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文檔簡介
全國大聯(lián)考2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若sin(α+3π2A.-12 B.-132.雙曲線的左右焦點為,一條漸近線方程為,過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.23.已知F為拋物線y2=4x的焦點,過點F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.44.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.5.一個正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側面積是()A.16 B.12 C.8 D.66.拋物線的焦點為,準線為,,是拋物線上的兩個動點,且滿足,設線段的中點在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.7.設,則()A. B. C. D.8.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關,且,則實數(shù)()A. B. C. D.9.若復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.10.點在曲線上,過作軸垂線,設與曲線交于點,,且點的縱坐標始終為0,則稱點為曲線上的“水平黃金點”,則曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.311.已知六棱錐各頂點都在同一個球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.12.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面向量,,(R),且與的夾角等于與的夾角,則.14.已知數(shù)列的前項和且,設,則的值等于_______________.15.已知實數(shù),滿足約束條件,則的最小值為______.16.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點,.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù)u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,且滿足1e(e為自然對數(shù)的底數(shù))求x1?x2的最大值.19.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).20.(12分)在平面直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系.(1)求曲線C的極坐標方程;(2)直線(t為參數(shù))與曲線C交于A,B兩點,求最大時,直線l的直角坐標方程.21.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若滿足,,,求.22.(10分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因為sinα+3π2=3故選B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式,靈活掌握公式是關鍵,屬于基礎題.2、A【解析】
設,直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關系化簡到,得到離心率.【詳解】設,直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因為,所以為線段的中點,所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學生的計算能力和轉化能力.3、C【解析】
將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關系,屬于中檔題.4、D【解析】
依次將選項中的代入,結合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當時,在上不單調(diào),故A不正確;當時,在上單調(diào)遞減,故B不正確;當時,在上不單調(diào),故C不正確;當時,在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導公式的應用,是一道容易題.5、B【解析】
根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長,然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側面均為邊長為2的正方形,所以該正三棱柱的側面積為故選:B【點睛】本題考查正三棱柱側面積的計算以及三視圖的認識,關鍵在于求得底面正三角形的邊長,掌握一些常見的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎題.6、B【解析】
試題分析:設在直線上的投影分別是,則,,又是中點,所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點:拋物線的性質(zhì).【名師點晴】在直線與拋物線的位置關系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準線(或與準線平行的直線)的距離時,常??紤]用拋物線的定義進行問題的轉化.象本題弦的中點到準線的距離首先等于兩點到準線距離之和的一半,然后轉化為兩點到焦點的距離,從而與弦長之間可通過余弦定理建立關系.7、D【解析】
結合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用,屬于基礎題.8、B【解析】
求出,把坐標代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點可計算參數(shù)值.9、C【解析】
化簡得到,,再計算復數(shù)模得到答案.【詳解】,故,故,.故選:.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡,共軛復數(shù),復數(shù)模,意在考查學生的計算能力.10、C【解析】
設,則,則,即可得,設,利用導函數(shù)判斷的零點的個數(shù),即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,,則單調(diào)遞減;當時,,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.故選:C【點睛】本題考查利用導函數(shù)處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.11、D【解析】
由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因為,所以,設外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結構特征,以及外接球的表面積的計算,其中解答中熟記幾何體的結構特征,熟練應用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.12、A【解析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當且僅當時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】試題分析:,與的夾角等于與的夾角,所以考點:向量的坐標運算與向量夾角14、7【解析】
根據(jù)題意,當時,,可得,進而得數(shù)列為等比數(shù)列,再計算可得,進而可得結論.【詳解】由題意,當時,,又,解得,當時,由,所以,,即,故數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,故,又,,所以,.故答案為:.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關系、函數(shù)求值,考查了推理能力與計算能力,計算得是解決本題的關鍵,屬于中檔題.15、【解析】
作出滿足約束條件的可行域,將目標函數(shù)視為可行解與點的斜率,觀察圖形斜率最小在點B處,聯(lián)立,解得點B坐標,即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,該目標函數(shù)視為可行解與點的斜率,故由題可知,聯(lián)立得,聯(lián)立得所以,故所以的最小值為故答案為:【點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,屬于簡單題.16、【解析】
設,則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設,則,又由,,所以為的中點,為的三等分點,則,,所以.【點睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運算,其中解答中熟記向量的線性運算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運算公式,準確運算是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接交于點,由三角形中位線定理得,由此能證明平面.(2)以為坐標原點,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,建立空間直角坐標系.分別求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:證明:連接交于點,則為的中點.又是的中點,連接,則.因為平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因為直棱柱,所以以點為坐標原點,分別以直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,則,設平面的法向量為,則且,可解得,令,得平面的一個法向量為,同理可得平面的一個法向量為,則所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)【解析】
(1)化簡函數(shù)h(x),求導,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系即可求出(2)函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,則f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個正根,由此得到m(x2﹣x1)=lnx2﹣lnx1,m(x2+x1)=lnx2+lnx1,消參數(shù)m化簡整理可得ln(x1x2)=ln?,設t,構造函數(shù)g(t)=()lnt,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值.【詳解】(1)令m=2,函數(shù)h(x),∴h′(x),令h′(x)=0,解得x=e,∴當x∈(0,e)時,h′(x)>0,當x∈(e,+∞)時,h′(x)<0,∴函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)f(x)=u(x)﹣v(x)=xlnxx+1,∴f′(x)=1+lnx﹣mx﹣1=lnx﹣mx,∵函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,∴f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個不等正根,∴l(xiāng)nx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,兩式相減可得lnx2﹣lnx1=m(x2﹣x1),兩式相加可得m(x2+x1)=lnx2+lnx1,∴∴l(xiāng)n(x1x2)=ln?,設t,∵1e,∴1<t≤e,設g(t)=()lnt,∴g′(t),令φ(t)=t2﹣1﹣2tlnt,∴φ′(t)=2t﹣2(1+lnt)=2(t﹣1﹣lnt),再令p(t)=t﹣1﹣lnt,∴p′(t)=10恒成立,∴p(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴φ′(t)=p(t)>p(1)=1﹣1﹣ln1=0,∴φ(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g′(t)=φ(t)>φ(1)=1﹣1﹣2ln1=0,∴g(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g(t)max=g(e),∴l(xiāng)n(x1x2),∴x1x2故x1?x2的最大值為.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值和最值,考查了函數(shù)與方程的思想,轉化與化歸思想,屬于難題19、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)利用均值不等式即可求證;(2)利用,結合,即可證明.【詳解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式,涉及的妙用,屬綜合性中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)利用消去參數(shù),得到曲線的普通方程,再將,代入普通方程,即可求出結論;(2)由(1)得曲線表示圓,直線曲線C交于A,B兩點,最大值為圓的直徑,直線過圓心,即可求出直線的方程.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù)),可得曲線C的普通方程為,因為,所以曲線C的極坐標方程為,即.(2)因為
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