不等式的證明作商比較法課件

不等式的證明：作商比較法作商比較法是一種常用的不等式證明方法，通過比較商的大小來判斷不等式的真假。不等式的概念定義不等式是指用不等號(hào)(<,>,≤,≥)連接的兩個(gè)代數(shù)式之間的關(guān)系。分類一元一次不等式一元二次不等式多元不等式絕對(duì)值不等式性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)包括：傳遞性，加減性，乘除性等。不等式的性質(zhì)傳遞性若a>b，b>c，則a>c。加減性若a>b，則a+c>b+c，a-c>b-c。乘除性若a>b，c>0，則ac>bc，a/c>b/c；若a>b，c<0，則ac<bc，a/c<b/c。不等式證明的方法比較法通過比較大小來證明不等式放縮法將不等式左右兩邊進(jìn)行放縮，得到一個(gè)更易比較的不等式數(shù)學(xué)歸納法利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式柯西不等式利用柯西不等式來證明不等式什么是比較法比較法通過比較兩個(gè)或多個(gè)不等式的商或差來證明不等式成立的一種方法。核心思想利用兩個(gè)不等式之間的聯(lián)系，通過比較它們的商或差的大小來證明目標(biāo)不等式。比較法的基本思想構(gòu)造函數(shù)通過構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，該函數(shù)的值與原不等式中的表達(dá)式相關(guān)聯(lián)，并利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式。分析比較對(duì)構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行分析，判斷其在一定范圍內(nèi)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減，并比較函數(shù)在不同點(diǎn)的值。得出結(jié)論根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及比較結(jié)果，推導(dǎo)出原不等式的成立。比較法的基本步驟選擇比較對(duì)象根據(jù)不等式中所要證明的結(jié)論，選擇合適的比較對(duì)象，使它們之間的關(guān)系清晰易見。構(gòu)造比較式利用比較對(duì)象之間的關(guān)系，構(gòu)造出一個(gè)合適的比較式，以便進(jìn)行下一步的推導(dǎo)。證明比較式運(yùn)用不等式的性質(zhì)或其他已知結(jié)論，證明比較式成立。得出結(jié)論根據(jù)比較式的成立，得出原不等式的結(jié)論。比較法的適用條件1兩個(gè)函數(shù)形式相近比較法適用于當(dāng)需要證明兩個(gè)函數(shù)之間的大小關(guān)系，且這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式比較相近時(shí)。2能夠找到合適的比較函數(shù)需要找到一個(gè)合適的比較函數(shù)，使得兩個(gè)函數(shù)與比較函數(shù)的差值可以方便地進(jìn)行判斷。3能夠確定比較函數(shù)的大小關(guān)系需要能夠確定比較函數(shù)的大小關(guān)系，以便確定兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系。比較法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)勢直觀易懂邏輯清晰應(yīng)用廣泛劣勢有時(shí)難以找到合適的比較對(duì)象可能需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)分析能力比較法的舉例講解現(xiàn)在我們來通過具體的例子來學(xué)習(xí)作商比較法的應(yīng)用。比如，我們要證明不等式：a^2+b^2≥2ab。我們可以先將不等式兩邊同時(shí)除以ab，得到：(a^2+b^2)/ab≥2。然后我們可以將左邊進(jìn)行化簡，得到：a/b+b/a≥2。此時(shí)我們可以利用基本不等式，得到：a/b+b/a≥2√(a/b*b/a)=2。因此，我們證明了原不等式成立。例題1：證明不等式1步驟一確定比較對(duì)象2步驟二構(gòu)造商式3步驟三化簡商式4步驟四判斷商式大小通過比較商式的大小，從而得出原不等式的結(jié)論。這種方法對(duì)于證明涉及多個(gè)變量的不等式特別有效。解析化簡通過簡單的代數(shù)運(yùn)算，可以將原不等式轉(zhuǎn)化為更易于比較的形式。作商將不等式兩邊除以同一個(gè)正數(shù)，得到一個(gè)新的表達(dá)式，以便進(jìn)行比較。比較大小利用作商得到的表達(dá)式，比較左右兩邊的大小，從而得出不等式的結(jié)論。例題2：證明不等式1設(shè)設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=12證明證明a2+b2+c2≥1/3解析第一步將不等式兩邊同時(shí)除以a，得到第二步利用已知的結(jié)論，即a>b，可知a/b>1第三步將兩邊同時(shí)乘以b，得到a>b結(jié)論因此，不等式成立例題3：證明不等式1證明對(duì)于任意正數(shù)a,b,c,證明不等式:a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc2步驟將不等式兩邊同時(shí)減去ab+ac+bc,得到:a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc≥03化簡利用完全平方公式,將左邊進(jìn)行配方:1/2(a-b)^2+1/2(a-c)^2+1/2(b-c)^2≥0解析首先計(jì)算左右兩邊的值，并進(jìn)行比較通過比較發(fā)現(xiàn)，左側(cè)的值小于右側(cè)的值，因此不等式成立最后，將結(jié)果整理成文字形式，寫出證明過程應(yīng)用舉例1：數(shù)學(xué)競賽題比較法在數(shù)學(xué)競賽中應(yīng)用廣泛，可以用來解決各種類型的證明題，尤其是在求解不等式、函數(shù)性質(zhì)、幾何問題等方面。例如，在證明不等式時(shí)，可以使用比較法來判斷兩個(gè)表達(dá)式的大小關(guān)系，從而得出結(jié)論。解析思路利用作商比較法，將原不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)新的不等式，并證明該不等式成立。步驟1.構(gòu)造商函數(shù)2.證明商函數(shù)的單調(diào)性3.利用商函數(shù)的單調(diào)性證明原不等式。關(guān)鍵選擇合適的商函數(shù)，并利用其單調(diào)性證明原不等式。應(yīng)用舉例2：函數(shù)不等式運(yùn)用作商比較法證明函數(shù)不等式時(shí)，通常需要構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。例如，證明不等式：f(x)>g(x)成立，可以構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)/g(x)，然后證明h(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減。解析函數(shù)不等式運(yùn)用比較法證明函數(shù)不等式，通常需要借助函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性等性質(zhì)來判斷不等式的成立性。分析函數(shù)性質(zhì)首先，要分析所給函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性等性質(zhì)，并結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行直觀判斷。構(gòu)造比較函數(shù)其次，要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)造一個(gè)合適的比較函數(shù)，并證明該比較函數(shù)滿足所要證明的不等式。應(yīng)用舉例3：幾何不等式在幾何問題中，我們也可以利用作商比較法證明不等式。例如，要證明三角形中兩邊之和大于第三邊，我們可以構(gòu)造商，并利用三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)進(jìn)行比較。解析利用基本不等式，將原式轉(zhuǎn)化為更簡單的形式。通過代數(shù)變形，得到目標(biāo)不等式。驗(yàn)證不等式的成立。比較法的注意事項(xiàng)選擇合適的比較對(duì)象選擇與所要證明的不等式有關(guān)的已知不等式，并確保比較對(duì)象之間存在可比性。靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)在比較的過程中，要靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)，如對(duì)稱性、傳遞性、加減性等。注意符號(hào)的運(yùn)用在進(jìn)行比較時(shí)，要特別注意不等號(hào)的方向，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤。如何選擇合適的不等式1理解題意首先要仔細(xì)閱讀題目，理解題目的要求，明確要證的不等式。2觀察已知條件分析已知條件，尋找可以利用的已知不等式。3考慮方法根據(jù)已知條件和要證的不等式，選擇合適的證明方法，如比較法、放縮法等。如何選擇合適的比較對(duì)象1目標(biāo)導(dǎo)向選擇的目標(biāo)對(duì)象要與要證明的結(jié)論相符，要能夠體現(xiàn)出結(jié)論的意義。2性質(zhì)一致選擇的比較對(duì)象要與被比較對(duì)象具有相同的性質(zhì)，才能進(jìn)行有效的比較。3易于比較選擇的比較對(duì)象要易于進(jìn)行比較，以便得出結(jié)論。如何利用已知結(jié)論基礎(chǔ)不等式熟練掌握一些常見的不等式，例如均值不等式、柯西不等式、三角不等式等。這些不等式可以作為證明其他不等式的工具，可以簡化證明過程。結(jié)論轉(zhuǎn)化將已知結(jié)論轉(zhuǎn)化為適用于當(dāng)前問題的形式。例如，利用已知不等式進(jìn)行變形，或者利用已知結(jié)論推導(dǎo)出新的結(jié)論。如何根據(jù)題目特點(diǎn)選擇方法已知條件仔細(xì)分析題目給出的已知條件，判斷是否適合使用作商比較法。待證結(jié)論觀察待證結(jié)論是否能夠轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子的比值大小關(guān)系。題目類型不同類型的題目可能需要不同的方法，例如函數(shù)不等式，幾何不等式等。綜合練習(xí)1應(yīng)用舉例嘗試運(yùn)用商比較法解決已有的應(yīng)用舉例題目。2拓展練習(xí)嘗試用商比較法解決一些難度稍高的不等式證明題。3思考總結(jié)總結(jié)商比較法的應(yīng)用范圍，并思考如何選擇最佳的證明方法。課后思考題除了作商比較法外，還有哪些方法可以用來證明不等式？嘗試用作商比較法證明一些常見的不等式，例如均值不等式、柯西不