必修一數(shù)學(xué)教案

集合一、知識結(jié)構(gòu)

本小節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例人手,引出集合與集合的元素的概念,并且結(jié)合實(shí)例對集合的概念作了說明.然后,介紹了集合的常用表示方法,包括列舉法、描述法,還給出了畫圖表示集合的例子.

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

這一節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念和表示方法,難點(diǎn)是運(yùn)用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡單的集合.這一節(jié)的特點(diǎn)是概念多、符號多,正確理解概念和準(zhǔn)確使用符號是學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵.為此,在教學(xué)時(shí)可以配備一些需要辨析概念、判定符號表示正誤的題目,以幫助學(xué)生提高判定能力,加深理解集合的概念和表示方法.

1.關(guān)于牽頭圖和引言分析

章頭圖是一組跳傘隊(duì)員編成的圖案,引言給出了一個(gè)實(shí)際問題,其目的都是為了引出本章的內(nèi)容無論是分析還是解決這個(gè)實(shí)際間題,必須用到集合和邏輯的知識,也就是把它數(shù)學(xué)化.一方面提高用數(shù)學(xué)的意識,一方面說明集合和簡易邏輯知識是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ).

2.關(guān)于集合的概念分析

點(diǎn)、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念,集合則是集合論中原始的、不加定義的概念.

初中代數(shù)中曾經(jīng)了解“正數(shù)的集合”、“不等式解的集合”;初中幾何中也知道中垂線是“到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合”等等.在開始接觸集合的概念時(shí),主要還是通過實(shí)例,對概念有一個(gè)初步熟悉.教科書給出的“一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合,也簡稱集.”這句話,只是對集合概念的描述性說明.

我們可以舉出很多生活中的實(shí)際例子來進(jìn)一步說明這個(gè)概念,從而闡明集合概念如同其他數(shù)學(xué)概念一樣,不是人們憑空想象出來的,而是來自現(xiàn)實(shí)世界.

3.關(guān)于自然數(shù)集的分析

教科書中給出的常用數(shù)集的記法,是新的國家標(biāo)準(zhǔn),與原教科書不盡相同,應(yīng)該注重.

新的國家標(biāo)準(zhǔn)定義自然數(shù)集N含元素0,這樣做一方面是為了推行國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)制定的國際標(biāo)準(zhǔn),以便早日與之接軌,另一方面,0還是十進(jìn)位數(shù){0,1,2,…,9}中最小的數(shù),有了0,減法運(yùn)算仍屬于自然數(shù),其中.因此要注重幾下幾點(diǎn):

(1)自然數(shù)集合與非負(fù)整數(shù)集合是相同的集合,也就是說自然數(shù)集包含0;

(2)自然數(shù)集內(nèi)排除0的集,表示成或,其他數(shù)集{如整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R}內(nèi)排除0的集,也可類似表示,,;

(3)原教科書或根據(jù)原教科書編寫的教輔用書中出現(xiàn)的符號如,,…不再適用.

4.關(guān)于集合中的元素的三個(gè)特性分析

集合中的每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素.例如“中國的直轄市”這一集合的元素是:北京、上海、天津、重慶。

集合中的元素常用小寫的拉丁字母,…表示.假如a是集合A的元素,就說a屬于集合A,記作;否則,就說a不屬于A,記作

要正確熟悉集合中元素的特性:

(l)確定性:和,二者必居其一.

集合中的元素必須是確定的.這就是說,給定一個(gè)集合,任何一個(gè)對象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了.例如,給出集合{地球上的四大洋},它的元素是:太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他對象都不用于這個(gè)集合.假如說“由接近的數(shù)組成的集合”,這里“接近的數(shù)”是沒有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)、比較模糊的概念,它不能構(gòu)成集合.

(2)互異性:若,,則

集合中的元素是互異的.這就是說,集合中的元素是不能重復(fù)的,集合中相同的元素只能算是一個(gè).例如方程有兩個(gè)重根,其解集只能記為{1},而不能記為{1,1}.

(3)無序性:{a,b}和{b,a}表示同一個(gè)集合.

集合中的元素是不分順序的.集合和點(diǎn)的坐標(biāo)是不同的概念,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(

l,0)和點(diǎn)(0,l)表示不同的兩個(gè)點(diǎn),而集合{1,0}和{0,1}表示同一個(gè)集合.

5.要辯證理解集合和元素這兩個(gè)概念

(1)集合和元素是兩個(gè)不同的概念,符號和是表示元素和集合之間關(guān)系的,不能用來表示集合之間的關(guān)系.例如的寫法就是錯(cuò)誤的,而的寫法就是正確的.

(2)一些對象一旦組成了集合,那么這個(gè)集合的元素就是這些對象的全體,而非個(gè)別現(xiàn)象.例如對于集合,就是指所有不小于0的實(shí)數(shù),而不是指“可以在不小于0的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值”,不是指“是不小于0的一個(gè)實(shí)數(shù)或某些實(shí)數(shù),”也不是指“是不小于0的任一實(shí)數(shù)值”……

(3)集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符合條件.

6.表示集合的方法所依據(jù)的國家標(biāo)準(zhǔn)

本小節(jié)列舉法與描述法所使用的集合的記法,依據(jù)的是新國家標(biāo)準(zhǔn)如下的規(guī)定.

符號

應(yīng)用

意義或讀法

備注及示例

諸元素構(gòu)成的集

也可用,這里的I表示指標(biāo)集

使命題為真的A中諸元素之集

例:,假如從前后關(guān)系來看,集A已很明確,則可使用來表示,例如

此外,有時(shí)也可寫成或

7.集合的表示方法分析

集合有三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法.它們各有優(yōu)點(diǎn).用什么方法來表示集合,要具體問題具體分析.

(l)有的集合可以分別用三種方法表示.例如“小于的自然數(shù)組成的集合”就可以表為:

①列舉法:;

②描述法:;

③圖示法:如圖1。

(2)有的集合不宜用列舉法表示.例如“由小于的正實(shí)數(shù)組成的集合”就不宜用列舉法表示,因?yàn)椴荒軐⑦@個(gè)集合中的元素—一列舉出來,但這個(gè)集合可以這樣表示:

①描述法:;

②圖示法:如圖2.

(3)用描述法表示集合,要非凡注重這個(gè)集合中的元素是什么,它應(yīng)該符合什么條件,從而準(zhǔn)確理解集合的意義.例如:

①集合中的元素是,它表示函數(shù)中自變量的取值范圍,即;

②集合中的元素是,它表示函數(shù)值。的取值范圍,即;

③集合中的元素是點(diǎn),它表示方程的解組成的集合,或者理解為表示曲線上的點(diǎn)組成的集合;

④集合中的元素只有一個(gè),就是方程,它是用列舉法表示的單元素集合.

實(shí)際上,這是四個(gè)完全不同的集合.

列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn),應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法.要注重,一般無限集,不宜采用列舉法,因?yàn)椴荒軐o限集中的元素—一列舉出來,而沒有列舉出來的元素往往難以確定.

8.集合的分類

含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集,如圖1所示.

含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集,如圖2所示.

9.關(guān)于空集分析

不含任何元素的集合叫做空集,記作.空集是個(gè)非凡的集合,除了它本身的實(shí)際意義外,在研究集合、集合的運(yùn)算時(shí),必須予以單獨(dú)考慮.

教學(xué)設(shè)計(jì)方案

集合

知識目標(biāo):

(1)使學(xué)生初步理解集合的概念,知道常用數(shù)集的概念及其記法

(2)使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義

(3)使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義

能力目標(biāo):

(1)重視基礎(chǔ)知識的教學(xué)、基本技能的練習(xí)和能力的培養(yǎng);

(2)啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,善于獨(dú)立思考,學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題;

(3)通過教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力;

德育目標(biāo):

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好和積極性,陶冶學(xué)生的情操,培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志,實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點(diǎn):集合的基本概念及表示方法

教學(xué)難點(diǎn):運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法,正確表示一些簡單的集合

授課類型:新授課

課時(shí)安排:2課時(shí)

教具:多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入:

1.簡介數(shù)集的發(fā)展,復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),質(zhì)數(shù)與和數(shù);

2.教材中的章頭引言;

3.集合論的創(chuàng)始人——康托爾(德國數(shù)學(xué)家);

4.“物以類聚”,“人以群分”;

5.教材中例子(P4)。

二、講解新課:

閱讀教材第一部分,問題如下:

(1)有那些概念?是如何定義的?

(2)有那些符號?是如何表示的?

(3)集合中元素的特性是什么?

(一)集合的有關(guān)概念(例子見書):

1、集合的概念

(1)集合:某些指定的對象集在一起就形成一個(gè)集合。

(2)元素:集合中每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素。

2、常用數(shù)集及記法

(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集):全體非負(fù)整數(shù)的集合。記作N

(2)正整數(shù)集:非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N

(3)整數(shù)集:全體整數(shù)的集合。記作Z

(4)有理數(shù)集:全體有理數(shù)的集合。記作Q

(5)實(shí)數(shù)集:全體實(shí)數(shù)的集合。記作R

注:

(1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的,也就是說,自然數(shù)集包括數(shù)0。

(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N、Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集,也是這樣表示,例如,整數(shù)集內(nèi)排除0的集,表示成Z*

3、元素對于集合的隸屬關(guān)系

(1)屬于:假如a是集合A的元素,就說a屬于A,記作a∈A;

(2)不屬于:假如a不是集合A的元素,就說a不屬于A,記作.

4、集合中元素的特性

(1)確定性:

按照明確的判定標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里,或者不在,不能模棱兩可。

(2)互異性:

集合中的元素沒有重復(fù)。

(3)無序性:

集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗?

注:

1、集合通常用大寫的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q……

元素通常用小寫的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

2、“∈”的開口方向,不能把a(bǔ)∈A顛倒過來寫。

練習(xí)題

1、教材P5練習(xí)

2、下列各組對象能確定一個(gè)集合嗎?

(1)所有很大的實(shí)數(shù)。(不確定)

(2)好心的人。(不確定)

(3)1,2,2,3,4,5.(有重復(fù))

閱讀教材第二部分,問題如下:

1.集合的表示方法有幾種?分別是如何定義的?

2.有限集、無限集、空集的概念是什么?試各舉一例。

(二)集合的表示方法

1、列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。

例如,由方程的所有解組成的集合,可以表示為{1,1}.

注:(1)有些集合亦可如下表示:

從51到100的所有整數(shù)組成的集合:{51,52,53,…,100}

所有正奇數(shù)組成的集合:{1,3,5,7,…}

(2)a與{a}不同:a表示一個(gè)元素,{a}表示一個(gè)集合,該集合只有一個(gè)元素。

描述法:用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合,并把這個(gè)條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。

格式:{x∈A|P(x)}

含義:在集合A中滿足條件P(x)的x的集合。

例如,不等式的解集可以表示為:或

所有直角三角形的集合可以表示為:

注:(1)在不致混淆的情況下,可以省去豎線及左邊部分。

如:{直角三角形};{大于104的實(shí)數(shù)}

(2)錯(cuò)誤表示法:{實(shí)數(shù)集};{全體實(shí)數(shù)}

3、文氏圖:用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個(gè)集合的方法。

注:何時(shí)用列舉法?何時(shí)用描述法?

(1)有些集合的公共屬性不明顯,難以概括,不便用描述法表示,只能用列舉法。

如:集合

(2)有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來,或者不便于、不需要一一列舉出來,常用描述法。

如:集合;集合{1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}

注:集合與集合是同一個(gè)集合嗎?

答:不是。

集合是點(diǎn)集,集合=是數(shù)集。

(三)有限集與無限集

1、有限集:含有有限個(gè)元素的集合。

2、無限集:含有無限個(gè)元素的集合。

3、空集:不含任何元素的集合。記作Φ,如:

練習(xí)題:

1、P6練習(xí)

2、用描述法表示下列集合

①{1,4,7,10,13}

②{2,4,6,8,10}

3、用列舉法表示下列集合

①{x∈N|x是15的約數(shù)}{1,3,5,15}

②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}{(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}

注:防止把{(1,2)}寫成{1,2}或{x=1,y=2}

③

④{1,1}

⑤{(0,8)(2,5),(4,2)}

⑥

{(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}

三、小結(jié):

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:

1.集合的有關(guān)概念:(集合、元素、屬于、不屬于、有限集、無限集、空集)

2.集合的表示方法:(列舉法、描述法、文氏圖共3種)

3.常用數(shù)集的定義及記法

四、課后作業(yè):教材P7習(xí)題1.1

五、板書設(shè)計(jì):

課題

一、知識點(diǎn)

(一)

(二)

例題:

1.

2.

六、課后反思:

本節(jié)課在教學(xué)時(shí)主要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)集合的表示方法,在熟悉集合時(shí),應(yīng)從兩方面入手:

(1)元素是什么?

(2)確定集合的表示方法是什么?表示集合時(shí),與采用字母名稱無關(guān)。

探究活動(dòng)

題目數(shù)集A滿足條件:若,則()

(1)若,試求出A中其他所有元素;

(2)自己設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)屬于A,然后求出A中其他所有元素;

(3)從上面兩小題的解答過程中,你能悟出什么道理?并大膽證實(shí)你發(fā)現(xiàn)的這個(gè)“道理”.

參考答案

(1)其他所有元素為-1,.

(2)略

(3)A中只能有3個(gè)元素,它們分別是,,且三個(gè)數(shù)的乘積為-1.子集、全集、補(bǔ)集教學(xué)目標(biāo):

(1)理解子集、真子集、補(bǔ)集、兩個(gè)集合相等概念;

(2)了解全集、空集的意義,

(3)把握有關(guān)子集、全集、補(bǔ)集的符號及表示方法,會(huì)用它們正確表示一些簡單的集合,培養(yǎng)學(xué)生的符號表示的能力;

(4)會(huì)求已知集合的子集、真子集,會(huì)求全集中子集在全集中的補(bǔ)集;

(5)能判定兩集合間的包含、相等關(guān)系,并會(huì)用符號及圖形(文氏圖)準(zhǔn)確地表示出來,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;

(6)培養(yǎng)學(xué)生用集合的觀點(diǎn)分析問題、解決問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn):子集、補(bǔ)集的概念

教學(xué)難點(diǎn):弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別

教學(xué)用具:幻燈機(jī)

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)導(dǎo)入新課

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合、元素、集合中元素的三性、元素與集合的關(guān)系等知識.

提出問題(投影打出)

已知,,,問:

1.哪些集合表示方法是列舉法.

2.哪些集合表示方法是描述法.

3.將集M、集從集P用圖示法表示.

4.分別說出各集合中的元素.

5.將每個(gè)集合中的元素與該集合的關(guān)系用符號表示出來.將集N中元素3與集M的關(guān)系用符號表示出來.

6.集M中元素與集N有何關(guān)系.集M中元素與集P有何關(guān)系.

找學(xué)生回答

1.集合M和集合N;(口答)

2.集合P;(口答)

3.(筆練結(jié)合板演)

4.集M中元素有-1,1;集N中元素有-1,1,3;集P中元素有-1,1.(口答)

5.,,,,,,,(筆練結(jié)合板演)

6.集M中任何元素都是集N的元素.集M中任何元素都是集P的元素.(口答)

引入在上面見到的集M與集N;集M與集P通過元素建立了某種關(guān)系,而具有這種關(guān)系的兩個(gè)集合在今后學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn),本節(jié)將研究有關(guān)兩個(gè)集合間關(guān)系的問題.

(二)新授知識

1.子集

(1)子集定義:一般地,對于兩個(gè)集合A與B,假如集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,我們就說集合A包含于集合B,或集合B包含集合A。

記作:讀作:A包含于B或B包含A

當(dāng)集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時(shí),則記作:AB或BA.

性質(zhì):①(任何一個(gè)集合是它本身的子集)

②(空集是任何集合的子集)

置疑能否把子集說成是由原來集合中的部分元素組成的集合?

解疑不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合.

因?yàn)锽的子集也包括它本身,而這個(gè)子集是由B的全體元素組成的.空集也是B的子集,而這個(gè)集合中并不含有B中的元素.由此也可看到,把A是B的子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合是不確切的.

(2)集合相等:一般地,對于兩個(gè)集合A與B,假如集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,記作A=B。

例:,可見,集合,是指A、B的所有元素完全相同.

(3)真子集:對于兩個(gè)集合A與B,假如,并且,我們就說集合A是集合B的真子集,記作:(或),讀作A真包含于B或B真包含A。

思考能否這樣定義真子集:“假如A是B的子集,并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集.”

集合B同它的真子集A之間的關(guān)系,可用文氏圖表示,其中兩個(gè)圓的內(nèi)部分別表示集合A,B.

提問

(1)寫出數(shù)集N,Z,Q,R的包含關(guān)系,并用文氏圖表示。

(2)判定下列寫法是否正確

①A②A③④AA

性質(zhì):

(1)空集是任何非空集合的真子集。若A,且A≠,則A;

(2)假如,,則.

例1寫出集合的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.

解:集合的所有的子集是,,,,其中,,是的真子集.

注重(

1)子集與真子集符號的方向。

(2)易混符號

①“”與“”:元素與集合之間是屬于關(guān)系;集合與集合之間是包含關(guān)系。如R,{1}{1,2,3}

②{0}與:{0}是含有一個(gè)元素0的集合,是不含任何元素的集合。

如:{0}。不能寫成={0},∈{0}

例2見教材P8(解略)

例3判定下列說法是否正確,假如不正確,請加以改正.

(1)表示空集;

(2)空集是任何集合的真子集;

(3)不是;

(4)的所有子集是;

(5)假如且,那么B必是A的真子集;

(6)與不能同時(shí)成立.

解:(1)不表示空集,它表示以空集為元素的集合,所以(1)不正確;

(2)不正確.空集是任何非空集合的真子集;

(3)不正確.與表示同一集合;

(4)不正確.的所有子集是;

(5)正確

(6)不正確.當(dāng)時(shí),與能同時(shí)成立.

例4用適當(dāng)?shù)姆?,)填空:

(1);;;

(2);;

(3);

(4)設(shè),,,則ABC.

解:(1)00;

(2)=,;

(3),∴;

(4)A,B,C均表示所有奇數(shù)組成的集合,∴A=B=C.

練習(xí)教材P9

用適當(dāng)?shù)姆?,)填空:

(1);(5);

(2);(6);

(3);(7);

(4);(8).

解:(1);(2);(3);(4);(5)=;(6);(7);(8).

提問:見教材P9例子

(二)全集與補(bǔ)集

1.補(bǔ)集:一般地,設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集(即),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集),記作,即

.

A在S中的補(bǔ)集可用右圖中陰影部分表示.

性質(zhì):S(SA)=A

如:(1)若S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},則SA={2,4,6};

(2)若A={0},則NA=N*;

(3)RQ是無理數(shù)集。

2.全集:

假如集合S中含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集,全集通常用表示.

注:是對于給定的全集而言的,當(dāng)全集不同時(shí),補(bǔ)集也會(huì)不同.

例如:若,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),則.

例5設(shè)全集,,,判定與之間的關(guān)系.

解:∵

∴

∵

∴

∴

練習(xí):見教材P10練習(xí)

1.填空:

,,,那么,.

解:,

2.填空:

(1)假如全集,那么N的補(bǔ)集;

(2)假如全集,,那么的補(bǔ)集()=.

解:(1);(2).

(三)小結(jié):本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:

1.五個(gè)概念(子集、集合相等、真子集、補(bǔ)集、全集,其中子集、補(bǔ)集為重點(diǎn))

2.五條性質(zhì)

(1)空集是任何集合的子集。ΦA(chǔ)

(2)空集是任何非空集合的真子集。ΦA(chǔ)(A≠Φ)

(3)任何一個(gè)集合是它本身的子集。

(4)假如,,則.

(5)S(SA)=A

3.兩組易混符號:(1)“”與“”:(2){0}與

(四)課后作業(yè):見教材P10習(xí)題1.2

(五)板書設(shè)計(jì):

課題

一、知識點(diǎn)

(一)

(二)

例題:交集、并集教學(xué)目標(biāo):

(1)理解交集與并集的概念;

(2)把握有關(guān)集合的術(shù)語和符號,并會(huì)用它們正確表示一些簡單的集合;

(3)能用圖示法表示集合之間的關(guān)系;

(4)把握兩個(gè)較簡單集合的交集、并集的求法;

(5)通過對交集、并集概念的講解,培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括、等能力,使學(xué)生熟悉由具體到抽象的思維過程;

(6)通過對集合符號語言的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生符號表達(dá)能力,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)作風(fēng),養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

教學(xué)重點(diǎn):交集和并集的概念

教學(xué)難點(diǎn):交集和并集的概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、導(dǎo)入新課

提問

試敘述子集、補(bǔ)集的概念?它們各涉及幾個(gè)集合?

補(bǔ)集涉及三個(gè)集合,補(bǔ)集是由一個(gè)集合及其一個(gè)子集而產(chǎn)生的第三個(gè)集合.由兩個(gè)集合產(chǎn)生第三個(gè)集合不僅有補(bǔ)集,在實(shí)際中還有許多其他情形,我們今天就來學(xué)習(xí)另外兩種.

回憶.

傾聽.集中注重力.激發(fā)求知欲.

鞏固舊知.為導(dǎo)入新課作預(yù)備.

滲透集合運(yùn)算的意識.

二、新課

引入我們看下面圖(用投影儀打出,軟片做成左右兩向遮啟式,便于同學(xué)在“動(dòng)態(tài)”中進(jìn)行觀察).

設(shè)問

1.第一次看到了什么?

2.第二次看到了什么

3.第三次又看到了什么?

4.陰影部分的周界線是一條封閉曲線,它的內(nèi)部(陰影部分)當(dāng)然表示一個(gè)新的集合,試問這個(gè)新集合中的元素與集A、集B元素有何關(guān)系?

介紹這又是一種由兩個(gè)集合產(chǎn)生第三個(gè)集合的情況,在今后學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn),為方便起見,稱集A與集B的公共部分為集A與集B的交集.

設(shè)問請大家從元素與集合的關(guān)系試敘述文集的概念.

助學(xué)“且”的含義是“同時(shí)”,“又”.

“所有”的含義是A與B的公共元素一個(gè)不能少.

介紹集合A與集合B的交集記作.讀做“A交B”·

助學(xué)符號“”形如帽子戴在頭

上,產(chǎn)生“交”的感覺,所以開口向下.切記該符號不要與表示子集的符號“”、“”混淆.

設(shè)問集A與集B的交集除上面看到的用圖示法表示交集外,還可以用我們學(xué)習(xí)過的哪種方法表示?如何表示?

設(shè)問與A有何關(guān)系?如何表示?與B有何關(guān)系?如何表示?

隨練寫出,的交集.

設(shè)問大家是如何寫出的?

我們再看下面的圖.

設(shè)問

1.第一次看到了什么?

2.第二次除看到集B和外,還看到了什么集合?

3.第三次看到了什么?如何用有關(guān)集合的符號表示?

4.第四次看到了什么?這與剛才看到的集合類似,請用有關(guān)集合的符號表示.

5.第五次同學(xué)看出上面看到的集A、集B、集、集、集,它們都可以用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的集合有關(guān)符號來表示.除此之外,大家還可以發(fā)現(xiàn)什么集合?

6.第六次看到了什么?

7.陰影部分的周界是一條封閉曲線,它的內(nèi)部(陰影部分)表示一個(gè)新的集合,試問它的元素與集A集B的元素有何關(guān)系?

注若同學(xué)直接觀察到,第二、三、四次和第五次部分觀察活動(dòng)可不進(jìn)行.

介紹這又是由兩個(gè)集合產(chǎn)生第三個(gè)集合的情形,在今后學(xué)習(xí)中也經(jīng)常出現(xiàn),它給我們由集A集B并在一起的感覺,稱為集A集B的并.

設(shè)問請大家從元素與集合關(guān)系仿照交集概念的敘述方法試敘述并集的概念?

助學(xué)并集與交集的概念僅一字之差,即將“且”改為“或”.或的含義是集A中的所有元素要取,集B中的所有元素也要取.

介紹集A與集B的并集記作(讀作A并B).

助學(xué)符號“”形如“碰杯”時(shí)的杯子,產(chǎn)生并的感覺,所以開口向上.切記,不要與“”混淆,更不能與“”等符號混淆.

觀察.產(chǎn)生愛好.

答:圖示法表示的集A.

答:圖示法表示集B.集A集B的公共部分·

答:公共部分出現(xiàn)陰影.

傾聽.觀察

思考.答:該集合中所有元素屬于集合A且屬于集合B.

傾聽.理解.

思考.答:由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合,叫做A與B的交集.

傾聽.記憶.

傾聽.愛好記憶.

思考:“列舉法還是描述法?”答:描述法.

思考.議論.

口答結(jié)合板書.

想象交集的圖示,或回憶交集的概念.

口答結(jié)合板書:是A的子集.A.是

B的子集.

口答結(jié)合板書.

口答:從一個(gè)集合開始,依次用其每個(gè)元素與另一個(gè)集合中的元素對照,取出相同的元素組成的集合即為所求.

答:圖示法表示的集A.

答:集A中子集A交B的補(bǔ)集.

答:上述區(qū)域出現(xiàn)陰影.

口答結(jié)合板書

答:出現(xiàn)陰影.

口答結(jié)合板書

認(rèn)真、仔細(xì)、整體的進(jìn)行觀察、想象.答:表示集A集B的兩條封閉曲線除去表示交集的封閉曲線剩余部分組成一條封閉曲線的內(nèi)部所表示的集合.

答:出現(xiàn)陰影.

思考:答:該集合中所有元素屬于集合A或?qū)儆诩螧.

傾聽,理解.

回憶交集概念,思考.答:由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A與B的并集.

傾聽.比較.記憶.

傾聽,記憶.

傾聽.愛好記憶.比較記憶,.

直觀性原則.多媒體助學(xué).

用直觀、感性的例子為引入交集做鋪墊.

滲透集合運(yùn)算意識.

直觀的感知交集.

培養(yǎng)從直觀、感性到理性的概括抽象能力.

解決難點(diǎn).

愛好激勵(lì).比較記憶

培養(yǎng)用描述法表示集合的能力.

培養(yǎng)想象能力.

以新代舊.

突出重點(diǎn).

概念遷移為能力.

進(jìn)一步培養(yǎng)觀察能力.

培養(yǎng)觀察能力

以新代舊.

培養(yǎng)整體觀察能力.

培養(yǎng)從直觀、感性到理性的概括抽象能力.

解決難點(diǎn).比較記憶.

愛好激勵(lì),辯易混.比較記憶.

設(shè)問集A與集B的并集除上面看到的用圖示法表示外,還可以用我們學(xué)習(xí)過的哪種方法表示?如何表示?

設(shè)問與A有何關(guān)系?如何表示?與B有何關(guān)系?如何表示?

隨練寫出,的并集.

設(shè)問大家是如何寫出的?

例1設(shè),,求(以下例題用投影儀打出,隨用隨啟).

助練本例實(shí)為解不等式組,用數(shù)軸法找出公共部分,寫出即可.

例2設(shè),

,求

例3設(shè),,求

例4設(shè),

,求

助學(xué)數(shù)軸法(略).想象前面集A集B并集的圖示法,類似地,將兩個(gè)不等式區(qū)域并到一起,即為所求.其中元素2雖不屬于集A倮屬于集B,所以要取,元素1雖不屬于集B但屬于集A,所以要取,因此,只要將集A的左端點(diǎn),集B的右端點(diǎn)組成新的不等式區(qū)域即為所求(兩端點(diǎn)取否維持題設(shè)條件).

助練以上例題,當(dāng)理解并較熟練后,且結(jié)果可進(jìn)一步簡化時(shí),中間一步或兩步可省略.如例4.

練習(xí)教材第12頁練習(xí)1~5.

助練

1.全集與其某個(gè)子集的交集是哪個(gè)集合?

2.全集與其某個(gè)子集的并集是哪個(gè)集合?

3.兩個(gè)無公共元素的集合的交集是什么集合?

4.兩個(gè)無公共元素的集合A、B,它們的并集如何表示?

5.任意集合A與其本身的交集、并集分別是什么集合?如何表示?

6.任意集A與空集的交集、并集分別是什么集合?如何表示?

7.與的關(guān)系如何表示?與的關(guān)系如何表示?

例5設(shè),,求

助思

1.集A、集B各是什么集合?

2.如何理解

3.本例實(shí)為求兩條直線的交點(diǎn)或解二元一次方程組,只不過是從集合的角度提出問題解決問題.

例6已知A為奇數(shù)集,B為偶數(shù)集,Z為整數(shù)集,求,,,,

,

助學(xué)

1.偶數(shù)包括哪些數(shù)?任意偶數(shù)如何表示?偶數(shù)集(全體偶數(shù)的集合)如何表示?

2.奇數(shù)包括哪些數(shù)?任意奇數(shù)如何表示?奇數(shù)集(全體奇數(shù)的集合?如何表示?)

例7設(shè),,,求,,,.

思考:“列舉法還是描述法?”

答:描述法.

思考.議論.

口答結(jié)合板書.

或

想象并集的圖示,或回憶并集的概念.

口答結(jié)合板書:A和B都是的子集.,

口答結(jié)合板書:

口答:綜合考慮兩個(gè)集合,從最小數(shù)開始,哪個(gè)集合的元素都取,一個(gè)不能丟,相同元素由集合中元素的互異性只取一次.

審清題意.筆練結(jié)合板書.

解:

傾聽.理解.

審清題意.口答結(jié)合板書.

解:

是直角三角形,且是直角三角形是等腰三角形.

審清題意.口答結(jié)合板書.

解:是銳角三角形是鈍角三角形是銳角三角形,或是鈍角三角形是斜三角形.

審清題意.

畫數(shù)軸.畫出不等式區(qū)域.傾聽.解:

傾聽.理解.

口答結(jié)合筆練和板演.

思考.答:子集.

思考.答:全集.

思考.答:空集

思考.議論.答:,或

思考.答:A.,

思考.答:分別是空集和A.

,

思考.答:

審清題意.

思考.議論.答:分別是直線或直線上的點(diǎn)集.或者分別是二元一次方程和二元一次方程的解集.

思考:答:求這兩條直線的交點(diǎn),或求這兩個(gè)二元一次方程的公共解,即求由這兩個(gè)二元一次方程組成的二元一次方程組的解.

傾聽.理解.把握.

解:

審題中發(fā)現(xiàn)未見過的集合.

思考.

答:0,,等.()

或{偶數(shù)}

答:,等.()

或(奇數(shù))

解:{奇數(shù)}{偶數(shù)}

{奇數(shù)}Z={奇數(shù)}=A.

{偶數(shù)}Z={偶數(shù)}=B.

{奇數(shù)}{偶數(shù)}=Z.

{奇數(shù)}

{偶數(shù)}

審清題意.口答結(jié)合板書.

解:

培養(yǎng)用描述法表示集合的能力.

以新代舊.

培養(yǎng)想象能力.

以新代舊.

突出重點(diǎn).

概念遷移為能力.

突出重點(diǎn).培養(yǎng)能力.

落實(shí)教學(xué)目標(biāo).

突出重點(diǎn).培養(yǎng)能力.

三、課堂練習(xí)

教材第13頁練習(xí)1、2、3、4.

助練習(xí)第13頁練習(xí)4(1)中用一個(gè)方向的斜平行線段表示,用另一方向的平行線段表示如圖:

凡有陰影部分即為所求.

講解看圖,所得結(jié)果實(shí)際上還可以看作全集U中子集的補(bǔ)集則有第13頁練習(xí)4(2)仿上,如圖,凡有雙向陰影部分即為所求.

講解看圖,所得結(jié)果實(shí)際上還可以看作全集U中子集的補(bǔ)集.則有:以上兩個(gè)等式稱反演律.簡記為“先補(bǔ)后并等于先交后補(bǔ)”和“先補(bǔ)后交等于先并后補(bǔ)”.反演律在今后類似問題中給我們帶來方便,因?yàn)樗鼘⑷焦ぷ骱喕癁閮刹焦ぷ?

四、小結(jié)

提綱式(略).再一次突出交集和并集兩個(gè)概念中“且”,“或”的含義的不同.

五、作業(yè)

習(xí)題1至8.

筆練結(jié)合板書.

傾聽.修改練習(xí).把握方法.

觀察.思考.傾聽.理解.記憶.

傾聽.理解.記憶.

回憶、再現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容.

落實(shí)教學(xué)目標(biāo)

介紹解題技能技巧.

學(xué)習(xí)內(nèi)容條理化.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1.本教學(xué)設(shè)計(jì)方案除繼續(xù)遵循“集合”方案中的“主體教學(xué)思想”外,著力研究直觀性原則在教學(xué)中的應(yīng)用及多媒體(投影儀)的助學(xué)作用.

2.反演律可根據(jù)學(xué)生實(shí)際酌情使用.邏輯聯(lián)結(jié)詞一、教學(xué)目標(biāo)

(1)了解含有“或”、“且”、“非”復(fù)合命題的概念及其構(gòu)成形式;

(2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義;

(3)能用邏輯聯(lián)結(jié)詞和簡單命題構(gòu)成不同形式的復(fù)合命題;

(4)能識別復(fù)合命題中所用的邏輯聯(lián)結(jié)詞及其聯(lián)結(jié)的簡單命題;

(5)會(huì)用真值表判定相應(yīng)的復(fù)合命題的真假;

(6)在知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,培養(yǎng)學(xué)生簡單推理的技能.

二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn):

重點(diǎn)是判定復(fù)合命題真假的方法;難點(diǎn)是對“或”的含義的理解.

三、教學(xué)過程

1.新課導(dǎo)入

在當(dāng)今社會(huì)中,人們從事任何工作、學(xué)習(xí),都離不開邏輯.具有一定邏輯知識是構(gòu)成一個(gè)公民的文化素質(zhì)的重要方面.數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是邏輯性強(qiáng),非凡是進(jìn)入高中以后,所學(xué)的教學(xué)比初中更強(qiáng)調(diào)邏輯性.假如不學(xué)習(xí)一定的邏輯知識,將會(huì)在我們學(xué)習(xí)的過程中不知不覺地經(jīng)常犯邏輯性的錯(cuò)誤.其實(shí),同學(xué)們在初中已經(jīng)開始接觸一些簡易邏輯的知識.

初一平面幾何中曾學(xué)過命題,請同學(xué)們舉一個(gè)命題的例子.(板書:命題.)

(從初中接觸過的“命題”入手,提出問題,進(jìn)而學(xué)習(xí)邏輯的有關(guān)知識.)

學(xué)生舉例:平行四邊形的對角線互相平.……(1)

兩直線平行,同位角相等.…………(2)

教師提問:“……相等的角是對頂角”是不是命題?……(3)

(同學(xué)議論結(jié)果,答案是肯定的.)

教師提問:什么是命題?

(學(xué)生進(jìn)行回憶、思考.)

概念總結(jié):對一件事情作出了判定的語句叫做命題.

(教師肯定了同學(xué)的回答,并作板書.)

由于判定有正確與錯(cuò)誤之分,所以命題有真假之分,命題(1)、(2)是真命題,而(3)是假命題.

(教師利用投影片,和學(xué)生討論以下問題.)

例1判定以下各語句是不是命題,若是,判定其真假:

命題一定要對一件事情作出判定,(3)、(4)沒有對一件事情作出判定,所以它們不是命題.

初中所學(xué)的命題概念涉及邏輯知識,我們今天開始要在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,介紹簡易邏輯的知識.

2.講授新課

大家看課本(人教版,試驗(yàn)修訂本,第一冊(上))從第25頁至26頁例1前,并歸納一下這段內(nèi)容主要講了哪些問題?

(片刻后請同學(xué)舉手回答,一共講了四個(gè)問題.師生一道歸納如下.)

(1)什么叫做命題?

可以判定真假的語句叫做命題.

判定一個(gè)語句是不是命題,關(guān)鍵看這語句有沒有對一件事情作出了判定,疑問句、祈使句都不是命題.有些語句中含有變量,如中含有變量,在不給定變量的值之前,我們無法確定這語句的真假(這種含有變量的語句叫做“開語句”).

(2)介紹邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”.

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.邏輯聯(lián)結(jié)詞除這三種形式外,還有“若…則…”和“當(dāng)且僅當(dāng)”兩種形式.

對“或”的理解,可聯(lián)想到集合中“并集”的概念.中的“或”,它是指“”、“”中至少一個(gè)是成立的,即且;也可以且;也可以且.這與生活中“或”的含義不同,例如“你去或我去”,理解上是排斥你我都去這種可能.

對“且”的理解,可聯(lián)想到集合中“交集”的概念.中的“且”,是指“”、“這兩個(gè)條件都要滿足的意思.

對“非”的理解,可聯(lián)想到集合中的“補(bǔ)集”概念,若命題對應(yīng)于集合,則命題非就對應(yīng)著集合在全集中的補(bǔ)集.

命題可分為簡單命題和復(fù)合命題.

不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡單命題.簡單命題是不含其他命題作為其組成部分(在結(jié)構(gòu)上不能再分解成其他命題)的命題.

由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復(fù)合命題,如“6是自然數(shù)且是偶數(shù)”就是由簡單命題“6是自然數(shù)”和“6是偶數(shù)”由邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”構(gòu)成的復(fù)合命題.

(4)命題的表示:用,,,,……來表示.

(教師根據(jù)學(xué)生回答的情況作補(bǔ)充和強(qiáng)調(diào),非凡是對復(fù)合命題的概念作出分析和展開.)

我們接觸的復(fù)合命題一般有“或”、“且”、“非”、“若則”等形式.

給出一個(gè)含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題,應(yīng)能說出構(gòu)成它的簡單命題和弄清它所用的邏輯聯(lián)結(jié)詞;應(yīng)能根據(jù)所給出的兩個(gè)簡單命題,寫出含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題.

對于給出“若則”形式的復(fù)合命題,應(yīng)能找到條件和結(jié)論.

在判定一個(gè)命題是簡單命題還是復(fù)合命題時(shí),不能只從字面上來看有沒有“或”、“且”、“非”.例如命題“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合”,此命題字面上無“且”;命題“5的倍數(shù)的末位數(shù)字不是0就是5”的字面上無“或”,但它們都是復(fù)合命題.

3.鞏固新課

例2判定下列命題,哪些是簡單命題,哪些是復(fù)合命題.假如是復(fù)合命題,指出它的構(gòu)成形式以及構(gòu)成它的簡單命題.

(1);

(2)0.5非整數(shù);

(3)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;

(4)菱形的對角線互相垂直且平分;

(5)平行線不相交;

(6)若,則.

(讓學(xué)生有充分的時(shí)間進(jìn)行辨析.教材中對“若…則…”不作要求,教師可以根據(jù)學(xué)生的情況作些補(bǔ)充.)

例3寫出下表中各給定語的否定語(用課件打出來).

若給定語為

等于

大于

是

都是

至多有一個(gè)

至少有一個(gè)

至多有個(gè)

其否定語分別為

分析:“等于”的否定語是“不等于”;

“大于”的否定語是“小于或者等于”;

“是”的否定語是“不是”;

“都是”的否定語是“不都是”;

“至多有一個(gè)”的否定語是“至少有兩個(gè)”;

“至少有一個(gè)”的否定語是“一個(gè)都沒有”;

“至多有個(gè)”的否定語是“至少有個(gè)”.

(假如時(shí)間寬裕,可讓學(xué)生討論后得出結(jié)論.)

置疑:“或”、“且”的否定是什么?(視學(xué)生的情況、課堂時(shí)間作適當(dāng)?shù)谋嫖雠c展開.)

4.課堂練習(xí):第26頁練習(xí)1,2.

5.課外作業(yè):第29頁習(xí)題1.61,2.四種命題教學(xué)目標(biāo)

(1)理解四種命題的概念;

(2)理解四種命題之間的相互關(guān)系,能由原命題寫出其他三種形式;

(3)理解一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題真假間的關(guān)系;

(4)初步把握反證法的概念及反證法證題的基本步驟;

(5)通過對四種命題之間關(guān)系的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力;

(6)通過對四種命題的存在性和相對性的熟悉,進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)教育;

(7)培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能,從而發(fā)展學(xué)生的思維能力.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn):四種命題之間的關(guān)系;難點(diǎn):反證法的運(yùn)用.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

第一課時(shí):四種命題

一、導(dǎo)入新課

練習(xí)1.把下列命題改寫成“若則”的形式:

(l)同位角相等,兩直線平行;

(2)正方形的四條邊相等.

2.什么叫互逆命題?上述命題的逆命題是什么?

將命題寫成“若則”的形式,關(guān)鍵是找到命題的條件與結(jié)論.

假如第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論,且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件,那么這兩個(gè)命題叫做互道命題.

上述命題的道命題是“若一個(gè)四邊形的四條邊相等,則它是正方形”和“若兩條直線平行,則同位角相等”.

值得指出的是原命題和逆命題是相對的.我們也可以把逆命題當(dāng)成原命題,去求它的逆命題.

3.原命題真,逆命題一定真嗎?

“同位角相等,兩直線平行”這個(gè)原命題真,逆命題也真.但“正方形的四條邊相等”的原命題真,逆命題就不真,所以原命題真,逆命題不一定真.

學(xué)生活動(dòng):

口答:(l)若同位角相等,則兩直線平行;(2)若一個(gè)四邊形是正方形,則它的四條邊相等.

設(shè)計(jì)意圖:

通過復(fù)習(xí)舊知識,打下學(xué)習(xí)否命題、逆否命題的基礎(chǔ).

二、新課

設(shè)問命題“同位角相等,兩條直線平行”除了能構(gòu)成它的逆命題外,是否還可以構(gòu)成其它形式的命題?

講述可以將原命題的條件和結(jié)論分別否定,構(gòu)成“同位角不相等,則兩直線不平行”,這個(gè)命題叫原命題的否命題.

提問你能由原命題“正方形的四條邊相等”構(gòu)成它的否命題嗎?

學(xué)生活動(dòng):

口答:若一個(gè)四邊形不是正方形,則它的四條邊不相等.

教師活動(dòng):

講述一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定,這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題.把其中一個(gè)命題叫做原命題,另一個(gè)命題叫做原命題的否命題.

若用和分別表示原命題的條件和結(jié)論,用┐和┐分別表示和的否定.

板書原命題:若則;

否命題:若┐則┐.

提問原命題真,否命題一定真嗎?舉例說明?

學(xué)生活動(dòng):

講論后回答:

原命題“同位角相等,兩直線平行”真,它的否命題“同位角不相等,兩直線不平行”不真.

原命題“正方形的四條邊相等”真,它的否命題“若一個(gè)四邊形不是正方形,則它的四條邊不相等”不真.

由此可以得原命題真,它的否命題不一定真.

設(shè)計(jì)意圖:

通過設(shè)問和討論,讓學(xué)生在自己舉例中研究如何由原命題構(gòu)成否命題及判定它們的真假,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

教師活動(dòng):

提問命題“同位角相等,兩條直線平行”除了能構(gòu)成它的逆命題和否命題外,還可以不可以構(gòu)成別的命題?

學(xué)生活動(dòng):

討論后回答

總結(jié)可以將這個(gè)命題的條件和結(jié)論互換后再分別將新的條件和結(jié)論分別否定構(gòu)成命題“兩條直線不平行,則同位角不相等”,這個(gè)命題叫原命題的逆否命題.

教師活動(dòng):

提問原命題“正方形的四條邊相等”的逆否命題是什么?

學(xué)生活動(dòng):

口答:若一個(gè)四邊形的四條邊不相等,則不是正方形.

教師活動(dòng):

講述一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定,這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.把其中一個(gè)命題叫做原命題,另一個(gè)命題就叫做原命題的逆否命題.

原命題是“若則”,則逆否命題為“若則.

提問“兩條直線不平行,則同位角不相等”是否真?“若一個(gè)四邊形的四條邊不相等,則不是正方形”是否真?若原命題真,逆否命題是否也真?

學(xué)生活動(dòng):

討論后回答

這兩個(gè)逆否命題都真.

原命題真,逆否命題也真.

教師活動(dòng):

提問原命題的真假與其他三種命題的真

假有什么關(guān)系?舉例加以說明?

總結(jié)1.原命題為真,它的逆命題不一定為真.

2.原命題為真,它的否命題不一定為真.

3.原命題為真,它的逆否命題一定為真.

設(shè)計(jì)意圖:

通過設(shè)問和討論,讓學(xué)生在自己舉例中研究如何由原命題構(gòu)成逆否命題及判定它們的真假,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)的積極性.

教師活動(dòng):

三、課堂練習(xí)

1.設(shè)原命題是“若,則”,寫出它的逆命題、否命題與逆否命題,并分別判定它們的真假.

學(xué)生活動(dòng):

筆答:

逆命題“若,則”.逆命題是假命題.

否命題“若,則”.否命題是假命題.

逆否命題“若,則”.逆否命題是真命題.

教師活動(dòng):

2.設(shè)原命題是“當(dāng)時(shí),若,則”,寫出它的逆命題、否定命與逆否命題,并分別判定它們的真假.

學(xué)生活動(dòng):

筆答

逆命題“當(dāng)時(shí),若,則”.

否命題“當(dāng)時(shí),若,則”.否命題為真.

逆否命題“當(dāng)時(shí),若,則”.逆否命題為真.

設(shè)計(jì)意圖:

通過練習(xí)鞏固由原命題構(gòu)成否命題、逆否命題及判定它的真假的能力.

教師活動(dòng):

總結(jié)“當(dāng)時(shí)”是大前提,寫其他命題時(shí)應(yīng)該將“當(dāng)時(shí)”寫在前面.原命題的條件是,結(jié)論是

“”的否定是“”,而不是“”,同樣“”的否定是“”,而不是“”.

投影

3.填圖

1.若原命題是“若則”,其它三種命題的形式怎樣表示?請寫在方框內(nèi)?

學(xué)生活動(dòng):筆答

教師活動(dòng):

2.根據(jù)上圖所給出的箭頭,寫出箭頭兩頭命題之間的關(guān)系?舉例加以說明?

學(xué)生活動(dòng):討論后回答

設(shè)計(jì)意圖:

通過學(xué)生自己填圖,使學(xué)生把握四種命題的形式和它們之間的關(guān)系.

教師活動(dòng):

四、小結(jié)

四種命題的形式和關(guān)系如下圖:

由原命題構(gòu)成道命題只要將和換位就可以.由原命題構(gòu)成否命題只要和分別否定為和,但和不必?fù)Q位.由原命題構(gòu)成逆否命題時(shí)不但要將和換位,而且要將換位后的和否定·

原命題為真,它的逆命題不一定為真.

原命題為真,它的否命題不一定為真.

原命題為真,它的逆否命題一定為真.

因?yàn)榛槟娣衩}同真同假,所以討論四種命題的真假性只討論原命題和逆否命題中的一個(gè),逆命題和否命題中的一個(gè),只討論兩種就可以了,不必對四種命題形式—一加以討論.

教師活動(dòng):

五、作業(yè)

1.閱讀課本四種命題.

2.四種命題,練習(xí)(31頁)1、2,練習(xí)(32頁)1、2

3.習(xí)題1、2、3、4

第二課時(shí):反證法

一、導(dǎo)入新課

提問初中我們學(xué)過反證法,你能回答出用反證法證實(shí)命題的一般步驟嗎?

學(xué)生活動(dòng):

口答:

(l)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立;

(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾;

(3)由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.

設(shè)計(jì)意圖:

復(fù)習(xí)舊知識,為學(xué)習(xí)反證法鋪平道路.

教師活動(dòng):

導(dǎo)入同學(xué)們對反證法這種間接證法不像學(xué)過的直接證法如綜合法、分析法那樣熟悉,感到抽象、難懂,讓我們舉出一例對反證法加以介紹.

我們年級有367名學(xué)生,請你證實(shí)這些學(xué)生中至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日.

這個(gè)問題若用直接證法來解決是有困難的,我們可以運(yùn)用反證法.

運(yùn)用反證法證實(shí)這個(gè)問題首先是根據(jù)“至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日”的反面是“任何兩個(gè)學(xué)生都不在同一天過生日”,也就是反設(shè)“假設(shè)任何兩個(gè)學(xué)生都不在同一天過生日”,從這個(gè)反設(shè)出發(fā)就會(huì)推出這

367人就會(huì)有不同的367天過生日,這就出現(xiàn)了與一年只有365天(閏年366天)的矛盾.產(chǎn)生這個(gè)矛盾的來源是由于開始的反設(shè),因此反設(shè)不成立,這樣得出了“至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日”的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖:

以生活中的實(shí)際例子拉近學(xué)生與反證法的距離,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好.

板書反證法證題的步驟:

1.反設(shè);2.歸謬;3.結(jié)論

例用反證法證實(shí):圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

已知:如圖,在⊙O中,弦AB、CD相交于P點(diǎn),且AB、CD不是直徑.

求證:弦AB、CD不被P點(diǎn)平分.

設(shè)問用反證法證實(shí)這道題如何進(jìn)行反設(shè)?怎樣進(jìn)行歸謬?

引導(dǎo)討論“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”的反面是“弦AB、CD被P點(diǎn)平分”,因而反設(shè)是“假設(shè)弦AB、CD被P點(diǎn)平分”.

學(xué)生活動(dòng):

思考后分組討論,互相補(bǔ)充.

設(shè)計(jì)意圖:

在關(guān)鍵處設(shè)問,激勵(lì)學(xué)生探究精神,提高運(yùn)用反證法的能力.

教師活動(dòng):

由于P點(diǎn)不是圓心O,連結(jié)OP,由垂徑定理的推論得,,這樣過P點(diǎn)有兩條直線與OP都垂直,與垂線的性質(zhì)矛盾.

結(jié)論是“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”成立.

這道題用反證法證實(shí)還有一個(gè)方法.

連結(jié)AD、BD、BC、AC·

提問用反證法證實(shí)怎樣反設(shè)?怎樣歸謬?

反設(shè)仍是“弦AB、CD能被P點(diǎn)平分”.

學(xué)生活動(dòng):

討論后回答

因?yàn)?所以四邊形ABCD是平行四邊形,而圓內(nèi)接平行四邊形必是矩形,則其對角線AB、CD必是圓O的直徑,這與假設(shè)矛盾,所以結(jié)論“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”成立·

設(shè)計(jì)意圖:

讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)在反證法中如何進(jìn)行反充、歸謬.

教師活動(dòng):

練習(xí)用反證法證實(shí)不是有理數(shù)

證實(shí):假設(shè)是有理數(shù),則可表示為(,為自然數(shù),且互質(zhì))

兩邊平方,得

①

由①知必是2的倍數(shù),進(jìn)而必是2的倍數(shù).

令代入①式,得

②

由②知,必是2的倍數(shù),和都是2的倍數(shù),則、不互質(zhì),與假定、互質(zhì)相矛盾,不是有理數(shù).

設(shè)計(jì)意圖:

鞏固練習(xí).

教師活動(dòng):

例用反證法證實(shí):假如,那么.

剖析運(yùn)用反證法證實(shí)這道題時(shí),怎樣進(jìn)行反設(shè)?的反面是否僅有?

證實(shí):假設(shè)不小于,則或者,或者

當(dāng),因?yàn)?所以

在的兩邊都乘以得

,

在的兩邊都乘以得

,

所以

這與假設(shè)矛盾,所以不成立.

當(dāng)時(shí)可得到,這與假設(shè)矛盾.

綜上所述,所以

設(shè)計(jì)意圖:

通過對例題的剖析,使學(xué)生把握如何在反證法中反設(shè)和歸謬.

教師活動(dòng):

三、課堂練習(xí)

用反證法證實(shí):

已知:銳角三角形ABC中

求證:

證實(shí):假設(shè),則

因?yàn)?所以,.這樣可推出是鈍角三角形或直角三角形,這與假設(shè)是銳角三角形矛盾.所以

設(shè)計(jì)意圖:

進(jìn)一步提高運(yùn)用反證法證題的能力.

四、小結(jié)

反證法證題的步驟:

(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論.

運(yùn)用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以是與已知條件的矛盾,也可以是與某個(gè)公理、定理的矛盾,也可以是證實(shí)過程中自相矛盾.

五、作業(yè)

1.閱讀課本四種命題中“反證法”部分

2.四種命題中“反證法”練習(xí)1、2.

3.習(xí)題5、6

4.用反證法證實(shí):在中,AB、BC、AC不全相等,那么、、中至少有一個(gè)大于

證實(shí):假設(shè)、、都大于,即,,

因?yàn)锳B、BC、AC不全相等,所以上面三式中不能同時(shí)取等號,這樣有

.與定理“三角形內(nèi)角和為”矛盾,因此結(jié)論、、中至少有一個(gè)大于成立.函數(shù)教學(xué)目標(biāo)

1.理解函數(shù)的概念,了解函數(shù)的三種表示法,會(huì)求函數(shù)的定義域.

(1)了解函數(shù)是非凡的映射,是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射.能理解函數(shù)是由定義域,值域,對應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體.

(2)能正確熟悉和使用函數(shù)的三種表示法:解析法,列表法,和圖象法.了解每種方法的優(yōu)點(diǎn).

(3)能正確使用“區(qū)間”及相關(guān)符號,能正確求解各類函數(shù)的定義域.

2.通過函數(shù)概念的學(xué)習(xí),使學(xué)生在符號表示,運(yùn)算等方面的能力有所提高.

(1)對函數(shù)記號有正確的理解,準(zhǔn)確把握其含義,了解(為常數(shù))與的區(qū)別與聯(lián)系;

(2)在求函數(shù)定義域中注重運(yùn)算的合理性與簡潔性.

3.通過函數(shù)定義由變量觀點(diǎn)向映射觀點(diǎn)的過渡,是學(xué)生能從發(fā)展的角度看待數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

教學(xué)建議

1.教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

(2)重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本小節(jié)的重點(diǎn)是在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念.,主要包括對函數(shù)的定義,表示法,三要素的作用的理解與熟悉.教學(xué)難點(diǎn)是函數(shù)的定義和函數(shù)符號的熟悉與使用.

①由于學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了函數(shù)的變量觀點(diǎn)下的定義,并具體研究了幾類最簡單的函數(shù),對函數(shù)并不生疏,所以在高中重新定義函數(shù)時(shí),重要的是讓學(xué)生熟悉到它的優(yōu)越性,它從根本上揭示了函數(shù)的本質(zhì),由定義域,值域,對應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體,讓學(xué)生能主動(dòng)將函數(shù)與函數(shù)解析式區(qū)分開來.對這一點(diǎn)的熟悉對于后面函數(shù)的性質(zhì)的研究都有很大的幫助.

②在本節(jié)中首次引入了抽象的函數(shù)符號,學(xué)生往往只接受具體的函數(shù)解析式,而不能接受,所以應(yīng)讓學(xué)生從符號的含義熟悉開始,在符號中,在法則下對應(yīng),不是與的乘積,符號本身就是三要素的體現(xiàn).由于所代表的對應(yīng)法則不一定能用解析式表示,故函數(shù)表示的方法除了解析法以外,還有列表法和圖象法.此外本身還指明了誰是誰的函數(shù),有利于我們分清函數(shù)解析式中的常量與變量.如,它應(yīng)表示以為自變量的二次函數(shù),而假如寫成,則我們就不能準(zhǔn)確了解誰是變量,誰是常量,當(dāng)為變量時(shí),它就不代表二次函數(shù).

2.教法建議

(1)高中對函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是初中函數(shù)內(nèi)容的深化和延伸.深化首先體現(xiàn)在函數(shù)的定義更具一般性.故教學(xué)中可以讓學(xué)生舉出自己熟悉的函數(shù)例子,并用變量觀點(diǎn)加以解釋,教師再給出如:是不是函數(shù)的問題,用變量定義解釋顯得很勉強(qiáng),而假如從集合與映射的觀點(diǎn)來解釋就十分自然,所以有重新熟悉函數(shù)的必要.

(2)對函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體的熟悉,一方面可以通過對符號的了解與使用來強(qiáng)化,另一方面也可通過判定兩個(gè)函數(shù)是否相同來配合.在這類題目中,可以進(jìn)一步體現(xiàn)出三要素整體的作用.

(3)關(guān)于對分段函數(shù)的熟悉,首先它的出現(xiàn)是一種需要,可以給出一些實(shí)際的例子來說明這一點(diǎn),對自變量不同取值,用不同的解析式表示同一個(gè)函數(shù)關(guān)系,所以是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù),其次還可以舉一些數(shù)學(xué)的例子如這樣的函數(shù),若利用絕對值的定義它就可以寫成,這就是一個(gè)分段函數(shù),從這個(gè)題中也可以看出分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù).

教學(xué)設(shè)計(jì)方案

2.2函數(shù)

教學(xué)目標(biāo):

1.理解函數(shù)的概念,了解函數(shù)三要素.

2.通過對函數(shù)抽象符號的熟悉與使用,使學(xué)生在符號表示方面的能力得以提高.

3.通過函數(shù)定義由變量觀點(diǎn)向映射觀點(diǎn)得過渡,使學(xué)生能從發(fā)展與聯(lián)系的角度看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn):重點(diǎn)是在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念;

難點(diǎn)是對函數(shù)抽象符號的熟悉與使用.

教學(xué)用具:投影儀

教學(xué)方法:自學(xué)研究與啟發(fā)討論式.

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)與引入

今天我們研究的內(nèi)容是函數(shù)的概念.函數(shù)并不象前面學(xué)習(xí)的集合,映射一樣我們一無所知,而是比較熟悉,所以我先找同學(xué)說說對函數(shù)的熟悉,如函數(shù)是什么?學(xué)過什么函數(shù)?

(要求學(xué)生盡量用自己的話描述初中函數(shù)的定義,并試舉出各類學(xué)過的函數(shù)例子)

學(xué)生舉出如等,待學(xué)生說完定義后教師打出投影片,給出定義之后教師也舉一個(gè)例子,問學(xué)生.

提問1.是函數(shù)嗎?

(由學(xué)生討論,發(fā)表各自的意見,有的認(rèn)為它不是函數(shù),理由是沒有兩個(gè)變量,也有的認(rèn)為是函數(shù),理由是可以可做.)

教師由此指出我們爭論的焦點(diǎn),其實(shí)就是函數(shù)定義的不完善的地方,這也正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性,新的定義將在與原定義不相違反的基礎(chǔ)上從更高的觀點(diǎn),將它完善與深化.

二、新課

現(xiàn)在請同學(xué)們打開書翻到第50頁,從這開始閱讀有關(guān)的內(nèi)容,再回答我的問題.(約23分鐘或開始提問)

提問2.新的函數(shù)的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下.

學(xué)生的回答往往是把書上的定義念一遍,教師可以板書的形式寫出定義,但還要引導(dǎo)形式發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì).

(板書)2.2函數(shù)

一、函數(shù)的概念

1.定義:假如A,B都是非空的數(shù)集,那么A到B的映射就叫做A到B的函數(shù),記作.其中原象集合A稱為定義域,象集C稱為值域.

問題3:映射與函數(shù)有何關(guān)系?(函數(shù)一定是映射嗎?映射一定是函數(shù)嗎?)

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),函數(shù)是非凡的映射,非凡在集合A,B必是非空的數(shù)集.

2.本質(zhì):函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射.(板書)

然后讓學(xué)生試回答剛才關(guān)于是不是函數(shù)的問題,要求從映射的角度解釋.

此時(shí)學(xué)生可以清楚的看到滿足映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義,故是一個(gè)函數(shù),這樣解釋就很自然.

教師繼續(xù)把問題引向深入,提出在映射的觀點(diǎn)下如何解釋是個(gè)函數(shù)?

從映射角度看可以是其中定義域是,值域是.

從剛才的分析可以看出,映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義更具一般性,更能揭示函數(shù)的本質(zhì).這也是我們后面要對函數(shù)進(jìn)行理論研究的一種需要.所以我們著重從映射角度再來熟悉函數(shù).

3.函數(shù)的三要素及其作用(板書)

函數(shù)是映射,自然是由三件事構(gòu)成的一個(gè)整體,分別稱為定義域.值域和對應(yīng)法則.當(dāng)我們熟悉一個(gè)函數(shù)時(shí),應(yīng)從這三方面去了解熟悉它.

例1以下關(guān)系式表示函數(shù)嗎?為什么?

(1);(2).

解:(1)由有意義得,解得.由于定義域是空集,故它不能表示函數(shù).

(2)由有意義得,解得.定義域?yàn)?值域?yàn)?

由以上兩題可以看出三要素的作用

(1)判定一個(gè)函數(shù)關(guān)系是否存在.(板書)

例2下列各函數(shù)中,哪一個(gè)函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù).

(1);(2)(3);(4).

解:先認(rèn)清,它是(定義域)到(值域)的映射,其中

.

再看(1)定義域?yàn)榍?是不同的;(2)定義域?yàn)?是不同的;

(4),法則是不同的;

而(3)定義域是,值域是,法則是乘2減1,與完全相同.

求解后要求學(xué)生明確判定兩個(gè)函數(shù)是否相同應(yīng)看定義域和對應(yīng)法則完全一致,這時(shí)三要素的又一作用.

(2)判定兩個(gè)函數(shù)是否相同.(板書)

下面我們研究一下如何表示函數(shù),以前我們學(xué)習(xí)時(shí)雖然會(huì)表示函數(shù),但沒有相系統(tǒng)研究函數(shù)的表示法,其實(shí)表示法有很多,不過首先應(yīng)從函數(shù)記號說起.

4.對函數(shù)符號的理解(板書)

首先讓學(xué)生知道與的含義是一樣的,它們都表示是的函數(shù),其中是自變量,是函數(shù)值,連接的紐帶是法則,所以這個(gè)符號本身也說明函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體.下面我們舉例說明.

例3已知函數(shù)試求(板書)

分析:首先讓學(xué)生認(rèn)清的含義,要求學(xué)生能從變量觀點(diǎn)和映射觀點(diǎn)解釋,再進(jìn)行計(jì)算.

含義1:當(dāng)自變量取3時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值即;

含義2:定義域中原象3的象,根據(jù)求象的方法知.而應(yīng)表示原象的象,即.

計(jì)算之后,要求學(xué)生了解與的區(qū)別,是常量,而是變量,只是中一個(gè)非凡值.

最后指出在剛才的題目中是用一個(gè)具體的解析式表示的,而以后研究的函數(shù)不一定能用一個(gè)解析式表示,此時(shí)我們需要用其他的方法表示,具體的方法下節(jié)課再進(jìn)一步研究.

三、小結(jié)

1.函數(shù)的定義

2.對函數(shù)三要素的熟悉

3.對函數(shù)符號的熟悉

四、作業(yè):略

五、板書設(shè)計(jì)

2.2函數(shù)例1.例3.

一.函數(shù)的概念

1.定義

2.本質(zhì)例2.小結(jié):

3.函數(shù)三要素的熟悉及作用

4.對函數(shù)符號的理解

探究活動(dòng)

函數(shù)在數(shù)學(xué)及實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,在我們身邊就存在著很多與函數(shù)有關(guān)的問題如在我們身邊就有不少分段函數(shù)的實(shí)例,下面就是一個(gè)生活中的分段函數(shù).

夏天,大家都喜歡吃西瓜,而西瓜的價(jià)格往往與西瓜的重量相關(guān).某人到一個(gè)水果店去買西瓜,價(jià)格表上寫的是:6斤以下,每斤0.4元.6斤以上9斤以下,每斤0.5元,9斤以上,每斤0.6元.此人挑了一個(gè)西瓜,稱重后店主說5元1角,1角就不要了,給5元吧,可這位聰明的顧客馬上說,你不僅沒少要,反而多收了我錢,當(dāng)顧客講出理由,店主只好承認(rèn)了錯(cuò)誤,照實(shí)收了錢.

同學(xué)們,你知道顧客是怎樣店主坑人了呢?其實(shí)這樣的數(shù)學(xué)問題在我們身邊有很多,只要你注重觀察,積累,并學(xué)以至用,就能成為一個(gè)聰明人,因?yàn)閿?shù)學(xué)可以使人聰明起來.

答案:

若西瓜重9斤以下則最多應(yīng)付4.5元,若西瓜重9斤以上,則最少也要5.4元,不可能出現(xiàn)5.1元這樣的價(jià)錢,所以店主坑人了.充分條件與必要條件教學(xué)目標(biāo)

(1)正確理解充分條件、必要條件和充要條件的概念;

(2)能正確判定是充分條件、必要條件還是充要條件;

(3)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力及歸納總結(jié)能力;

(4)在充要條件的教學(xué)中,培養(yǎng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

教學(xué)建議

(一)教材分析

1.知識結(jié)構(gòu)

首先給出推斷符號“”,并引出充分條件與必要條件的意義,在此基礎(chǔ)上講述了充要條件的初步知識.

2.重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)是關(guān)于充要條件的判定.

(1)充分但不必要條件、必要但不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件是重要的數(shù)學(xué)概念,主要用來區(qū)分命題的條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系.

(2)在判定條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系中應(yīng)該:

①首先分清條件是什么,結(jié)論是什么;

②然后嘗試用條件推結(jié)論,再嘗試用結(jié)論推條件.推理方法可以是直接證法、間接證法(即反證法),也可以舉反例說明其不成立;

③最后再指出條件是結(jié)論的什么條件.

(3)在討論條件和條件的關(guān)系時(shí),要注重:

①若,但,則是的充分但不必要條件;

②若,但,則是的必要但不充分條件;

③若,且,則是的充要條件;

④若,且,則是的充要條件;

⑤若,且,則是的既不充分也不必要條件.

(4)若條件以集合的形式出現(xiàn),結(jié)論以集合的形式出現(xiàn),則借助集合知識,有助于充要條件的理解和判定.

①若,則是的充分條件;

顯然,要使元素,只需就夠了.類似地還有:

②若,則是的必要條件;

③若,則是的充要條件;

④若,且,則是的既不必要也不充分條件.

(5)要證實(shí)命題的條件是充要條件,就既要證實(shí)原命題成立,又要證實(shí)它的逆命題成立.證實(shí)原命題即證實(shí)條件的充分性,證實(shí)逆命題即證實(shí)條件的必要性.由于原命題逆否命題,逆命題否命題,當(dāng)我們證實(shí)某一命題有困難時(shí),可以證實(shí)該命題的逆否命題成立,從而得出原命題成立.

(二)教法建議

1.學(xué)習(xí)充分條件、必要條件和充要條件知識,要注重與前面有關(guān)邏輯初步知識內(nèi)容相聯(lián)系.充要條件中的,與四種命題中的,要求是一樣的.它們可以是簡單命題,也可