四點共圓基本判斷方法(超全)

Key.四點共圓的證明五個基本判斷方法：1.若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓。2.若一個四邊形的一組對角互補（和為180°），則這個四邊形的四個點共圓。3.若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個點共圓。4.若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線的兩個端點共圓。5.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。2021/6/271

1.若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓

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2021/6/272

如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于O點，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，求證：E，F(xiàn)，G，H四個點在以O(shè)為圓心的同一個圓上分析指導(dǎo)：利用直角三角形斜邊的中點等于斜邊的一半，再利用菱形的四邊相等即可證出。2021/6/2732.若一個四邊形的一組對角互補（和為180°），則這個四邊形的四個點共圓若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，則點A、B、C、D四點共圓2021/6/274已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°

求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓（A，B，C，D四點共圓證明：用反證法

過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，則C在圓外或圓內(nèi)，若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=180°，

∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C

這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。2021/6/2753.若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個點共圓。若∠B=∠CDE，則A、B、C、D四點共圓證法同上2021/6/276例如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，過點A和點B的圓與AD、BC分別交于E、F點。求證:C、D、E、F四點共圓。分析:欲證C、D、E、F四點共圓，可證以該四點構(gòu)成的四邊形中，一組對角互補或外角等于內(nèi)對角即可。由此，連接EF構(gòu)成四邊形EFCD后，證明∠BFE=∠D即可。證明:連接EF，∵四邊形ABFE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BFE=180°。又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠D=180°。

∴∠BFE=∠D?！郈、D、E、F四點共圓2021/6/2774.若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線段的兩個端點共圓。若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，則A、B、C、D四點共圓

2021/6/278用反證法：

已知：同側(cè)△ABC和△CBD，共有底邊CB，〈A=〈D，

求證：A、B、C、D四點共圓

證明：假設(shè)四點不在同一圓上，

作△ABC外接圓，則D點不在圓上，因二角共用AB弧，則〈A≠<D，

與實際不符，

所以只有D點在△ABC外接圓上，

故A、B、C、D四點共圓。

2021/6/2795.同斜邊的直角三角形的頂點共圓如圖1，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，求證：A、B、C、D四點共圓.如圖2，∠A=∠C=90°，求證：A、B、C、D四點共圓.

分析指導(dǎo)：可以直接根據(jù)圓的定義證明