黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單選題1.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）A.復(fù)數(shù)實(shí)部為1B.復(fù)數(shù)虛部為0C.D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限【答案】B【解析】由題意得：，所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，虛部為0，即A錯(cuò)誤，B正確；，故C錯(cuò)誤，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為，故D錯(cuò)誤，故選：B.2.已知集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D3.已知直線，平面，，，，，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意，由，，當(dāng)時(shí)，不能證得，從而不能證得，當(dāng)，時(shí)，由已知及面面垂直的性質(zhì)知，而，因此，所以是的必要不充分條件.故選：B4.設(shè)函數(shù)，已知方程在上有且僅有2個(gè)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，即，又，方程有且僅有2個(gè)實(shí)根，所以函數(shù)圖象與直線在上僅有2個(gè)交點(diǎn)，由，得，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C5.下列函數(shù)的圖象不可能與直線相切的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】若導(dǎo)函數(shù)有解，則直線就可以為該函數(shù)圖象的切線．對于選項(xiàng)A，令，解得，滿足條件；對于選項(xiàng)B，因在上單調(diào)遞增，且，，所以方程有解，滿足條件；對于選項(xiàng)C，令，解得，滿足條件；對于選項(xiàng)D，，不滿足條件．故選：D.6.已知函數(shù)且是奇函數(shù)，則（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得（舍去）或，則，因?yàn)?，所以時(shí)，為奇函數(shù).故選：D7.過正四棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺(tái)的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意過正四棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，則，，，分別為，，，的中點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長為，，所以正方形的面積為，正方形的面積為，正四棱錐的側(cè)面積為，四棱臺(tái)的側(cè)面積為，所以正四棱錐的表面積為，四棱臺(tái)的表面積為，所以，解得，由平面，所以為直線與底面所成角，所以，又，，所以.故選：.8.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點(diǎn).若，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.3 C.3或 D.2【答案】B【解析】如圖，由已知得，則，所以的方程為．由解得．設(shè)，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3．故選：B．二?多選題9.已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為B.的最小值為4C.不存在點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為中點(diǎn)的橢圓的弦的斜率為1【答案】AC【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，有最大值4，B錯(cuò)誤；由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)Q為短軸端點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，即的最大值為銳角，故不存在點(diǎn)，使得，C正確；當(dāng)時(shí)，有，得，所以，易知，當(dāng)點(diǎn)為弦中點(diǎn)時(shí)斜率存在，記直線斜率為k，與橢圓的交點(diǎn)為，則，由點(diǎn)差法得，又，所以，即，D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列判斷正確的是（）A.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若時(shí)，，則時(shí)，B.若，則的取值范圍是C.為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的，橫坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長度D.設(shè)滿足滿足，則【答案】CD【解析】對于A，若時(shí)，，則時(shí)，，，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，可得，即A錯(cuò)誤；對于B，若，當(dāng)時(shí)，可知單調(diào)遞減，所以，解得；當(dāng)時(shí)，可知單調(diào)遞增，所以，解得，所以；綜上可得或，即B錯(cuò)誤；對于C，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的，橫坐標(biāo)不變，可得，再向右平移1個(gè)單位長度可得，因此C正確；對于D，將變形可得，即滿足，又滿足，可知滿足方程，又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且，所以，即，D正確.故選：CD.11.如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.存在，使得平面B.當(dāng)時(shí)，存在，使得平面C.存在，使得平面平面D.存在，使得平面平面【答案】ACD【解析】以D為原點(diǎn)，分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則，則，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，A：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，取，解得，設(shè)，，若平面，則，所以，所以當(dāng)或（舍）成立，此時(shí)為的中點(diǎn)；故A正確；B：延用A中的解答，，若平面，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)與D重合時(shí)，因?yàn)椋颐?，面，此時(shí)平面平面，故C正確；D：延用A中的解答，，則，因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，若平面平面，則，故D正確；故選：ACD12.已知數(shù)列，則（）A.當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列B.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前16項(xiàng)和為160C.當(dāng)時(shí)，數(shù)列前16項(xiàng)和等于72D.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，偶數(shù)項(xiàng)的和大于奇數(shù)項(xiàng)的和【答案】BCD【解析】由題意知，.A：當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和為8，偶數(shù)項(xiàng)和為，則數(shù)列前16項(xiàng)和為160，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，，令，得①，令，得②，令，得③，①②，得，①③，得，所以，所以數(shù)列前16項(xiàng)和為，故C正確；D：由選項(xiàng)C可知，當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，令項(xiàng)數(shù)為2k（），即偶數(shù)項(xiàng)和大于奇數(shù)項(xiàng)和，故D正確.故選：BCD.三?填空題13.若向量滿足，且在上的投影向量為，則__________.【答案】0【解析】由題意知，在上的投影向量為，由，得，所以.故答案為：014.已知數(shù)列{an}滿足a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，若{an}是等差數(shù)列，則a1a10＝_________；若{an}是等比數(shù)列，則a1+a10＝_________.【答案】﹣728﹣7【解析】若{an}是等差數(shù)列，則a4+a7＝a5+a6＝2，又a5a6＝﹣8，所以a5和a6為的兩根，解得，或當(dāng)，時(shí)，公差，易得，，，故；當(dāng)，時(shí)，公差，易得，，，故；若{an}是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則a5a6＝a4a7＝﹣8，又a4+a7＝2，所以a4和a7為的兩根，解得，或，當(dāng)，時(shí)，則，故，，即；當(dāng)，時(shí)，則，故，，即.故答案為：﹣728；﹣7.15.如圖，圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)，在圓上，且點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，.若，則的值為____________.【答案】【解析】圓的半徑為1.又，為等邊三角形.，且為銳角..由三角函數(shù)的定義可得，.故答案為：.16.已知橢圓的左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)做軸的垂線，為垂線上一點(diǎn)，當(dāng)橢圓的離心率為時(shí)，最大值為__________.【答案】【解析】如圖，，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，軸，則，在中，由正弦定理，得，即，在中，，所以，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以的最大值為.故答案為：四?解答題17.已知雙曲線的實(shí)軸長為4，且與雙曲線有公共的焦點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知，是雙曲線上的任意一點(diǎn)，求的最小值．解：（1）由雙曲線的焦點(diǎn)在軸，坐標(biāo)為，，所以可設(shè)雙曲線的方程為，由已知，所以，又因?yàn)殡p曲線與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線的方程為；（2）由，可得或，設(shè)，因?yàn)槭请p曲線上的任意一點(diǎn)，所以，則或，，因?yàn)榛颍援?dāng)時(shí)，有最小值.18.如圖，在三棱柱中，，頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）是線段中點(diǎn)，求平面和平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)轫旤c(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，所以面，因?yàn)槊妫?，因在三棱柱中，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槊?，，所以面?）解：在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，則，因?yàn)槊?，面，所以，以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則平面一個(gè)法向量，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，平面和平面夾角的余弦值為.19.已知在數(shù)列中，．（1）令，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（1）證明：易知，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）證明：解法一：由（1）知，所以，所以，即，又，所以，所以時(shí)，，又，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.解法二：由，，相減得，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.20.在中，，點(diǎn)A在線段上，，且，，（1）求的值；（2）求的值和的面積．解：（1）因?yàn)?，所以，①因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，②在中，由正弦定理得，將①代入得，所以，解得代入②?（2）由，，得，所以，在中，由余弦定理得即，將代入得，化簡得，解得，或，因?yàn)?，所以，所以在中，由勾股定理得，所以，所以的面積為.21.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.現(xiàn)對這些折痕所圍成的圖形進(jìn)行建模研究.若取半徑為6的圓形紙片，如圖，設(shè)定點(diǎn)到圓心的距離為4，按上述方法折紙.以點(diǎn)所在的直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.（1）若已研究出折痕所圍成的圖形即是折痕與線段交點(diǎn)的軌跡，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記（1）問所得圖形為曲線，若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請說明理由.解：（1）如圖，以所在的直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知，∴點(diǎn)的軌跡點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸的橢圓，∵，，∴，∴，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)直線的方程為，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去得，其中，設(shè)，，則，消去和可得，要使為定值，則，∵，∴，此時(shí)，∴存在點(diǎn)使得和之積為.22.已知，函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)是的導(dǎo)數(shù).證明：（i）在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，若，則.（1）解：的定義域是.求導(dǎo)得.令，