專(zhuān)題01 集合（考點(diǎn)講析）-【中職專(zhuān)用】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末（高教版2023基礎(chǔ)模塊）(解析版)

專(zhuān)題01集合（考點(diǎn)講析）【中職專(zhuān)用】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末（高教版2023基礎(chǔ)模塊）知識(shí)總結(jié)：1元素與集合的概念集合：一般地，由某些確定的對(duì)象組成的整體，簡(jiǎn)稱(chēng)為集元素：構(gòu)成集合的對(duì)象2集合的元素特征特征含義舉例確定性給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了“街上的帥哥”中因?yàn)閹浉鐩](méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，故“帥哥”不能組成集合互異性一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的集合，就意味無(wú)序性集合中的元素?zé)o順序，可以任意排列、調(diào)換高一(1)班每周都換座位也改變不了它是(1)班的事實(shí)3元素與集合的關(guān)系若是集合的元素，則稱(chēng)屬于集合，記作；若不是集合的元素，則稱(chēng)不屬于集合，記作.4常用數(shù)集數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法舉例5集合的分類(lèi)元素個(gè)數(shù)分類(lèi)含義舉例有限集集合中含有的元素個(gè)數(shù)是有限的無(wú)限集集合中含有的元素個(gè)數(shù)是無(wú)限的空集?不含任何元素的集合方程的實(shí)數(shù)解6集合的表示方法列舉法把集合中的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)括起來(lái)表示集合的方法描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征一般格式：注意事項(xiàng)：———方程的解，即

———不等式的解集，即；

———函數(shù)的定義域，即；———函的值域，即；———函數(shù)的圖像點(diǎn)構(gòu)成的集合.7集合間的關(guān)系關(guān)系含義記作子集如果集合A中每一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱(chēng)集合A為集合B的子集真子集如果集合A?B，但至少存在一個(gè)元素不屬于集合A，稱(chēng)集合A為集合B的真子集相等集合A與集合B中的元素完全相同規(guī)定：空集是任何集合的子集當(dāng)集合A中元素有個(gè)，子集個(gè)數(shù)有個(gè)，真子集個(gè)數(shù)有個(gè)，非空真子集個(gè)數(shù)有個(gè)；8并集、交集、補(bǔ)集并集交集補(bǔ)集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的并集由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的交集對(duì)于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集記號(hào)A?B(讀作:A并A?B(讀作:A交CUA(讀作:A符號(hào)AAC圖形表示題型一:集合的基本概念例1下列各組對(duì)象不能組成集合的是（

）A．不超過(guò)30的非負(fù)實(shí)數(shù) B．方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解C．近似值的全體 D．某校身高超過(guò)175的學(xué)生的全體【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義和特征依次判斷即可.【詳解】對(duì)A：對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過(guò)30的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合；對(duì)B：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解為或-2，是確定的對(duì)象，所以可以構(gòu)成集合；對(duì)C：“3的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合；對(duì)D：能構(gòu)成集合，元素是“某校身高超過(guò)175的同學(xué)”，所以可以構(gòu)成集合.故選：C.變式訓(xùn)練1下列說(shuō)法正確的是（

）A．某班級(jí)中的所有高個(gè)子同學(xué)能組成集合B．空集是任何集合的真子集C．集合與集合是同一個(gè)集合D．方程組的解集為【答案】C【分析】根據(jù)集合的概念即可解得.【詳解】選項(xiàng)A：某班級(jí)中的所有高個(gè)子同學(xué)中，高個(gè)子的定義不明確，不符合確定性，錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：集合與集合是同一個(gè)集合，正確.選項(xiàng)D：方程組的解集為，錯(cuò)誤.故選：C2下列命題中正確的是（

）A．和是兩個(gè)不同的集合B．是空集C．若，，則的最小值為2D．小于10的偶數(shù)組成的集合是有限集【答案】B【分析】根據(jù)集合、空集、自然數(shù)集和有限集的概念以及集合的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)A，由集合的互異性知，和兩個(gè)集合是相同的，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B，∵，∴方程無(wú)實(shí)根，∴是空集，B項(xiàng)正確；對(duì)C，最小的自然數(shù)是0，∴的最小值為0，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D，小于10的正偶數(shù)有有限個(gè)，但負(fù)偶數(shù)有無(wú)窮個(gè)，∴小于10的偶數(shù)組成的集合是無(wú)限集，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.3設(shè)表示平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，若集合，則以集合M的元素為坐標(biāo)的點(diǎn)在（

）A．第一或第二象限 B．第一或第三象限C．第二或第三象限 D．第二或第四象限【答案】B【分析】由，可得x，y的可能的符號(hào)，根據(jù)各象限的符號(hào)特征可得所在象限．【詳解】由得或，則平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)為同正或同負(fù)，所有集合M的元素為坐標(biāo)的點(diǎn)在第一或第三象限.故選：B.4下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）①方程的解集為；②整數(shù)集可以表示為為所有整數(shù)或；③方程組的解集為.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)集合的表示方法，結(jié)合一元二次方程及二元一次方程組解集的情況，逐一判斷即可得解.【詳解】對(duì)于①，方程的解集為，故①正確；對(duì)于②，整數(shù)集可以表示為，但不能表示為，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，解二元一次方程組，得，解集為，選③正確；所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B.題型二:元素與集合、集合與集合的關(guān)系例2已知集合，則下列式子表示正確的有（

）①②③④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系可解.【詳解】，①，集合與集合之間不能用屬于符號(hào)，所以①不正確；②，元素與集合之間不能用包含于符號(hào)，所以②不正確；③，空集是任何集合的子集，所以③正確：④，子集包括本身，所以④正確，綜上正確的式子有2個(gè)，故選：B.變式訓(xùn)練1下列各組集合中表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合中元素的性質(zhì)、集合的分類(lèi)及集合的表示可判斷.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，表示點(diǎn)組成的集合，表示組成的集合，不是同一集合，故錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，根據(jù)集合中元素的無(wú)序性可知，它們表示同一集合，故正確；對(duì)C選項(xiàng)，表示直線上的點(diǎn)組成的集合，表示線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成的集合，故不是同一集合，故錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，表示由2，3組成的集合，表示點(diǎn)組成的集合，不是同一集合，故錯(cuò)誤；故選：B2已知集合，，則與之間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)榧希现械脑厥?的整數(shù)倍，集合B中的元素是6的整數(shù)倍，所以集合的元素全部屬于集合，而集合中存在元素不屬于集合，即集合真包含集合B.故選：D.3用符號(hào)“”“”“”“”或“”填空：（1）；（2）；（3）9；（4）是奇數(shù)}；（5）.【答案】【分析】由元素與集合的關(guān)系，真子集的定義及集合的相等即可得解.【詳解】不是集合的元素，所以；是集合的元素，所以；因?yàn)椋?；為整?shù)集，所以是奇數(shù)}；，，則故答案為：.4方程組的解集是．【答案】【分析】根據(jù)集合的表示方法，結(jié)合二元一次方程組的解法即可求解.【詳解】因?yàn)榉匠探M，兩式相加得，即，代入得，所以.即方程組的解集為.故答案為：.5設(shè)集合，若A中僅有一個(gè)元素，則a的值為.【答案】0或1【分析】若集合A中僅有一個(gè)元素，則需要滿足方程有一個(gè)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，據(jù)此即可求解.【詳解】若集合A中僅有一個(gè)元素，則需要滿足方程有一個(gè)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，符合條件；當(dāng)時(shí)，需滿足，綜上所述，若集合A中僅有一個(gè)元素，則a的值為0或1，故答案為：0或1.題型三:常見(jiàn)的數(shù)集例3下列所給出的關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)是（

）.①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系判斷即可解得.【詳解】①因?yàn)棣惺菍?shí)數(shù)，則，正確.②3是無(wú)理數(shù)，則，正確.③0不是正整數(shù)，則，錯(cuò)誤.④是整數(shù)，則，錯(cuò)誤.所以①②正確，③④錯(cuò)誤，故選：B.變式訓(xùn)練1已知集合(1)用列舉法表示集合(2)寫(xiě)出集合的所有子集【答案】(1).(2)，，，.【分析】（）解一元二次方程求出集合的元素，根據(jù)列舉法的定義即可得解.（）根據(jù)子集的定義即可寫(xiě)出集合的子集.【詳解】（1）因?yàn)?，解得或，所以用列舉法表示為.（2）集合，所以子集為，，，.題型四:集合的特性例4由，，三個(gè)元素組成集合A，若，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系計(jì)算，并通過(guò)集合元素互異判別.【詳解】∵，而，∴或.當(dāng)時(shí)，解得或，而時(shí)，，不滿足集合的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí),符合題意；所以，或符合題意.故選：D.變式訓(xùn)練1已知集合，若，則（

）A．0 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【分析】根據(jù)A和B的包含關(guān)系，進(jìn)而求解參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以或，解得?，得或1或2，將m的值代入集合知，不成立，不符合元素的互異性，所以綜上或2.故選:C．2若，則．【答案】1【分析】根據(jù)題意，分類(lèi)討論的取值，結(jié)合構(gòu)成集合元素的特性，即可求解.【詳解】因?yàn)椋曰?，?dāng)，即時(shí)，，不滿足集合元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，集合，滿足條件．綜上，．故答案為：1．3設(shè)，集合，則．【答案】0【分析】根據(jù)相等集合的概念結(jié)合集合中元素的互異性，列方程求解即可.【詳解】已知集合，根據(jù)集合中元素的互異性可得且，則，又，則，解得，，故答案為：.題型五:集合的表示方法例5已知集合，則集合M用列舉法可表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將集合中的元素一一列舉出來(lái)，再由列舉法表示即可.【詳解】表示整數(shù)集，由集合可得，，故選：D.變式訓(xùn)練1集合的子集的個(gè)數(shù)是（

）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】D【分析】先用列舉法寫(xiě)出集合M，再根據(jù)求解子集的個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意得，集合，有2個(gè)元素.所以集合的子集個(gè)數(shù)是.故選：D.2已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】，故只能取1、2、3、6，再解出a的值.【詳解】由得：或或或，可得，故選：D.題型六:并集、交集、補(bǔ)集例6已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圖可知，陰影部分為集合與集合的交集，由交集的定義求解即可.【詳解】由圖可知，陰影部分為，根據(jù)交集定義可得：.故選：D.變式訓(xùn)練1已知全集，，，則實(shí)數(shù)等于（）A．0或2 B．0C．1或2 D．2【答案】D【分析】由題意根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)和元素與集合的關(guān)系，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，，，，得到，，，可得，可化為，解得或.而集合中有一個(gè)元素是2，故.綜上，.故選：D.2設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合的交集運(yùn)算，聯(lián)立兩方程，解之即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，?lián)立，解得，所以.故選：C.3已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算，結(jié)合空集的定義，即可列出不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以或，解得或，即?shí)數(shù)的取值范圍是或．故選：D．4已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先通過(guò)聯(lián)立方程，求解的元素，再根據(jù)集合的形式，判斷選項(xiàng)即可．【詳解】已知集合，聯(lián)立得，所以．故選：C．5設(shè)集合，則集合（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合B，根據(jù)集合并集的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：D.6如圖，全集，集合，，則陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)韋恩圖寫(xiě)出集合的運(yùn)算式，即可求陰影部分集合.【詳解】因?yàn)槿?，集合，，由題可知陰影部分為，，則；故選：D.7已知集合A=xx>0，則【答案】【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，則.故答案為:.8，，則.【答案】【分析】根據(jù)交集的概念運(yùn)算即可.【詳解】已知，，則.故答案為：.9已知集合，集合，若，則．【答案】【分析】根據(jù)交集的概念可知，求解即可得出值.【詳解】已知集合，集合，且，則中含有元素，所以，解得.故答案為：.10已知全集，集合，則【答案】或【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念求解.【詳解】因?yàn)槿?，?/p>