2024高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：810 與球有關(guān)的切、接問(wèn)題(解析版)

8.10與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

研究與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體、旋轉(zhuǎn)體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的幾何性質(zhì)，要特

別注意多面體、旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)槌是確定球

心.

知識(shí)點(diǎn)一；正方體、長(zhǎng)方體外接球

1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半.

2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半.

3、補(bǔ)成長(zhǎng)方體

（I）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示.

（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示.

PA

(3)正四面體可以補(bǔ)形為正方體旦正方體的棱長(zhǎng)如圖3所示.

（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示

圖I圖2圖3圖4

知識(shí)點(diǎn)二：正四面體外接球

如圖，設(shè)正四面體ABC。的的棱長(zhǎng)為“，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為也〃，顯然正四面體

2

和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為R=@。?且=在。，即正四面體外接球半徑為R=

2244

知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球

四面體A3CO中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可

以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題.

22

b+C=加222

如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為貝IJ片十°2=〃2,三式相力口可得/+從+。2=竺士工",

,，2

a~+b~=r

Im2+n2+7

而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為R,則/+6+C2=4R2,所以/?=

知識(shí)點(diǎn)四：直棱柱外接球

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

第一步：確定球心O的位置，。是A48C的外心，則Oq_L平面A8C；

第二步：算出小圓01的半徑AQ=r，OO=-A4,=-h（.44=/?也是圓柱的高）；

X22

第三步：勾股定理：。42=0.+002=R2=g）2+/=尺=卜+解出R

知識(shí)點(diǎn)五：直棱錐外接球

如圖，E4J_平面ABC,求外接球半徑.

解題步驟：

第一步：將AABC畫(huà)在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑A。，連接孔＞,則叨必

過(guò)球心0；

第二步：01為A4BC的外心，所以0?_L平面ABC,算出小圓01的半徑?。二一(三角形的外接圓直徑

算法：利用正弦定理，得三=3=三=2廠)，如：

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①RR/=P*+(2rfo2里=+(2/接

@R2=r2+()0；。R=M+OO：.

知識(shí)點(diǎn)六：正棱錐外接球

正棱錐外接球半徑：R=不”?.

由此推廣：側(cè)棱相等的錐體外接球半徑：=

2/1

知識(shí)點(diǎn)七：垂面模型外接球

如圖I所示為四面體P-A8C,已知平面，平面ABC,其外接球問(wèn)題的步驟如下:

(1)找出△PA8和AABC的外接圓圓心，分別記為01和01.

(2)分別過(guò)。1和。［作平面尸A8和平面ABC的垂線(xiàn)，其交點(diǎn)為球心，記為O.

(3)過(guò)01作A8的垂線(xiàn)，垂足記為O,連接。則0/_LA8.

(4)在四棱錐A-。。。。？中，AO垂直于平面。。0。2,如圖2所示,底面四邊形。0。0二的四個(gè)頂

點(diǎn)共圓目03為該圓的直徑.

AA

圖1圖2

知識(shí)點(diǎn)八：錐體內(nèi)切球

3V

方法：等體積法，即R

s表面積

典型例題分析

考向一外接球

角度1補(bǔ)形法一存在側(cè)棱與底面垂直

例1已知三棱錐P-ABC中，B4,PB,尸C兩兩垂直，且以=1,尸8=2,戶(hù)。=3,則三棱錐

P-ABC的外接球的表面積為()

A.耳&B.14兀

c.56兀D.qiz花

答案B

解析以線(xiàn)段以，PB,PC為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體以88—C4PC被平面ABC所戰(zhàn)的三棱錐

P—A8c符合要求，如圖，長(zhǎng)方體％8歸一CAPC與三棱錐尸一ABC有相同的外接球，其外接

球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)pp,

A'

設(shè)外接球的半徑為R,

WJ(2/<)2=PP,2=PA2PB2+PC2=l2+22+32=14,

則所求球的表面積S=4兀R2=Jt(2/?)2=14兀

角度2補(bǔ)形法——對(duì)棱相等

例2已知棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為()

C霖D.金

答案A

解析如圖將棱長(zhǎng)為1的正四面體Bi-ACDi放入正方體ABCD—AiBGOi中，且正方體的棱

歷

長(zhǎng)為1Xcos45°=2?

所以正方體外接球的體積為我3=%X(乎?邛兀,

因?yàn)檎拿骟w的外接球即為正方體的外接球，

.[2

所以正四面體的外接球的體積為七兀

感悟提升補(bǔ)形法的解題策略

(1)側(cè)面為直角三角形或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以放到正方體或長(zhǎng)方體中去求解;

（2）直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.

角度3截面法

例3（2021?全國(guó)甲卷）已知4,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_LBC,AC=

8c=1,則三棱錐O—43C的體積為（）

A亞B近

A，12012

C應(yīng)D也

。4u'4

答案A

解析如圖所示，因?yàn)锳C_L8C所以A8為截面圓Oi的直徑，且AB=也.連接OOi,

則。0」平面48C,00尸0M—（野=AJ1一?！?乎,

所以三棱錐0—A3C的體積V=ls“5u00i=《X；X1X1乂孚=嚕.

JJJJ14

感悟提升與球截面有關(guān)的解題策略

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的

距離相等且為半徑；

⑵作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的.

角度4定義法

例4（2023?德州質(zhì)檢）已知四棱錐P-A8C。的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，其各個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上,

AB—BC,乙48。一90。，AD—20CD—2,三棱錐P一八8C的體積為學(xué)則球O的表面積為

（）

A.25兀

…八一64巾71

C.J2HD.一—

答案A

解析如圖，設(shè)點(diǎn)〃在底面的射影為〃,

p

???四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，

:,HA=HB=HC=HD,

：.AtB,C,。四點(diǎn)共圓.

?；AB=BC,ZABC=90\：.ZADC=90°.

??,AO=2小，CD=29

???AC=4,:.AB=BC=2也

???三棱錐P-ABC的體積為與，

??^SMBCPH=^9PH=4,

設(shè)球。的半徑為R,???(4-R)2+22=R2,

解得R=9，則球。的表面積S=4兀R2=25兀.故選A.

感悟提升到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找

其垂線(xiàn)，則球心一定在垂線(xiàn)上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

訓(xùn)練1(1)(2023?河南頂級(jí)名校聯(lián)考)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O\上，該四面體各棱

長(zhǎng)都相等，如圖①.正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為4的球。2上，如圖②.八面體的六個(gè)頂點(diǎn)都

在半徑為R3的球。3上，該八面體各棱長(zhǎng)都相等，四邊形A8CQ是正方形，如圖③.設(shè)四面體、

正方體、八面體的表面積分別為S4,So,S8.若Ri：&：R3=?。好祝阂玻瑒t()

A.S8>S4>S6BS=S8>S6

C.S4=S6Vs8D.S4=S（）=Ss

答案D

解析設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為由，如圖正四面體內(nèi)接于棱長(zhǎng)為限的正方體內(nèi),

則易求照=竽。4,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為46,則2&=仍。6,

2

〃6=-75",Sb~6尿=8R?；

設(shè)八面體的棱長(zhǎng)為。8,其外接球球心為AC的中點(diǎn)，則痣=地弋,

???S8=8X小加=44欣

〈Ri:Ri：R3=S:/：也，

，沒(méi)Ri=V§凡R2=%R,Ri=y[2R,

???S4=S6=58=8小足故選D.

(2)(2023?天津模擬)已知三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該

棱柱的體積為仍，AB=2,AC=I,ZBAC=60°,則外接球的表面積為.

答案8兀

解析由AB=2,AC=1,N5AC=6()。及余弦定理可得

BC=\IAB2-\~AC2-2ABACCO^60°=yj4+1-2X2X1X1=A/3,

所以AC2+BC2=AB2,NAC5=90。，

所以底面外接圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn).

設(shè)aABC的外接圓半徑為r,

則L竽=1.

??/3

又S"8C=5BCAC=5X^5X1=ry,

乙乙乙

所以V住=5"班"141所以AAi=2,

因?yàn)槿庵鵄BC—AIBIG的側(cè)棱垂直于底面，

設(shè)其外接球的半徑為R,則R2=，+（等）=[2+[2=2,

所以外接球的表面積5=4成2=4花X2=8兀

考向二內(nèi)切球

例5（2023?江西大聯(lián)考）己知四面體SABC的所有棱長(zhǎng)為2小，球Oi是其內(nèi)切球.若在該四面體

中再放入一個(gè)球。2,使其與平面SA8,平面SBC,平面SAC以及球Oi均相切，則球。2與球

Oi的半徑比值為（）

A坐

B4

c4D.5

答案D

解析如圖，設(shè)S在平面A3C內(nèi)的射影為O,凡為球Oi的半徑，&為球02的半徑，F(xiàn),H分

別為球。，球02與側(cè)面S3。的切點(diǎn).

在RtZXSA。中，該四面體的高

2

2

和X

h=SO=\ISA2-AO2-

又四面體的表面積S=4X坐X（2，5）2=12小，

則=?X解得Hi=R",

^HO2_S°2小R2_h—2R\-R2

由西一SOJ日后一h-R\-，

即華=2小一

*2啦—呼

解得R2=乎，故缶=3.故選D.

感悟提升“切”的問(wèn)題處理規(guī)律

⑴找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作過(guò)球心的截面來(lái)解決.

（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的常用方法.

訓(xùn)練2（2023?南京調(diào)研）已知正方形A8CZ）的邊長(zhǎng)為2,￡為邊A8的中點(diǎn)，”為邊BC的中點(diǎn),

將△AEO,△OCRABEF分別沿DE,DF,七尸折起，使A,B,。三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,則三棱

錐P-DE/的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為（）

A.6B.12

C.24D.30

答案C

解析如圖①，依題意可知4Q_LAE,CD1CF,BELBF,

所以PFLPD,PELPF,如圖②.

所以在三棱錐P-DEF中，PD,PE,P尸兩兩垂直，且PE=P"=1,PD=2,

所以三棱錐夕一。七尸的外接球即為以PO,PE,。尸為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，

所以三棱錐P-DEF的外接球半徑R滿(mǎn)足

_______[2

2R=y/1+1+4=a,所以/?=勺，

則其外接球的表面積為4兀尸=6兀.

因?yàn)槿忮FP-DEF的表面積為正方形A8CZ）的面積，

所以S表=2X2=4,IX1X2=1.

設(shè)三棱錐P-OEb的內(nèi)切球的半徑為r,

所以由;S表?r=Vp-DEF,解得，?=；,

所以?xún)?nèi)切球的表面積為4兀，=；,

所以三棱錐尸一。七尸的外接球與內(nèi)切球的表面積比值為3=24.故選C.

兀

BFC

考向三雙半徑單交線(xiàn)公式

若相互垂直的兩凸多邊形的外接圓半徑分別為4，足,兩外接圓公共弦長(zhǎng)為/,則由兩凸多邊

形頂點(diǎn)連接而成的幾何體的外接球半徑：R=[居+g

例6（2023?河南適應(yīng)性測(cè)試）已知三棱錐P—ABC,△A8C是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，PA=PB

=a,且平面%8J_平面ABC若三棱錐P-4BC的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為竽的球面上，則。

答案號(hào)或小

解析法一如圖，取A8的中點(diǎn)為。，連接產(chǎn)。，CD,

pE

6

/，o;--一

B

因?yàn)镻A=PB=a,

所以尸

因?yàn)槠矫?81.平面ABC,平面以BA平面A8C=AB,PDu平面aB,

所以PO_L平面ABC,

同理得CDJ_平面PAB.

設(shè)點(diǎn)O\為等邊△ABC的外心，過(guò)點(diǎn)O\作OiE//PD,

則OiE_L平面ABC,

易將直線(xiàn)O歸上任意一點(diǎn)到4,B,。二點(diǎn)的距離相等.

設(shè)。2為△雨8的外心，則。2在直線(xiàn)PD上，

過(guò)點(diǎn)。2作。2。〃。。，交0止于點(diǎn)0,

則點(diǎn)。為三棱錐P-ABC外接球的球心，

因?yàn)锳ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,

所以48=2S，

又如=P5=a,

2

所以PD=yja-39

PDylcr—3

sinZ.PBD=~pg=0

設(shè)△物8的外接圓的半徑為八

I^A〃2

則由正弦定理，得2r=~~/0R/)=/),

sm/PBON〃2—3

22

則尸靖方即。步=武。

L/^_一屆一61

所以O(shè)2D=r2k、戶(hù)?

易知四邊形00|。。2為矩形,

所以。。1=。2。=卷罟.

657c

由題意可知三棱錐P—ABC外接球的表面積為4，

65兀

設(shè)該外接球的半徑為R,則所改=4，

所以R=呼.

V65

連接0C,貝1JOC=4，

易得OiC=2小X坐x1=2.

在RtZXOOi。中，。0彳+。1。2=。。2,

整逑得4/—49/+147=0,

21

解得層=年或足=7,

所以a=嗎^或a=市.

（注：仿照此解法，可推導(dǎo)出雙半徑單交線(xiàn)公式）

法二如圖，取48的中點(diǎn)為。，連接PQ,CD,

因?yàn)镻A=PB=a,

所以PDLAB.

因?yàn)槠矫?8_1_平面ABC,

平面布8A平面A3C=A&PDu平面出&

所以PO_L平面A8C.

同理得CO_L平面以及

設(shè)點(diǎn)Oi為等邊△ABC的外心，過(guò)點(diǎn)Oi作

O\E//PDf

則OiE_L平面ABC,易得直線(xiàn)。力上任意一點(diǎn)到A,B,。三點(diǎn)的距離相等，

即三棱錐P-ABC外接球的球心0在直線(xiàn)。石上.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB,DC,QP所在直線(xiàn)分別為x,），，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

所以CQ=2#X乎=3,（?iC=1cD=2,OiO=；CQ=l,

又必=PB=a,

所以。＞小，PD=yla2-3,

則P((),(),或2—3),C((),3,0).

由題意可知三棱錐P—A8C外接球的表面積為竽,

設(shè)該外接球的半徑為R,則4工巾=等,

所以R=華.

設(shè)。(0,1,z),連接OP,OC,則。P=OC=R,

5晅

即5+（亞-J）2=點(diǎn)可

z—4，

解得a=等或a=幣.

法三（雙半徑單交線(xiàn)公式）設(shè)△A8C的外接圓半徑為4,

由正弦定理得2凡=翁=4,故凡=2.

2

如圖，在△%B中，Q是48的中點(diǎn),

易知sinNB43=^匚(〃＞小),

設(shè)△附8外接圓的半徑為&,

由正弦定理，得2H2=/\==

y/a-3y/a~—3

a

即R2=

2。yja~—3

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

則4兀/昨華，故N端，

且平面%BG平面ABC=AB,

/2

由雙半徑單交線(xiàn)公式得收=用+虺一：,

艮哈4+4（工3）T，

化簡(jiǎn)得4/49a2I147=0,

解得。=挈或。=市.

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題

1.若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（）

A.3^:1B.5:1C.575:1D.6:1

【答案】C

【分析】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為。，由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征確定正三棱柱的高，再計(jì)算出其外接

球的半徑，進(jìn)而由體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為。，則正三棱柱的內(nèi)切球半徑等于正三角形的內(nèi)切圓半

徑，則內(nèi)切球的半徑加=走〃，正三棱柱的高。=2%=

63

設(shè)正三角形的外接圓半徑為R,易得R=@

3

2.三棱錐S-A3C中，S4_L平面48C,ABIBC,SA=AB=I3C.過(guò)點(diǎn)A分別作4E_LSB,AF工SC交

SB、SC于點(diǎn)區(qū)/，記三棱錐S-R1E的外接球表面積為E，三棱錐S-A8C的外接球表面積為反，則今=

D.1

【答案】B

【分析】取SA的中點(diǎn)。1，SC的中點(diǎn)。2,連。七，OF，02Af。28,證明3是三棱錐S-ABC的外接球

的球心，SC為該球的直徑；。1是三棱錐S-E4E的外接球的球心，SA為該球的直徑，設(shè)SA=AB=8C=〃,

求出SC,根據(jù)球的表面積公式可求出結(jié)果.

【詳解】取SA的中點(diǎn)a,SC的中點(diǎn)Q，連?；?，OF,?！?02B,

因?yàn)镾AJ_平面ABC,A及8cACu平面ABC,所以SA14B,SA1BC,SA1AC,

因?yàn)镾AcA8=A,SA’ABu'K面SAB,所以8c工平面SAB,

因?yàn)镾3u平面SA8,所以4C_LS,

在直角三角形SAC中，。2是斜邊SC的中點(diǎn)，所以02A=。25=。2。，

在直角三角形SBC中，。2是斜邊SC的中點(diǎn)，所以o/=O2S=qc,

所以02是三棱錐S-ABC的外接球的球心，SC為該球的直徑.

因?yàn)锳E_LS8,。|是斜邊SA的中點(diǎn)，所以?E=O]A=O1S,

因?yàn)锳f^SC,。是斜邊SA的中點(diǎn)，所以?尸=。狀=。尸，

所以a是三棱錐的外接球的球心，SA為該球的直徑.

設(shè)叢=A4=4C=。，則SC=JS*+4B2+BC2=&，

則5]=4兀,（B）2=兀，S?=4兀?=4兀=3/冗，

故選:B.

3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接

球與內(nèi)切球的研究.其中的一些研究思想啟發(fā)著后來(lái)者的研究方向.已知正四棱錐P-A8CD的外接球半燃

R

為R,內(nèi)切球半徑為「，且兩球球心重合，則一二()

v

A.2B.1+>/2C.2+&D.2a

【答案】B

【分析】正四楂錐的外接球和內(nèi)接球球心重合，說(shuō)明其結(jié)構(gòu)特殊，找出結(jié)構(gòu)的特殊性，再計(jì)算.

設(shè)底面正方形A8CO的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2a,高為h,,正方形的中心為。，外接球的球心為0',

,22?22

貝I」有/?=〃-R即R=/?-r,在中，r2=R2-a~=(h-r)-a2,:.r=-———①，R=h-r=1+a-

''2h2h

②，

以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如上圖,

則有0(0,0/),尸(O,O/),C3O,O),D(OMO),C0=(-aM,O),PC=3O,-/i),PO=(0,0,-/1),

m-CD=0-ar+ay=0

設(shè)平面PC。的一個(gè)法向量為〃?=（x,y,z）,則有

m-PC=0ax-hz=0

令z=a,則x=/?,y=,

設(shè)向量PO與平面PCD的夾角為夕，貝ijsin。一

球心0到平面尸8的距離)=POSin"&二,二(/「「)/:,

，2//+a“yJ2lr+a-

眩-1

2h

ahahfr-a_(T___人

r=?un--

,,，由①得----1,=——即/「一^③，

2

a+\l2lr+a-a+yJ2h~+a2h片2/L+I與

故設(shè)/=4,則③可整理成C+1=(產(chǎn)-1)J2r+1,兩動(dòng)平方得廣―力2_]=。，./=g+]

由①②得四="￡=￡==&+】；

rh--a~C-1

故選：B.

4.若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外套球和內(nèi)切球的表面積的比值為（）

A.2:1B.3:2C.7:3D.7:4

【答案】C

【分析】正六棱柱有內(nèi)切球，則。到每個(gè)面的距離相等，即oa=a。，可求內(nèi)切球的半徑，根據(jù)

0A2=OO：+aA?可求外接球的半徑，代入球的面積公式計(jì)算.

【詳解】如圖：a，。?分別為底面中心，。為的中點(diǎn)，。為人4的中點(diǎn)

設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2

若正六棱柱有內(nèi)切球，則。?=。。=百，即內(nèi)切球的半徑r=6

042=（叫2+。42=7,即外接球的半徑R="

則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為4兀叱：4兀，=/：產(chǎn)=7:3

故選:C.

B

二、多選題

5.用一個(gè)平面去截棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A4CA，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若該平面過(guò)點(diǎn)AC4，則截面的周長(zhǎng)為6

B.若該平面過(guò)點(diǎn)4C，片，則截得的兩個(gè)幾何體的外接球體積相等

C.若該平面過(guò)點(diǎn)AD4,則栽得的兩個(gè)幾何體的表面積均為3+&

D.若該平面過(guò)點(diǎn)D片，則其截正方體ABC。-AgG。的外接球所得的截面面積不是定值

【答案】BC

【分析】作出過(guò)點(diǎn)A,C,4的截面直接計(jì)算可判斷A：分析兩個(gè)幾何體的外接球和正方體的外接球的關(guān)系可

判斷B；直接計(jì)算兩個(gè)幾何體的表面積可?判斷C；由過(guò)。，片的截面過(guò)正方體外接球的球心可判斷D.

【詳解】若該平面過(guò)點(diǎn)AC%,則截面為正三角形AC耳，其邊長(zhǎng)為友,則截面的周長(zhǎng)為371A錯(cuò)誤；

若該平面過(guò)點(diǎn)ACq,則截得的兩個(gè)幾何體的外接球均為正方體ABC。-A4GA的外接球，

故外接球體積相等，B正確；

當(dāng)該平面過(guò)點(diǎn)4D用時(shí)，截面為A81G。，則截得的兩個(gè)幾何體為相同的三棱柱，

且三棱柱的表面積均為2xl2+2x：xl2+]x拒=3+x/5,C正確；

若該平面過(guò)點(diǎn)。，用，則其過(guò)正方體ABC。-A,用G"的外接球球心，

所以截面面積是定值，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

6.下列關(guān)于三棱柱ABC-A&G的命題，正確的是（）

A.任意直三棱柱ABC-4蜴G均有外接球

B.任意直三棱柱/WC-ABG均有內(nèi)切球

C.若正三棱柱A4C-A4G有一個(gè)半徑為1的內(nèi)切球，則該三棱柱的體積為66

D.若直三棱柱4801的外接球球心在一個(gè)側(cè)面上，則該三棱柱的底面是直角三角形

【答案】ACD

【分析】根據(jù)外接球的特征可知，連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線(xiàn)段的中點(diǎn)。到直三棱柱各個(gè)頂

點(diǎn)的距離相等，即為外接球球心，從而判斷A；根據(jù)內(nèi)切球的特征可知，直三棱柱底面內(nèi)切圓半徑需為直三

棱柱高的一半，即可判斷B；根據(jù)正三棱柱內(nèi)切球半徑可求得正三棱柱的高和底面正三角形邊長(zhǎng)，代入棱柱

體積公式，即可判斷C：由球心在底面的射影為底面三角形一條邊的中點(diǎn)，且到三角形各個(gè)頂點(diǎn)距離相等，

即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,取連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線(xiàn)段的中點(diǎn)。，

則點(diǎn)。到直三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)的距離均為,其中廣為底面三角形外接圓半徑，為直三棱柱的高,

.??點(diǎn)。即為直三棱柱的外接球球心，A正確；

對(duì)于B,若直三棱柱有內(nèi)切球，則其高等于直徑，底面內(nèi)切圓半徑等于內(nèi)切球半徑，

即底面內(nèi)切圓半徑需為直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若正三棱柱的內(nèi)切球半徑為1,則正三楂柱的高為2,底面正三角形的高為3,

設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為。，則加一號(hào)=3,解得：a=2也，

「?該正三棱柱的體積V=gx（2可乂爭(zhēng)2=66，C正確；

對(duì)FD,若外接球球心在直三棱柱的側(cè)面上，則球心為該側(cè)面的中心，其到底面三角形各頂點(diǎn)的距離相等，

???球心在底面上的射影到底面三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離也相等，

又側(cè)面中心在底面的投影在底面三角形的一條邊上，

該投影為底面三角形一條邊的中點(diǎn)，且到另一頂點(diǎn)的距離為該邊長(zhǎng)的一半，

.??該底面三角形為直角三角形，D正確.

故選：ACD.

7.如圖是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，圓錐的底面和圓柱的上底面完全重合且圓錐的高度是圓柱高度的

一半，若該組合體外接球的半徑為2,則（）

A.圓錐的底面半徑為1

B.圓柱的體積是外接球體積的四分之三

C.該組合體的外接球表面積與圓柱底面面積的比值為16:3

D.圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半

【答案】CD

【分析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為尸，圓柱上下底面的圓心分別為。1，。2,的中點(diǎn)為。，設(shè)圓錐的高為「。產(chǎn)九，

h+h=2

圓柱的高為。。2=2力，圓柱的上下底面圓半徑為「，由題意可得，/）2,解出力和「的值，進(jìn)而結(jié)合圓

柱、圓錐和球體的面積和體積公式求解各選項(xiàng)即可.

【詳解】如圖，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為P，圓柱上下底面的圓心分別為。1，。2，的中點(diǎn)為0,

由題意，設(shè)圓錐的高為尸。尸4,閱柱的高為002=2力，圓柱的上下底面圓半徑為

,h+h=2L

則，.2個(gè),,解得力=1，r=73?故A錯(cuò)誤；

產(chǎn)+h~=2-

圓柱的體不只為%柱=兀x3x2=6兀，

A70

外接球體積為/=：兀X2,=守，

9

則%柱二正/，故B錯(cuò)誤；

圓柱底面面積為5底=冗x3=3兀，

外接球表面積S球=4兀x2?=16兀，

則S球:黑=16兀：3兀=16:3,故C正確；

圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為J(V3)2+12=2,

所以圓錐的側(cè)面積為gx2兀XJ5X2=2J5TT,

圓柱側(cè)面積為2X2TTXG=4G兀，

所以圓錐的側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的一半，故D正確.

故選：CD.

8.如圖，在正方體ABC。-48cA中，E、尸分別是42、CQ的中點(diǎn)，G為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),

則下列結(jié)論中正確的是()

A.存在點(diǎn)G使得宜.線(xiàn)8。團(tuán)平面EFG

B.存在點(diǎn)G使得直線(xiàn)AB與EG所成角為45°

C.G為8c的中點(diǎn)時(shí)和G、C重合時(shí)的三棱錐G-E/。的外接球體枳相等

D.當(dāng)G與B重合時(shí)三棱錐G-EF。的外接球體積最大

【答案】BCD

UUUULM1

【分析】AB選項(xiàng)，建立空間直角竺標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表達(dá)出4G=24CnG(-242-240),/IG[0,1],

利用空間向量驗(yàn)證是否存在點(diǎn)G使得線(xiàn)面垂直和異面直線(xiàn)夾角；CD選項(xiàng)，找到球心的位置，設(shè)出球心的坐

標(biāo)。(0,—l,m),利用半徑相等，得至lJ-4&〃2=8/l2—12義=83—：一:，由義目0,1］得到me。提上，從

Io

而得到〃2=0時(shí)，|O吁取最大值，即外接球半徑最大，此時(shí)4=0,即G與4重合，故D正確；當(dāng)G為BC

中點(diǎn)和當(dāng)G與。重合時(shí)，用相等.故外接球半徑相等，體積相等.

【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為2&，如圖，以底面中心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

E(1,-1,2V2),D(0,-2,0),F(-l,-L2>/2),

UIM1UUUUUU

30=(0,-4,0),BG=2BC=>G(-22,2-2A,0),>ie[0,l].

EG=(-2A-l,3-22,-2x/2),EF=(-2,0,0),

UIWuuu

A選項(xiàng)；顯然，BD-EF=(0,-4,01(-2,0,0)=0,故皿_LM,

若平面EfGEG在面EFG內(nèi)，則8￡>_LEG,

uuouun3

而B(niǎo)/>￡G=-4x(3—2X)=0=/l=12[0,l],A錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)；當(dāng)G為8c中點(diǎn)時(shí)，￡G=(-2,2,-2>/2),

(-220).卜2,2,-2&)_8「拉

故cos(AB,EG)=]ABEG

AB\-\EG74+4x74+4+8~2y/2x4~2'

故直線(xiàn)A8與EG所成角為45。，結(jié)論成B正確.

對(duì)于C、D選項(xiàng)；球心。必在過(guò)E"中點(diǎn)。2,且與平面EFR垂直的直線(xiàn)上，

ULUU

設(shè)。(0,-1,同,G在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OG=(-22,2-2A,0)-(0,-l,m)=(-22,3-22,-m),

OT=(l,-l,2>/2)-(0,-k/?7)=(l,0,2V2-7H),

故=8A2-12/l+w2+9,|O￡|2=W2-4>/2W+9,

由=|0目2可得_4也加=8萬(wàn)一124=8%一（）-共［。，1］，

故當(dāng)4=4時(shí)，-4a機(jī)取得最小值，為-2,當(dāng)2=0時(shí)，-46”取得最大值，最大值為0,

42

故Tamw一苫,0,0/MG|（），2⑸，

2J|_16

|O￡|2=m2-4"??+9=（〃?一2夜）一+1,

回/〃=0時(shí)，|0同2取最大值，即外接球半徑最大，此時(shí)2=0,即G與8重合，故D正確；

當(dāng)G為BC中點(diǎn)時(shí)，4=!，〃?=也；當(dāng)G與C重合時(shí)，2=1,m=—.

222

故外接球是同一個(gè)外接球，C正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對(duì)于外切的

問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的

距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線(xiàn)段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股

定理求得球的半徑或建立空間直角坐標(biāo)系，利用半徑相等，利用空間向量列出方程，求出半徑.

9.正方體A8CO-A&CQ的棱長(zhǎng)為2,。為底面ABC。的中心.P為線(xiàn)段AQ上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）,

則（）

A.不存在點(diǎn)P,使得3a〃平面4Po

B.正方體48CO-AAGA的外接球表面積為12兀

C.存在P點(diǎn)，使得尸OJ.AO

D.當(dāng)P為線(xiàn)段A4中點(diǎn)時(shí)，過(guò)A,P,。三點(diǎn)的平面截此正方體ABC。-A4cA外接球所得的截面的

面積為w兀

【答案】ABD

【分析】利用反證法，由此判斷A；求正方體的外接球的半徑，結(jié)合球的體積公式判斷B；根據(jù)勾股定理判

斷C；根據(jù)球的截面性質(zhì)判斷D.

【詳解】假設(shè)存在點(diǎn)P，使得BG〃平面APO,

在8c上取點(diǎn)Q,使得=乂F，

所以四邊形A4QP為平行四邊形,

所以A4〃PQ，A4=PQ，又AB\”AB，AB『AB

所以四邊形48。。為平行四邊形，枇BQMAP,

又BQ<Z平面APO,人尸u平面APO,

所以3Q〃平面APO,又3G〃平面APO,BCJBQ=B,Bq,BQu平面BCC罔,

所以平面APO//平面8CC隹，與三知矛盾，

所以不存在點(diǎn)P，使得BG〃平面APO,A正確；

正方體的外接球的球心為3。的中點(diǎn)，外接球的半徑/?=6,

所以正方體ABCD-48CR的外接球表面積S=4成2=12兀，B正確；

假設(shè)存在。點(diǎn)，使得PO_LA。，在線(xiàn)段A。上取點(diǎn)《使得A《=AP,

設(shè)則A尸=+/,^6=^X2+2-2X/2-XCOS^,尸0=收一2多+6,

因?yàn)槭琌_LAO,所以A尸=。。2+人。2,

所以4+/=/一21+6+2,解得、=2,與已知矛盾：C錯(cuò)誤；

取GA的中點(diǎn)E,因?yàn)镻為線(xiàn)段AA中點(diǎn)時(shí)，連接PE交與點(diǎn)F,

所以P￡〃AG，又AC〃AG，

所以PE"AC,故過(guò)4,P,。三點(diǎn)的平面為平面AC",

取8Q的中點(diǎn)。一過(guò)01作a"J_F。，垂足為“，

又AC_L平面86QD,01”u平面88QQ,所以Q"_LAC,

FOr>AC=O,bO,ACu平面4CKP,所以?平面ACEP,

過(guò)球心。2作則。2〃1平面ACEP,

所以正方體ABC。-A6的外接球的球心到截面ACE尸的距離為。2■的長(zhǎng),

又0、F=專(zhuān),00\=2產(chǎn)0=當(dāng),O.FOO^O.HFO

2|

所以。i"=W，因?yàn)椤?為。。的中點(diǎn)，所以O(shè)?H=w，

故截面圓的半徑為小一（3=與，

所以截面圓的面積S=7rx?=?兀，D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題為立體幾何綜合問(wèn)題，考查面面平行的證明，正方體的外接球，求得截面問(wèn)題，解決球的截

面問(wèn)題的關(guān)鍵在于合理使用球的截面的性質(zhì).

10.七面體MN-人86中，A8C。為正方形且邊長(zhǎng)為2,M8,N。都與平面A8CZ）垂直，且MB=ND=h,則

對(duì)這個(gè)多面體描述正確的是（）

A.當(dāng)〃=1時(shí)，它有外接球，且其半徑為］3

B.當(dāng)〃=2時(shí)，它有外接球，且其半徑為石

C.當(dāng)它有內(nèi)切球時(shí)，h=2

D.當(dāng)它有內(nèi)切球時(shí)，/?=4

【答案】ABD

【分析】以A8CD為底面作長(zhǎng)方體4BCQ一尸MQN,計(jì)算/?=1,/?=2時(shí)外接球半徑，得到AB正確；設(shè)

CHOF

O〃_LA￡垂足為”，根據(jù)相似得到々=4,計(jì)算得到C假D真，得到答案.

AFAE

【詳解】以"CD為底面作長(zhǎng)方體A8C力-PMQN,則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球即為多面體肋V-4BC/）的外接球,

22

當(dāng)力=2時(shí)外接球半徑為也三運(yùn)=6,故AB均為真命題；

2

設(shè)E，”分別為MM4C中點(diǎn)，若這個(gè)多面體有內(nèi)切球，則其球心。必在E/上，且半徑為,?=1.

OHOE

設(shè)。"J.AE垂足為〃，則由器=等，可得正1=赤/1-=1，可得。=4,故C假D真.

綜上，本題答案為ABD.

故選：ABD

11.已知圓錐OP的底面半徑r=右，側(cè)面積為6花，內(nèi)切球的球心為?！饨忧虻那蛐臑槔瑒t下列說(shuō)法

正確的是()

B.設(shè)內(nèi)切球。1的半徑為心外接球。2的半徑為弓，則弓=2q

C.過(guò)點(diǎn)P作平面。截留錐OP的截面面積的最大值為2

D.設(shè)母線(xiàn)P8中點(diǎn)為M,從A點(diǎn)沿圓錐表面到M的最近路線(xiàn)長(zhǎng)為加

【答案】ABD

【分析】易知，圓錐軸截面為等邊三角形，該三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓的半徑即為圓錐OP的內(nèi)

切球半徑和外接球半徑，求出即可判斷A、B項(xiàng)；由jRW為等邊三角形，可知過(guò)點(diǎn)尸作平面a截圓錐OP

的橫面中，面積最大的截面即為PAB,即可判斷C項(xiàng)；將圓錐測(cè)面沿4處剪開(kāi)，連結(jié)AM即為最小值，可

得到D項(xiàng).

【詳解】設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為/，側(cè)面積為?！鄙?6兀，所以/=26.

所以/=2-，二E4月為等邊三角形.

則圓錐的軸截面二A4A的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球的半徑，其外接圓的半徑為圓錐外接球的半徑，如圖1

設(shè)內(nèi)切球。?的半徑為外接球。2的半徑為小

則Sv卬〃=《/;(E4+4/3+PB)=$65=3后,

又SVPAB=；%?ABsinNPAB=；x(2可x4=36,

所以，4=1.

PR2r--1

由正弦定理可得，在一八鉆中，——=2^,即“2-G-4,則=2.

sinZ.PAB—

2

所以，外接球。2的表面積為4%2=16兀，A正確.

因?yàn)?，?1,r2=2,所以4=2”，B項(xiàng)正確.

顯然，過(guò)點(diǎn)P作平面。截圓錐0P的截面均為腰長(zhǎng)為等腰三角形,如圖2,在底面圓上任取一點(diǎn)C,易

7T

知乙4PCW/AP8=—.

3

所以，SACPSSABP=36即最大面積為36，C項(xiàng)錯(cuò)誤.

圖2

將圓錐側(cè)面沿叢剪開(kāi)，得到的扇形的半徑R=/=26,弧長(zhǎng)4=2?！?島,

則扇形的圓心角。=4=理=兀，如圖3所示.

R2V3

A\A)

圖3

連結(jié)AM,即為最近路線(xiàn)，在RhMPM中，有PA=R=20PM=PB=6,

所以，AMZPA^+PM?=#6j+（百j=屈,D項(xiàng)正確.

故選:ABD.

12.如圖，在四棱錐P-48CO中，平面Q4O_L平面A8C。，四邊形"CO為矩形，..24。是邊長(zhǎng)為2G的

正三角形，平面月4。與平面P8C所成銳二面角的余弦值為亙，￡是棱CO的中點(diǎn)，則（）

7

A.AB=6B.八6=2百

C.平面Q4￡截四棱錐2-"CO的外接球所得截面的面積為6〃D.平面24￡截四棱錐P-A8C。的外

接球所得截面的面積為5%

【答案】BC

【