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2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專(zhuān)題整合復(fù)習(xí)卷15.3乘法公式(含答案)-15.3乘法公式本課導(dǎo)學(xué)點(diǎn)擊要點(diǎn)兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于________,用字母表示為_(kāi)_____,這個(gè)公式叫做整式乘法的________公式.兩數(shù)和(或差)的平方,等于______,用字母表示為_(kāi)______,這兩個(gè)公式叫做乘法的________.例題下列式子中,總能成立的是()A.(a-1)2=a2-1B.(a+1)2=a2+a+1C.(a+1)(a-1)=a2-a+1D.(a+1)(1-a)=1-a2[分析]根據(jù)平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,(a-1)2=a2-2a+1,(a+1)2=a2+2a+1,(a+1)(a-1)=a2-1,故A,B,C均不正確;D中將a+1化為1+a,(a+1)(1-a)=(1+a)(1-a),符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,故選D.[老師點(diǎn)評(píng)]解答本節(jié)習(xí)題時(shí),應(yīng)把握以下幾個(gè)方面:(1)只有符合公式的特征,才能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算,不可亂用公式.(2)有些乘法算式,例如:1997×2003,10-32等可以用乘法公式進(jìn)行計(jì)算,既簡(jiǎn)便,準(zhǔn)確性又高.中考展望:本節(jié)知識(shí)是中考必考內(nèi)容,通常以化簡(jiǎn)、計(jì)算等形式出現(xiàn).隨堂測(cè)評(píng)時(shí)間:40分鐘滿分:100分一、訓(xùn)練平臺(tái)(1~5小題每題5分,6小題16分,共41分)1.下列運(yùn)算中,正確的是()A.(a+3)(a-3)=a2-3B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2D.(x+2)(x-3)=x2-62.在下列多項(xiàng)式的乘法中,可以用平方差公式計(jì)算的是()A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b-a)C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+y2)3.(x+2)(x-2)(x2+4)的計(jì)算結(jié)果是()A.x4+16B.-x4-16C.x4-16D.16-x44.x2+x+________=(x+______)2.5.(x+y-z)2=[()-z]2=()2-2()·z+z2=_________.6.計(jì)算:(1)(a2-a)2-(a+3)(a-3)(a2-9);(2)101×99+1二、提高訓(xùn)練(1~5小題每題5分,6小題10分,共35分)1.若(-a+b)·p=a2-b2,則p等于()A.-a-bB.-a+bC.a(chǎn)-bD.a(chǎn)+b2.若25x2+30xy+k是一個(gè)完全平方式,則k是()A.36y2B.9y2C.6y2D.y23.下面計(jì)算正確的是()A.(-bc-3a)(3a-bc)=9a2-b2c2B.(x+)2=x2+x+C.(a+b)(-a-b)=-a2-2ab-b2D.(-a-b)2=-a2+2ab-b24.a(chǎn)2+b2=(a+b)2+________=(a-b)2+________.5.m+=3,則m2+=________.6.已知x+y+z=1,且xy+yz+zx=0,求x2+y2+z2的值.三、探索發(fā)現(xiàn)(共12分)運(yùn)用乘法公式計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)·(28+1)(216+1)…(22n+1)+1的值.四、拓展創(chuàng)新(共12分)已知α+β=1,αβ=-1,設(shè)S1=α+β,S2=α2+β2,S3=α3+β3,…,Sn=αn+βn.(1)計(jì)算S1=_______,S2=_______,S3=________,S4=________.(2)試寫(xiě)出Sn-2,Sn-1,Sn三者之間的關(guān)系式;(3)根據(jù)以上得出的結(jié)論,計(jì)算α7+β7.※走近中考(不計(jì)入總分)1.下列運(yùn)算中,正確的是()A.x2-x3=x6B.(ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2D.(a-1)2=a2-12.已知a=x+20,b=x+19,c=x+21,那么代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是()A.4B.3C.2D.1探究交流小課題:如何用面積拼補(bǔ)的方法證明a2+b2=c2已知四個(gè)全等的直角三角形,兩直角邊分別為a,b(b>a),斜邊為c,如何用面積拼補(bǔ)的方法證明a2+b2=c2?探究:將四個(gè)直角三角形如圖所示擺放.方法:由上述擺放可得兩個(gè)正方形,其邊長(zhǎng)為c和b-a,它們的面積關(guān)系是c2-(b-a)2=4×ab,所以c2-(b2+a2-2ab)=2ab,即a2+b2=c2.答案:本課導(dǎo)學(xué)這兩個(gè)數(shù)的平方差(a+b)(a-b)=a2-b2平方差它們的平方和加上(或減去)它們的積的2倍(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2完全平方公式隨堂測(cè)評(píng)一、1.C2.B3.C4.5.x+yx+yx+yx2+y2+z2+2xy-2xz-2yz6.(1)-2a3+19a2-18(2)10000二、1.A2.B3.C4.-2ab2ab5.76.解:因?yàn)閤+y+z=1,所以(x+y+z)2=1,所以(x+y)2+2z(x+y)+z2=1,即x2+y2+2xy+2xz+2yz+z2=1,x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)=1,因?yàn)閤y+xz+yz=0,所以x2+y2+z2=1.三、解:令原式=A,則A=(2-1)A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·(216+1)…(22n+1)+1=(22-1)(24+1)(28+1)(216+1)·(216+1)…(22n+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)…(22n+1)+1=(28-1)(28+1)(216+1)…(22n+1)+1=(216-1)(216+1)…(22n+1)+1=(232-1)…(22n+1)+1=(22n-1)(22n+1)+1=(22n)2-1+1=24n.四、提示:(1)由α+β=1,αβ=-1,得(α+β)2=α2+β2+2αβ,所以α2+β2=(α+β)2-2αβ=1-2×(-1)=3,α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=4,α4+β4=(α2+β2)2-2α2β2=7.(2)S1=1,S2=3,S3=4,S4=7,則有S1+S2=S3,S2+S3=S4,由此可得出Sn-1+Sn-2=Sn.(3)α7+β7=S7=S6+S5=(S5+S4)+(S4+S3)=(S4+S3+S1)+(S4+S3)=(7+4+7)+(7+4)=29.※1.B2.B[提示:a2+b2+c2-ab-bc-ac=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=(1+4+1)=3]15.3整式的除法◆隨堂檢測(cè)1、(,,都是正整數(shù),且),這就是,同底數(shù)冪相除,底數(shù),指數(shù)。2、計(jì)算:3、下列計(jì)算正確的是()A.B.C.D.4、下列關(guān)于數(shù)與式的等式中,正確的是()A.B.C.D.5、計(jì)算:.◆典例分析例題:若,求的值。分析:由已知想求出未知數(shù)x的值顯然是困難的,仔細(xì)觀察,題目也未要求確定未知數(shù)x的值,不妨將當(dāng)作整體,用換元法解之,看所求值的式子中是否多項(xiàng)式的倍數(shù)。解:由可得由因?yàn)榘汛?,得◆課下作業(yè)●拓展提高1、下列計(jì)算錯(cuò)誤的是()A.2m+3n=5mnB.C.D.2、若,,則=。3、若,,,求的值。4、計(jì)算①②5、若,求的值?!耋w驗(yàn)中考1、(2009年重慶綦江)計(jì)算a3÷a2的結(jié)果是()A.a(chǎn)5 B.a(chǎn)-1 C.a(chǎn) D.a(chǎn)22、(2009年重慶)計(jì)算的結(jié)果是()A. B. C. D.3、(2009年湖南懷化)下列運(yùn)算正確的是()A.B.C.·D.4、(2009年臺(tái)灣)已知a=1.6109,b=4103,則a22b=()A.2107B.41014C.3.2105D.3.21014。參考答案:◆隨堂檢測(cè)1、,不變,相減2、原式3、C4、A5、原式◆課下作業(yè)●拓展提高1、A2、3、4、①②5、解:===把代入,得所以原式=●體驗(yàn)中考1、C2、B.3、D4、D15.3整式的除法一、試試你的身手(每小題3分,共24分)1.計(jì)算________.2.計(jì)算=________.3.計(jì)算=_______.4.一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為,寬為,則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為_(kāi)____.5.化簡(jiǎn):=___.6.計(jì)算:=_______.7.已知÷÷÷(),不改變式子的順序,請(qǐng)你加上括號(hào),可以是多個(gè)括號(hào),改變運(yùn)算順序,從而產(chǎn)生多種結(jié)果,請(qǐng)至少寫(xiě)出三個(gè)不同的結(jié)果:___________.8.人們以分貝為單位表示聲音的強(qiáng)弱.通常說(shuō)話的聲音是50分貝,它表示聲音的強(qiáng)度是105;摩托車(chē)發(fā)出的聲音是110分貝,它表示聲音的強(qiáng)度是1011.摩托車(chē)的聲音強(qiáng)度是說(shuō)法聲音強(qiáng)度的________倍.二、相信你的選擇(每小題3分,共24分)1.計(jì)算的結(jié)果為().(A) (B)- (C)6 (D)2.下列計(jì)算正確的是()(A)a2·b3=b6(B)(-a2)3=a6(C)(ab)2=ab2(D)(-a)6÷(-a)3=-a33.地球赤道長(zhǎng)約為千米,我國(guó)最長(zhǎng)的河流——長(zhǎng)江全長(zhǎng)約為千米,赤道長(zhǎng)約等于長(zhǎng)江長(zhǎng)的()(A)7倍(B)6倍(C)5倍(D)4倍4.如果,(為自然數(shù)),那么等于().(A)(B)4(C)8(D)565.計(jì)算的結(jié)果是().(A)(B)(C)(D)6.長(zhǎng)方形的面積為,若它的一邊為2a,則它的周長(zhǎng)為()(A)4a-3b(B)8a-6b(C)4a-3b+1(D)8a-6b+27.已知,那么m,n的取值為()(A)m=4,n=3(B)m=4,n=1(C)m=1,n=3(D)m=2,n=38.下列計(jì)算正確的是().(A)()÷=(B)()÷(-)=(C)4()÷=(D)()÷()=三、挑戰(zhàn)你的技能(共40分)1.(10分)計(jì)算:(1);(2)÷;2.(10分)計(jì)算:-[(-)2÷()3]·(-);3.(10分)(2004年贛州)先化簡(jiǎn),再求值:,其中x=2010,y=2009.4.某長(zhǎng)方體的體積為,長(zhǎng)為,寬為,求此長(zhǎng)方體的高.5.(10分)若,求的值.四、拓廣探索(本題12分)課堂上李彬給同學(xué)們表演了一個(gè)有趣的猜數(shù)游戲,游戲規(guī)則如下:(1)每位同學(xué)在心里想好一個(gè)除0以外的數(shù);(2)把這個(gè)數(shù)加上3后再平方(3)然后減去9;(4)再除以所想的這個(gè)數(shù)(5)最后把結(jié)果告訴我,我便能立即說(shuō)出你原來(lái)所想的數(shù)是多少?你知道其中的奧妙嗎?參考答案一、1.;2.;3.;4.;5.;6.4;7.答案不唯一,,1,等;8.106;二、題號(hào)12345678答案ADBCCDAA三、1.(1);(2);2.;3.原式;四、設(shè)所想的數(shù)是a,則.于是,猜者只要將結(jié)果a+6減去6就是被猜者開(kāi)始所想的數(shù).§15.3乘法公式15.3.1平方差公式知識(shí)要點(diǎn)1.平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積,等于它們的平方差.即:(a+b)(a-b)=a2-b2.公式結(jié)構(gòu)為:(□+△)(□-△)=□2-△22.公式中的字母可以表示具體的數(shù),也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等代數(shù)式.只要符號(hào)公式的結(jié)構(gòu)特征,就可以用這個(gè)公式(要注意公式的逆用).典型例題例.計(jì)算(x+1)2-(x-1)2分析:本題按常規(guī)思路可以直接用多項(xiàng)式乘法法則先去掉括號(hào),再做減法運(yùn)算,但若把x+1與x-1看成整體,可以逆用平方差公式使計(jì)算簡(jiǎn)便.解:(x+1)2-(-1)2=[(x+1)+(x-1)]·[(x+1)-(x-1)]=5x·2=10x練習(xí)題一、選擇題:1.計(jì)算(1-m)(-m-1),結(jié)果正確的是()A.m2-2m-1B.m2-1C.1-m2D.m2-2m+12.計(jì)算(2a+5)(2a-5)的值是()A.4a2-25B.4a2-5C.2a2-25D.2a2-53.下列計(jì)算正確的是()A.(x+5)(x-5)=x2-10B.(x+6)(x-5)=x2-30C.(3x+2)(3x-2)=3x2-4D.(-5xy-2)(-5xy+2)=
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