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文檔簡介
2025屆廣東省東莞中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,中,點(diǎn)D在BC上,,將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,分別記,與平面ADC所成角為,,則,的大小關(guān)系是()A. B.C.,兩種情況都存在 D.存在某一位置使得2.已知,則()A. B. C. D.23.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.4.設(shè),且,則()A. B. C. D.5.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為6.已知雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別為,以(為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn),若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部為()A. B.i C.–1 D.18.的展開式中,項的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.639.下列不等式正確的是()A. B.C. D.10.如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則()A. B.C. D.12.若集合,,則A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若、滿足約束條件,則的最小值為______.14.雙曲線的左右頂點(diǎn)為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),連接交圓于點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,若,則_____.15.設(shè),滿足條件,則的最大值為__________.16.二項式的展開式中項的系數(shù)為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,所對的邊分別為,,,且.求的值;設(shè)的平分線與邊交于點(diǎn),已知,,求的值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;(2)直線l的極坐標(biāo)方程是,射線與圓C的交點(diǎn)為O、P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段的長.21.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,證明,在恒成立;(2)若在處取得極大值,求的取值范圍.22.(10分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對應(yīng)的一個特征向量,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)題意作出垂線段,表示出所要求得、角,分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小,從而判斷出角的大小,即可得答案.【詳解】由題可得過點(diǎn)作交于點(diǎn),過作的垂線,垂足為,則易得,.設(shè),則有,,,可得,.,,;,;,,,.綜上可得,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2、B【解析】
結(jié)合求得的值,由此化簡所求表達(dá)式,求得表達(dá)式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、C【解析】
將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】即故選:C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡單題目.5、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計算問題,屬于中檔題.6、D【解析】
連接,可得,在中,由余弦定理得,結(jié)合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得,即可得答案.【詳解】∵,∴,∴,∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)二項式展開式的通項公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出,則出,該項為:;②出,則出,該項為:;③出,則出,該項為:;綜上所述:合并后的項的系數(shù)為17.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識,考查理解能力,計算能力,分類討論和應(yīng)用意識.9、D【解析】
根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項,又由,所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對數(shù)的比較大小問題,其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法,代入化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義,復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛颍?,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出不等式組所表示的可行域,利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最小時對應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,即點(diǎn),平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時,該直線在軸上的截距最小,此時取最小值,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得,交圓于點(diǎn),所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設(shè),交圓于點(diǎn),所以易知:即.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見二級結(jié)論,此題可以簡化計算.15、【解析】
作出可行域,由得,平移直線,數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得,則是直線在軸上的截距.平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)時,最小,此時最大.解方程組,得,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,屬于基礎(chǔ)題.16、15【解析】
由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項式的展開式中項的系數(shù)為.故答案為:15【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了利用通項公式去求展開式中某項的系數(shù)問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;.【解析】
利用正弦定理化簡求值即可;利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式,結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,為三角形內(nèi)角,故,,則,故,;(2)平分,設(shè),則,,,,則,,又,則在中,由正弦定理:,.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式,二倍角公式,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)或(2)最小值為.【解析】
(1)討論,,三種情況,分別計算得到答案.(2)計算得到,再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由,解得.所以所求不等式的解集為或.(2)根據(jù)函數(shù)圖像知:當(dāng)時,,所以.因?yàn)?,由,可知,所以,?dāng)且僅當(dāng),,時,等號成立.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對值不等式,函數(shù)最值,均值不等式,意在考查學(xué)生對于不等式,函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)分三種情況討論,分別求解不等式組,然后求并集即可得不等式的解集;(Ⅱ)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得,不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,等價于,解不等式即可求的取值范圍.試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時,即,①當(dāng)時,得,所以;②當(dāng)時,得,即,所以;③當(dāng)時,得成立,所以.故不等式的解集為.(Ⅱ)因?yàn)?,由題意得,則,解得,故的取值范圍是.20、(1);(2)2【解析】
(1)首先利用對圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù))進(jìn)行消參數(shù)運(yùn)算,化為普通方程,再根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓C的極坐標(biāo)方程.(2)設(shè),聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程,解得;設(shè),聯(lián)立直線與直線的極坐標(biāo)方程,解得,可得.【詳解】(1)圓C的普通方程為,又,所以圓C的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則由解得,,得;設(shè),則由解得,,得;所以【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化,考查圓的極坐標(biāo)方程,考查極坐標(biāo)方程的求解運(yùn)算,考查了學(xué)生的計算能力以及轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù),求導(dǎo),令,用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.設(shè)研究在處左正右負(fù),求導(dǎo),分,,三種情況討論求解.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,令,則,所以是的增函數(shù),故,即.因?yàn)樗?,①?dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若,則若,則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,所以在處取得極小值,不符合題意,②當(dāng)時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若,則若,則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,所以在處取得極大值,符合題
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