專題03 直線的方程及其位置關(guān)系（考點(diǎn)清單+知識導(dǎo)圖+16個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

清單03直線的方程及其位置關(guān)系（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】直線斜率的坐標(biāo)公式如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換；（3）當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行?！厩鍐?2】兩條直線平行對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②與不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，與的傾斜角都是，則.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.【清單03】兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零．【清單04】直線的點(diǎn)斜式方程已知條件（使用前提）直線過點(diǎn)和斜率（已知一點(diǎn)+斜率）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）【清單05】直線的斜截式方程已知條件（使用前提）直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）【清單06】直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件，【清單07】直線的一般式方程定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.3.解題時(shí),如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.【清單08】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)直線：（）和：（）的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng).與相交方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；與平行方程組無解；與重合方程組有無數(shù)個(gè)解.【清單09】兩點(diǎn)間的距離平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.【清單10】點(diǎn)到直線的距離平面上任意一點(diǎn)到直線：的距離.【清單11】兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）：（）間的距離.【清單12】對稱問題點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題（聯(lián)立兩個(gè)方程）求點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；②整理得：【考點(diǎn)題型一】斜率與傾斜角變換關(guān)系核心方法：圖象法【例1】（24-25高二上·湖北黃岡·期中）已知點(diǎn)，若，則直線AB的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1-1】（24-25高二上·河北張家口·期中）如圖，直線，，，的斜率分別為，，，，則（

）

A． B．C． D．【變式1-2】（24-25高二上·廣東廣州·期中）設(shè)直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型二】直線與線段有公共點(diǎn)，求斜率取值范圍核心方法：圖象法【例2】（24-25高二上·廣東惠州·期中）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2-1】（24-25高二上·河南信陽·期中）已知，B2,1，，經(jīng)過點(diǎn)C作直線l，若直線l與線段AB沒有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[1,4]【考點(diǎn)題型三】利用斜率的幾何意義求代數(shù)值（范圍）核心方法：圖象+轉(zhuǎn)化【例3】（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且．(1)求的取值范圍；(2)求的取值范圍．【變式3-1】（22-23高二上·四川雅安·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，求的最大值和最小值.【考點(diǎn)題型四】求直線方程【例4】（24-25高二上·重慶·期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，.(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)求邊上的中線所在的直線方程；(3)求角平分線所在的直線方程.【變式4-1】（24-25高二上·天津?yàn)I海新·期中）已知點(diǎn)，，，根據(jù)條件求出直線方程，并化為一般式方程(1)求過點(diǎn)A且與平行的直線方程；(2)邊上的中線所在直線的方程；(3)邊上的高所在直線方程；(4)邊的垂直平分線的方程.【考點(diǎn)題型五】兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定核心方法：斜率相等或斜率相乘為-1【例5】（24-25高二上·貴州六盤水·期中）（1）已知，，，判斷，，三點(diǎn)是否在同一條直線上；（2）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，判斷與是否垂直.【變式5-1】（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）（1）判斷下列不同的直線與是否平行：的斜率為2，經(jīng)過兩點(diǎn)；（2）判斷下列直線與是否垂直；的傾斜角為45°，經(jīng)過兩點(diǎn)．【變式5-2】（24-25高二上·全國·課堂例題）判斷下列兩條直線是否垂直，并說明理由：(1)，；(2)，；(3)，．【考點(diǎn)題型六】根據(jù)兩條直線平行與垂直關(guān)系求參數(shù)核心方法：斜率相等或斜率相乘為-1【例6-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知，兩直線，若，則的最小值為（

）A．12 B．20 C．26 D．32【變式6-1】（24-25高二上·廣東·期中）已知直線與.若，則（

）A． B．1 C． D．2【變式6-2】（24-25高二上·福建福州·期中）直線與直線平行，則．【變式6-3】（24-25高二上·遼寧·期中）已知直線：，：，若，則的值為.【考點(diǎn)題型七】求平行，垂直的直線方程核心方法：斜率相等或斜率相乘為-1【例7】（24-25高二上·云南楚雄·階段練習(xí)）求滿足下列條件的直線的方程：(1)直線過點(diǎn)，且與直線平行；(2)直線過點(diǎn)，且與直線垂直.【變式7-1】（24-25高二上·北京順義·期中）經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【變式7-2】（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型八】直線過定點(diǎn)問題核心方法：兩條直線相交交點(diǎn)坐標(biāo)【例8】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）對于任意的實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【變式8-1】（24-25高二上·浙江·期中）直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.【變式8-2】（24-25高二上·浙江·期中）直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是．【考點(diǎn)題型九】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題（定值）核心方法：三角形面積公式【例9】（24-25高二上·湖北武漢·期中）已知的頂點(diǎn)，邊AB上的中線CD所在直線方程為，邊AC上的高線BE所在直線方程為．(1)求邊BC所在直線的方程；(2)求的面積．【變式9-1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)求的面積.【變式9-2】（24-25高二上·山東煙臺(tái)·期中）已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線方程為，的平分線所在的直線方程為．(1)求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求的面積．【考點(diǎn)題型十】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題（最值）核心方法：三角形面積公式+基本不等式【例10】（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐標(biāo)系Oxy中，射線，，過作直線分別與交于A，B兩點(diǎn).(1)若，求直線的方程;(2)求面積的最小值.【變式10-1】（24-25高二上·廣東·期中）已知直線.(1)求原點(diǎn)到直線l距離的最大值：(2)若直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求對應(yīng)的直線l的方程.【變式10-2】（24-25高二上·福建福州·階段練習(xí)）已知直線.(1)直線經(jīng)過定點(diǎn)嗎？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，說明理由；(2)求原點(diǎn)到直線距離的最大值；(3)若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求對應(yīng)的直線的方程.【考點(diǎn)題型十一】易錯(cuò)點(diǎn)根據(jù)截距求直線方程核心方法：分類討論【例11】（24-25高二上·福建三明·階段練習(xí)）直線l過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為．【變式11-1】（24-25高二上·安徽亳州·階段練習(xí)）若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為.【變式11-2】（2024·陜西西安·一模）過點(diǎn)，在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為．【考點(diǎn)題型十二】點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)【例12】（24-25高二上·海南省直轄縣級單位·期中）點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式12-1】（24-25高二上·廣東汕尾·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式12-2】（24-25高二上·江西南昌·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【考點(diǎn)題型十三】直線關(guān)于點(diǎn)對稱問題(求關(guān)于點(diǎn)的對稱直線，則）核心方法：方法一：在直線上找一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)，根據(jù)，再由點(diǎn)斜式求解；方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點(diǎn)到兩直線的距離相等求參數(shù).方法三：在直線任意一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)，則該點(diǎn)在直線上.【例13】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程為．【變式13-1】（23-24高一下·江西撫州）與直線關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線的方程為.【變式13-2】（24-24高二·全國·課后作業(yè)）已知直線與關(guān)于點(diǎn)對稱，則.【考點(diǎn)題型十四】直線關(guān)于直線對稱問題（兩直線平行）核心方法：直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對稱直線①②在直線上任取一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求直線.【例14】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與關(guān)于直線對稱，求直線的方程.【變式14-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為【變式14-2】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）已知直線，，．（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．【考點(diǎn)題型十五】直線關(guān)于直線對稱問題（兩直線相交）核心方法：對稱性【例15】（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）直線關(guān)于軸對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【變式15-1】（24-25高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是.【變式15-2】（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）已知直線：關(guān)于直線的對稱直線為軸，則的方程為.【考點(diǎn)題型十六】將軍飲馬問題核心方法：對稱性【例16】（23-24高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，則的最小值為.【變式16-1】（24-25高二上·吉林長春·期中）已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式16-2】（24-25高二上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，在直線上找一點(diǎn)使得最小，則這個(gè)最小值為（

）A． B．8 C．9 D．10提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·湖北·期中）已知三點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·北京·期中）若直線：與直線：平行，則（

）A．3 B．C．3或 D．3或13．（24-25高二上·山東濟(jì)南·期中）“”是“直線與直線平行”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（24-25高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·北京豐臺(tái)·期中）已知函數(shù)過定點(diǎn)M，點(diǎn)M在直線上且，則的最小值為（）A． B． C． D．6．（24-25高二上·重慶·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，在直線上存在一點(diǎn)，使最小，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)），函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．8．（24-25高二上·山東濟(jì)南·期中）若三條直線，，不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、多選題9．（24-25高二上·江蘇常州·期中）設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第一象限 B．的充要條件是C．若，則或 D．恒過點(diǎn)10．（24-25高二上·全國·單元測試）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．