《數(shù)字信號處理》課件-第7章

7.1引言7.2歸一化模擬低通濾波器的設(shè)計方法7.3實際模擬濾波器的設(shè)計7.4IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

7.5FIR數(shù)字濾波器與IIR數(shù)字濾波器的比較7.6數(shù)字濾波器采樣頻率與濾波器階數(shù)的關(guān)系習(xí)題與上機題

在第5章我們提到濾波器可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。這兩類濾波器的設(shè)計方法有很大的區(qū)別，在第6章中已經(jīng)詳細(xì)地介紹了FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法，本章將詳細(xì)介紹IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法。7.1引言

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有兩類：間接設(shè)計法和直接設(shè)計法。間接設(shè)計法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進行的。其設(shè)計思路是：先根據(jù)數(shù)字濾波器指標(biāo)設(shè)計出相對應(yīng)的模擬濾波器(AnalogFilter，AF)，得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法數(shù)字化，轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

這種方法相對容易一些，這是因為模擬濾波器設(shè)計方法已經(jīng)很成熟，它不僅有完整的設(shè)計公式，還有完善的圖表可供查閱，另外，還有一些典型的濾波器類型可供我們使用。另一類是在頻域或者時域直接設(shè)計數(shù)字濾波器。由于要解聯(lián)立方程，因此設(shè)計時需要計算機作輔助設(shè)計。模擬濾波器的設(shè)計是以幾種典型的低通濾波器的模型為基礎(chǔ)的。比較典型的低通濾波器有巴特沃斯(Butterworth)波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellips)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式以及曲線和圖表可供設(shè)計人員使用。7.2歸一化模擬低通濾波器的設(shè)計方法

同數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)相似，模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)有αp、Ωp、αs、Ωs，其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶起始頻率，αp是通帶(0≤Ω≤Ωp)內(nèi)允許的最大衰減，αs是阻帶(Ω≥Ωs)內(nèi)的最小衰減。αp和αs一般用分貝數(shù)(dB)表示，對于單調(diào)下降的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)，αp和αs

可分別表示為

(7.2.1)和

(7.2.2)

各種模擬濾波器的設(shè)計方法都是基于低通濾波器(LowpassFilter，LPF)的，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的模擬濾波器。由于不同類型濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，歸一化模擬低通濾波器就應(yīng)運而生。7.2.1歸一化模擬低通濾波器

1.歸一化模擬低通濾波器的定義

定義歸一化模擬濾波器的通帶最大增益為1，即

(7.2.3)歸一化模擬低通濾波器的所有頻率都是用通帶截止頻率Ωp歸一的，我們用λ表示歸一化模擬濾波器的頻率，即

(7.2.4)

顯然，歸一化模擬低通濾波器的通帶截止頻率為λp=1。我們用p=jλ表示歸一化復(fù)頻率。

2.由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)

模擬濾波器的幅頻響應(yīng)常用幅度平方函數(shù)A2(Ω)來表示。設(shè)模擬濾波器的頻率響應(yīng)為Ha(jΩ)，系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s)，則定義幅度平方函數(shù)為

A2(Ω)=|Ha(jΩ)|2=Ha(jΩ)Ha*(jΩ)(7.2.5)

復(fù)幅度平方函數(shù)為

Q(s)=Ha(s)Ha(-s)(7.2.6)

由于濾波器沖激響應(yīng)ha(t)是實函數(shù)，因而

Ha*(jΩ)=Ha(-jΩ)(7.2.7)

所以有

A2(Ω)=Q(s)|s=jΩ(7.2.8)

即頻率軸上的復(fù)幅度平方函數(shù)就是幅度平方函數(shù)。圖7.2.1復(fù)幅度平方函數(shù)極點分布圖(a)極點為復(fù)數(shù);(b)極點為實數(shù)

現(xiàn)在的問題是如何由已知的復(fù)幅度平方函數(shù)Q(s)求得濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。假設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)有一個極點(或零點)位于s=s0處，由于系統(tǒng)沖激響應(yīng)ha(t)為實函數(shù)，因此極點(或零點)必然以共軛成對的形式出現(xiàn)，所以s=s0*處也一定有一極點(或零點)。因此，復(fù)幅度平方函數(shù)Q(s)的極點分布是以4個(對應(yīng)復(fù)數(shù)極點)或2個(對應(yīng)實數(shù)極點)一組出現(xiàn)的，如圖7.2.1所示。當(dāng)極點不在坐標(biāo)軸上時，這時復(fù)幅度平方函數(shù)的極點是呈4個一組成對出現(xiàn)的，如圖7.2.1(a)所示;當(dāng)極點在橫坐標(biāo)軸上時，復(fù)幅度平方函數(shù)的極點是呈2個一組成對出現(xiàn)的，如圖7.2.1(b)所示。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，此時將左半平面的極點歸于Ha(s)，零點可以任意選一半的零點。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)在虛軸上不能有極點。

【例7.2.1】

根據(jù)以下幅度平方函數(shù)A2(Ω)確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。

解根據(jù)式(7.2.8)可得

其極點為s=±7，±6，零點為s=±j5(二階)。選左半平面的極點，和一對共軛零點為Ha(s)的零極點，有

由Ha(s)|s=0=Ha(jΩ)|Ω=0可得k=4。最后求得

7.2.2巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的設(shè)計方

巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為

(7.2.9)

式中，N為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)。

當(dāng)λ=1，即Ω=Ωp=Ωc時，A2(1)=1/2，αp=3dB，所以又稱Ωc為巴特沃思低通濾波器的3分貝帶寬。不同階數(shù)的巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)如圖7.2.2所示。圖7.2.2不同階數(shù)的巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)

由圖7.2.2可以看出，巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)特點如下:

(1)λ=0，A2(0)=1，λp=1，A2(1)=1/2。所以巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器通帶的最大衰減為3dB，不可能在通帶內(nèi)得到比3dB更小的αp。

(2)在λ≤1的通帶內(nèi)，幅度平方函數(shù)有最大平坦的幅頻特性，隨著λ的增加，|Ha(jλ)|2單調(diào)遞減。

(3)通帶為［0，1］，阻帶為［λs，+∞)，N越大，阻帶衰減速度越快。

綜上所述，巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的特性完全由階數(shù)N和3dB截止頻率來確定。巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器在通帶、阻帶內(nèi)均是單調(diào)變化的，隨著N增加，通帶中的幅度值在更大范圍內(nèi)接近1，但αp始終不變，而在阻帶內(nèi)幅度值更快地趨于0，即αs增加。所以說階數(shù)越高越逼近理想濾波器，但隨之而來的系統(tǒng)處理延時也越大。根據(jù)式(7.2.2)，阻帶最小衰減為

(7.2.10)

同理，可得

(7.2.11)

取N為大于計算結(jié)果的最小整數(shù)。

(4)巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的復(fù)幅度平方函數(shù)的零極點分布。

根據(jù)式(7.2.6),得到

(7.2.12)

由上式可以看出，復(fù)幅度平方函數(shù)的零點全部在p=∞處，所以∞可以認(rèn)為是該函數(shù)的2N次零點，平面只有極點，因而屬于所謂的“全極點型”濾波器。復(fù)幅度平方函數(shù)的極點特點分兩種情況討論。①N為偶數(shù)，極點為

(7.2.13)

②N為奇數(shù)，極點為

(7.2.14)綜合起來，極點分布如下：

(7.2.15)

因此Q(p)的極點在p平面是象限對稱的，均勻分布在p平面的單位圓上，共有2N個角度間隔為π/N的極點，極點關(guān)于jλ軸對稱，不會落在虛軸上。當(dāng)N為奇數(shù)時，實軸上有極點；當(dāng)N為偶數(shù)時，實軸上沒有極點。由左半平面的極點即可構(gòu)成巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)。

【例7.2.2】設(shè)歸一化模擬低通濾波器設(shè)計指標(biāo)如下：αp=3dB，αs=30dB，λs=2

試求巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

解

(1)確定濾波器階數(shù)。根據(jù)式(7.2.11)可得

取N=5。

(2)求極點。由于N為奇數(shù)，所以極點為

因此10個極點為

選擇位于p平面左半平面的極點構(gòu)成設(shè)計濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，這樣才能保證設(shè)計出來的濾波器是穩(wěn)定系統(tǒng)。

為設(shè)計方便，人們已將巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的極點分布、系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)及級聯(lián)形式子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)以表格形式給出，如表7.2.1所示。表7.2.1巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器參數(shù)

【例7.2.3】設(shè)歸一化模擬低通濾波器設(shè)計指標(biāo)如下：αp=3dB，αs=40dB，λs=4求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)。

解計算階數(shù)

取N=4，查表7.2.1得［N，Wc］=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′);求巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的階數(shù)N和3dB通帶截止頻率Wc。如果需要設(shè)計歸一化低通濾波器，則Wp=1，Ws=λ，Rp、Rs分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減。

［z，p，k］=buttap(N);計算巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的零、極點和增益因子k，返回長度為N的向量z和p分別給出N個零點和極點。［B，A］=zp2tf(z，p，k);從系統(tǒng)的零極點得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式向量B和A，形式如下:

例7.2.3的Matlab程序如下:

Wp=1;Ws=4;Rp=3;Rs=40；％設(shè)置濾波器技術(shù)指標(biāo)［N，Wc］=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′)；

％計算濾波器階數(shù)和3dB截止頻率［z，p，k］=buttap(N)；％求歸一化濾波器的零、極點［B，A］=zp2tf(z，p，k)；

％求濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式系數(shù)w=0：0.1：5；％在0～6范圍內(nèi)取61點

［h，w］=freqs(b，a，w)；

％計算頻率向量w上的頻率響應(yīng)程序運行結(jié)果為N=4。巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為

A=［1.0000，2.6131，3.4142，2.6131，1.0000］，B=［0，0，0，0，1］

系統(tǒng)頻率響應(yīng)如圖7.2.3所示。在λ=1處，通帶衰減為

3dB，在λ=4處阻帶衰減大于40dB，滿足設(shè)計要求。圖7.2.3例7.2.3巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶和阻帶都是隨頻率單調(diào)變化的，因而如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定有富裕量，也即會超出指標(biāo)要求。如果將指標(biāo)均勻分布在通帶或阻帶內(nèi)，在相同的指標(biāo)要求下，可以設(shè)計出階數(shù)較低的濾波器。7.2.3切比雪夫型歸一化模擬低通濾波器的設(shè)計方法切比雪夫型歸一化模擬低通濾波器分為Ⅰ型和Ⅱ型，切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)為等波紋，在阻帶內(nèi)單調(diào)下降。切比雪夫Ⅱ型的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)單調(diào)下降，在阻帶內(nèi)為等波紋。本節(jié)我們重點介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器。

切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為

(7.2.16)式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋幅度參數(shù)；CN(λ)是N階切比雪夫多項式，定義為

(7.2.17)式中

式(7.2.17)可以展成x多項式，得到高階切比雪夫多項式的迭代公式為

CN(x)=2xCN-1(x)-CN-2(x)，N>1(7.2.18)

因此有

C0(x)=1，C1(x)=x，C2(x)=2x2-1，…所以，當(dāng)N為偶數(shù)時，切比雪夫多項式CN(x)為偶函數(shù)；當(dāng)N為奇數(shù)時，CN(x)為奇函數(shù)。

根據(jù)切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器幅度平方函數(shù)表示式，取相同的波紋幅度參數(shù)ε，在3個不同階數(shù)N的情況下，幅頻響應(yīng)曲線如圖7.2.4所示。圖7.2.4不同階數(shù)切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)由圖7.2.4可以得到切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器幅頻響應(yīng)特性如下:

(1)在通帶0≤λ≤1內(nèi)

(7.2.19)

當(dāng)λ=0，N為偶數(shù)時

N為奇數(shù)時

|Ha(j0)|=|Ha(jλ)|max=1

(2)當(dāng)λ=1時，，即所有階數(shù)的曲線都通過點，因此切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器在通帶內(nèi)的最大衰減不一定是3dB，而是與ε有關(guān)，可以小于3dB。

(3)濾波器的階數(shù)N影響過渡帶的寬度，同時也影響通帶內(nèi)幅度波動的頻度，N等于通帶內(nèi)幅度波動的最大值和最小值的總個數(shù)。N增加，波動次數(shù)增加，過渡帶變窄。

(4)當(dāng)λ≥1時，|Ha(jλ)|單調(diào)下降，N越大，單調(diào)下降速度越快。所以切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的阻帶衰減主要由階數(shù)N確定。

(5)指標(biāo)。通帶最大衰減為

(7.2.20)由上式可得

(7.2.21)

阻帶最小衰減為

(7.2.22)

由式(7.2.20)、式(7.2.22)及式(7.2.17)可得

從而解得

(7.2.23)

取N大于計算結(jié)果的最小整數(shù)。從以上幾式可以看出，切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的αp與ε有關(guān)，可以小于3dB，N增加，αp不變，αs增加。

為了得到一個穩(wěn)定因果的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)，必須求出復(fù)幅度平方函數(shù)的極點。

可以證明，切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的極點為

pk=σk+jλk，k=1，2，3，…，N(7.2.24)式中

根據(jù)切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的極點公式，可以看出其極點是均勻分布在p平面的橢圓圓周上的。切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(7.2.25)綜上所述，切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的設(shè)計步驟如下：

(1)確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)αp、αs、λs。

(2)由式(7.2.21)，求出濾波器參數(shù)ε。

(3)由式(7.2.23)，求出濾波器的階數(shù)N。

(4)由式(7.2.24)，求出極點pk，再由式(7.2.25)求得系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)。

Matlab信號處理工具箱提供了設(shè)計切比雪夫Ⅰ、Ⅱ型歸一化模擬低通濾波器的函數(shù)，格式如下:

［N，Wpo］=cheb1ord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′);求切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的階數(shù)N和通帶截止頻率Wpo，Rp、Rs分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減。

［N，Wso］=cheb2ord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′);求切比雪夫Ⅱ型歸一化模擬低通濾波器的階數(shù)N和阻帶邊界頻率Wso。增益因子k，返回長度為N的向量z和p分別給出N個零點和極點。

［z，p，k］=cheb2ap(N，Rs);計算切比雪夫Ⅱ型歸一化模擬低通濾波器的零、極點和增益因子k，返回長度為N的向量z和p分別給出N個零點和極點。

【例7.2.4】設(shè)歸一化模擬低通濾波器設(shè)計指標(biāo)如下：

αp=1dB，αs=40dB，λs=3

試求切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)，并畫出頻率響應(yīng)。

解

Matlab程序如下:

Wp=1;Ws=3;Rp=1;Rs=40；％設(shè)置濾波器技術(shù)指標(biāo)［N，Wpo］=cheb1ord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′)；

％計算濾波器階數(shù)和通帶截止頻率［z，p，k］=cheb1ap(N，Rp)；

％求歸一化濾波器的零、極點［b，a］=zp2tf(z，p，k)；

％求濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式系數(shù)

w=0：0.02：5;

［h，w］=freqs(b，a，w);程序運行結(jié)果為N=4。切比雪夫Ⅰ型歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為

A=［1.0000，0.9528，1.4539，0.7426，0.2756］，B=［0，0，0，0，0.2457］

系統(tǒng)幅頻響應(yīng)如圖7.2.5所示。在λ=1處，通帶衰減為1dB，在λ=3處阻帶衰減大于40dB，滿足設(shè)計要求。圖7.2.5例7.2.4切比雪夫Ⅰ型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)7.2.4橢圓型歸一化模擬低通濾波器的設(shè)計方法

橢圓型歸一化模擬低通濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋的幅頻特性，因而對于給定的技術(shù)指標(biāo)，用橢圓濾波器實現(xiàn)時，所需階數(shù)一般是最低的。

橢圓型歸一化模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為

(7.2.26)式中，ε是與通帶允許的最大衰減αp有關(guān)的濾波器參數(shù)；UN(x)是N階雅可比橢圓函數(shù)。取相同的波紋幅度參數(shù)ε和阻帶衰減αs，在3個不同階數(shù)N的情況下，幅頻響應(yīng)曲線

如圖7.2.6所示。可見，當(dāng)通帶、阻帶波紋固定時，階數(shù)越高，過渡帶越窄，所以橢圓濾波器的階數(shù)由阻帶起始頻率λs、通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs共同決定。圖7.2.6不同階數(shù)橢圓型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)橢圓濾波器的復(fù)幅度平方函數(shù)的極點求解較為復(fù)雜，這里不再介紹，讀者設(shè)計橢圓濾波器時，可用Matlab來完成設(shè)計。

Matlab信號處理工具箱提供了設(shè)計橢圓型歸一化模擬低通濾波器的函數(shù)，格式如下:

［N，Wpo］=ellipord(Wp，Ws，Rp，Rs，’s’);求橢圓型模擬低通濾波器的階數(shù)N和通帶截止頻率Wpo。

［z，p，k］=ellipap(N，Rp，Rs);計算橢圓型歸一化低通濾波器的零、極點和增益因子k，返回長度為N的向量z和p分別給出N個零點和極點。

【例7.2.5】設(shè)歸一化模擬低通濾波器設(shè)計指標(biāo)如下：

αp=1dB，αs=40dB，λs=3

試求橢圓型歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)，并畫出頻率響應(yīng)。

解

Matlab程序如下:

Wp=1;Ws=3;Rp=1;Rs=40；％設(shè)置濾波器技術(shù)指標(biāo)

［N，Wpo］=ellipord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′)；

％計算濾波器階數(shù)和通帶截止頻率

［z，p，k］=ellipap(N，Rp，Rs)；

％求歸一化濾波器的零極點

［b，a］=zp2tf(z，p，k)；

％求濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式系數(shù)

w=0：0.02：5;

［h，w］=freqs(b，a，w);程序運行結(jié)果為N=3。橢圓型歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為

A=［1.0000，0.9782，1.2434，0.5265］，B=［0，0.0692，0，0.5265］

系統(tǒng)頻率響應(yīng)如圖7.2.7所示。在λ=1處，通帶衰減為1dB，在λ=3處阻帶衰減大于40dB，滿足設(shè)計要求。圖7.2.7例7.2.5橢圓型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)7.2.5貝塞爾型歸一化模擬低通濾波器設(shè)計方法

前面的三種歸一化模擬低通濾波器只考慮了幅頻響應(yīng)指標(biāo)，未對相頻響應(yīng)做要求。在許多應(yīng)用場合，希望所設(shè)計的模擬濾波器具有逼近的線性相位特性，同時逼近幅度指標(biāo)。

實現(xiàn)這一目標(biāo)的一種方法是，在滿足幅度指標(biāo)的濾波器后面級聯(lián)一個全通濾波器來校正相位特性，使級聯(lián)后的總系統(tǒng)在通帶內(nèi)逼近線性相位特性。但是這種方法增加了模擬濾波器

硬件的復(fù)雜度。

貝塞爾型歸一化模擬低通濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性，其系統(tǒng)函數(shù)為

(7.2.27)

Ha(p)為全極點型，并在λ=0處提供對線性相位特性最好的逼近。AN(p)稱為貝塞爾多項式。在3個不同階數(shù)N的情況下，貝塞爾型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線如圖7.2.8所示。由于貝塞爾型歸一化模擬低通濾波器在通帶、阻帶均是單調(diào)變化的，因此階數(shù)相同時，貝塞爾型歸一化模擬低通濾波器在頻率選擇性上比前幾種濾波器要差。圖7.2.8不同階數(shù)貝塞爾型歸一化模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)7.2.6幾種歸一化模擬低通濾波器設(shè)計方法比較

前幾小節(jié)討論了四種類型的歸一化模擬低通濾波器的設(shè)計方法，其中巴特沃思型、切比雪夫型、橢圓型主要考慮幅頻響應(yīng)指標(biāo)，貝塞爾型主要考慮逼近線性相位特性。為了正確選擇濾波器類型以滿足給定的幅頻響應(yīng)指標(biāo)，必須比較這三種濾波器的幅頻特性，即比較相同階數(shù)的幅頻響應(yīng)，如圖7.2.9所示。由圖可以看出，在相同階數(shù)時，橢圓型濾波器性能最好，過渡帶最窄，次之是切比雪夫型，巴特沃思型過渡帶最寬。另一方面，在滿足相同的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，橢圓型的階數(shù)最低，巴特沃思型的階數(shù)最高，并且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)而言，橢圓型的性能價格比最高，應(yīng)用比較廣泛。圖7.2.9不同模型歸一化模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)圖7.2.10不同模型歸一化模擬低通濾波器的群時延在第6章中，我們介紹過，濾波器具備線性相位特性時，其群時延在通帶內(nèi)為一常數(shù)。

為比較幾種歸一化模擬低通濾波器的線性相位特性，我們將幾種歸一化模擬低通濾波器在相同階數(shù)時的群時延比較如圖7.2.10所示。由圖可以看出，橢圓型的線性相位特性最差，在通帶內(nèi)只有一半與線性相位特性較為逼近，巴特沃思型在通帶內(nèi)約四分之三的通帶與線性相位較為逼近。以上主要討論了歸一化模擬低通濾波器的設(shè)計，在實際應(yīng)用中，需要設(shè)計更通用的一般低通、高通、帶通和帶阻模擬濾波器。由于各種歸一化模擬低通濾波器都有自己的一套

準(zhǔn)確的計算公式，同時也已制備了大量歸一化的設(shè)計表格和曲線，為濾波器的設(shè)計和計算提供了許多方便，因此在一般模擬濾波器的設(shè)計中，就可以通過歸一化低通濾波器(LPF)

的參數(shù)，去設(shè)計各種實際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器，設(shè)計過程如圖7.3.1所示。7.3實際模擬濾波器的設(shè)計圖7.3.1一般模擬濾波器的設(shè)計過程由于一般模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以通過頻率變換，分別由低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求得，因此不論設(shè)計哪一種濾波器，都可以先將該濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一化低通濾波器指標(biāo)，按照該技術(shù)指標(biāo)先設(shè)計歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)，再通過頻率變換，將其系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為所需類型的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。頻率變換的條件是變換前后的濾波器穩(wěn)定性不變，幅度衰減特性不變，即變換前后的通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs不變。7.3.1實際模擬濾波器的設(shè)計方法

1.實際模擬低通濾波器(LowPassFilter，LPF)的設(shè)計方法

設(shè)實際模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為通帶截止頻率Ωp、阻帶起始頻率Ωs、通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。首先將該模擬LPF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為歸一化模擬LPF的指標(biāo)λs、αp、αs。根據(jù)變換規(guī)則，變換前后的幅度衰減特性不變，因此歸一化模擬低通濾波器的αp、αs指標(biāo)與實際模擬LPF

的αp、αs相同。根據(jù)7.2小節(jié)的定義，歸一化模擬低通濾波器與實際模擬低通濾波器的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(7.3.1)

式中，Ω為實際模擬LPF的角頻率；Ωp為實際模擬LPF的通帶截止頻率。

將p=jλ，s=jΩ代入式(7.3.1)，可得歸一化模擬低通濾波器的復(fù)頻率p與實際模擬低通濾波器的復(fù)頻率s的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(7.3.2)根據(jù)歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)和所選擇的濾波器種類，確定濾波器階數(shù)N，并通過查表求得歸一化模擬低通濾波器得系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)，再通過式(7.3.2)即可求得實際模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)為

(7.3.3)

【例7.3.1】設(shè)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為

試求其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。

解

(1)指標(biāo)轉(zhuǎn)換。歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為

(2)確定濾波器階數(shù)N。選擇巴特沃思型濾波器，根據(jù)式(7.2.11)可得

取N=5。

(3)查表7.2.1，得

(4)求Ha(s)。

Matlab提供了由歸一化模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為一般模擬低通濾波器的函數(shù)，格式為

［b，a］=lp2lp［ap，bp，wp］;

ap、bp分別為歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù);wp為模擬低通濾波器通帶截止頻率;b、a為變換后的模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù)。例7.3.1也可以用Matlab實現(xiàn)，程序如下:

Wp=2*pi*5000;Ws=2*pi*10000;Rp=3;Rs=30;

wp=1;ws=Ws/Wp;

［N，Wc］=buttord(wp，ws，Rp，Rs，′s′)；

％求巴特沃思型歸一化模擬低通濾波器的階數(shù)

%和3dB頻率［z，p，k］=buttap(N);

［bp，ap］=zp2tf(z，p，k)；

％求歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù)

［b，a］=lp2lp(bp，ap，Wp)；

％求一般模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù)

w=0：2*pi*100：2*pi*30000；

％求模擬低通濾波器的頻率

［h，w］=freqs(b，a，w)；

％求模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)

wp=0：0.1：6；％求歸一化模擬低通濾波器的頻率

［hp，wp］=freqs(bp，ap，wp)；

％求模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)程序運行結(jié)果為N=5。模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)如圖7.3.2所示，當(dāng)fp=5kHz時，幅度衰減為3dB，當(dāng)fs=10kH時，幅度衰減為30dB，滿足設(shè)計指標(biāo)。

2.實際模擬高通濾波器(HighPassFilter，HPF)

的設(shè)計方法

高通濾波器的頻率響應(yīng)與低通濾波器的頻率響應(yīng)是相反的，如圖7.3.3所示。圖7.3.2例7.3.1低通濾波器的幅頻響應(yīng)圖7.3.3低通、高通濾波器的頻率響應(yīng)(a)LPF;(b)HPF頻率變換關(guān)系是要將通帶從低頻區(qū)變換到高頻區(qū)，阻帶從高頻區(qū)變換到低頻區(qū)，不難想象，由歸一化模擬低通濾波器到實際模擬高通濾波器的頻率變換是一種倒置關(guān)系，即

(7.3.4)

因此歸一化模擬低通濾波器與實際模擬高通濾波器的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(7.3.5)

上式表示的歸一化模擬低通濾波器到實際模擬高通濾波器的頻率變換關(guān)系如圖7.3.4所示。圖7.3.4模擬低通到高通濾波器的頻率變換示意圖圖中，當(dāng)歸一化模擬低通濾波器λ由-λp到0變化時，對應(yīng)的高通濾波器頻率Ω由Ωp到∞，即模擬低通濾波器的低頻通帶變換到了模擬高通濾波器的高頻通帶。當(dāng)歸一化模擬低通濾波器的λ由-∞到-λs變化時，對應(yīng)的模擬高通濾波器的頻率Ω由0變化到Ωs，即模擬低通濾波器的高頻阻帶變換到

了模擬高通濾波器的低頻阻帶。所以由實際模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計算歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)時，有

(7.3.6)以上給出了由實際模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)求歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)的公式以及頻率變換的示意圖，下面證明，通過式(7.3.4)將歸一化模擬低通濾波器因果穩(wěn)定

的系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)變換為模擬高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)也是因果穩(wěn)定的。

證明設(shè)pi=σi′+jλi為歸一化低通濾波器的一個極點，

如果歸一化模擬低通濾波器因果穩(wěn)定，則必有其極點在p平面的左半平面，即σi′<0。由于模擬高通濾波器的極點為

因此如果歸一化模擬低通濾波器因果穩(wěn)定，則有σi′<0，此時必有σi<0，即將歸一化模擬低通濾波器左半平面的極點轉(zhuǎn)換到模擬高通濾波器的左半平面，這樣就保證了變換后的模擬高通濾波器仍然是因果穩(wěn)定的。

【例7.3.2】設(shè)模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為

試求其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。解

(1)指標(biāo)轉(zhuǎn)換。歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為

(2)確定濾波器階數(shù)N。

選擇巴特沃思型濾波器，根據(jù)式(7.2.11)可得

取N=3。

(3)查表7.2.1，得

(4)求Ha(s)。

Matlab提供了由歸一化模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為一般模擬高通濾波器的函數(shù)，格式為

［b，a］=lp2hp［ap，bp，wp］;

ap、bp為歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù)；wp為高通模擬濾波器通帶截止頻率；b、a為變換后的高通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù)。3.實際模擬帶通濾波器(BandPassFilter，BPF)的設(shè)計方法

帶通濾波器的頻率響應(yīng)如圖7.3.5所示。圖中Ωpl和Ωpu

分別為帶通濾波器的通帶下限和上限截止頻率，Ωsl和Ωsu分別為阻帶下、上截止頻率。帶通濾波器的中心頻率Ω0定義

(7.3.7)圖7.3.5帶通濾波器的頻率響應(yīng)即通帶中心頻率是通帶截止頻率的幾何平均。

頻率變換關(guān)系是要將歸一化模擬低通濾波器頻率軸上λ=0的點變換到模擬帶通濾波器的兩個中心頻率±Ω0?？梢宰C明歸一化模擬低通濾波器與實際模擬帶通濾波器的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(7.3.8)因此歸一化模擬低通濾波器與實際模擬帶通濾波器的復(fù)頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(7.3.9)

上式表示的歸一化模擬低通濾波器到實際帶通濾波器的頻率變換關(guān)系圖如圖7.3.6所示。圖7.3.6模擬低通到帶通濾波器的頻率變換示意圖圖中，歸一化模擬低通濾波器低通頻帶-λp～λp映射到模擬帶通濾波器正負(fù)軸上的各一個通帶。所以，由實際模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計算歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)時，有

(7.3.10)

【例7.3.3】設(shè)計一模擬帶通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)如下:

(1)αp=3dB，αs=30dB;

(2)fpl=10kHz，fpu=15kHz;

(3)fsl=8kHz，fsu=18.5kHz。

解(1)求歸一化模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。根據(jù)式(7.3.8)，可得

歸一化模擬低通濾波器的指標(biāo)為

(2)選巴特沃思濾波器，根據(jù)式(7.2.11)可得

取N=5。

(3)查表7.2.1，得

(4)求Ha(s)。

Matlab提供了由歸一化模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為一般模擬帶通濾波器的函數(shù)，格式為

［b，a］=lp2bp［ap，bp，wo，bw］;

ap、bp為歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù);wo為模擬帶通濾波器的通帶中心頻率;bw為模擬低通濾波器的通帶帶寬;b、a為變換后模擬帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù)。例7.3.3的Matlab程序如下:

Wpl=2*pi*10000;Wpu=2*pi*15000;Wsl=2*pi*8000;

Wsu=2*pi*18500;Rp=3;Rs=30;

wo=Wpl*Wpu;bw=Wpu-Wpl；wp=1;ws1=(Wsu*Wsu-wo)/Wsu/bw;

ws2=-(Wsl*Wsl-wo)/Wsl/bw;ws=min(ws1，ws2)；

％求歸一化模擬低通濾波器的最小阻帶起始頻率

［N，Wc］=buttord(wp，ws，Rp，Rs，′s′)；［z，p，k］=buttap(N);［bp，ap］=zp2tf(z，p，k);wo=sqrt(wo)；

％求模擬帶通濾波器的通帶中心頻率

［b，a］=lp2bp(bp，ap，wo，bw);w=0：2*pi*100：2*pi*25000；［h，w］=freqs(b，a，w);

wp=0：0.1：6;［hp，wp］=freqs(bp，ap，wp);4.實際模擬帶阻濾波器(BandStopFilter，BSF)的設(shè)計方法

帶阻濾波器的頻率響應(yīng)如圖7.3.7所示。圖中Ωpl和Ωpu

分別為帶阻濾波器的通帶下限和上限截止頻率，Ωsl和Ωsu

分別為阻帶下、上截止頻率。阻帶濾波器的中心頻率Ω0定義

為

(7.3.11)圖7.3.7帶阻濾波器的頻率響應(yīng)

即阻帶中心頻率是阻帶截止頻率的幾何平均。

帶阻濾波器可以看做是帶通濾波器的“倒置”濾波器，所以由式(7.3.9)可得

(7.3.12)歸一化模擬低通濾波器與實際模擬帶阻濾波器的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(7.3.13)

模擬帶阻濾波器的設(shè)計步驟與模擬帶通濾波器的相同，在設(shè)計中要注意

(7.3.14)另外，在設(shè)計模擬帶通、帶阻濾波器時，根據(jù)實際模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)計算出歸一化模擬低通濾波器的λs、-λs

時，要選絕對值最小的解為最終設(shè)計歸一化模擬低通濾波器的λs。

Matlab提供了由歸一化模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為一般模擬帶阻濾波器的函數(shù)，格式為

［b，a］=lp2bs［ap，bp，wo，bw］;

ap、bp為歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù);wo為模擬帶阻濾波器的阻帶中心頻率;bw為模擬帶阻濾波器的通帶帶寬Ωpu-Ωpl；b、a為變換后的模擬帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的系數(shù)。7.3.2用Matlab設(shè)計模擬濾波器

以上介紹的是如何從歸一化模擬低通濾波器設(shè)計所需的模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器。Matlab信號處理工具箱還提供了直接設(shè)計模擬濾波器的函數(shù)，分別介紹如下。

設(shè)濾波器設(shè)計技術(shù)指標(biāo)為：

Wp：通帶截止頻率Ωp，當(dāng)濾波器為帶通或帶阻時，Wp=［Ωpl，Ωpu］。

Ws：阻帶截止頻率Ωs，當(dāng)濾波器為帶通或帶阻時，Ws=［Ωsl，Ωsu］。

Rp：通帶最大衰減αp。

Rs：阻帶最小衰減αs。設(shè)計步驟如下：

(1)根據(jù)實際模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)計算濾波器階數(shù)，在講解歸一化模擬濾波器時，已經(jīng)逐一介紹了，請讀者參考相關(guān)內(nèi)容。

(2)根據(jù)濾波器階數(shù)和通(阻)帶截止頻率求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)［B，A］=butter(N，Wc，′ftype′，′s′);求巴特沃思型濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量B和A。向量中的元素bi和ak為下式中分子和分母的系數(shù):

Wc為單項，ftype缺省時，設(shè)計低通濾波器;ftype=high時，設(shè)計高通濾波器。

Wc=［Wcl，Wcu］，ftype缺省時，設(shè)計帶通濾波器，通帶為［Wcl，Wcu］;ftype=stop時，設(shè)計帶阻濾波器，Wcl、Wcu分別是通帶下、上截止頻率。s缺省時，設(shè)計數(shù)字濾波器。［b，a］=cheby1(N，Rp，Wpo，′ftype′，′s′);求切比雪夫Ⅰ型濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)。

［b，a］=cheby2(N，Rs，Wso，′ftype′，′s′);求切比雪夫Ⅱ型濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)。

［b，a］=ellip(N，Rp，Rs，Wpo，′ftype′，′s′);求橢圓型濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)。

【例7.3.4】利用Matlab設(shè)計巴特沃思型模擬低通濾波器，設(shè)計技術(shù)指標(biāo)為

畫出濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。

解

Matlab程序如下:

Wp=2*pi*5000;Ws=2*pi*10000;

Rp=3;Rs=30; ％設(shè)置濾波器技術(shù)指標(biāo)

［N，Wc］=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′);

％計算濾波器階數(shù)和3dB截止頻率

［b，a］=butter(N，Wc，′s′);

％求濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)

w=0：100*2*pi：15000*2*pi

％在0～30π范圍內(nèi)取151點

［h，w］=freqs(b，a，w);

％計算頻率向量w上的頻率響應(yīng)

w=w/2/pi/1000; ％坐標(biāo)改為kHz程序運行結(jié)果如下:

階數(shù)N=5，Wc=31493.7rad/s，fp=5.01kHz。

B=［0,0,0,0,0,3.0983］*107，A=［0,0,0.0005，0.0164，0.3184，3.0983］*107

巴特沃思型濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如圖7.3.8所示。圖7.3.8例7.3.4巴特沃斯型模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)

【例7.3.5】利用Matlab設(shè)計切比雪夫Ⅰ型模擬高通濾波器，設(shè)計技術(shù)指標(biāo)為

畫出濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。

解

Matlab程序如下:

Wp=2*pi*10000;Ws=2*pi*5000;Rp=1;Rs=30;

［N，Wpo］=cheb1ord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′);

［b，a］=cheby1(N，Rp，Wpo，′high′，′s′);

w=0：100*2*pi：15000*2*pi;［h，w］=freqs(b，a，w);

畫圖部分略。程序運行結(jié)果如下：

階數(shù)N=4，Wpo=62831.9rad/s，fp=10kHz。

切比雪夫Ⅰ型模擬高通濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如圖7.3.9所示。圖7.3.9例7.3.5切比雪夫Ⅰ型模擬高通濾波器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)

【例7.3.6】利用Matlab設(shè)計切比雪夫Ⅱ型模擬帶通濾波器，設(shè)計技術(shù)指標(biāo)為

畫出濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。

解

Matlab程序如下:

Wp=［2*pi*5000，2*pi*10000］;Ws=［2*pi*4000，2*pi*13000］;Rp=1;Rs=30;

［N，Wso］=cheb2ord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′);

［b，a］=cheby2(N，Rs，Wso，′s′);

w=0：100*2*pi：20000*2*pi;［h，w］=freqs(b，a，w);

畫圖部分略。程序運行結(jié)果為階數(shù)N=5。由于設(shè)計的是帶通濾波器，因此濾波器階數(shù)為10階。切比雪夫Ⅱ型模擬帶通濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如圖7.3.10所示。圖7.3.10例7.3.6切比雪夫Ⅱ型模擬帶通濾波器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)

【例7.3.7】利用Matlab設(shè)計橢圓型模擬帶阻濾波器，設(shè)計技術(shù)指標(biāo)為

畫出濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。

解

Matlab程序如下:

Ws=［2*pi*5000，2*pi*10000］;Wp=［2*pi*4000，2*pi*13000］;Rp=1;Rs=30;

［N，Wpo］=ellipord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′);

［b，a］=ellip(N，Rp，Rs，Wpo，′stop′，′s′);

w=0：100*2*pi：20000*2*pi;［h，w］=freqs(b，a，w);

畫圖部分略。程序運行結(jié)果為階數(shù)N=4。由于設(shè)計的是帶阻濾波器，因此濾波器階數(shù)為8階。橢圓型模擬帶阻濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如圖7.3.11所示。圖7.3.11例7.3.7橢圓型模擬帶阻濾波器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)如前所述，IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是無限長序列，模擬濾波器的系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)也是無限長響應(yīng)。因此，可以借用模擬濾波器成熟的理論和設(shè)計方法來設(shè)計IIR數(shù)字濾波器。設(shè)計過程是：將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo);設(shè)計滿足指標(biāo)要求的模擬濾波器Ha(s);采用映射的方法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器H(z)。

設(shè)計過程如圖7.4.1所示。所謂映射，就是將s平面映射到z平面，使模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)變換成特性相同的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。映射過程必須要滿足下面的原則。7.4IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器后仍然應(yīng)該是因果穩(wěn)定的。在信號與系統(tǒng)課程中介紹過，因果穩(wěn)定的模擬濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點全部位于s平面的左半平面。在第2章中介紹過，因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點全部位于z平面的單位圓內(nèi)。因此，映射關(guān)系應(yīng)是將s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)。

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)必須模仿模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)，即s平面的虛軸jΩ必須映射到z平面的單位圓ejω上。圖7.4.1IIR數(shù)字濾波器設(shè)計過程將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)映射到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)有多種方法，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。下面首先介紹脈沖響應(yīng)不變法。7.4.1用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器

利用模擬濾波器理論設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，即

h(n)=ha(nT)

(7.4.1)設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s)，其單位沖激響應(yīng)為

ha(t)=ILT［Ha(s)］(7.4.2)

式中，ILT［·］為拉普拉斯逆變換。以T為周期對模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)采樣得到序列h(n)，將h(n)作為所設(shè)計的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

H(z)=ZT［h(n)］=ZT［ha(nT)］(7.4.3)

通過對模擬濾波器的沖激響應(yīng)直接數(shù)字化得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，也是從s平面到z平面的映射過程。是否滿足映射的兩個基本原則，是以下要求證的問題。

1.單位脈沖響應(yīng)Z變換與單位沖激響應(yīng)拉氏變換的關(guān)系

首先觀察單位脈沖響應(yīng)的Z變換與單位沖激響應(yīng)的抽樣信號的拉普拉斯變換的關(guān)系。設(shè)單位沖激響應(yīng)的抽樣信號為

(7.4.4)其拉普拉斯變換為由于

因此

(7.4.5)又因為所以單位脈沖響應(yīng)Z變換與單位沖激響應(yīng)拉氏變換的關(guān)系為

(7.4.6)即模擬濾波器單位沖激響應(yīng)ha(t)的拉普拉斯變換Ha(s)在s平面上沿虛軸周期延拓得到，然后再經(jīng)過z=esT的映射關(guān)系，將Ha(s)映射到z平面上，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。映射關(guān)系為

z=esT

(7.4.7)下面分析映射關(guān)系。設(shè)

s=σ+jΩ，z=rejω

由式(7.4.7)可得

z=rejω=eσTejΩT(7.4.8)

所以有

r=eσT，ω=ΩT

當(dāng)σ=0時，r=1;當(dāng)σ<0時，r<1;當(dāng)σ>0時，r>1。因此，s平面的虛軸(σ=0)映射到z平面的單位圓(r=1)上，s平面的左半平面(σ<0)映射到z平面的單位圓內(nèi)(r<1)，s平面的右半平面(σ>0)映射到z平面的單位圓外(r>1)。這說明如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則變換成數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。

同時，由于映射關(guān)系z=esT是一個周期函數(shù)，即

z=esT=eσTejΩT=eσTej(Ω+2πM/T)T，M∈Z這說明，當(dāng)σ不變，模擬角頻率Ω的變化為2π/T的任意整數(shù)倍時，映射值相同。也就是將s平面沿著jΩ軸劃分為一條條寬為2π/T的水平帶，每條水平帶重復(fù)映射到整個z平面。

因此，脈沖響應(yīng)不變法首先對Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過z=esT的映射關(guān)系映射到z平面上，如圖7.4.2所示。圖7.4.2s平面與z平面之間的映射關(guān)系

2.數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)與模擬濾波器的頻率響

應(yīng)Ha(jΩ)的關(guān)系

由于數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)是模擬濾波器單位沖激響應(yīng)的采樣，因此根據(jù)第2章中介紹的離散時間信號頻譜與連續(xù)時間信號頻譜的關(guān)系，可得

(7.4.9)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)等于將模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)以2πFs為周期進行周期延拓，再作坐標(biāo)變換ω=ΩT。因此，脈沖響應(yīng)不變法的頻率變換關(guān)系為ω=ΩT

(7.4.10)

即脈沖響應(yīng)不變法從模擬到數(shù)字的頻率變換關(guān)系為線性的。

3.脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計方法

由于脈沖響應(yīng)不變法要由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求拉普拉斯反變換，得到模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)，然后采樣得到h(n)，再取Z變換得到H(z)。從這一變換過程中看，如果模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)用部分分式來表示，將簡化變換過程。

設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點，且假定分母的階次大于分子的階次，則有

(7.4.11)其相應(yīng)的沖激響應(yīng)ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即

(7.4.12)

式中，u(t)是連續(xù)時間單位階躍函數(shù)。根據(jù)脈沖響應(yīng)不變法，有

(7.4.13)對(n)求Z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(7.4.14)

根據(jù)式(7.4.9)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)還與采樣間隔T成反比，當(dāng)采樣頻率很高，T很小時，數(shù)字濾波器增益太高。為避免這一現(xiàn)象，一般令

h(n)=Tha(nT)(7.4.15)則

(7.4.16)

此時

雖然脈沖響應(yīng)不變法能保證s平面與z平面的極點位置有一一對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，但這并不是說整個s平面與z平面就存在這種一一對應(yīng)的關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點位置與s

平面上的零點就沒有一一對應(yīng)關(guān)系，而是隨著Ha(s)的極點si與系數(shù)Ai的不同而不同。

【例7.4.1】試設(shè)計滿足如下指標(biāo)的IIR數(shù)字低通濾波器。

(1)通帶截止頻率ωp=0.1πrad，阻帶起始頻率ωs=0.25πrad;

(2)通帶最大衰減αp=3dB，阻帶最小衰減αs=15dB;

(3)T=0.1s。

解

(1)根據(jù)數(shù)字濾波器指標(biāo)，將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一化LPF指標(biāo)。

(2)根據(jù)歸一化LPF指標(biāo)，查表求Ha(p)。N=2，選巴特沃思濾波器。

(3)將Ha(p)化成部分分式之和。

(4)求H(z)。

如果取h(n)=Tha(nT)，根據(jù)式(7.4.16)可得

由上式可見，當(dāng)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器時，如設(shè)計指標(biāo)以數(shù)字濾波器的指標(biāo)給定，則最終結(jié)果與采樣間隔T無關(guān)。

4.脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊

脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器頻率響應(yīng)Ha(jΩ)區(qū)間［-π/T，π/T］的值，映射變換到數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)H(ejω)的［-π，π］區(qū)間內(nèi)，T為采樣周期，由于實際模擬濾波器的頻率響應(yīng)不可能是帶限的，因此數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)必然存在著頻率混疊失真。所以，脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計高通和帶阻濾波器。

【例7.4.2】利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為IIR數(shù)字濾波器。模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

解模擬濾波器的零點為s=-0.1，極點為s=-0.1±j3，系統(tǒng)函數(shù)可以寫為

利用式(7.4.14)得

圖7.4.3(a)為模擬濾波器的幅頻響應(yīng)。取T=0.1和T=0.5，該數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)如圖7.4.3(b)所示。

由圖可見，當(dāng)T=0.5時，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)混疊要比T=0.1嚴(yán)重許多。圖7.4.3例7.4.2圖(a)模擬濾波器幅頻響應(yīng)；(b)數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)

Matlab提供了脈沖響應(yīng)不變法庫函數(shù)，其格式為

［bz，az］=impinvar(b，a，F(xiàn)s);

該函數(shù)將分子向量為b、分母向量為a的模擬濾波器通過脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為分子向量為bz、分母向量為az的數(shù)字濾波器，F(xiàn)s為采樣頻率，單位為Hz。

【例7.4.3】利用Matlab的脈沖響應(yīng)不變法庫函數(shù)設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器。技術(shù)指標(biāo)如下：

(1)通帶截止頻率ωp=0.1πrad，阻帶起始頻率ωs=0.2πrad;

(2)通帶最大衰減αp=3dB，阻帶最小衰減αs=30dB;

（3)T=0.01s，T=0.5s。

解

Matlab程序如下:

T=0.01;

Wp=0.1*pi/T;Ws=0.2*pi/T;Rp=3;Rs=30;

％求模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)

［N，Wc］=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′)；［b，a］=butter(N，Wc，′s′);

［bz，az］=impinvar(b，a，1/T);

％利用脈沖響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

程序運行結(jié)果如下:

T=0.01s時，數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為

bz=［0，0.0016，0.0052，0.0010，0］;

az=［1.0，-3.1409，3.7727，-2.0447，0.4208］;

T=0.5s時，數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為

bz=［0，0.0016，0.0052，0.0010，0］;

az=［1.0，-3.1409，3.7727，-2.0447，0.420