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文檔簡介
上海市徐匯、松江、金山區(qū)2025屆高三第六次模擬考試數學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖所示,在平面直角坐標系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于,兩點,且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.2.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學家、數學家和物理學家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數學家.據說,他自己覺得最為滿意的一個數學發(fā)現就是“圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結論,要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.3.是虛數單位,則()A.1 B.2 C. D.4.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點在四棱錐的外接球面上運動,記點到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.5.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱,登泰山的路線有四條:紅門盤道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時,發(fā)現三人走的線路均不同,且均沒有走天外村汽車登山線路,三人向其他旅友進行如下陳述:甲:我走紅門盤道徒步線路,乙走桃花峪登山線路;乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路;丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門盤道徒步線路;事實上,甲、乙、丙三人的陳述都只對一半,根據以上信息,可判斷下面說法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門盤道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路6.已知橢圓的左、右焦點分別為,,上頂點為點,延長交橢圓于點,若為等腰三角形,則橢圓的離心率A. B.C. D.7.執(zhí)行如下的程序框圖,則輸出的是()A. B.C. D.8.函數的大致圖象為A. B.C. D.9.把函數的圖象向右平移個單位,得到函數的圖象.給出下列四個命題①的值域為②的一個對稱軸是③的一個對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個數是()A.1 B.2 C.3 D.410.設a,b∈(0,1)∪(1,+∞),則"a=b"是"logA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.小張家訂了一份報紙,送報人可能在早上之間把報送到小張家,小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件:“小張在離開家前能得到報紙”,設送報人到達的時間為,小張離開家的時間為,看成平面中的點,則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.12.函數的圖象大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則________.14.在中,若,則的范圍為________.15.在的展開式中的系數為,則_______.16.一個村子里一共有個人,其中一個人是謠言制造者,他編造了一條謠言并告訴了另一個人,這個人又把謠言告訴了第三個人,如此等等.在每一次謠言傳播時,謠言的接受者都是在其余個村民中隨機挑選的,當謠言傳播次之后,還沒有回到最初的造謠者的概率是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數().(1)討論的單調性;(2)若對,恒成立,求的取值范圍.18.(12分)已知函數()在定義域內有兩個不同的極值點.(1)求實數的取值范圍;(2)若有兩個不同的極值點,,且,若不等式恒成立.求正實數的取值范圍.19.(12分)已知函數.(1)當時,解不等式;(2)設不等式的解集為,若,求實數的取值范圍.20.(12分)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃,需了解年研發(fā)資金投入量x(單位:億元)對年銷售額y(單位:億元)的影響.該公司對歷史數據進行對比分析,建立了兩個函數模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中現該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數據,i=1,2,?,12,并對這些數據作了初步處理,得到了右側的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)設ui和yi的相關系數為r1,xi和(2)(i)根據(1)的選擇及表中數據,建立y關于x的回歸方程(系數精確到0.01);(ii)若下一年銷售額y需達到90億元,預測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:①相關系數r=i=1n(xi-x②參考數據:308=4×77,90≈9.4868,e21.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,已知圓C:,橢圓E:()的右頂點A在圓C上,右準線與圓C相切.(1)求橢圓E的方程;(2)設過點A的直線l與圓C相交于另一點M,與橢圓E相交于另一點N.當時,求直線l的方程.22.(10分)設函數f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數的底數.(Ⅰ)討論f(x)的單調性;(Ⅱ)證明:當x>1時,g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內恒成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
聯立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標,然后利用向量垂直的坐標表示可得,由離心率定義可得結果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因為,所以,所以.所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點,考查了向量垂直的坐標表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎題.2、C【解析】
設球的半徑為R,根據組合體的關系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設球的半徑為R,根據題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數學史了解,屬于基礎題.3、C【解析】
由復數除法的運算法則求出,再由模長公式,即可求解.【詳解】由.故選:C.【點睛】本題考查復數的除法和模,屬于基礎題.4、A【解析】
根據平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點,則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數形結合的思想,屬于難題.5、D【解析】
甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯誤,又三人的陳述都只對一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選:D【點睛】本題主要考查了判斷與推理的問題,重點是找到三人中都提到的內容進行分類討論,屬于基礎題型.6、B【解析】
設,則,,因為,所以.若,則,所以,所以,不符合題意,所以,則,所以,所以,,設,則,在中,易得,所以,解得(負值舍去),所以橢圓的離心率.故選B.7、A【解析】
列出每一步算法循環(huán),可得出輸出結果的值.【詳解】滿足,執(zhí)行第一次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第二次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第三次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第四次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第五次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第六次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第七次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第八次循環(huán),,;不成立,跳出循環(huán)體,輸出的值為,故選:A.【點睛】本題考查算法與程序框圖的計算,解題時要根據算法框圖計算出算法的每一步,考查分析問題和計算能力,屬于中等題.8、A【解析】
因為,所以函數是偶函數,排除B、D,又,排除C,故選A.9、C【解析】
由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗法判斷②③;對求導,并得到導函數的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個單位可得,,的值域為,①錯誤;當時,,所以是函數的一條對稱軸,②正確;當時,,所以的一個對稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個.故選:C【點睛】本題考查三角函數的圖像變換,考查代入檢驗法判斷余弦型函數的對稱軸和對稱中心,考查導函數的幾何意義的應用.10、A【解析】
根據題意得到充分性,驗證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞,當"a=b當logab=log故選:A.【點睛】本題考查了充分不必要條件,意在考查學生的計算能力和推斷能力.11、D【解析】
這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應位于五邊形內,作圖如下:故選:D【點睛】考查幾何概型,是基礎題.12、A【解析】
根據函數的奇偶性和單調性,排除錯誤選項,從而得出正確選項.【詳解】因為,所以是偶函數,排除C和D.當時,,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【點睛】本小題主要考查函數圖像的識別,考查利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,注意根據題意,分析所給代數式的特點,通過給二項式的賦值,求展開式的系數和,可以簡便的求出答案,屬于基礎題.14、【解析】
借助正切的和角公式可求得,即則通過降冪擴角公式和輔助角公式可化簡,由,借助正弦型函數的圖象和性質即可解得所求.【詳解】,所以,.因為,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了三角函數的化簡,重點考查學生的計算能力,難度一般.15、2【解析】
首先求出的展開項中的系數,然后根據系數為即可求出的取值.【詳解】由題知,當時有,解得.故答案為:.【點睛】本題主要考查了二項式展開項的系數,屬于簡單題.16、【解析】
利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播,謠言一定不會回到最初的人;從第2次傳播開始,每1次謠言傳播,第一個制造謠言的人被選中的概率都是,沒有被選中的概率是.次傳播是相互獨立的,故為故答案為:【點睛】本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①當時,在上單調遞減,在上單調遞增;②當時,在上單調遞增;(2).【解析】
(1)求出函數的定義域和導函數,,對討論,得導函數的正負,得原函數的單調性;(2)法一:由得,分別運用導函數得出函數(),的單調性,和其函數的最值,可得,可得的范圍;法二:由得,化為令(),研究函數的單調性,可得的取值范圍.【詳解】(1)的定義域為,,①當時,由得,得,在上單調遞減,在上單調遞增;②當時,恒成立,在上單調遞增;(2)法一:由得,令(),則,在上單調遞減,,,即,令,則,在上單調遞增,,在上單調遞減,所以,即,(*)當時,,(*)式恒成立,即恒成立,滿足題意法二:由得,,令(),則,在上單調遞減,,,即,當時,由(Ⅰ)知在上單調遞增,恒成立,滿足題意當時,令,則,所以在上單調遞減,又,當時,,,使得,當時,,即,又,,,不滿足題意,綜上所述,的取值范圍是【點睛】本題考查對于含參數的函數的單調性的討論,不等式恒成立時,求解參數的范圍,屬于難度題.18、(1);(2).【解析】
(1)求導得到有兩個不相等實根,令,計算函數單調區(qū)間得到值域,得到答案.(2),是方程的兩根,故,化簡得到,設函數,討論范圍,計算最值得到答案.【詳解】(1)由題可知有兩個不相等的實根,即:有兩個不相等實根,令,,,,;,,故在上單增,在上單減,∴.又,時,;時,,∴,即.(2)由(1)知,,是方程的兩根,∴,則因為在單減,∴,又,∴即,兩邊取對數,并整理得:對恒成立,設,,,當時,對恒成立,∴在上單增,故恒成立,符合題意;當時,,時,∴在上單減,,不符合題意.綜上,.【點睛】本題考查了根據極值點求參數,恒成立問題,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、(1)或;(2)【解析】
(1)使用零點分段法,討論分段的取值范圍,然后取它們的并集,可得結果.(2)利用等價轉化的思想,可得不等式在恒成立,然后解出解集,根據集合間的包含關系,可得結果.【詳解】(1)當時,原不等式可化為.①當時,則,所以;②當時,則,所以;⑧當時,則,所以.綜上所述:當時,不等式的解集為或.(2)由,則,由題可知:在恒成立,所以,即,即,所以故所求實數的取值范圍是.【點睛】本題考查零點分段求解含絕對值不等式,熟練使用分類討論的方法,以及知識的交叉應用,同時掌握等價轉化的思想,屬中檔題.20、(1)模型y=eλx+t的擬合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】
(1)由相關系數求出兩個系數,比較大小可得;(2)(i)先建立U額R0關于x的線性回歸方程,從而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回歸方程可得x值.【詳解】本小題主要考查回歸分析等基礎知識,考查數據處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應用意識,考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想,考查數學抽象、數學運算、數學建模、數據分析等核心素養(yǎng),體現基礎性、綜合性與應用性.解:(1)r1r2則r1<r(2)(i)先建立U額R0由y=eλx+t,得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U額R0關于x所以lny=0.02x+3.84(ii)下一年銷售額y需達到90億元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以所以x≈4.4998-3.84所以預測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元【點睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系、導數幾何意義等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等,考查數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng),體現基礎性、綜合性與應用性21、(1)(2)或.【解析】
(1)圓的方程已知,根據條件列出方程組,解方程即得;(2)設,,顯然直線l的斜率存在,方法一:設直線l的方程為:,將直線方程和橢圓方程聯立,消去,可得,同理直線方程和圓方程聯立,可得,再由可解得,即得;方法二:設直線l的方程為:,與橢圓方程聯立,可得,將其與圓方程聯立,可得,由可解得,即得.【詳解】(1)記橢圓E的焦距為().右頂點在圓C上,右準線與圓C:相切.解得,,橢圓方程為:.(2)法1:設,,顯然直線l的斜率存在,設直線l的方程為:.直線方程和橢圓方程聯立,由方程組消去y得,整理得.由,解得.直線方程和圓方程聯立,由方程組消去y得,由
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