山東省煙臺(tái)市2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺(tái)市2025屆高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，所以，所以，或，所以.故選：B.2.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，；反之，當(dāng)時(shí)，.則“”是“”的充要條件.故選：C.3.已知，，，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，可得.展開(kāi)得到.，則；，則.將和代入中，得到，移項(xiàng)可得，解得.根據(jù)投影向量公式，得到.故選：B4.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】由x<2，得，且，所以，因此，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由得，，∴.故選：A.6.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】時(shí)，，顯然，令得，當(dāng)?shù)茫试谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又是定義在R上的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故在R上為連續(xù)函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C7.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，所以f'x<0所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，由，則，可得：，即或，所以不等式的解集為.故選：D.8.魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中一題是測(cè)海島的高.如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿，稱(chēng)為“表高”，EG稱(chēng)為“表距”，GC和EH都稱(chēng)為“表目距”，若，，，，則海島的高為（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】由平面相似可知，，而，所以，而，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】A.由，得，因，所以，即，選項(xiàng)A正確.B.由，，，即，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.由，得，因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C正確.D.令，則不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C.若，則D.將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象【答案】ABD【解析】，又相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以，所以，所以，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故正確；，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故正確；若，所以，，由，可得，所以，所以或，故錯(cuò)誤；將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，故正確；故選：.11.設(shè)在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”；又當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的“上凸函數(shù)”.則（）A.任何一個(gè)三次函數(shù)均有“拐點(diǎn)”B.函數(shù)為區(qū)間上的“上凸函數(shù)”C.若函數(shù)的“拐點(diǎn)”在軸的右側(cè)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若函數(shù)存在拐點(diǎn)，且為定義域上的“上凸函數(shù)”，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：對(duì)于三次函數(shù)，，再求導(dǎo)得到.令，則，解得，所以任何一個(gè)三次函數(shù)均有“拐點(diǎn)”，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)：，，.當(dāng)時(shí)，，，得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)是區(qū)間上的“上凸函數(shù)”，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)：，，.令，得，因?yàn)椤肮拯c(diǎn)”在軸右側(cè)，所以，即.令可得，所以，的遞減區(qū)間是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)：，，.令，即在有解.即則有正解.則Δ=a2并且因?yàn)楹瘮?shù)為定義域上的“上凸函數(shù)”，所以在定義域上單調(diào)遞減.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保證拐點(diǎn)，則.D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】對(duì)于，因?yàn)?，所以，根?jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則.因?yàn)?，所?根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則.13.已知平行四邊形ABCD中，，，，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，因?yàn)辄c(diǎn)P在邊AB上，所以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為.14.函數(shù)，，.若時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，試寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的b的一個(gè)值為_(kāi)____；若當(dāng)時(shí)，對(duì)，，，則a的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】1（答案不唯一）【解析】若時(shí)，為偶函數(shù)，則，即，所以或0，對(duì)，，，所以，因?yàn)闀r(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無(wú)解，所以a的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），故，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)且與函數(shù)圖象相切的直線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的切線過(guò)點(diǎn)，所以，又，所以，又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得，所以切線方程為，即.（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，可得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.如圖，某地一公園ABCD為等腰梯形，其中，，，（單位：百米），公園出入口分別為C，D和AB中點(diǎn)Q，公園管理部門(mén)準(zhǔn)備在公園內(nèi)部（不含邊界）距離C，D兩點(diǎn)相等的一點(diǎn)P處修建連接三個(gè)出口的道路PQ，PC，PD.設(shè)，，道路總長(zhǎng)度為y.（單位：百米）（1）分別求y關(guān)于x和y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)選用（1）中的一個(gè)關(guān)系式，求：當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)三條道路的總長(zhǎng)度最小.解：（1）如圖，過(guò)A作于E,過(guò)B作于F,延長(zhǎng)交于G.由于距離C，D兩點(diǎn)相等的一點(diǎn)P，則.根據(jù)題意，，，由等腰梯形性質(zhì)，知道,,在中,求得,且，則.在中,求得.故y關(guān)于x的關(guān)系式為：，即.在中，，且，則.并且,則.則y關(guān)于θ的關(guān)系式為：，即.（2）用,求導(dǎo)得到.令，則，，則.當(dāng),,單調(diào)遞減；當(dāng),,單調(diào)遞增；故當(dāng)，y取得最小值.且綜上所得，當(dāng)時(shí),三條道路的總長(zhǎng)度最小.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足，是邊上的點(diǎn)，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.解：（1）由，可得，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，兩邊平方可得，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以所以面積的最大值為.19.已知函數(shù)，，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，曲線與有且只有兩條公切線；（2）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，求導(dǎo)得，，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，則切線斜率，直線與相切于點(diǎn)，則切線斜率，則，整理得，由題意可得：，消去可得：，令，則，則，可得，令，要證曲線與有且只有兩條公切線，即證在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)可得，可得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，，故在上有唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知的最小值為，又因?yàn)?，則，注意到趨近0時(shí)，趨近，趨近時(shí)，趨近，所以在和上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，故在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故原命題得證.（2）由函數(shù)與的圖象