2025屆遼寧省沈陽市郊聯(lián)體高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2025屆遼寧省沈陽市郊聯(lián)體高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.已知平面,,直線滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件3.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.165.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.6.以下三個(gè)命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;③對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說,越小,判斷“與有關(guān)系”的把握越大;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.07.一個(gè)正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.68.已知,則的值等于()A. B. C. D.9.如圖,正三棱柱各條棱的長(zhǎng)度均相等,為的中點(diǎn),分別是線段和線段的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不正確的是A.在內(nèi)總存在與平面平行的線段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形10.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.11.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.12二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為__________.14.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線段之間有一觀察站點(diǎn),到直線,的距離分別為8百米、1百米,則觀察點(diǎn)到點(diǎn)、距離之和的最小值為______________百米.15.如圖,已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,,殘缺部分位于過點(diǎn)C的豎直線的右側(cè),現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個(gè)直角三角形,若該直角三角形一條邊在上,則裁出三角形面積的最大值為______.16.已知,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)召開期間,某校舉行了“冰上運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽”,為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)求、、的值及隨機(jī)抽取一考生其成績(jī)不低于70分的概率;(2)若從成績(jī)較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識(shí)”志愿活動(dòng),并指定2名負(fù)責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計(jì)1.0018.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)如圖,在四棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正方形的中心,平面,為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大?。唬?)在棱上確定一點(diǎn),使二面角的平面角的余弦值為.21.(12分)已知矩陣,,若矩陣,求矩陣的逆矩陣.22.(10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實(shí)部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以且,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】

,是相交平面,直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:已知直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力.3、C【解析】,令解得當(dāng),的圖像如下圖當(dāng),的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫法.4、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.5、A【解析】

設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,分別計(jì)算出,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.6、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),可判斷②;根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無明顯差異,故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0;故②為真命題;③對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說,越小,“與有關(guān)系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長(zhǎng)度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng),然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí),關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng),掌握一些常見的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導(dǎo)公式有,所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用,要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題9、D【解析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線與平面ABC平行;B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理;C項(xiàng)三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng),用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;B項(xiàng),如圖:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項(xiàng),當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項(xiàng),若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力,意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.10、C【解析】

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.11、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

分析:先畫出滿足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個(gè)頂點(diǎn),即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時(shí),由圖可得當(dāng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值9,故選C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在求解的過程中,首先需要正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入求值,要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體,體對(duì)角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法,由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上,該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為,長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,所以球半徑為,體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補(bǔ)體法,通過補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

建系,將直線用方程表示出來,再用參數(shù)表示出線段的長(zhǎng)度,最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點(diǎn),所在直線分別作為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則.設(shè)直線,即,則,所以,所以,,則,則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最短,此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】

分兩種情況討論:(1)斜邊在BC上,設(shè),則,(2)若在若一條直角邊在上,設(shè),則,進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】(1)斜邊在上,設(shè),則,則,,從而.當(dāng)時(shí),此時(shí),符合.(2)若一條直角邊在上,設(shè),則,則,,由知.,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,.當(dāng),即時(shí),最大.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意分類討論把所有情況考慮完全,屬于一般性題目.16、【解析】解:由題意可知:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,,;(2)【解析】

(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出,根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出,進(jìn)而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根據(jù)分層抽樣原則,分別從抽出2人,2人,1人,并按照所在組對(duì)抽出的5人編號(hào),列出所有2名負(fù)責(zé)人的抽取方法,得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的抽法數(shù),由古典概型概率公式,即可求解.【詳解】(1),,,由頻率分布表可得成績(jī)不低于70分的概率約為:(2)因?yàn)榈?、4、5組共有50名學(xué)生,所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生,每組分別為:第3組:人,第4組:人,第5組:人,所以第3、4、5組分別抽取2人,2人,1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、,第4組的2位同學(xué)為、,第5組的1位同學(xué)為,則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負(fù)責(zé)人有7種抽法,故所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全頻率分布表、古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)【解析】

(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由是遞增等比數(shù)列,,聯(lián)立,解得或,因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列,所以只有符合題意,則,結(jié)合可得,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式:;(2)由,∴;∴;那么,①則,②將②﹣①得:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.19、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由正方形的性質(zhì)得出,由平面得出,進(jìn)而可推導(dǎo)出平面,再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接、,以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】(Ⅰ)是正方形,,平面,平面,、平面,且,平面,又平面,平面平面;(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接、,是正方形,易知、、兩兩垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,在中,,,,、、、,設(shè)平面的一個(gè)法向量,,,由,得,令,則,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量,,,由,得,取,得,,得.,二面角為鈍二面角,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因?yàn)锳B⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸,以過A,且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點(diǎn)的坐標(biāo),求出棱AA1與BC上的兩個(gè)向量,由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大??;

(2)設(shè)棱B1C1上的一點(diǎn)P,由向量共線得到P點(diǎn)的坐標(biāo),然后求出兩個(gè)平面PAB與平面ABA1的一個(gè)法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為,轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值,由此確定出P點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析:解(1)如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,.,故與棱所成的角是.(2)為棱中點(diǎn),設(shè),則.設(shè)平面的法向量為,,則,故而平面的法向量是,則,解得,即為棱中點(diǎn),其坐標(biāo)為.點(diǎn)睛:本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì),以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)

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