2024屆廈門市某中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆廈門市第六中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05亳米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知p：lro>l』og|>乙則下列說法中正確的是()

2L

A.是假命題B.〃八“是真命題

C.是真命題D.〃人(「q)是假命題

2.己知正方體八BCD44Gq的棱K為2,點(diǎn)尸在線段。始上，且用尸=2PC,平面C經(jīng)過點(diǎn)AP，G，則正方

體ABC。-4404被平面a截得的截面面積為()

A.3瓜B.2瓜C.5D.

4

3.若(1-2不)”的二項(xiàng)展開式中/的系數(shù)是40,則正整數(shù)〃的值為()

A.4B.5C.6D.7

4.已知定義在R上的奇函數(shù)"X)滿足：f(x+2e)=-f(x)(其中。=2.71828.?),且在區(qū)間上2。］上是減函數(shù),

令人=殍，c="，則/(?),/S),/(c)的大小關(guān)系(用不等號(hào)連接)為()

NDD

A.f(b)>f(a)>/(c)B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(a)>f(b)>/(c)D.f(a)>f(c)>f(h)

5.已知△ABC中,BC=ZBABC=-2.點(diǎn)?為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PC-(B4+PB+PC)的最小值為()

325

A.2B.一一C.-2D.------

412

6.設(shè)集合A={1,2,3},B={X|X2-2X+/77=O},若AC8={3},則8=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

7.已知全集0=區(qū)，集合A={Rx<l},B={x|-l<x<2},貝!)(電,4)。3二()

A.{x|l<x<21B.|x|l<x<2^C.|x|-1<x<ijD.1x|x>-l|

8.若點(diǎn)(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()

-5-17

A.1B.-3C.1或一D.?3或一

33

5?E.

9.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足-町=不怛±"，其中星等為

2E2

恤的星的亮度為(A=l,2),已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.10,,uB.10.1C.IglO.lD.IO-101

10.已知函數(shù)/(x)=lnx-2+a在xe［l,e］上有兩個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍是()

11.在AABC中，"sinA>sin是“tanA>tan8”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.a//a,b//p,a//p,則〃與力位置關(guān)系是()

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知向量，〃=(1,1),〃g=(l㈤，若g_L(2〃?+〃)，貝!)%=.

1f

2x--的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為,常數(shù)項(xiàng)為.

15.設(shè)隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(2,9),若PC>c)=P(4vc+2),則c的值是_____.

16.正方體4BC力—ABC。中，E是棱。。的中點(diǎn)，尸是側(cè)面CQRG上的動(dòng)點(diǎn)，且四尸//平面ABE,記B］與尸

的軌跡構(gòu)成的平面為

①ZT,使得用尸"LC?！?/p>

②直線8尸與直線8C所成角的正切值的取值范圍是坐二；

③a與平面。所成銳二面角的正切值為2夜；

④正方體ABC。-44G，的各個(gè)側(cè)面中，與a所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè).

其中正碓命題的序號(hào)是_______.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某企業(yè)現(xiàn)有A.3兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品，現(xiàn)從A,8兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作

為樣本，檢測(cè)某一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在［20,40）內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A

設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.

表hB設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數(shù)2184814162

（1）請(qǐng)估計(jì)A.3設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;

（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在［25,30）內(nèi)的定為一等品，每件利潤240

元；質(zhì)量指標(biāo)值落在［20,25）或［30,35）內(nèi)的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120

元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件

相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率,企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據(jù)A,8兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)

整生產(chǎn)規(guī)模，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對(duì)哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模？

18.（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”是4與丁的等差中項(xiàng).

⑴證明：同｝為等差數(shù)列，并求5,；

（2）設(shè)以=1一數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和為7”，求滿足北25的最小正整數(shù)〃的值.

3“+1+七

19.（12分）如圖，四棱錐P—A8C。的底面為直角梯形A8〃OC,ZABC=90°,AB=BC=1,8=2,PCI

底面ABC。，且PC=6,￡為8的中點(diǎn).

（1）證明：BEA.AP；

（2）設(shè)點(diǎn)例是線段3尸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AM與直線OP所成的角最小時(shí)，求三棱錐乃-COM的體積.

20.（12分）如圖，直線二二二二一二與拋物線二,二二二二仁二交于二二兩點(diǎn)，直線二二名與二軸交于點(diǎn)二且直線二二

（1）求二的值;

（2）設(shè)二是直線二=?上一點(diǎn)，直線二二.交拋物線于另一點(diǎn)二.，直線二，.二:交直線二=?于點(diǎn)二，求三年的值.

21.（12分）在中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且向量〃z=（2?！猚/）與向量〃=（cosC,cos8）共線.

(1)求修

_uuuuuu

(2)若b=3幣,4=3,且AO=2QC，求30的長度.

22.(10分)已知函數(shù)/(龍)=2丁+〃?+1.

(D討論八幻的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,+8)上的最小值為—3,求小的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

舉例判斷命題〃與q的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.

【詳解】

當(dāng)吃〉1時(shí)，log]/<°，故〃命題為假命題；

2

記/(x)=6?工的導(dǎo)數(shù)為了(X)=^-1,

易知f(K)在(?8,0)上遞減，在(0,+oc)上遞增，

?V(X)>/(0)=1>0,即故。命題為真命題；

:.〃八(->q)是假命題

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.

【詳解】

如圖所示：

A,RG確定一個(gè)平面a,

因?yàn)槠矫鍭A.DDJ1平面,

所以AQ//PG，同理AP//Q￡,

所以四邊形APG。是平行四邊形.

即正方體被平面截的截面.

因?yàn)榉词?尸。，

所以C4=2PC,

即PC=PB=1

所以4P=PG=后,AG=2x/3

222

APPC}-AC]]_

由余弦定理得:cosZAPC1=

2APxPC}5

所以sin/APG=」一

5

所以S四邊形APQG=2xg4PxpcxsinNAPG=26

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于

中檔題.

3、B

【解析】

先化簡(1-2x)n的二項(xiàng)展開式中第7?+1項(xiàng)(討=C；；.rr?(-2x)r,然后直接求解即可

【詳解】

（1一2力”的二項(xiàng)展開式中第r+1項(xiàng)&=。：?1"，（一2歲?令1=2,則q=C〉（—2x『，，4C；=40,???〃=T

（舍）或〃=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式問題，屬于基礎(chǔ)題

4、A

【解析】

因?yàn)?（x+2e）=-/（力，所以〃x+4e）=〃x）,即周期為4,因?yàn)閒（x）為奇函數(shù),所以可作一個(gè)周期[?2e,2e]

示意圖，如圖/（冗）在（0,1）單調(diào)遞增，S^J52<25/.5^<2^,23<3222<3\\0<c<d</?<P因此

/（/?）>/（?）>/（c）,選A.

點(diǎn)睛：函數(shù)對(duì)稱性代數(shù)表示

（1）函數(shù)/（幻為奇函數(shù)O/（X）=-/（T）,函數(shù)/（X）為偶函數(shù)0/（/）=/（T）（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；

（2）函數(shù)/（A-）關(guān)于點(diǎn)（4〃）對(duì)稱<=>/'（X）+/（-工+2。）=2b,函數(shù)fix'）關(guān)于直線x=〃，對(duì)稱of（x）=f[-x+2m）,

（3）函數(shù)周期為T,則/（x）=/（x+T）

5、D

【解析】

以8C的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得設(shè)P（〃，0）,A（x,y）,運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,

求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于。的二次函數(shù)，可得最小值.

【詳解】

以5C的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，

可得B（-l,0）,C（l,0）,設(shè)P（a,0）,A（x,y）,

由R4BC=-2，

可得（x+l，y），（2,0）=2x+2=-2,即工=-2,ywO,

貝iJ『C(PA+F6+?C)=(I-a,0)(;r-4—l-a+l-a,y+0+0)

=(1—a)(x—3tz)=(1—2—3a)=3ci~—ci—2.

=3.-1:25

I612

當(dāng)a=1時(shí),PC(PA+PB+PC)的最小值為25

672

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

6、A

【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得3是集合3的元素，代入方程后可求〃7的值，從而可求從

【詳解】

依題意可知3是集合%的元素，即9一2x3+m=o,解得加=-3,由丁一2%一3二()，解得x=T,3.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.

【詳解】

解：全集U=R,集合A=*|x<l},B={x\-\<x<2}t

.他A={x|xN1}

則(4,4)n3={x|幅}送電}={刈1A?2},

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

|2x5-12k+6|

由題得行/、+(-可、=4,解方程即得k的值.

【詳解】

|2x5-12左十6|=4,解方程即得k=.3或=.

由題得

/2+(-12)23

故答案為：D

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)PC%,%)到直線

,八八I+Byn+Cl

/:IByIC=0的距離4=^^701.

VA2+B2

9、A

【解析】

由題意得到關(guān)于E，&的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.

【詳解】

5,E.

兩顆星的星等與亮度滿足嗎一"％=5愴彳,令叫=一1.45,見=一26.7,

叫一叫)二|(T45+26.7)=10.1,^=10,0J.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題以天文學(xué)問題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.

10>C

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，分別求得函數(shù)/(6的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.

【詳解】

“(加!+十皇，向4

當(dāng)42—1時(shí)，/'(x)NO,/(X)在［l,e］上單調(diào)遞增，不合題意.

當(dāng)aW—e時(shí)，/(五)在［⑶上單調(diào)遞減，也不合題意.

當(dāng)一evav-1時(shí)，則工?1,-4)時(shí)，r(x)〈O,/(x)在。，一〃)上單調(diào)遞減，x?-a,e］時(shí)，〃力在

(―a,e］上單調(diào)遞增，又/(1)=0,所以“X)在x?l,e］上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需/(e)=l-0+〃之0即可，解得

1-c

綜上，。的取值范圍是「丁匚,一11.

Ll-e)

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題.

11、D

【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為3,2時(shí)

63

【詳解】

27r71

當(dāng)人=—,8=一時(shí)，sinA>sin8,但tanA<tan3,故充分條件推不出；

36

—r\

當(dāng)A=2,8=—時(shí)，lanA>tan8,但sinA<sin8,故必要條件推不出；

63

所以“sinA>sin8”是“tanA>tanB”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

12、D

【解析】

結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況，可得。與力的關(guān)系分別是平行、異面或相交.

二：7"F

A~7X~7X7

<0(2>(3>

選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13>-1

【解析】

由向量垂直得向量的數(shù)量積為0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)論.

【詳解】

由已知2皿+〃=(4,1),丁g+，.??g?(2/w+〃)=4+/l=0,2=-4.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

14、3-260

【解析】

土的系數(shù)，再求(工)1y°

(1)令X=1求得所有項(xiàng)的系數(shù)和;(2)先求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)與含2+22x——展

kX)X)

開式中的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

將x=l代入(/+2)(2%一^),得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3.

4

十的項(xiàng)為C：(2X)［’」［=當(dāng)，的展開式中含常數(shù)項(xiàng)卜所以

因?yàn)榈恼归_式中含￥f2x--jC；(2x)3=-160,

工\XJX

(f+2/2X—L］的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為60—320=—260.

故答案為：3；-260

【點(diǎn)睛】

本題考有利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特殊項(xiàng)問題，屬于基礎(chǔ)題.

15>1

【解析】

('+「+2

由題得一一二2,解不等式得解.

2

【詳解】

因?yàn)镻e>c)=P(Jvc+2),

c+c+2-

所以---=2,

2

所以c=l.

故答案為1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

16、

【解析】

取CO中點(diǎn)G,G。中點(diǎn)M,CG中點(diǎn)N，先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,平面B]MN即為平面

。，畫出圖形，再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線B}F與直線8C所成角即為直線B7與直線B.C,

所成角，設(shè)正方體的棱長為2,進(jìn)而求解;③由MN//EGMF為MN中點(diǎn)，則MN±C,F,MN14匕則ZB.FC,即為。

與平面CD2G所成的銳二面角，進(jìn)而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.

取。。中點(diǎn)G,連接EG,則EGHCD,，所以EG//48,所以平面A,BE即為平面4BGE,

取GA中點(diǎn)MIG中點(diǎn)N,連接則易證得4M〃8G,gN〃4￡,

所以平面4MN〃平面ABGE,所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,平面與MN即為平面a.

①取/為MN中點(diǎn)，因?yàn)?MN是等腰三角形，所以時(shí)工MN，又因?yàn)镸N//C7J,，所以片”_LC7J,，故①正確;

②直線B、F與直線所成角即為直線B}F與直線B?所成角，設(shè)正方體的棱長為2,當(dāng)點(diǎn)F為MN中點(diǎn)時(shí)，直線B、F

與直線4G所成角最小，此時(shí)G尸=迫，tanNCf尸=于二坐；

2O,C14

當(dāng)點(diǎn)/與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，直線BF與直線BG所成角最大，此時(shí)tanZC,B,F=p

所以直線用F與直線5c所成角的正切值的取值范圍是號(hào),;，②正確；

③a與平面CDD?的交線為EG,且MN//EG,取F為MN中點(diǎn)，則MN1C,F,MN1B.F,/.ZB.FC,即為。與平

面CDD&所成的銳二面角,tangC產(chǎn)晚=2^，所以③正確；

④正方體ABC。-A4GR的各個(gè)側(cè)面中，平面A3CO,平面4與G2,平面8CC4,平面AQAA與平面。所成的角

相等,所以④正確.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系，考查異面直線成角，二面角，考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)xA=30.2,XB=29j(2)3設(shè)備

【解析】

(1)平均數(shù)的估計(jì)值為組中值與頻率乘積的和；

(2)要注意指標(biāo)值落在［20,40)內(nèi)的產(chǎn)品才視為合格品，列出A、B設(shè)備利潤分布列，算出期望即可作出決策.

【詳解】

(1)人設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下

質(zhì)量指標(biāo)值

115,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

/

頻數(shù)41640121810

豆=0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+0.12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2.

B設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下

質(zhì)量指標(biāo)值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數(shù)2184814162

xB=17.5x0.02+22.5x0.18+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為29.

（2）A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤記為X,B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤記為匕

X240180120

20149

p

434343

Y240180120

111

rp

236

E(X)=^(240x20+180x14+120x9)=195.35

E(y)=240x1+180x1+120x1=200

236

E(X)vE(y)

若以生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤作為決策依據(jù)，企業(yè)應(yīng)加大B設(shè)備的生產(chǎn)規(guī)模.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)的估計(jì)值、離散隨機(jī)變量的期望，并利用期望作決策，是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)綜合題，本題是一道中檔題.

18、（1）見解析，S0=&（2）最小正整數(shù)〃的值為35.

【解析】

（1）由等差中項(xiàng)可知2S〃=a”+,，當(dāng)〃之2時(shí)，得2sm…整理后可得s：-S；T=1,從而證

anS〃-1S〃T

明代｝為等差數(shù)列，繼而可求

（2）C=j"+”，則可求出（=JH—1,令JH—1N5,即可求出〃的取值范圍，進(jìn)而

求出最小值.

【詳解】

解析：(1)由題意可得2S”=%+-!-,當(dāng)〃=1時(shí)，2sI=q+-!■，＜％2=1,4=1,

%4

當(dāng)〃N2時(shí)，2S,-1+），整理可得S；-S3=l,

n〃-1

是首項(xiàng)為L公差為1的等差數(shù)列，???S；=S；+(，2-l)=〃，Sn=G.

1

(2)由(1)可得由=-Jn+\-\[n

5/〃+1+G

??Tn=—yf\+\/3—>/2++\fn—yjn—\++1—y/n=J/i+1—125,解得n235,

???最小正整數(shù)〃的值為35.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列的定義，考查了％與S”的關(guān)系，考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有與S”的

遞推關(guān)系時(shí)，常代入q=:進(jìn)行整理,證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，一般借助數(shù)列，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常

數(shù).

19、(1)見解析；(2)也.

9

【解析】

(1)要證明只需證明BE1平面PAC即可；

(2)以C為原點(diǎn)，分別以C7),CB,CP的方向?yàn)闊o軸、軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求

cos<AM,。尸〉，并求其最大值從而確定出BM=1使問題得到解決.

【詳解】

(1)連結(jié)AC、AEt由已知，四邊形45CE為正方形，則①，因?yàn)镻C1底面

ABCD,則PCJL的②，由①?知的1平面E4C，所以BEJ.AP.

(2)以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(l』,0),5(0,1,0),0(2,0,0),

P(0,0,行)，所以A3=(-1,0,0),BP=(0,-1,亞),DP=(-2,0,72),設(shè)BM=ABP，

(0</1<1),則AM=AB+BM=(—1,—義,&),所以cos<AA/,DP>=AMDP

|AM||DP|

2+2/i\/6A4-1E,I月+1_t

!=——=------/,設(shè)義+]=,￡[l,2],則/『=/、

,1+3紀(jì)?V63J+3儲(chǔ)J+3乃43/-6/+4

1

I_11234

匕4763一代，23,-所以當(dāng)t一=：2，即/=一3時(shí)，cos＜AM,OP＞取最大值，

從而＜AM,OP＞取最小值，即直線A"與直線。夕所成的角最小，此時(shí)義=，-l=g,

則因?yàn)?C_LCD,BCtCP,則8C_L平面POC,從而〃到平面PZ)C的

3

距離〃二|哈|,所以k"九"gRx及、|=苧.

【點(diǎn)睛】

本題考杳線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計(jì)算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的

內(nèi)容較多，計(jì)算量較大，解決此類問題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.

20、(1)二二4；(2)ZZ-ZC=2a

【解析】

試題分析：(1)聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程二不二二二/,化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由于直線二=二平分二二.二二;,

、一|■■一一?

所以口口〈+口叫&=4，代入點(diǎn)的坐標(biāo)化簡函-(：+fx-黃=C,結(jié)合跟魚系數(shù)關(guān)系,可求得二=+(2)設(shè)二—二.,

二。2),□(0.!),由口口＞口后點(diǎn)共線得213,=口：卬再次代入點(diǎn)的坐標(biāo)并化簡得二」二「二(二；一二「二一.4同

理由11口戶口戶點(diǎn)共線，可得二)匚3-二(匚/+1二。=一"，化簡得口匚=/4故三?三=二二-4=16+4==”

試題解析：

(1)由二:二二二二，整理得二：一4二二十＜2=0,

‘口=g一師＞0

設(shè)——」，---一一-J貝I)二；十二-?二二，

bDzD.=40

因?yàn)橹本€二二評(píng)分二二，二二.，???二二二一二二:二二4,

?0??MB

所以二二1二。即三二4三二

-/7-7--：

所以二一二十己二。=。，得二二」，滿足二＞0,所以二二」.

（2）由⑴知拋物線方程為二.=8二，且'-二二一二1，二,U：,，二;U；,，

設(shè)二二二號(hào)），二（二）二二二，由二二二三點(diǎn)共線得二二二二二二二;，

所以工3二工二，即W+毛毛■"毛.毛）=;＜.16,

整理得：二：二.：-二（二；-二；）=一.4①

由二Z；二;三點(diǎn)共線，可得二.!二.-二二-i二.,）=-%②

②式兩邊同乘二.得：二二;二.：-Z＜；：；?二!;二1=一/二;，

即：J6二:?一二（J6?二；二巳二一死二》③

由①得：C；Lj=2（Z；+Zj）-/d,RA③得：/Uj-JU-二二（二；，二J）*/U=T皿,

即：16（二；+1二：。=二二二；一二：?，所以□匚=M

所以匚二二二,=二二一」=FA+-=X.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

【方法點(diǎn)晴】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.閱讀題目后明顯發(fā)現(xiàn)，所有的點(diǎn)都是由直線和拋物線相交或者直線與

直線相交所得.故第一步先聯(lián)立二二二三二二，相當(dāng)于得到II.二的坐標(biāo)，但是設(shè)而不求.根據(jù)直線二二評(píng)分二二二二,

有:］二二一二二;二二I