的根軌跡分析４．漸近線的相角和交點為５．求根軌跡的分離點系統(tǒng)的特征方程§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析上式的根為，。只有是實際分離點。對應(yīng)分離點的值可按幅值條件確定６．求根軌跡在的出射角§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析７．求根軌跡與虛軸的交點．此處利用勞斯判據(jù)，由特征方程１８５６００列勞斯表§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析令，得根據(jù)行的系數(shù)寫出輔助方程將代入，得８.作根軌跡圖在分離點附近取n個試驗點，知分離角為90°,在附近取n個試驗點．§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析確定閉環(huán)極點.在上例中給定一對主導(dǎo)極點的阻尼比1.畫出線§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析２．線的根軌跡交點的坐標(biāo)就是時，系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導(dǎo)極點．３．主導(dǎo)極點處對應(yīng)的值用幅值條件求４．用試探法可找到另兩個閉環(huán)極點當(dāng)時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：１．繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；２．分析根軌跡圖，估計系統(tǒng)增益對閉環(huán)零、極點分布的影響；３．根據(jù)閉環(huán)零、極點的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)；４．對高階系統(tǒng)要盡可能準(zhǔn)確地找出它的閉環(huán)主導(dǎo)極點?！欤矗撤答伩刂葡到y(tǒng)的根軌跡分析參數(shù)根軌跡繪制方法例４－４已知系統(tǒng)框圖，繪制以為參數(shù)的根軌跡.§４－３反饋控制系統(tǒng)的根