垂直于弦的直徑教案

教材：人教版九年義務(wù)教育九年級數(shù)學(xué)第二十四章第一節(jié)“垂直于弦的直徑（一）

一、教學(xué)目標：（1）知識目標①使學(xué)生理解圓的軸對稱性。②掌握垂徑定理，并學(xué)會運用垂徑定理，解決有關(guān)的證明，計算。③掌握過圓心作一條與弦垂直的線段的輔助線的作法。（2）、能力目標①通過探究、發(fā)現(xiàn)定理，培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析、邏輯思維能力和歸納能力②提高學(xué)生的閱讀質(zhì)疑能力，通過選擇最優(yōu)方法、培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。（3）、情感目標①通過垂徑定理的證明，滲透愛國主義教育和美育教育。②師生共同探究定理，師生共作，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的興趣。2、教學(xué)重點：垂徑定理的內(nèi)容、應(yīng)用及有關(guān)輔助線的作法。3、教學(xué)難點：理解垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論及垂徑定理的證明方法。4、教學(xué)方法：啟發(fā)式，先做后說，師生共作。二、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境問題1：圓具有什么性質(zhì)呢？請同學(xué)們把自己畫的圓（課前讓學(xué)生準備好）對折一下發(fā)現(xiàn)什么？這說明圓是一個什么圖形？它有多少條對稱軸？（顯示：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸）。今天我們就利用圓的軸對稱來研究“垂直于弦的直徑”的問題。（板書課題）問題2：（教師出示一個擦去圓心的圓心紙片）問：大家能不能用折疊的方法把這個圓的圓心找到？二、分析猜想1、

把折線找圓心的方法投影在屏幕上（給出另一種情況，學(xué)生未得到，教師直接給出）兩種不同的情況在于直徑的位置關(guān)系不同。教師問，學(xué)生觀察，猜想。學(xué)生回答，教師引導(dǎo)補充：一個是斜交，另一個是垂直。2、問題：在直徑CD的兩側(cè)相鄰的兩條弧是否相等？學(xué)生觀察，回答：右圖中=，=。3、若把AB向下平移到任意位置，變成非直徑的弦，觀察一下，剛才的結(jié)論還成立嗎？學(xué)生觀察，歸納出上述結(jié)論依然成立。4、要求學(xué)生在圓紙片上畫出上圖，并沿CD折疊。（教師利用投影，增加效果）5、通過折疊、觀察，大家還發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？（另外還有：AE=BE）三、論證評價1、證明這個結(jié)論是同學(xué)們通過實驗猜想出來的，能否從理論上證明它呢？下面討論它的證明（在上述板書中加上“已知”、“求證”）。分析：從剛才的實驗中知道：把圓沿直徑CD所在直線對折后發(fā)現(xiàn)線段AE與BE重疊，與重疊，與重疊，因此它們分別相等。現(xiàn)在我們中要研究這樣折疊為什么會重疊就行了。證明：（1）連接OA、OB。（2）分加用紅色粉筆顯示CD左右兩側(cè)的兩個半圓

（3）用白色粉筆顯示點A、B。（4）用藍色粉筆顯示AE、BE。（5）用黃色顯示、、、。2形成定理經(jīng)過證明這個命題是正確的，我們把它作為一個定理，誰能將這個定理用一句話把它表達出來？（根據(jù)學(xué)生回答板書；垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。娬{(diào)：定理的題設(shè)有兩個：①直徑

②垂直于弦結(jié)論：①平分弦

②平分弦所對的兩條?。?）若將上述圖形變?yōu)椋?E⊥AB于E，則AE與BE相等嗎？（如圖5）（2）若只滿足CD是直徑（如圖6）或CD⊥AB（如圖7），則上述結(jié)論還成嗎？（強調(diào)：兩個條件缺一不可）因此定理又可表述為：（顯示）

CD是直徑

AE=BE（或CD過圓心）

=CD⊥AB

=（評述：幾何定理中文字語言、符號語言，圖形語言的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，可以加深對定理的理解，必須引起足夠的重視）四、推廣應(yīng)用1、例題分析：（小黑板）如圖：已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心0到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。（1）分析：“圓心0至AB的距離為3

cm”指的是哪一條線段？要求半徑必須連結(jié)OA。（分別顯示OE⊥AB于E、OA）（2）添出輔助線后啟發(fā)學(xué)生思考解法，然后師生同時給出解答。2、變式訓(xùn)練練習(xí)：如上圖，OE⊥AB于E，口答：①若OE=1，OA=2，則AB=_________；②若AB=1，∠AOE=30o，則OE=_________；③若OE=6cm，AB=16cm，則⊙O的直徑為________cm。小結(jié)：①輔助線：添半徑和過圓心作弦的垂線段是兩條常用的輔助線；②若圓的半徑為r，圓心到弦的距離為d，弦長為a，則r、a、d間有什么關(guān)系？根據(jù)什么？五、小結(jié)（盡可能由學(xué)生自己歸納）1、圓的兩條重要性質(zhì)；（1）圓是軸對稱圖形；（2）垂徑定理2、垂徑定理的應(yīng)用：（1）解決有關(guān)弦、弧、半徑等問題的計算、證明（和作圖）；（2）解決某些實際問題（如引例、拱橋等）；3、常用的輔助線：（1）作半徑；（2）過圓心作弦的垂線段。垂徑定理與勾股定理相結(jié)合，得出r2=d2+（）2——強化知識綜合運用意識5、布置作業(yè)（1）：第84頁，11、12題（2）選做題：第85頁，2題。（評述：最后的小結(jié)，既點出了垂徑定理的重要性，又幫助學(xué)生掌握不同知識結(jié)構(gòu)在整體中的相互聯(lián)系，從而使之納入整個教材所建立起來的知識系統(tǒng)中去。這樣做有利于學(xué)生對知識的理解與鞏固，同時，也使整節(jié)課連貫，緊湊，重點突出。）相等。現(xiàn)在我們中要研究這樣折疊為什么會重疊就行了。證明：……(教師用實物邊演示邊用電腦在屏幕上逐句顯示文字表達及圖中有關(guān)的部分)：（1）連接OA、OB。（2）分加用亮條顯示CD左右兩側(cè)的兩個半圓，然后在右側(cè)著色。（3）用亮光顯示點A、B。（4）用亮條顯示AE、BE。（5）用亮條顯示、、、。（評述：在學(xué)生動手操作—折紙和電腦動畫的基礎(chǔ)上，利用圓的軸對稱性，采用疊合法證明垂徑定理是學(xué)生容易接受的，由于這種證明的文字表述不是學(xué)生常用的，因此本節(jié)課不要求學(xué)生嚴格地用軸對稱性寫出證明過程，而是采用與教師演示的同步，在屏幕上逐一顯示文字和圖形，目的是既使學(xué)生重視證明表述，又加深對它的理解。）2形成定理經(jīng)過證明這個命題是正確的，我們把它作為一個定理，誰能將這個定理用一句話把它表達出來？（根據(jù)學(xué)生回答板書；垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。＃ㄔu述：學(xué)生的敘述可能是粗糙的，不準確的，課堂討論可以引導(dǎo)學(xué)生注意語言的準確和精煉。）強調(diào)：定理的題設(shè)有兩個：①直徑

②垂直于弦結(jié)論：①平分弦

②平分弦所對的兩條弧（1）若將上述圖形變?yōu)椋?E⊥AB于E，則AE與BE相等嗎？（如圖5）投影顯示：（2）若只滿足CD是直徑（如圖6）或CD⊥AB（如圖7），則上述結(jié)論還成嗎？（強調(diào)：兩個條件缺一不可）因此定理又可表述為：（顯示）

CD是直徑

AE=BE（或CD過圓心）

=CD⊥AB

=（評述：幾何定理中文字語言、符號語言，圖形語言的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，可以加深對定理的理解，必須引起足夠的重視）四、推廣應(yīng)用1、例題分析：（投影）如圖：已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心0到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。（1）分析：“圓心0至AB的距離為3

cm”指的是哪一條線段？要求半徑必須連結(jié)OA。（分別顯示OE⊥AB于E、OA）（2）添出輔助線后啟發(fā)學(xué)生思考解法，然后師生同時給出解答。（評述：例題的教學(xué)突出了兩個方面：（1）作圓心到弦的垂線段，是應(yīng)用垂徑定理時常用的添加輔助線方法；（2）轉(zhuǎn)化的教學(xué)思想，為學(xué)生練習(xí)起到了示范作用。）2、變式訓(xùn)練練習(xí)：如上圖，OE⊥AB于E，口答：①若OE=1，OA=2，則AB=_________；②若AB=1，∠AOE=30o，則OE=_________；③若OE=6cm，AB=16cm，則⊙O的直徑為________cm。小結(jié)：①輔助線：添半徑和過圓心作弦的垂線段是兩條常用的輔助線；②若圓的半徑為r，圓心到弦的距離為d，弦長為a，則r、a、d間有什么關(guān)系？根據(jù)什么？（由學(xué)生歸納出r2=d2+（）2,并用投影顯示）因此已知r、d、a中的兩個量就可求出第三個量。變式1：若以O(shè)為圓心，再畫一個圓交弦AB于C、D，則AC與BD間可能存在什么關(guān)系？（教師口述，電腦顯示）（由學(xué)生作出判斷后思考證法）注：估計學(xué)生會提出方法1、2，此時教師可有意識引導(dǎo)學(xué)生進行計論，方法3只有當(dāng)學(xué)生提出時才作簡單分析。最后通過比較擇優(yōu)，進一步突出“過圓心作弦的垂線段”這條輔助線的重要性和應(yīng)用垂徑定理的優(yōu)越性。變式2：（電腦演示）①若將AB弦往下平移，AC和BD仍相等嗎？②當(dāng)移到過圓心時，AB是大圓直徑，CD是小圓直徑，AC=BD，屬特殊情形。③當(dāng)AB移到與小圓只有一個交點時（如圖），AC與BC相等嗎？這個問題我們今后將會學(xué)到，有興趣的同學(xué)課外先去預(yù)習(xí)一下。教師小結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵，是利用垂徑定理，由圓心引弦AB的垂線。（評述：課本中的兩個例題屬于計算、證明兩種題型，方法都是添“過圓心作弦的垂線段”這條輔助線，應(yīng)用垂徑定理來解（證）。因此把例2作為例1的延伸，改編成一組變式訓(xùn)練，將它們組合在一起，比較自然。充分運用電腦的動畫效果，用運動的觀點，將例題逐漸變式，從一個圓到兩個圓，從弦到割線，又從割線到切線，層層深入拓展了學(xué)生的思維空間，讓學(xué)生在變式中體會到“變”與“不變”的辯證關(guān)系。經(jīng)常做這類精心安排好的練習(xí)，可使學(xué)生對題型和圖形結(jié)構(gòu)有較全面的理解，學(xué)會舉一反三。此外，在變式訓(xùn)練中，教師通過課堂巡視，交談、提問、分析等手段，可隨時搜集與評價學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，給學(xué)生以及時的鼓勵與鞭策，加強教學(xué)的針對性，啟迪學(xué)生的探索靈感。課外思考題是將上述問題的進一步延伸，給學(xué)生留下思維發(fā)散的時間和空間。）3、反饋練習(xí)（打印后發(fā)給學(xué)生）（1）如圖，已知AB是⊙O的直徑，MN是弦，AB

MN于P，則MP=_______，=_______，=__________。（2）如圖，⊙O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點O到AB的距離為________，∠AOB=__________度。（3）第78頁第2題。（4）提高題（見前面引入的實際問題）提示：添出如圖所示輔助線，則OC=0.9m，OA=1.5m，在RtΔAOC中，可求得AC=1.2m，∴AB=2.4m<2.5m，這說明該集裝箱卡車不能通過此門樓。提出問題：若要使卡車通過這個門樓，門樓應(yīng)如何改建？（作課外思考題）（評述：數(shù)學(xué)來源于實踐，又應(yīng)用于實踐。在反饋練習(xí)中，老師把新課引入的實際問題，在結(jié)束前引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識加以解決，注重培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。首尾呼應(yīng)，形成一個課堂教學(xué)的整體。）4、小結(jié)（盡可能由學(xué)生自己歸納）1、圓的兩條重要性質(zhì)；（1）圓是軸對稱圖形；（2）垂徑定理（在復(fù)述內(nèi)容基礎(chǔ)上突出二個條件，三個結(jié)論，及三種語言的相互轉(zhuǎn)換）2、垂徑定理的應(yīng)用：（1）解決有關(guān)弦、弧、半徑等問題的計算、證明（和作圖）；（2）解決某些實際問題（如引例、拱橋等）；——強化應(yīng)用意識。3、常用的輔助線：（1）作半徑；（2）過圓心作弦的垂線段。垂徑定理與勾股定理相結(jié)合，得出r2=d2+（）2——強化知識綜合運用意識5、布置作業(yè)（1）必做題：第84頁，11、12題（2）選做題：第85頁，2題。（評述：最后的小結(jié)，既點出了垂徑定理的重要性，又幫助學(xué)生掌握不同知識結(jié)構(gòu)在整體中的相互聯(lián)系，從而使之納入整個教材所建立起來的知識系統(tǒng)中去。這樣做有利于學(xué)生對知識的理解與鞏固，同時，也使整節(jié)課連貫，緊湊，重點突出。）對應(yīng)著《垂直于弦的直徑（一）》的課例分析，可以得出定理公式課教學(xué)的一般過程：（1）第一階段，創(chuàng)設(shè)情境：要求教師根據(jù)教材的特點，找準知識的生長點，精心設(shè)計問題。根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計的問題可以是實際問題也可以是數(shù)學(xué)問題，或模型演示，通過具有啟發(fā)性、探索性和開放性的問題的引起學(xué)生的認知沖突，激發(fā)探究興趣。同時，課堂教學(xué)的始終，教師都要創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生自主活動，進行數(shù)學(xué)思考的良好氛圍，創(chuàng)設(shè)平等、合作的教學(xué)情境，良好的教學(xué)情境，有利于學(xué)生積極主動地參與探究活動。（2）第二階段，分析猜想：公式定理課的教學(xué)，不能只滿足于結(jié)論的證明與應(yīng)用，而應(yīng)鼓勵學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去猜想，去探索它們的發(fā)現(xiàn)過程。這一環(huán)節(jié)要充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗、觀察，運用類比、聯(lián)想、歸納、綜合等方法去探索、去研究，在學(xué)生的主動參與中，使問題逐步得到解決，在問題解決的過程中，引導(dǎo)學(xué)生不斷猜想，不斷發(fā)現(xiàn)新問題，獲得新知識、新方法。教師可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生去猜想結(jié)論，猜想規(guī)律，猜想策略。猜想的一般方法有：（1）觀察——實驗——猜想，（2）類比——聯(lián)想——猜想，（3）分析——歸納——猜想。在實際教學(xué)中，學(xué)生的猜想難免會有錯誤，教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生大膽嘗試，最終得到有價值的猜想。（3）第三階段，論證評價：在這一環(huán)節(jié)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對自己的猜想進行評價，去驗證自己結(jié)論的合理性，并給出嚴格的邏輯證明。應(yīng)鼓勵學(xué)生盡可能用自己的方式和方法完成證明，而不是完全模仿他人的證法。在學(xué)生經(jīng)過探究，找到思路之后，不要急于證明和應(yīng)用，要給學(xué)生提供一個展示思維過程的機會，講出自己的思路，并反思自己的思路是怎樣想到的，使更多的同學(xué)受到啟發(fā)，相互借鑒，并討論能不能用別的方法來證明促使學(xué)生思路發(fā)散。完成證明之后，還要引導(dǎo)學(xué)生進行理性歸納，分析它和以前學(xué)過的某些定理、公式有何本質(zhì)的聯(lián)系，把新定理、公式納入知識體系中。（4）第四階段，推廣應(yīng)用：定理、公式的運用是必不可少的一環(huán)。前面三個環(huán)節(jié)是從實際問題出發(fā)，經(jīng)過分析探究、逐步形成理論。而這一環(huán)節(jié)則是運用理論來指導(dǎo)實踐，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。這正體現(xiàn)了“實踐——理論——實踐”的哲學(xué)思想。在這一環(huán)節(jié)中，教師的作用是引導(dǎo)學(xué)生分析定理公式的特點，適用于解決哪些類型的問題，應(yīng)用時有哪些注意事項。完成基礎(chǔ)知識和基本方法的運用。變式推廣，則要根據(jù)教材特點和學(xué)生的實際情況，適當(dāng)加強或削弱定理或公式的條件，看看能得到什么有益的結(jié)論。通過這一環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進行反思小結(jié)，對知識進行整理，規(guī)律進行總結(jié)，思想方法進行提煉，最終形成自己的觀點。在“探究——主體參與型”課堂教學(xué)模式中，定理、公式課的教學(xué)加強了創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，在整體結(jié)構(gòu)上突出了“猜想”與“證明”兩大環(huán)節(jié)，而這正是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的基本策略和途徑。這兩個環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)有機結(jié)合，共同承擔(dān)了對學(xué)生形象思維、直覺思維、邏輯思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)，對學(xué)生創(chuàng)新思維和能力的培養(yǎng)具有十分突出的作用。（教師利用投影，增加效果）5、通過折疊、觀察，大家還發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？（另外還有：AE=BE）（評述：以兩條互相垂直的直徑，用運動的觀點很自然地渡到垂直于弦的直徑，遵循了從特殊到一般的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實驗、分析、猜想，主動地探索垂徑定理的知識。在這個過程中，學(xué)生動眼、動手、動口、動腦，主動參與到教學(xué)活動中，這樣做有利于發(fā)揮學(xué)生的主動性，發(fā)展他們的創(chuàng)造性，改變以往那種被動地、單純聽講的學(xué)習(xí)方法。）三、論證評價1、證明這個結(jié)論是同學(xué)們通過實驗猜想出來的，能否從理論上證明它呢？下面討論它的證明（在上述板書中加上“已知”、“求證”）。分析：從剛才的實驗中知道：把圓沿直徑CD所在直線對折后發(fā)現(xiàn)線段AE與BE重疊，與重疊，與重疊，因此它們分別相等。現(xiàn)在我們中要研究這樣折疊為什么會重疊就行了。證明：……(教師用實物邊演示邊用電腦在屏幕上逐句顯示文字表達及圖中有關(guān)的部分)：（5）用亮條顯示、、、。（評述：在學(xué)生動手操作—折紙和電腦動畫的基礎(chǔ)上，利用圓的軸對稱性，采用疊合法證明垂徑定理是學(xué)生容易接受的，由于這種證明的文字表述不是學(xué)生常用的，因此本節(jié)課不要求學(xué)生嚴格地用軸對稱性寫出證明過程，而是采用與教師演示的同步，在屏幕上逐一顯示文字和圖形，目的是既使學(xué)生重視證明表述，又加深對它的理解。）2形成定理經(jīng)過證明這個命題是正確的，我們把它作為一個定理，誰能將這個定理用一句話把它表達出來？（根據(jù)學(xué)生回答板書；垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?。（評述：學(xué)生的敘述可能是粗糙的，不準確的，課堂討論可以引導(dǎo)學(xué)生注意語言的準確和精煉。）強調(diào)：定理的題設(shè)有兩個：①直徑

②垂直于弦結(jié)論：①平分弦

②平分弦所對的兩條?。?）若將上述圖形變?yōu)椋?E⊥AB于E，則AE與BE相等嗎？（如圖5）投影顯示：（2）若只滿足CD是直徑（如圖6）或CD⊥AB（如圖7），則上述結(jié)論還成嗎？（強調(diào)：兩個條件缺一不可）因此定理又可表述為：（顯示）

CD是直徑

AE=BE（或CD過圓心）

=CD⊥AB

=（評述：幾何定理中文字語言、符號語言，圖形語言的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，可以加深對定理的理解，必須引起足夠的重視）四、推廣應(yīng)用1、例題分析：（投影）如圖：已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心0到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。（1）分析：“圓心0至AB的距離為3

cm”指的是哪一條線段？要求半徑必須連結(jié)OA。（分別顯示OE⊥AB于E、OA）（2）添出輔助線后啟發(fā)學(xué)生思考解法，然后師生同時給出解答。（評述：例題的教學(xué)突出了兩個方面：（1）作圓心到弦的垂線段，是應(yīng)用垂徑定理時常用的添加輔助線方法；（2）轉(zhuǎn)化的教學(xué)思想，為學(xué)生練習(xí)起到了示范作用。）2、變式訓(xùn)練練習(xí)：如上圖，OE⊥AB于E，口答：①若OE=1，OA=2，則AB=_________；②若AB=1，∠AOE=30o，則OE=_________；③若OE=6cm，AB=16cm，則⊙O的直徑為________cm。小結(jié)：①輔助線：添半徑和過圓心作弦的垂線段是兩條常用的輔助線；②若圓的半徑為r，圓心到弦的距離為d，弦長為a，則r、a、d間有什么關(guān)系？根據(jù)什么？（由學(xué)生歸納出r2=d2+（）2,并用投影顯示）因此已知r、d、a中的兩個量就可求出第三個量。變式1：若以O(shè)為圓心，再畫一個圓交弦AB于C、D，則AC與BD間可能存在什么關(guān)系？（教師口述，電腦