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文檔簡介

2025屆河北省保定市重點中學高考數(shù)學必刷試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.22.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角形.設(shè),若在大等邊三角形中隨機取一點,則此點取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.3.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.75.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-26.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時,表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時,表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設(shè)勞倫茨曲線對應的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④7.已知集合,,則中元素的個數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.08.已知,且,則()A. B. C. D.9.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.10.已知為虛數(shù)單位,若復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.已知復數(shù),則的虛部為()A. B. C. D.112.在中,D為的中點,E為上靠近點B的三等分點,且,相交于點P,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點,且的最小值為,則該雙曲線的離心率是__________.14.已知,則展開式中的系數(shù)為__15.點是曲線()圖象上的一個定點,過點的切線方程為,則實數(shù)k的值為______.16.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則其單調(diào)遞減區(qū)間為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點分別為和的中點.(Ⅰ)棱上是否存在點使得平面平面?若存在,寫出的長并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.18.(12分)自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來,武漢醫(yī)護人員和醫(yī)療、生活物資嚴重缺乏,全國各地紛紛馳援.截至1月30日12時,湖北省累計接收捐贈物資615.43萬件,包括醫(yī)用防護服2.6萬套N95口軍47.9萬個,醫(yī)用一次性口罩172.87萬個,護目鏡3.93萬個等.中某運輸隊接到給武漢運送物資的任務,該運輸隊有8輛載重為6t的A型卡車,6輛載重為10t的B型卡車,10名駕駛員,要求此運輸隊每天至少運送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù):A型卡車16次,B型卡車12次;每輛卡車每天往返的成本:A型卡車240元,B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛,運輸隊所花的成本最低?19.(12分)如圖,在三棱錐中,,是的中點,點在上,平面,平面平面,為銳角三角形,求證:(1)是的中點;(2)平面平面.20.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點,點在第一象限,為左頂點,為下頂點,交軸于點,交軸于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若,求點的坐標.21.(12分)甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為,三人各射擊一次,擊中目標的次數(shù)記為.(1)求的分布列及數(shù)學期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,證明:當時,;(2)若在只有一個零點,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

分別代值計算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),

,

,

,

,

…,

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,

,

,

故選:A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性和運用:求數(shù)列中的項,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)幾何概率計算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題,是基礎(chǔ)題.3、A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結(jié)果.詳解:∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛:已知雙曲線方程x2a24、C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運算即可得.【詳解】依程序運算可得:,故選:C【點睛】本題主要考查了程序框圖的計算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運行的過程.5、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對值,所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當時,有最大值,當時,有最小值.故選:B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯誤.對于③,因為,所以,所以③錯誤.對于④,因為,所以,所以④正確.故選A.7、C【解析】

集合表示半圓上的點,集合表示直線上的點,聯(lián)立方程組求得方程組解的個數(shù),即為交集中元素的個數(shù).【詳解】由題可知:集合表示半圓上的點,集合表示直線上的點,聯(lián)立與,可得,整理得,即,當時,,不滿足題意;故方程組有唯一的解.故.故選:C.【點睛】本題考查集合交集的求解,涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷,屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】分析:首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題中所給的角的范圍,求得的值,之后借助于倍角公式,將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子,代入從而求得結(jié)果.詳解:根據(jù)題中的條件,可得為銳角,根據(jù),可求得,而,故選B.點睛:該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應用,在解題的過程中,需要對已知真切求余弦的方法要明確,可以應用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解,也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.9、C【解析】

由可得,再利用計算即可.【詳解】因為,,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查二倍角公式的應用,考查學生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】分析:題設(shè)中復數(shù)滿足的等式可以化為,利用復數(shù)的四則運算可以求出.詳解:由題設(shè)有,故,故選A.點睛:本題考查復數(shù)的四則運算和復數(shù)概念中的共軛復數(shù),屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

先將,化簡轉(zhuǎn)化為,再得到下結(jié)論.【詳解】已知復數(shù),所以,所以的虛部為-1.故選:C【點睛】本題主要考查復數(shù)的概念及運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

設(shè),則,,由B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,可知,,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,,因為B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,所以,,所以,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線方程,設(shè)及,將代入雙曲線方程并化簡可得,由題意的最小值為,結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算化簡,即可求得的值,進而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點,,則,即,∵,,,當時,等號成立,∴,∴,∴.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應用,由平面向量數(shù)量積的最值求離心率,屬于中檔題.14、1.【解析】

由題意求定積分得到的值,再根據(jù)乘方的意義,排列組合數(shù)的計算公式,求出展開式中的系數(shù).【詳解】∵已知,則,

它表示4個因式的乘積.

故其中有2個因式取,一個因式取,剩下的一個因式取1,可得的項.

故展開式中的系數(shù).

故答案為:1.【點睛】本題主要考查求定積分,乘方的意義,排列組合數(shù)的計算公式,屬于中檔題.15、1【解析】

求出導函數(shù),由切線斜率為4即導數(shù)為4求出切點橫坐標,再由切線方程得縱坐標后可求得.【詳解】設(shè),由題意,∴,,,即,∴,.故答案為:1.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,函數(shù)圖象某點處的切線的斜率就是該點處導數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式,再求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則,解得;所以,其中;所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為:.【點睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)存在點滿足題意,且,證明詳見解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)可考慮采用補形法,取的中點為,連接,可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì),先證平面,即,若能證明,則可得證,可通過我們反推出點對應位置應在處,進而得證;(Ⅱ)采用建系法,以為坐標原點,以分別為軸建立空間直角坐標系,分別求出兩平面對應法向量,再結(jié)合向量夾角公式即可求解;【詳解】(Ⅰ)存在點滿足題意,且.證明如下:取的中點為,連接.則,所以平面.因為是的中點,所以.在直三棱柱中,平面平面,且交線為,所以平面,所以.在平面內(nèi),,,所以,從而可得.又因為,所以平面.因為平面,所以平面平面.(Ⅱ)如圖所示,以為坐標原點,以分別為軸建立空間直角坐標系.易知,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,則有取,得.同理可求得平面的法向量為.則.由圖可知二面角為銳角,所以其余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題18、每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運輸隊所花成本最低【解析】

設(shè)每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,由題意列出約束條件,作出可行域,求出使目標函數(shù)取最小值的整數(shù)解,即可得解.【詳解】設(shè)每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,運輸隊所花成本為元,由題意可知,,整理得,目標函數(shù),如圖所示,為不等式組表示的可行域,由圖可知,當直線經(jīng)過點時,最小,解方程組,解得,,然而,故點不是最優(yōu)解.因此在可行域的整點中,點使得取最小值,即,故每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運輸隊所花成本最低.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)整數(shù)解問題,考查了數(shù)形結(jié)合的思想,解題關(guān)鍵在于列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找出目標函數(shù),同時注意整點的選取,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)證明見解析;【解析】

(1)推導出,由是的中點,能證明是有中點.(2)作于點,推導出平面,從而,由,能證明平面,由此能證明平面平面.【詳解】證明:(1)在三棱錐中,平面,平面平面,平面,,在中,是的中點,是有中點.(2)在三棱錐中,是銳角三角形,在中,可作于點,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面平面.【點睛】本題考查線段中點的證明,考查面面垂直的證明,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】

(1)由題意得,求出,進而可得到橢圓的方程;(2)由(1)知點,坐標,設(shè)直線的方程為,易知,可得點的坐標為,聯(lián)立方程,得到關(guān)于的一元二次方程,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,可用表示的坐標,進而由三點共線,即,可用表示的坐標,再結(jié)合,可建立方程,從而求出的值,即可求得點的坐標.【詳解】(1)由題意得,解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知點,,由題意可設(shè)直線的斜率為,則,所以直線的方程為,則點的坐標為,聯(lián)立方程,消去得:.設(shè),則,所以,所以,所以.設(shè)點的坐標為,因為點三點共線,所以,即,所以,所以.因為,所以,即,所以,解得,又,所以符合題意,計算可得,,故點的坐標為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應用,考查平行線的性質(zhì),考查學生的計算求解能力,屬于難題.21、(1),ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ個人命中,3-ξ個人未命中”的概率.其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

ξ的數(shù)學期望為E(ξ)=0×

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