2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則（）A． B． C． D．3．蘇州荻溪倉始建于明代，曾作為古代官方桹倉，圓筒桹倉簡約美觀、儲存容量大，在糧食儲存方面優(yōu)勢明顯，如圖（1）．某校模型制作小組設(shè)計圓筒糧倉模型時，將糧倉的屋頂近似看成一個圓錐，如圖（2）．若該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．4．已知，且滿足，則（）A． B． C． D．5．已知向量，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．46．下列函數(shù)，滿足“對于定義域內(nèi)任意兩個實數(shù)，，都有”的是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，在處取得最大值，且．將曲線向左平移1個單位長度，得到曲線，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)5，8，10，12，13的第40百分位數(shù)是9B．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則C．20張中只有2張能中獎，現(xiàn)從中一次性抽取張，若其中至少有一張中獎的概率大于0．5，則的最小值為6D．已知數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為6，方差為10，現(xiàn)加入5和7兩個數(shù)，則這8個數(shù)的方差10．已知函數(shù)在處取得極值，則下列說法正確的是（）A．若在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是B．有3個零點C．在上的最小值為D．在R上恒成立11．如圖，已知圓，過原點作射線交圓于點（異于點），交直線于點（異于點），再以為圓心、線段的長為半徑作圓與射線交于點，記點的軌跡為曲線．設(shè)，，則下列說法正確的是（）A．曲線上所有點的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．C．曲線的方程為D．過點且與垂直的直線必與拋物線相切三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數(shù)的圖象在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_______．13．甲、乙兩人進(jìn)行某項比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率均為，沒有平局，各局比賽的結(jié)果互不影響．約定當(dāng)一方勝的局?jǐn)?shù)比另一方多兩局時即可獲勝，比賽結(jié)束．設(shè)最終比賽局?jǐn)?shù)為，則_______．14．過雙曲線的左焦點作軸的垂線，為上一動點，已知，，若的最大值為，則雙曲線的離心率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）若的周長為，求的面積．16．（15分）如圖，橢圓的中心在原點，左、右焦點分別為，，點，為橢圓上兩點（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個頂點圍成的四邊形周長為12．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值．17．（15分）已知函數(shù)．（1）若，求證：；（2）若且在上恒成立，求的最大值．18．（17分）如圖，在三棱錐中，平面，，分別是，的中點，，，．延長至點，使得，連接．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值；（3）若點，分別是直線，上的動點，求的最小值．19．（17分）設(shè)數(shù)列是一個無限數(shù)列，若對于一個給定的正整數(shù)，不等式對每一個大于的正整數(shù)都成立，則稱是階友好數(shù)列．（1）若，證明：是2階友好數(shù)列，但不是1階友好數(shù)列．（2）若是1階友好數(shù)列，為數(shù)列的前項和．證明：①；②．2025屆高三12月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)?全解全析及評分標(biāo)準(zhǔn)閱卷注意事項：1．閱卷前請各學(xué)科教研組長，組織本學(xué)科改卷老師開會，強調(diào)改卷紀(jì)律，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。2．請老師改卷前務(wù)必先做一遍試題，了解自己所改試題的答案、評分細(xì)則、答題角度后，再開始改卷。3．請老師認(rèn)真批閱，不可出現(xiàn)漏改、錯改現(xiàn)象，如果不小心漏改或錯改了，可以點擊回評按鈕重評。4．成績發(fā)布后，如果有學(xué)校反饋錯評亂評，平臺定位閱卷老師，進(jìn)行通報批評。5．解答題要在學(xué)生的答案中找尋有用的文字說明、證明過程或演算步驟，合理即可給分。6．解答題不要只看結(jié)果，結(jié)果正確，但中間的文字說明、證明過程或演算步驟無法建立有效銜接的，不能給滿分；同樣，結(jié)果錯誤，但正確寫出相應(yīng)的文字說明、證明過程或演算步驟應(yīng)給分，因第（1）問中結(jié)果算錯，使后面最終結(jié)果出錯（過程列式正確），不宜重復(fù)扣分。7．閱卷平臺出現(xiàn)的相關(guān)問題，如果刷新頁面重新登錄未能解決，請將問題反饋給學(xué)校負(fù)責(zé)技術(shù)的老師（或考試負(fù)責(zé)人），由其統(tǒng)一在技術(shù)群里反饋問題并協(xié)助解決。1234567891011DBACBCAAACDBCABD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D因為，，所以．故選D．2．B因為與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，所以．故選B．3．A由題意，知該圓錐底面圓的半徑為，設(shè)該圓錐的母線長為，高為．由，得，，所以該圓錐的體積．故選A．4．C因為，所以．又，所以，所以．故選C．5．B設(shè)，，得點在直線上運動，點在函數(shù)的圖象上運動．作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，知當(dāng)，時，．故選B．6．C對于A，令，，則，，不滿足條件，舍去；對于B，令，則，，不滿足條件，舍去；對于C，因為，所以，滿足條件；對于D，令，，則，不滿足條件，舍去．故選C．7．A設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題意，得，所以．又，所以，．又，所以，，所以．求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，問題轉(zhuǎn)化為求曲線與曲線的交點個數(shù)．當(dāng)時，取，得，，所以曲線與曲線在區(qū)間上有2個交點，區(qū)間上無交點；當(dāng)時，取，得，結(jié)合圖象，知曲線與曲線在上有2個交點，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為4．故選A．8．A由函數(shù)，得當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為．當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減．又，，，所以，所以．故選A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．ACD對于A，由，知數(shù)據(jù)5，8，10，12，13的第40百分位數(shù)為，故A正確；對于B，由正態(tài)曲線的對稱性，知，所以，故B錯誤；對于C，由，得．又為正整數(shù)，計算得的最小值為6，故C正確；對于D，易知新數(shù)據(jù)的平均數(shù)仍為6，由方差公式，得，解得，則新數(shù)據(jù)的方差，故D正確．故選ACD．10．BC由，得．由，得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．對于A，由或得或，故A錯誤；對于B，令，得，，，故B正確；對于C，結(jié)合的單調(diào)性及，，得當(dāng)時，，故C正確；對于D，由，得，，所以，不滿足在上恒成立，故D錯誤．故選BC．11．ABD對于A，當(dāng)射線與軸非負(fù)半軸重合時，點與原點重合，此時，但A，B兩點不重合，所以等號取不到．當(dāng)射線的傾斜角從0逐漸趨近于時，點位于直線左側(cè)且無限趨近于該直線，即，故A正確；對于B，由題圖，知，，所以，故B正確；對于C，設(shè)，則，，代入，得．又，代入整理，得，故C錯誤；對于，設(shè)，，則①，設(shè)過點且與直線垂直的直線方程為，即，與聯(lián)立，得，結(jié)合①，得，所以過點且與垂直的直線必與拋物線相切，故D正確．故選ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．由，得，則．又，所以所求切線方程為．又切線與軸、軸分別交于點，，所以所求的三角形面積．故填．13．由題意，得若比賽局?jǐn)?shù)為6，最終比分為4：2，則前兩局雙方各勝一局，第3，4局雙方各勝一局，最后兩局甲全勝或乙全勝，所以，所以．故填．14．由題意及，得．經(jīng)計算，得，．設(shè)，由對稱性，不妨設(shè)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，即，解得，所以．故填．說明：1．第12題填0.25，也給5分．2．第14題若填，不給分．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）（1）由題意及余弦定理，得，（2分）所以．（3分）由，得．（5分）又，所以．（6分）（2）由（1），得，（8分）所以．又，所以，，，（11分）所以的面積．（13分）說明：第（1）問：1．寫出余弦定理給1分，寫出給1分．2．3分段指寫出．3．5分段指寫出．4．6分段指寫出．第（2）問：1．8分段指寫出．2．11分段指寫出，，．3．13分段指寫出的面積．16．（15分）（1）由題意，得（3分）解得（4分）所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（5分）（2）由（1），知，延長交橢圓于點，由及對稱性，知，（6分）所以．（7分）當(dāng)直線的斜率不存在時，易得，則．（8分）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)其方程為，由得，，（9分）設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得（10分）所以（11分），（12分），（13分）所以．（14分）綜上，為定值．（15分）說明：第（1）問：1．3分段指列出關(guān)于a，b，c的方程組與不等關(guān)系．2．4分段指求出a，b，c的值．3．5分段指寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．第（2）問：1．6分段指寫出．2．7分段指寫出等式．3．8分段指當(dāng)直線的斜率不存在時，求出．4．9分段指當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，得到，．5．10分段指根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出6．11分段指寫出．7．12分段指寫出．8．13分段指寫出．9．14分段指當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，寫出．10．15分段指寫出綜上，為定值．17．（15分）（1）的定義域為，（1分）當(dāng)時，，（2分）易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（3分）所以．（4分）（2）令，則在上恒成立．求導(dǎo)，得，（6分）當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，不符合題意，舍去．（8分）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，（10分）只需即可．（11分）設(shè)，則，（12分）所以在上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時，恒成立，所以．（14分）又，所以的最大值為-1．（15分）說明：第（1）問：1．1分段指寫出的定義域為．2．2分段指寫出．3．3分段指寫出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．4．4分段指寫出．第（2）問：1．6分段指構(gòu)造函數(shù)并正確求導(dǎo)，同時對分子因式分解，若求導(dǎo)正確但沒有因式分解也給1分．2．8分段指寫出當(dāng)時不符合題意的情形．3．10分段指寫出當(dāng)時，求出．4．11分段指寫出只需即可．5．12分段指構(gòu)造函數(shù)并正確求導(dǎo)，同時得到導(dǎo)函數(shù)的符號．6．14分段指根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到．7．15分段指根據(jù)得到的最大值為-1．18．（17分）因為，，，是的中點，所以，（1分）兩邊平方，得，即，得，所以．（2分）又平面，所以，，兩兩垂直．如圖，以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．（3分）（1）易得，，所以，（4分）所以．（5分）（2）由題意，知平面的一個法向量是．（6分）易得，．設(shè)平面的法向量是，則即（7分）令，得，所以平面的一個法向量是，（8分）所以，（9分）由圖，知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．（10分）（3）因為點N，Q分別是直線，上的動點，設(shè)，，則，所以．（12分）設(shè)，，則，所以，（14分）所以，（16分）所以當(dāng)，時，取得最小值，為．（17分）說明：第（1）問：1．1分段指寫出．2．2分段指寫出．3．3分段指建立空間直角坐標(biāo)系并正確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)．4．4分段指寫出．5．5分段指寫出．第（2）問：1．6分段指寫出平面的一個法向量是．2．7分段指寫出即3．8分段指寫出平面的一個法向量是．4．9分段指寫出．5．10分段指寫出二面角的余弦值為．第（3）問：1．12分段指寫出．2．14分段指寫出．3．16分段指寫出，若沒有正確配方給1分．4．17分段指寫出取得最小值為．19．（17分）（1）因為，所以要證是2階友好數(shù)列，只需證不等式對每一個大于2的正整數(shù)都成立，（1分）只需證對每一個大于2的正整數(shù)都成立，（2分）只需證，即對每一個大于2的正整數(shù)都成立，（4分）這是顯然成立的，所以是2階友好數(shù)列．（5分）又，，，所以，所以不是1階友好數(shù)列．（6分）（2）因為是1階友好數(shù)列，所以對每一個大于1的正整數(shù)都成立，即對每一個大于1的正整數(shù)都成立．（10分）令．①由上述過程，知，所以，所以．（11分）②要證，只需證，只需證，即證（*）．（12分）當(dāng)為奇數(shù)時，即證，由，得，，，，此時（*）式顯然成立．（14分）當(dāng)為偶數(shù)時，即證，由，得，，，，此時（