新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列綜合測(cè)評(píng)北師大版選擇性

第一章綜合測(cè)評(píng)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.[2023江西撫州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)]已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4a5=3a8,S3=39,則a4=()A.64 B.81 C.128 D.1922.[2023全國新高考卷Ⅰ,7]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:Snn為等差數(shù)列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3.已知等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,若a2a6=6,a3+a5=5,則a5a7=A.32 B.23 C.4.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a5=3,則log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=()A.5 B.7 C.9 D.115.[2023北京十四中校考期中]已知等比數(shù)列{an}的公比為q,則“q>1”是“anan+1<0”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要的條件6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2≥3,S5≤30,則a1的最小值是()A.1 B.0 C.1 D.27.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,(n+1)an=2nan+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是()A.an=n2n-1 B.C.an=n D.an=n8.[2023廣東廣州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)]已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2Sn=an2+1an(n∈A.a1=2B.a2021·a2022<1C.Sn=nD.1a1+1二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列{an}的公比q=23,等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=12,若a9>b9且a10>b10,則下列結(jié)論正確的有(A.a9a10<0 B.a9>a10 C.b10>0 D.b9>b1010.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N+),公差d≠0,S6=90,a7是a3與a9的等比中項(xiàng),則下列結(jié)論正確的是()A.a1=22B.d=2C.當(dāng)n=10或n=11時(shí),Sn取得最大值D.當(dāng)Sn>0時(shí),n的最大值為2011.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且2a1+3a3=S6,則下列結(jié)論正確的是()A.a10=0 B.S10最小C.S7=S12 D.S19=012.在數(shù)列{an}中,n∈N+,若an+2-an+1an+1A.k不可能為0B.等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”C.等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”D.“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=2n2n+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

14.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,且SnTn=7n+14n+2715.設(shè)f(x)=4x4x+2,可求得f12015+f22015+f32015+…+f20142015的值為.

16.已知數(shù)列{an}滿足an+an+2=2an+1,a2=8,a5=20,bn=2n+1+1,設(shè)數(shù)列{bnan}的前n項(xiàng)和為Sn,則a1=,Sn=四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在數(shù)列{an}中,a1=1,an=2an1+n2(n≥2).(1)證明:數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.18.(12分)[2023全國甲,理17]已知數(shù)列{an}中,a2=1,設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,2Sn=nan.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列an+12n的前n19.(12分)甲、乙兩物體分別從相距70米的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng).甲第1分鐘走2米,以后每分鐘比前1分鐘多走1米,乙每分鐘走5米.(1)甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇?(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返,甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1米,乙繼續(xù)每分鐘走5米,那么甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘第二次相遇?20.(12分)在等差數(shù)列{an}中,an=3n31,記bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前30項(xiàng)和.21.(12分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2Sn=an2+n4(n∈N+(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.22.(12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an是Sn與2的等差中項(xiàng).在等差數(shù)列{bn}中,b1=2,點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線y=x+2上.(1)求a1和a2的值;(2)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)cn=an·bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案第一章綜合測(cè)評(píng)1.B由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a4a5=a1a8=3a8,所以a1=3,由S3=39,得a1(1+q+q2)=39,所以q2+q12=0,解得q=3或q=4(舍去),所以a4=a1q3=81.故選B.2.C(充分性)若{an}為等差數(shù)列,設(shè)其首項(xiàng)為a1,公差為d,則Sn=na1+n(n-1)2d,則Snn=a1+n-12d=d(必要性)反之,若Snn為等差數(shù)列,設(shè)Snn=An+B,A≠0,則Sn=An2+Bn,a1=S當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=A(2n1)+B=2AnA+B.當(dāng)n=1時(shí)也符合上式,故an=2AnA+B,故{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的充要條件.故選C.3.A由{an}為等比數(shù)列,得a2a6=a3a5=6,又a3+a5=5,∴a3,a5為方程x25x+6=0的兩個(gè)根,解得a3=2,a5=3或a3=3,a5=2.由{an}為遞減數(shù)列得an>an+1,∴a3=3,a5=2,∴q2=a5a3=4.C∵在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a5=3,∴l(xiāng)og3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=log3(a1a2…a9)=log3a59=9log3a5=9log33=9.5.D如果q>1,比如q=2,a1=1,則an=2n1,an+1=2n,anan+1=2n1+2n=2n1>0,即不能推出anan+1<0,如果anan+1<0,an=a1qn1,an+1=a1qn,∴a1qn1(1q)<0,比如a1=1,q=12也滿足上式,即不能推出q>1,故選D6.B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2≥即2a1+2d則a1的最小值是0.故選B.7.B在數(shù)列{an}中,a1=1,(n+1)an=2nan+1,整理得an+1aan……a2所有的式子相乘得到anan-1·a所以an=n2n-1(a1也符合該式).故an=8.B當(dāng)n=1時(shí),2S1=a12+1a1,解得a1當(dāng)n≥2時(shí),因?yàn)镾nSn1=an,代入2Sn=an2Sn=(Sn-S所以{Sn2}是首項(xiàng)為S1所以Sn2=n,因?yàn)閍n>0,所以Sn=n所以Sn=n,Sn1=n-1(an=SnSn1=n-n-1,經(jīng)檢驗(yàn)所以an=n-對(duì)于B,a2021·a2022=12022+2021對(duì)于D,1a1+1a2+…+1an=11-0+12-1+…故選B.9.AD∵等比數(shù)列{an}的公比q=23,∴a9和a10異號(hào),即a9a10<0,但不能確定a9和a10的大小關(guān)系,故A正確,B不正確;∵a9和a10異號(hào),a9>b9且a10>b10,∴b9和b10中至少有一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù),又b1=12>0,∴d<0,∴b9>b10,b10一定是負(fù)數(shù),即b10<0,故C不正確,D正確.故選AD10.BCD因?yàn)镾6=90,所以6a1+6×52d=90,即2a1+5又因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng),所以a72=a3a所以(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d),整理得a1=10d, ②由①②解得a1=20,d=2,故A錯(cuò)誤,B正確;所以Sn=20n+n(n-1)2×(2)=n2+21n=n2122+4414,又n∈N*,所以當(dāng)n=令Sn=n2+21n>0,解得0<n<21,又n∈N*,所以n的最大值為20,故D正確.故選BCD.11.ACD因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,2a1+3a3=S6,即5a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=a10=0,故A正確;因?yàn)閍10=0,所以S9=S10,但是無法確定數(shù)列{an}的公差d的大小,故無法確定S10是最大值還是最小值,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閍8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S12=S7+a8+a9+a10+a11+a12=S7+0=S7,故C正確;S19=a1+a192×19=19a1012.AD由題意,an+1≠an,則an不為常數(shù)列,故A正確,B,C錯(cuò)誤;數(shù)列0,1,0,1,0,1,…,0,1是等差比數(shù)列,且有無數(shù)項(xiàng)為0,故D正確.故選AD.13.an=2,n=1,4n-3,n≥2由Sn=2n2n+1,可得當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=2n2n+1[2(n1)2(n1)+1]=4n3,當(dāng)n=則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=214.43因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an},{bn}中,SnTn=7n+115.1007∵f(x)=4x∴f(x)+f(1x)=4=4=4=4x+24故可得f12015+f22015+f32015+…+f20142015=f12015+f20142015+f22015+f20132015+…+f10072015+f10082015=1007×1=1007.16.42n+22n2n4∵數(shù)列{an}滿足an+an+2=2an+1,∴{an}為等差數(shù)列,設(shè){an}的公差為d,則a5=故an=4n.∴bnan=2n+1+14∴Sn=4(1-2n)1-2+n4·n(17.(1)證明因?yàn)閍n+∴數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)為a1+1=2,公比為2的等比數(shù)列,那么an+n=2·2n1=2n,即an=2nn.(2)解由(1)知an=2nn,Sn=(21+22+23+…+2n)(1+2+3+…+n)=2(1-2n)18.解(1)由題意可知,2Sn=nan,①當(dāng)n≥2時(shí),2Sn1=(n1)an1,②①②得2an=nan(n1)an1,∴(n1)an1=(n2)an.(方法一:構(gòu)造數(shù)列)當(dāng)n≥3時(shí),an當(dāng)n=2時(shí),ann-1=a2=1,∴an=n1(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1,a1=0,滿足上式,∴an=n1(n∈(方法二:累乘法)由2Sn=nan可知,當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1,a1=0,a2=1,anan-1=n-1n-2,∴an=an顯然a1=0滿足,∴an=n1(n∈N+).(2)由(1)可知an=n1(n∈N+),∴an+1=n,∴an+12n∴Tn=1×121+2×122+3×123+12Tn=1×122+2×123+…+(n1)·1③④得,12Tn=121-∴Tn=2(2+n)·1219.解(1)設(shè)開始運(yùn)動(dòng)n分鐘后相遇,依題意,有2n+n(n-1)2+5n=70,整理,得n2解得n=7,n=20(舍去).故甲、乙兩物體開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘相遇.(2)設(shè)開始運(yùn)動(dòng)m分鐘后第2次相遇,依題意,有2m+m(m-1)2+5m=3×70,整理,得m2+13m420=故甲、乙兩物體開始運(yùn)動(dòng)后15分鐘第二次相遇.20.解由an=3n31,可得a1=28,公差d=3,{an}的前n項(xiàng)和Sn=28n+12n(n1)·3=32n2當(dāng)1≤n≤10時(shí),an<0,當(dāng)n≥11時(shí),an>0,則數(shù)列{bn}的前30項(xiàng)和為S30S10S10=32×302592×302×32×102592×10=21.(1)證明當(dāng)n=1時(shí),有2a1=a12即a122a13=0,解得a1=3(a1=當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn1=an-又2Sn=an2+n4,兩式相減得2an=a即an22an+1=an-12,即(a因此an1=an1或an1=an1.若an1=an1,即an+an1=1.則有當(dāng)a1=3時(shí),a2=2,這與數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)相矛盾,所以an1=an1,即anan1=1,因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(2)解由(1)知a1=3,d=1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3+(n1)×1=n+2,故Sn=n222.解(1)由2an=Sn+2,得2a1=S1+2,即2a1=a1+2,解得a1=2.同理得2a2=S2+2,即2a2=a1+a2+2,解得a2=4.(2)由2an=Sn+2,得2an1=Sn1+2(n≥2),兩式相減,得2an2an1=SnSn