上海市黃浦區(qū)2025屆高三年級期終調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市黃浦區(qū)2025屆高三年級期終調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分．其中第1～6題每題滿分4分，第7～12題每題滿分5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．1.若集合，，則________．【答案】【解析】因為，，所以，故答案為:.2.不等式的解集為___________【答案】【解析】因為，所以不等式的解集為：，故答案為：.3.橢圓的焦距是_________.【答案】2【解析】∵橢圓∴.即答案為2．4.若圓柱的底面半徑與高均為1，則其側(cè)面積為________．【答案】【解析】由題意，圓柱的側(cè)面積為：.故答案為：5.的二項展開式的常數(shù)項為_______【答案】20【解析】的二項展開式的通項為．令得．所以的二項展開式的常數(shù)項為．6.若正數(shù)x、y滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】因正數(shù)x、y滿足，所以，所以，所以當(dāng)時，最大值為，故答案為：.7.從A校高一年級學(xué)生中抽取66名學(xué)生測量他們的身高，其中最大值為184cm，最小值152cm，繪制身高頻率分布直方圖，若組距為3，且第一組下限為151.5，則組數(shù)為________．【答案】11【解析】第一組下限為151.5，組距為3，所以，故第11組的下限為181.5，因此組數(shù)為11，故答案為：118.在正四面體中，點N是的中心，若，則________．【答案】##【解析】因為在正四面體中，，正四面體的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線上，設(shè)，，，由兩兩垂直，得，所以，即，所以是正三棱錐，設(shè)該正四面體的棱長為2，則，于是A1,0,0，，又點N是的中心，所以，所以因為，所以，可得，得，可得.故答案為：.9.若，則不等式的解集為________．【答案】【解析】時，，時，，，∴由得，，①或②不等式組①無解；不等式組②的解集為綜上，不等式的解集為.故答案為：.10.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)，，則，由，得，即，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓面（包括邊界）內(nèi)，設(shè)，，則，由，得，整理得，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是直線上一點，又，所以表示點與點之間的距離，因為圓心到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：.11.一個機器零件的形狀是有缺口的圓形鐵片，如圖中實線部分為裁剪后的形狀．已知這個圓的半徑是13cm，，，且，則圓心到點B的距離約為________cm．（結(jié)果精確到0.1cm）【答案】【解析】如圖所示，設(shè)圓心為D，的中點為E，則，由題意易知，則，所以，由余弦定理知，所以.故答案為：.12.設(shè)常數(shù)b為整數(shù)，數(shù)列的通項公式為，若（，）的最小值為-7，則b＝________．【答案】【解析】由題意知，當(dāng)，即時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)列在上單調(diào)遞增，此時的最小值為，故，可得，化簡得，因為，所以方程無解，故不符合題意；當(dāng)，即時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，的最小值為，故，即，解得；綜上所述，.故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分．其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分．13.擲一顆質(zhì)地均勻骰子，觀察朝上面的點數(shù)．設(shè)事件：點數(shù)是奇數(shù)，事件：點數(shù)是偶數(shù)，事件：點數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點數(shù)是4．下列每對事件中，不是互斥事件的為（）A.與 B.與 C.與 D.與【答案】B【解析】對于選項A，因為事件和事件不能同時發(fā)生，所以與互斥，故選項A錯誤，對于選項B，當(dāng)朝上面的點數(shù)為時，與同時發(fā)生，即與不是互斥事件，所以選項B正確，對于選項C，因為事件和事件不能同時發(fā)生，所以與互斥，故選項C錯誤，對于選項D，因為事件和事件不能同時發(fā)生，所以與互斥，故選項D錯誤，故選：B.14.若從正方體八個頂點中任取四個頂點分別記為A、B、C、D，則直線AB與CD所成角的大小不可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】①由題意作圖如下：由圖易知為等腰直角三角形，則直線與的夾角為；②由題意作圖如下：由圖易知為等邊三角形，則直線與的夾角為；③由題意作圖如下：由圖易知，因為，則直線與的夾角為.而不管怎么找頂點，都無法得到直線AB與CD所成角為.故選：A.15.設(shè)，滿足的x的個數(shù)為（）A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個【答案】C【解析】由可得，即，其中，所以原方程化為，即，不妨令，因為，所以，易知時，成立，即滿足題意；又的周期為，且，所以在區(qū)間上還有一個根，如圖所示，故選：C16.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間I上恒成立，對任意的，有．對于各項均不相同的數(shù)列，，，下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列與均是嚴(yán)格增數(shù)列B.數(shù)列與均是嚴(yán)格減數(shù)列C.數(shù)列與中的一個是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個是嚴(yán)格減數(shù)列D.數(shù)列與均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列【答案】C【解析】依題意，因f'x<0在區(qū)間I上恒成立，則函數(shù)y=f由，，因數(shù)列的各項均不相同，且，若，則，即，即此時數(shù)列嚴(yán)格遞增，數(shù)列嚴(yán)格遞減；若，則，即，即此時數(shù)列嚴(yán)格遞減，數(shù)列嚴(yán)格遞增綜上所述，數(shù)列與中的一個是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個是嚴(yán)格減數(shù)列.故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖，在正方體中，E是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線DE與平面ABCD所成角的大?。猓海?）證明：連接，在正方體中，E是的中點，所以E是的中點，且，即，因為平面，平面，所以，又，平面,所以平面.（2）過作，交于，連接，在正方體中，平面，，所以平面，又平面，所以，所以是直線與平面所成的角.由題意，設(shè)，則，，所以，所以在，，故直線與平面所成角的大小是.18.已知．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間．解：（1）由，得，則函數(shù)，故最小正周期為.（2）由，得，；由，得，令，解得；故單調(diào)減區(qū)間為.19.A校高一年級共有學(xué)生330名，為了解該校高一年級學(xué)生的身高情況，學(xué)校采用分層隨機抽樣的方法抽取66名學(xué)生，其中女生32名，男生34名，測量他們的身高．（1）該校高一學(xué)生中男、女生各有多少名？（2）若從這66名學(xué)生中隨機抽取兩名，求這兩名都是男生的概率；（3）在32名女生身高的數(shù)據(jù)中，其中一個數(shù)據(jù)記錄有誤，錯將165cm記錄為156cm，由錯誤數(shù)據(jù)求得這32個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為161cm，方差為23.6875，求原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差．（平均數(shù)結(jié)果保留精確值，方差結(jié)果精確到0.01）解：（1）根據(jù)題意可知，抽樣比為，所以該校高一學(xué)生中男生有名，女生有名；（2）從這66名學(xué)生中隨機抽取兩名共有種，兩名都是男生的抽法共有種，所以這兩名都是男生的概率為（3）根據(jù)題意可設(shè)正確的31個數(shù)據(jù)為，易知，可得；所以原始數(shù)據(jù)平均值為；由方差定義可得，因此，可得；原始數(shù)據(jù)的方差為即原始數(shù)據(jù)的方差為.20.雙曲線的左、右焦點分別為、（），過點的直線與右支在軸上方交于點．（1）若，點坐標(biāo)為，求的值；（2）若，且是等比數(shù)列，求證：直線的斜率為定值；（3）設(shè)直線與左支的交點為，，當(dāng)且僅當(dāng)滿足什么條件時，存在直線，使得成立．解：（1）依題意，將，代入中，解得，則；（2）依題意知，可設(shè)直線，代入中，整理得：（*），如圖，因，故點的橫坐標(biāo)為恰是方程（*）的解，則，整理得：，即，因是等比數(shù)列，則，代入此式，可得，即得，因過點的直線與右支在軸上方交于點，故得，即直線的斜率為定值；（3）如圖，因點在雙曲線右支上，則，即，故由可得,又因點直線與左支的交點,故，則，在中，設(shè)，由余弦定理，，因為，所以，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)滿足時，存在直線，使得成立.21.函數(shù)的定義域為，在上僅有一個極值點，方程在上僅有兩解，分別為、，且．若，則稱函數(shù)在上的極值點左偏移；若，則稱函數(shù)在上的極值點右偏移．（1）設(shè)，，判斷函數(shù)在上的極值點是否左偏移或右偏移？（2）設(shè)且，，，求證：函數(shù)在上的極值點右偏移；（3）設(shè)，，，求證：當(dāng)時，函數(shù)在上的極值點左偏移．解：（1）由，得到，所以，又，由，得到，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以只有一個極值點，且極值點為，此時，所以函數(shù)在上的極值點不偏移.（2）因為，且，，由，得到或，則，又，，則有兩