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四川省內(nèi)江市縣第八中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù),若,則的取值范圍為(
)A.
B.C. D.參考答案:B2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為
(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:D3.(5分)已知函數(shù)f(x)=loga(2﹣ax)在(﹣∞,1]上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是() A. (1,2) B. (0,1) C. (0,1)∪(1,2) D. (0,1)∪(2,+∞)參考答案:A考點(diǎn): 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性;對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 分類討論,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍,綜合可得結(jié)論.解答: 解:當(dāng)a>1時(shí),由2﹣a>0求得a<2,∴1<a<2.當(dāng)0<a<1時(shí),由于2﹣ax在(﹣∞,1]上可能為負(fù)數(shù),故不滿足條件.綜上可得,1<a<2,故選:A.點(diǎn)評(píng): 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)是上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D5.不等式的解集為(
)A、
B、
C、
D、
參考答案:D6.若為第二象限角,那么,,,中,其值必為正的有(
)A.個(gè)
B.個(gè)
C.個(gè)
D.個(gè)參考答案:A
解析:在第三、或四象限,,可正可負(fù);在第一、或三象限,可正可負(fù)7.若一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形,俯視圖是圓,則這個(gè)幾何體可能是()A.圓柱 B.三棱柱 C.圓錐 D.球體參考答案:C【考點(diǎn)】L8:由三視圖還原實(shí)物圖.【分析】直接從幾何體的三視圖:正視圖和側(cè)視圖或俯視圖判斷幾何體的形狀,即可.【解答】解:一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形,幾何體可能是三棱柱,有可能是圓錐,從俯視圖是圓,說(shuō)明幾何體是圓錐,故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,考查邏輯推理能力和空間想象力,是基礎(chǔ)題.8.已知,則函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是(
)參考答案:B9.若存在正實(shí)數(shù)b,使得,則(
)A.實(shí)數(shù)a的最大值為 B.實(shí)數(shù)a的最小值為C.實(shí)數(shù)a的最大值為 D.實(shí)數(shù)a的最小值為參考答案:C【分析】將題目所給方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)此方程在上有解列不等式組,解不等式組求得的取值范圍,進(jìn)而求出正確選項(xiàng).【詳解】由得,當(dāng)時(shí),方程為不和題意,故這是關(guān)于的一元二次方程,依題意可知,該方程在上有解,注意到,所以由解得,故實(shí)數(shù)的最大值為,所以選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次方程根的分布問(wèn)題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.10.已知兩條直線y=ax﹣2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于()A.2 B.1 C.0 D.﹣1參考答案:D【考點(diǎn)】IA:兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系.【分析】?jī)芍本€ax+by+c=0與mx+ny+d=0垂直?am+bn=0解之即可.【解答】解:由y=ax﹣2,y=(a+2)x+1得ax﹣y﹣2=0,(a+2)x﹣y+1=0因?yàn)橹本€y=ax﹣2和y=(a+2)x+1互相垂直,所以a(a+2)+1=0,解得a=﹣1.故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中,,則的值為
▲
.參考答案:12.已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),,則的取值范圍是__________.參考答案:,,得,則,令,得,又,則的取值范圍為.13.如圖所示的數(shù)陣中,第20行第2個(gè)數(shù)字是.參考答案:【考點(diǎn)】F1:歸納推理.【分析】觀察這個(gè)數(shù)列每一行第二個(gè)數(shù)的倒數(shù),觀察發(fā)現(xiàn)連續(xù)兩項(xiàng)的差成等差數(shù)列,然后利用疊加法求出第20行第2個(gè)數(shù)的倒數(shù),從而求出所求.【解答】解:不妨令a2=2,a3=4,a4=7,則由題意可得a3﹣a2=2,a4﹣a3=3,…a20﹣a19=19,將以上各式相加得a20﹣a2=2+3+4+…+19,∴a20=191∴第20行的第2個(gè)數(shù)是,故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意觀察,認(rèn)真思考,注意尋找規(guī)律,屬于中檔題.14.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),則cosθ﹣sinθ=
.參考答案:
【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用.【分析】利用平方關(guān)系可得求解.【解答】解:∵sinθ+cosθ=,∴(sinθ+cosθ)2=∴2sinθcosθ=<0∵θ∈(0,π),∴θ∈(,π),則sinθ>0,cosθ<0那么:cosθ﹣sinθ<0.∴(cosθ﹣sinθ)2=(sinθ+cosθ)2﹣4sinθcosθ==.∴cosθ﹣sinθ=.故答案為:.15.直線恒過(guò)定點(diǎn)
參考答案:(-2,1)略16.若將函數(shù)y=cos(2x﹣)的圖象向右平移φ(0<φ<π)個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin2x的圖象,則φ的值為_(kāi)________.參考答案:17.求值=
.參考答案:2三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).(Ⅰ)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù);(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,17]上的最大值和最小值.參考答案:(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)見(jiàn)解析【分析】(Ⅰ)先分離常數(shù)得出,然后根據(jù)增函數(shù)的定義,設(shè)任意的,然后作差,通分,得出,只需證明即可得出在上是增函數(shù);(Ⅱ)根據(jù)在上是增函數(shù),即可得出在區(qū)間上的最大值為,最小值為,從而求出,即可.【詳解】解:(Ⅰ)證明:;設(shè),則:;;,,;;;在區(qū)間上是增函數(shù);Ⅱ在上是增函數(shù);在區(qū)間上的最小值為,最大值為.【點(diǎn)睛】考查分離常數(shù)法的運(yùn)用,反比例函數(shù)的單調(diào)性,增函數(shù)的定義,根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)的方法,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法.19.
已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足,且.(1)求及的值;(2)求證:為奇函數(shù)且是周期函數(shù).參考答案:(1)在中取,得,即,
又已知,所以
在中取,得,即,
又已知,所以
(2)在中取得,又已知,所以,即,為奇函數(shù).
在中取得,于是有,所以,即,是周期函數(shù)20.若非零函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b均有f(a+b)=f(a)?f(b),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1.(1)求證:f(x)>0;
(2)求證:f(x)為減函數(shù);(3)當(dāng)f(2)=時(shí),解不等式f(x﹣3)?f(5)≤.參考答案:【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.【專題】綜合題;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)模型法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】(1)根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可.(2)根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f(x)在R上為減函數(shù);(2)利用函數(shù)的單調(diào)性,將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解不等式即可.【解答】解:(1):f(x)=f(+)=f()f()=f2()>0,(2)x1,x2∈R,且x1<x2,則x1﹣x2<0,∴f(x1﹣x2)=,∵對(duì)任意的x,y∈R,總有f(x)>0,∴f(x1)>f(x2),即f(x)在R上為減函數(shù).(3)由f(4)=f(2)f(2)=,得f(2)=,原不等式轉(zhuǎn)化為f(x﹣3+5)≤f(2),結(jié)合(2)得:x+2≥2,得x≥0,故不等式的解集為[0,+∞).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)最值的求解,根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系,利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法,21.如圖,在四棱錐中,底面,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)求和平面所成的角的大?。唬á颍┳C明平面;(Ⅲ)求二面角的正弦值.
參考答案:(Ⅰ)解:在四棱錐中,因底面,平面,故.又,,從而平面.故在平面內(nèi)的射影為,從而為和平面所成的角.在中,,故.所以和平面所成的角的大小為.(Ⅱ)證明:在四棱錐中,因底面,平面,故.由條件,,面.又面,.由,,可得.是的中點(diǎn),,.綜上得平面.(Ⅲ)解:過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連結(jié).由(Ⅱ)知,平面,在平面內(nèi)的射影是,則.因此是二面角的平面角.由已知,得.設(shè),得,,,.在中,,,則.在中,略22.(12分)已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(﹣1,1)內(nèi),對(duì)于任意的x,y∈(﹣1,1)有f(x)+f(y)=f(),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0.(1)判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和單調(diào)性,并加以證明;(2)若f(﹣)=1,求方程f(x)+=0的解.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷;函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明.【分析】(1)分別令x=y=0,求得f(0)=0,令y=﹣x,結(jié)合奇偶性定義即可判斷;再由單調(diào)性的定義,即可得到f(x)在區(qū)間(﹣1,1)內(nèi)是減函數(shù);(2)運(yùn)用奇函數(shù)的定義,可令y=x,結(jié)合單調(diào)性,可得方程=,即可得到方程的解.【解答】解:(1)令x=y=0,則f(0)=0,令y=﹣x,則f(x)+f(﹣x)=0,即f(﹣x)=﹣f(x),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).任取x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,則f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=f().﹣1<x1<x2<1,可得﹣1<x1x2<1,則<0,則f()>0,即f(x1)>f(x2).則f(x)在區(qū)間(﹣1,1)內(nèi)是
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