2025屆甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

2025屆甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)必刷試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．2．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．3．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）A．B．C．D．4．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，若為奇函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．127．已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．8．已知直線(xiàn)：（）與拋物線(xiàn)：交于（坐標(biāo)原點(diǎn)），兩點(diǎn)，直線(xiàn)：與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn).若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C．2 D．10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則,，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.14．實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則的最小值為_(kāi)______．15．如圖，某市一學(xué)校位于該市火車(chē)站北偏東方向，且，已知是經(jīng)過(guò)火車(chē)站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路，其中，，以學(xué)校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點(diǎn).當(dāng)?shù)卣顿Y開(kāi)發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設(shè)，的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面積為最小，政府投資最低？16．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知滿(mǎn)足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題中，并完成解答.）18．（12分）已知橢圓，上、下頂點(diǎn)分別是、，上、下焦點(diǎn)分別是、，焦距為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作與軸平行的直線(xiàn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，判斷是否為定值，說(shuō)明理由.19．（12分）如圖，平面四邊形中，，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為；直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C分別交于M，N兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程；（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，，求的值.21．（12分）追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元？說(shuō)明你的理由.22．（10分）一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，決定新建一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的室內(nèi)發(fā)酵館，發(fā)酵館內(nèi)有一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體發(fā)酵池，其底面為長(zhǎng)方形(如圖所示)，其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元，發(fā)酵池造價(jià)總費(fèi)用不超過(guò)65400元（1）求發(fā)酵池邊長(zhǎng)的范圍；（2）在建發(fā)酵館時(shí)，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數(shù)）.問(wèn):發(fā)酵池的邊長(zhǎng)如何設(shè)計(jì)，可使得發(fā)酵館占地面積最小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】因?yàn)椋屎瘮?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.2、D【解析】

使用不同方法用表示出，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿(mǎn)足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿(mǎn)足條件.故，，.故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.4、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出，根據(jù)是奇函數(shù)，可得的取值，再求其最小值.【詳解】解：由題意知，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，解得，因?yàn)?，所以的最小值?故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】試題分析：設(shè)的交點(diǎn)為，連接，則為所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，所以，故C為正確答案．考點(diǎn)：異面直線(xiàn)所成的角．6、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列，一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來(lái)，繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計(jì)算量大大減少.7、D【解析】

先由是偶函數(shù)，得到關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；進(jìn)而得出單調(diào)性，再分別討論和，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于常考題型.8、D【解析】

設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消去、列出韋達(dá)定理，再由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解：設(shè)，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.9、D【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】解：由題意知，，，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法.10、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，再比較的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).【詳解】依題意得，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，即，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對(duì)的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.11、B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．12、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ，k=0時(shí)解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)為定義在上的偶函數(shù)，得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）求解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的值為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為，確定出的值，進(jìn)而確定出C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義，從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線(xiàn)的截距最大時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線(xiàn)為，作出直線(xiàn)，交于A點(diǎn)，由圖象可知，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，所以直線(xiàn)也過(guò)A點(diǎn)，由，得，代入，得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．等價(jià)于點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，取得最小值，最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線(xiàn)性規(guī)劃的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.15、（1）；（2）.【解析】

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，，進(jìn)而表示直線(xiàn)的方程，由直線(xiàn)與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡(jiǎn)整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面積公式表示面積即可；（2）令，則，由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍，進(jìn)而對(duì)原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元，再令進(jìn)行換元，并構(gòu)建新的函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，.所以直線(xiàn)的方程為，即.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)的上方，所以，所以式可化為，解得.所以，.所以面積為.（2）令，則，且，所以，.令，，所以在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，取最小值.答：當(dāng)時(shí)，面積為最小，政府投資最低.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再按模型求最值，屬于難題.16、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析【解析】

選擇①時(shí)：,，計(jì)算，根據(jù)正弦定理得到，計(jì)算面積得到答案；選擇②時(shí)，，，故，為鈍角，故無(wú)解；選擇③時(shí)，，根據(jù)正弦定理解得，，根據(jù)正弦定理得到，計(jì)算面積得到答案.【詳解】選擇①時(shí)：,，故.根據(jù)正弦定理：，故，故.選擇②時(shí)，，，故，為鈍角，故無(wú)解.選擇③時(shí)，，根據(jù)正弦定理：，故，解得，.根據(jù)正弦定理：，故，故.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、（1）；（2），理由見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出直線(xiàn)的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此計(jì)算出直線(xiàn)和的斜率，可計(jì)算出的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，橢圓的上焦點(diǎn)為、，由橢圓的定義可得，可得，，因此，所求橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，得，直線(xiàn)的斜率為，所以，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，所以，，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中定值問(wèn)題的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點(diǎn)，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn)，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因?yàn)?所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，則有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，由得取，則設(shè)直線(xiàn)與平面所成角大小為，則，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.解法二：在中，，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，過(guò)作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，，所以，設(shè)到平面的距離為，由，即，即，可得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角大小為，則.故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線(xiàn)面角，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.由直線(xiàn)的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線(xiàn)的普通方程；（2）將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，韋達(dá)定理得，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，即可求出的值.【詳解】（1）由可得，即，即，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，由直線(xiàn)的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，即直線(xiàn)的普通方程為.（Ⅱ）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)在直線(xiàn)上.將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，整理得，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，即.設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達(dá)定理可得，.點(diǎn)在直線(xiàn)上，，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用，屬于中檔題.21、（1）；（2）（i）詳見(jiàn)解析；（ii）會(huì)超過(guò)；詳見(jiàn)解析【解析】

（1）利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示，可得結(jié)果.（2）（i）寫(xiě)出X所有可能取值，并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率，列出表格可得結(jié)果.（ii）由（i）的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的概率，可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和，最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬(wàn)元比較，可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為