專題08 銳角三角形及其應(yīng)用（解析版）

專題08銳角三角形及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01銳角三角函數(shù)與三角形綜合題型02銳角三角函數(shù)與四邊形綜合題型03銳角三角函數(shù)與圓綜合題型04銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合題型05銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合題型06銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合題型0712345模型題型08銳角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題題型09銳角三角形應(yīng)用-方位角問題題型10銳角三角形應(yīng)用-坡度坡角問題題型11銳角三角形應(yīng)用-與不易測量相關(guān)問題題型12銳角三角形應(yīng)用-與可調(diào)節(jié)的滑動(dòng)懸桿問題（時(shí)間：60分鐘）題型01銳角三角函數(shù)與三角形綜合1．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在銳角三角形ABC中，tanA=3,BC=5，線段BD?CE

【答案】5316【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求得∠A的度數(shù)，利用三角形的高的意義求得∠ACE=∠ABD=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)定理得到S△ADE=14S△ABC，作出△ABC的外接圓，得出當(dāng)點(diǎn)【詳解】解：∵tan∴∠A∵BD、CE分別是AC∴CE∴∠ACE∴AD∴AE∵∠A∴△ADE∴S∴S∴當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，三角形ADE作出△ABC的外接圓，如

點(diǎn)A為優(yōu)弧BC上的點(diǎn)，且∠A∵BC∴當(dāng)點(diǎn)A為優(yōu)BC的中點(diǎn)時(shí)，BC邊上的高最大，即△ABC的面積最大，此時(shí)AB∴△ABC∵S△ABC∴三角形ADE面積的最大值是53故答案為53【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的邊角關(guān)系定理，特殊角的三角函數(shù)值，利用三角形的性質(zhì)求得△ABC2．（2023·河南南陽·三模）小明參加了學(xué)校組織的數(shù)學(xué)興趣小組，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，他們對(duì)兩塊大小不等的等腰直角三角板擺放不同的位置，做了如下探究：

(1)將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合，如圖1，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，當(dāng)點(diǎn)①由題意可得△ACD≌△A．SSS

B．SAS

C．ASA

D．AAS②直接寫出AD與BE的數(shù)量關(guān)系___________．(2)將兩塊三角板的銳角頂點(diǎn)重合，如圖2，在△ACB和△DCE中，∠CAB=∠CDE=90°，AC=AB，CD=DE，點(diǎn)A(3)將小三角板的銳角頂點(diǎn)與大三角板的直角頂點(diǎn)重合，如圖3，在△ACB和△EDC中，∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC=4，CD=ED．將△【答案】(1)①B；②AD(2)不成立，見解析(3)2或3【分析】（1）①根據(jù)∠ACB=∠DCE=90°可推出∠ACD=∠BCE（2）根據(jù)題意可得∠DCE=∠ACB=45°，CBCA=2（3）連接BF，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，分兩種情況進(jìn)行討論即可：①當(dāng)∠BCE在BC左邊時(shí)，②當(dāng)∠【詳解】（1）解：①∵∠ACB∴∠ACB-∠DCB在△ACD和△AC=∴△ACD故選：B；②由①可得△ACD∴AD=（2）解：不成立．∵△CDE和△∴∠DCE=∠ACB=45°，∴∠ACB∴∠ACD=∠BCE∴△ACD∴BEAD即BE=故（1）中BE和AD的數(shù)量關(guān)系不存在；（3）解：連接BF，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)①當(dāng)∠BCE在BC∵∠ACB=∠EDC=90°，∴∠CED∴點(diǎn)C，D，E，B四點(diǎn)共圓，∴∠DBE=∠DCE∵∠EDC∴∠CBE∴sin∠設(shè)BE=在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得則42+5k2=∴BE=2,∵∠DBE=45°，∴BF=BE?∵∠BCE=∠BDE∴△CBE∴EFBE=DF解得：DF=2∵AC=∴AB=∴AD=

②當(dāng)∠BCE在BC同理可得：DF=22，∴AD=

綜上：AD的長為2或32【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)，正確畫出輔助線，根據(jù)題意進(jìn)行分類討論．3．（2023·重慶沙坪壩·二模）等邊△ABC中，點(diǎn)D為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DC

(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段DC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE．若D點(diǎn)在AB邊上，且DC=5，tan∠(2)如圖2，若點(diǎn)D在AB延長線上，點(diǎn)G為線段DC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在CB延長線上，連接FG、AG．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB-(3)如圖3，將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BD'C，M點(diǎn)在AB邊上，且AM=14AB，將MA繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，點(diǎn)H是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△MNH沿直線MH翻折至△MNH所在平面內(nèi)得到【答案】(1)2(2)見解析(3)21【分析】（1）作DF⊥AC，求出DF長，再求出AD，證明△ACD（2）作DE∥AC，交AG的延長線于點(diǎn)E，由條件∠FAB=∠E，AC=DE，再證明出△（3）判斷出點(diǎn)D'在過B且平行于BC的直線上，點(diǎn)N'定在以M為圓心，MN為半徑的⊙M上，連接DN'，作直線MD'，交NH于F，作DE⊥M【詳解】（1）解：如圖1，作DF⊥AC于點(diǎn)

∵tan∠∴CF∵DC=∴DF∴DF=1，∵∠A∴AD=∵∠ACB∴∠ACD∵AC=BC∴△ACD∴BE=AD（2）DG=如圖2，作DE∥AC，交AG的延長線于點(diǎn)E，

∵∠GAF∴∠GAF=60°，即∵DE∥∴∠ADE=120°，即∴∠FAB∵FB∴FB∵∠FBA∴△FAB∴AB∴AC∵AC∥DE∴∠E∵∠DGE∴△DHE∴DG（3）如圖3，若將△BDC沿直線BC翻折得到△BD∴點(diǎn)D'在過B且平行于BC將△MNH沿直線MH翻折得到△MN∴點(diǎn)N'定在以M為圓心，MN為半徑的⊙過M作MD'⊥BD'于則D'連接DD'，作直線MD'，交NH于F，作

由題得點(diǎn)H在⊙M上，且MF∵AM=14AB∴AM∵∠MAF∴MF=AM由折疊得，∠MHN∴FH∴N∵∴M∴D∠D∴M∵∠D∴D∴E∴EF∴SS△S△∴S【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解直角三角形、點(diǎn)的軌跡的判斷、直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型02銳角三角函數(shù)與四邊形綜合4．（2023·山東青島·一模）【閱讀與思考】我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個(gè)矩形發(fā)生變形后成為一個(gè)平行四邊形，設(shè)這個(gè)平行四邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角中較小的一個(gè)內(nèi)角為α，我們把1sin【探究與應(yīng)用】(1)若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是120°，則這個(gè)平行四邊形的變形度是______；(2)若矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為，試猜想S1，S2(3)如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，且AB2=AE?AD，這個(gè)矩形發(fā)生變形后為?A1B1C1D1，E1為E【答案】(1)2(2)1sin(3)45°【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到α=60°（2）如圖1，設(shè)矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為（3）由已知條件得到△B1A1E1∽△D1A【詳解】（1）解：∵平行四邊形有一個(gè)內(nèi)角是120°，∴α=60°∴1sin故答案為：23（2）解：1sin如圖1，設(shè)矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，∴S∴S則1sin（3）解：如圖2，∵AB∴A1B1∵∠B∴△B∴∠∵A1∴∠∴∠由（2）知，1sin可知1sin∴sin∠∴∠A∴∠A【點(diǎn)睛】本題考查了相似綜合題，需要掌握平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確的理解“變形度”的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）【實(shí)踐操作】如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，E為邊AB上一點(diǎn)，把△ADE沿著DE折疊得到△A'DE，作射線EA'交射線(1)求證：△A(2)當(dāng)AE=2cm時(shí)，CF=(3)【問題解決】如圖②，在正方形紙片ABCD中，取邊AB中點(diǎn)E，AD=3cm，將△ADE沿著DE折疊得到△A'DE，作射線DA'交邊BC于點(diǎn)G，點(diǎn)F為CD邊中點(diǎn)，P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△CFP沿著FP折疊得到【答案】(1)見解析(2)7(3)3【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，翻折變換，銳角三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．（1）根據(jù)AAS可證明：△A（2）設(shè)EH=（3）如圖②，連接CC'，EG，根據(jù)對(duì)稱和等腰三角形的性質(zhì)可得△DCC'是直角三角形，由三角形中位線定理得P是CG【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD∴AD∵FH∴FH由折疊得：AD=A'∴∠DA'∵AB∴∠HEF∴△A'DF（2）解：設(shè)EH=∵△A'DF∴A∵AE∴EF在Rt△EHF中，∴(∴x∴CF=故答案為：74（3）解：如圖②，連接CC'，∵CC'∴CC'∵F是CD∴DF∴DF∴△DC∴C∴DG∵F為CD∴P是CG∵E為AB的中點(diǎn)，AD∴A'E設(shè)BG=則EG∵∠B=∠EA'∴Rt△EBG∴BG在Rt△∵D∴(∴y∴CG∴CP∴tan故答案為：346．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）【操作一】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，MN∥BC交CD于點(diǎn)N．點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，連結(jié)CE，將正方形紙片沿CE所在直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在MN以下是小明同學(xué)的部分解答過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠∵M(jìn)N∴MB=NC∵M(jìn)是AB∴MB由折疊，得CB=∴CN在Rt△sin∠∴∠CB'【操作二】在圖①的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，如圖②，點(diǎn)F是CE邊上的一點(diǎn)，連結(jié)AF，將正方形紙片沿AF所在直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在MN上．求證：△BCE≌【應(yīng)用】在圖②的基礎(chǔ)上，如圖③，G、H分別是CE、AF的中點(diǎn)，順次連接B'、G、D'、H，若AB=2，直接寫出點(diǎn)H【答案】【操作一】B'C，30【分析】[操作一]由所給證明過程可推導(dǎo)得出答案；[操作二]先由①得∠CB'N=30°，進(jìn)一步證明∠BCB'=∠CB'N=30°，再由折疊可得[應(yīng)用]先根據(jù)△BCE≌△DAF，證明BE=DF和CE=AF，以及AE=CF，進(jìn)一步證明四邊形AECF是平行四邊形，以及四邊形AEGH是平行四邊形，得到GH=AE，再設(shè)GH=AE=x，則B'E=BE=【詳解】解：[操作一]∵四邊形ABCD是正方形，∴AD//BC，∠∵M(jìn)N∴MB=NC∵M(jìn)是AB∴MB由折疊，得CB=∴CN在Rt△sin∠∴∠C故答案為：B'C，[操作二]∵M(jìn)N∴∠BC由折疊可得∠BCE=∠B'CE∴∠BCE同理∠DAF∴∠BCE在△BCE和△∠BCE∴△BCE≌△[應(yīng)用]如圖，連接HG，∵△BCE≌△∴BE=DF∴AE∴四邊形AECF是平行四邊形，∴CE∥∵G、H分別是CE、AF∴EG∴四邊形AEGH是平行四邊形，∴GH設(shè)GH=AE=∵∠C∴∠C∵∠ME∴∠ME∵M(jìn)N∴ME∵M(jìn)是AB∴AM∴EM∴2-解得x=2即點(diǎn)H、G之間的距離為23【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、矩形、平行四邊形性在應(yīng)用，勾股定理的計(jì)算及三角形全等的證明是解題關(guān)鍵．7．（2023·浙江寧波·一模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上與點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，EF=AE，∠AEF=90°，點(diǎn)G是射線證明思路：在AB上截取BK=BE，因?yàn)锳B=【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上與B不重合的任意一點(diǎn)，tan∠FCG=EFAE=2，∠AEF【拓展提高】（3）如圖3，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連結(jié)BE，作∠EFG=∠EBF，使點(diǎn)F，G分別落在邊BC，CD．上．若2BE=5【答案】（1）見解析；（2）12；（3）【分析】（1）先證明∠BAE=∠CEF，證明△EAK≌△（2）作∠AEM=∠F，交線段AB于點(diǎn)M，證明△AEM∽△（3）過點(diǎn)G作∠FGH=∠EFG，即EF∥GH．△EBF∽△FGH，得出GHFG【詳解】證明：（1）∵∠AEF∴∠AEB又∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC∴∠AEB∴∠BAE在△EAK和△AE=∴△EAK∴∠AKE∵BK=BE，∴∠FCG（2）作∠AEM=∠F，交線段AB∵∠AEF∴∠AEB又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠AEB∴∠BAE∴△AEM∴AMEC又∴∠BME∴BE∴AB（3）如圖，過點(diǎn)G作∠FGH=∠EFG∴∠BFE∵∠∵∠∴∠BEF∴△EBF∴GH∵tan設(shè)CG=a，則CF=3則GH=∴sin【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形性質(zhì)與判定，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型03銳角三角函數(shù)與圓綜合8．（2023·廣西梧州·二模）如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D(1)求證：AB為⊙O(2)若AB=10，sin∠ABC=【答案】(1)見解析(2)AD的長為2【分析】（1）作OE⊥AB于點(diǎn)E，由∠AOD=∠BAD（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)，求出AC、BC的長，由S△AOB+S△COB=S△本題考查了切線的性質(zhì)與判定，角平分線定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】（1）證明：作OE⊥AB于點(diǎn)E，則∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C∴BC⊥∵AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)∴∠C∵∠CBD+∠BOC=90°，∴∠CBD∵∠AOD∴∠ODA∴∠CBD∴OC=∴點(diǎn)E在⊙O∵OE是⊙O的半徑，且AB∴AB是⊙O（2）解：∵ACAB=sin∴AC=∴BC=∵S△∴12∴12∴OC=3∴OA=AC-∵ABOA∴AD=9．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且tan∠A=34，M為線段AB的中點(diǎn)，作DM⊥AB，點(diǎn)P在線段CB上，點(diǎn)Q在線段

(1)求線段DM的長度；(2)求tan∠(3)當(dāng)△MPE是等腰三角形時(shí)，求出線段AQ【答案】(1)15(2)4(3)258或【分析】（1）在Rt△AMD中，AM=（2）證明∠ACM（3）證明△AMQ∽△PME，故當(dāng)△MPE是等腰三角形時(shí)，則△AMQ為等腰三角形．然后分①當(dāng)AM=AQ=5時(shí)，【詳解】（1）∵DM⊥∴△ADM∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，AB=10∴AM=在Rt△AMD則DM=（2）連接CM，

在Rt△ABC中，∵∴CM=∴∠MBC∵M(jìn)P=∴∠MCB∴∠MBC在Rt△ABC中，tan∠∴tan∠（3）∵∠QMA+∠QMD∴∠QMA在Rt△ABC中，∵∴CM=∴∠ACM∵M(jìn)Q=∴∠ACM∴∠ACM∴△AMQ∴當(dāng)△MPE是等腰三角形時(shí)，則△①當(dāng)AM=此時(shí)AQ=5②當(dāng)AM=∴∠A∵∠AQM∴此種情況不存在；③當(dāng)AQ=∴∠A∵∠A+∠ADM∴∠DMQ∴DQ=∴AQ=∴AQ=在Rt△AMD中，則AQ=綜上，AQ=258【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．10．（2023·浙江杭州·三模）如圖1，三角形ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在圓O上，連接AD和CD，CD交AB于點(diǎn)E，∠

(1)求證：AB是直徑；(2)如圖2，點(diǎn)F在線段BE上，AC=AF①求證：DE=②若AB=kAD，用含k的表達(dá)式表示【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②k【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理可得∠ADE=∠ABC（2）①先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AFC=∠ACF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠AFC=∠ACE②過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H，設(shè)DE=DA=xx>0，BC=y，則AB=kx，cosB【詳解】（1）證明：由圓周角定理得：∠ADE∵∠ADE∴∠ABC∴∠ACB∴AB（2）證明：①∵AC=AF∴∠AFC∴∠AED由圓周角定理得：∠DAE∴∠AED∴DE②如圖，過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)

設(shè)DE=DA=xx>0，在Rt△ABC中，∴cos設(shè)cosB=y∵∠CEF=∠AED，∠∴∠CEF∴BE∴AE由圓周角定理得：∠ADH在△ADH和△ABC中，∴△ADH∴DHBC=解得DH=∴EH由勾股定理得：AD∴x整理得：k2解得a=k2則cosB【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、余弦等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）②，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．題型04銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合11．（2023·湖南永州·二模）如圖1，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)F，H分別在邊AD，AB上，CF=CH，連結(jié)FH交

(1)求證：AC平分∠FCH(2)如圖2，過點(diǎn)A，H，F(xiàn)的圓交CF于點(diǎn)P，連結(jié)PH交AC于點(diǎn)K，求證：KHCH(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)K是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求cos∠【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明Rt△CDF≌Rt△CBH得到（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的外角性質(zhì)得到∠AHP=∠BHC，過K作KM⊥AB于（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到MHBH=KMBC=AMAB=AKAC=12，設(shè)MH=a，則BH=2a，BM=3a，AM=KM=3a【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA在Rt△CDF和CD=∴Rt△∴∠DCF∴∠FCA∴AC平分∠FCH（2）解：∵Rt△∴∠DFC∵∠DFC是圓內(nèi)接四邊形AHPF∴∠DFC=∠AHP過K作KM⊥AB于M，則∠KMH∴△KMH∽△CBH∴MHBH=KM∴KHCH

（3）解：∵點(diǎn)K是線段AC的中點(diǎn)，∴AKAC由（2）中△AMK∽△ABC，知MH故設(shè)MH=a，則BH=2a，BM=3∴AF=在Rt△BCH中，在Rt△AHF中，∵CF=CH，AC平分∴EH=12FH=2∵過點(diǎn)A，H，F(xiàn)的圓交CF于點(diǎn)P，∠FAH∴∠FPH∴△FPH∽△∴FPEH=FH解得FP=410在Rt△CPH中，【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓內(nèi)角四邊形的外角性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題型，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，靈活添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解答的關(guān)鍵．12．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=3，點(diǎn)F在邊AB上，過點(diǎn)B、F、E作圓O，交邊BC(1)求tan∠(2)若BG=EG，求(3)若x=2，求弧EF(4)若圓O經(jīng)過矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的值．（注：sin19°=13，cos【答案】(1)12(2)154(3)35(4)3或32【分析】（1）由題意得∠FGE（2）連接EF，OE，證明Rt△BFG≌（3）證明△ABE∽△EGF，得出AEEF=（4）分兩種情況：①若圓O經(jīng)過矩形的頂點(diǎn)C時(shí)；②若圓O經(jīng)過矩形的頂點(diǎn)D時(shí)；由勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵EF=∴∠FGE∵tan∠∴tan∠（2）解：連接EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A∴FG是圓O的直徑，∴∠FEG在Rt△BFG和Rt△EFG中，∴Rt△∴BF=在Rt△AEF中，∵∴x2解得x=（3）解：∵BF=2∴AF=∵AE=3∴EF=∵AB=6∴BE=∵∠FEG=∠A∴△ABE∴AEEF∴GF=∴EG=10∴tan∠∴∠FGE∴∠FOE∴EF的長=54（4）3或32①若圓O經(jīng)過矩形的頂點(diǎn)C時(shí)，∵DE=6，CD∴CE=6∵tan∠∴EF=3又∵AF∴AF=3∴BF=②若圓O經(jīng)過矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，過點(diǎn)G作GM⊥AD，垂足M落在則四邊形CGMD是矩形，四邊形ABGM是矩形，過點(diǎn)O作ON⊥AM于點(diǎn)延長NO交BG于點(diǎn)Q，∴EN=DN，∴DM=∴EG=∴EF=∵AF∴AF=∴BF=∴x的值為3或32【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇揚(yáng)州·三模）已知在矩形ABCD中，AB=4,AD=3，點(diǎn)O是邊AB上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓，交射線AB

(1)如圖1，當(dāng)⊙O與直線BD相切時(shí)，求半徑OA(2)當(dāng)⊙O經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求∠(3)當(dāng)⊙O與△BCD的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求半徑【答案】(1)32(2)725(3)32<OA【分析】（1）設(shè)⊙O與直線BD的切點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OE（2）連接OC，設(shè)OC=a，則OB=4-a，利用勾股定理構(gòu)造方程求得OC=a=（3）分三種臨界情況：①當(dāng)⊙O與邊CD的切點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OE，此時(shí)恰好有三個(gè)交點(diǎn)，②當(dāng)⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，連接OC，③當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)【詳解】（1）解：設(shè)⊙O與直線BD的切點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OE

∴OE⊥∴∠DEO∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB∴∠DAB∵OD=∴△ADO∴DE=∵AB=4,∴BD=∴BE=5-3=2設(shè)AO=OE=∵OE∴r2解得：r=∴半徑OA的長為32（2）解：連接OC，設(shè)OC=

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵當(dāng)⊙O經(jīng)過點(diǎn)C∴OC=∴OB=4-∵∠B∴OB2+解得OC=a=∴OB=4-a∴sin∠OCB=（3）解：①如圖所示：當(dāng)⊙O與邊CD的切點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OE∴OE⊥∴四邊形BOEC為矩形，∴OE=

∴由（1）得半徑OA的長為32∴當(dāng)32②當(dāng)⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，連接OC

由（2）得半徑OA的長為258∴當(dāng)3≤OA<258時(shí)，⊙O③當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖所示，滿足條件，

∴當(dāng)258綜上可得：32<OA【點(diǎn)睛】題目主要考查切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求正弦值，矩形的性質(zhì)及勾股定理解三角形，正切函數(shù)的定義等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．題型05銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合14．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，CD⊥AD于點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點(diǎn)F作FG

(1)求證：CD是⊙O(2)延長AB和DC交于點(diǎn)E，若AE=4BE，求(3)在（2）的條件下，求FHAF【答案】(1)見解析；(2)35(3)12【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及等邊對(duì)等角得出∠DAC=∠ACO，證明AD（2）根據(jù)題意，設(shè)BE=x，則AB=3x，由AD∥（3）由（2）知：OE=2.5x,OC=1.5【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，

∵OA∴∠CAO∵AC平分∠∴∠DAC∴∠DAC∴AD∵∴OC∵OC是⊙∴CD是⊙（2）解：∵AE設(shè)BE=x，則∴OC∵AD∴∠COE∴（3）解：由（2）知：OE=2.5∴EC∵∴∠AGF∴∠AFG∵∠COE∴∠E∵∠∴△∴FH【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，求角的余弦，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·廣東惠州·一模）如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，AC是圓O的直徑，連接OP交圓O于E．過A點(diǎn)作AB⊥PO于點(diǎn)D，交圓O于B，連接(1)求證：PO∥(2)求證：PB是圓O的切線；(3)若cos∠PAB=【答案】(1)見解析(2)見解析(3)5【分析】（1）圓周角定理，得到AB⊥BC，再根據(jù)（2）連接OB，證明△AOP?△BOP（3）根據(jù)同角的余角相等，得到cos∠C=cos∠【詳解】（1）證明：∵AC為⊙∴∠ABC=90°，即又∵AB∴PO（2）證明：連接OB，如圖，∵PO∴∠POB=∠OBC∵OB∴∠OBC∴∠AOP在△AOP與△OA=∴△AOP∴∠OBP∵PA為⊙∴∠OAP∴∠OBP∴OB∵OB為⊙∴PB是⊙（3）∵∠PAB+∠BAC∴∠PAB∴cos∠在Rt△∵cos∠∴AC∴OA∵AC是⊙∴∠ABC∴∠PAO∵∠POA∴△∴POAC∴PO10∴PO【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．16．（2023·上海寶山·二模）如圖，已知半圓O的直徑AB=4，C是圓外一點(diǎn)，∠ABC的平分線交半圓O于點(diǎn)D，且∠BCD=90°，聯(lián)結(jié)OC交(1)當(dāng)∠ABC=45°(2)當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求(3)當(dāng)△BOE為直角三角形時(shí)，求【答案】(1)OC=(2)OEEC(3)sin∠OCB的值為22【分析】（1）作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)OD，證明四邊形OMCD是矩形，求得CM=OD=（2）同（1）作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)OD，可得四邊形OMCD是矩形，求得CM=OD=OB=（3）分兩種情況討論，當(dāng)∠EOB=90°時(shí)，同（1）可得四邊形OMCD是矩形，再證明△OCB∽△BOM，利用相似三角形的性質(zhì)求得BM【詳解】（1）解：作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)∵∠BCD∴OM∥∵BD是∠ABC∴∠ABD∵OD=∴∠ABD∴∠CBD∴OD∥∴四邊形OMCD是平行四邊形，又∠BCD∴四邊形OMCD是矩形，∴CM=∵∠ABC∴△OBM∴OM=∴OC=（2）解：作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)同理四邊形OMCD是矩形，∴CM=∵∠ABC∴∠BOM∴BM=∴BC=2+1=3∵OD∥∴△DOE∴OEEC（3）解：作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)同理四邊形OMCD是矩形，∴CM=當(dāng)∠EOB∵∠COM+∠BOM∴∠OCB=∠BOM∴△OCB∴OBBM=BC解得BM=5-1∴BC=∴sin∠當(dāng)∠OEB由垂徑定理得DE=∴OE是線段BD的垂直平分線，∴DC=∴∠DCO∴sin∠綜上，sin∠OCB的值為22【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．題型06銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合17．（2023·江蘇連云港·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1:y=ax2+x(1)求拋物線L1(2)如圖1，點(diǎn)D為直線AC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，DM⊥AC于點(diǎn)M,DN∥y軸交AC于點(diǎn)(3)如圖2，將拋物線L1:y=ax2+x+c(a>0)沿著x軸向左平移后得到拋物線【答案】(1)y(2)線段DM的最大值是22，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3)拋物線L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線L1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y（2）求出C(0,-2)，直線AC解析式為y=-x-2，設(shè)D(m,m2+（3）過A作AH⊥CP于H，過H作KR∥y軸交x軸于K，過C作CR⊥KR于R，由tan∠ACP=13，證明△AKH∽△HRC，得AKHR=HKCR=AHCH=13，設(shè)AK=p，【詳解】（1）解：把A(-2,0)、B(1,0)代入4a解得a=1∴拋物線L1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y（2）解：在y=x2+x∴C由A(-2,0)，C(0,-2),設(shè)直線AC解析式為-k則直線AC解析式為y=-設(shè)D(m,∴DN∵OA∴△AOC∴∠ACO∵DN∥∴∠DNM∴△DNM∴DM∴DM∵-2∴當(dāng)m=-1時(shí)，DM取最大值22，此時(shí)D的坐標(biāo)為∴線段DM的最大值是22，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-2)（3）解：過A作AH⊥CP于H，過H作KR∥y軸交x軸于K，過C作∵tan∴AHCH∵∠AHK=90°-∠CHR∴△AKH∴AKHR∴HR=3AK設(shè)AK=p，HK=q，則∵CR=OK∴3q解得p=∴H-由H-125，-45聯(lián)立y=-解得x=0y=-2∴P-∵y=x2+x-∴設(shè)拋物線L2解析式為y將P-32-5解得t=52∴拋物線L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平移變換，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．18．（2023·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+ba≠0與反比例函數(shù)y=kx(k≠0且x>0)交于A、B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于C、(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)連接OB，若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且△BOP是以O(shè)B為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P【答案】(1)y=-24(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,73或0,-73【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的定義，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的求解函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵；（1）利用三角函數(shù)先求解A的坐標(biāo)可得反比例函數(shù)的解析式，再求解B的坐標(biāo)，可得一次函數(shù)的解析式，從而可得答案；（2）先利用勾股定理求解OB的長，再分兩種情況建立方程求解即可．【詳解】（1）解：過A作AE⊥x軸于點(diǎn)∵OA=213∴AEOA=解得AE=4∴OE∴A∵反比例函數(shù)y=kx(k∴k∴反比例函數(shù)解析式為y=-∵反比例函數(shù)y=kx(k∴-8m=-24，解得∴B∵一次函數(shù)y=ax+ba∴6解得a=∴一次函數(shù)解析式為y=（2）∵B∴OB設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為0,y，則OP=y∵△BOP是以O(shè)B∴OP=OB當(dāng)OP=OB時(shí)，則有y=此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為0,73或0,-當(dāng)PB=OB時(shí)，則有解得y=-16或y=0(舍去此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為0,-16，綜上可知滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,73或0,-73或19．（2023·山東濟(jì)南·二模）如圖，點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,0)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，四邊形BDEA是平行四邊形，DF⊥x軸于點(diǎn)F，BD=35,tan∠DBA=2，反比例函數(shù)

(1)求反比例函數(shù)解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若線段BD上一點(diǎn)P，使得∠DCP=∠(3)過點(diǎn)C作CG∥y軸，交DE于點(diǎn)G，點(diǎn)M為直線CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，H為反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)H、M，使得以C、H、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABE【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=12x，(2)P(3)存在H、M，使得以C、H、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0)或(6,-12)或(6,113【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)及勾股定理解三角形得出DF=6，BF=3，即可確定D(2,6)，代入反比例函數(shù)解析式即可求解；設(shè)C(t,12t)，過點(diǎn)C（2）過點(diǎn)P作PT⊥CD于點(diǎn)T，作PW⊥x軸于點(diǎn)W，過點(diǎn)B作BR⊥CD于點(diǎn)R，延長DC交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K，利用待定系數(shù)法確定直線（3）根據(jù)題分情況分析：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H在點(diǎn)C右側(cè)的雙曲線上，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，分別作出相應(yīng)圖形，然后利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵tan∠DBA∴DF=2∵DF⊥x軸于點(diǎn)∴DB2=DF∴BF=3∴DF=6∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,0∴FO=2∴D(∵反比例函數(shù)y=kx∴k=12∴反比例函數(shù)的解析式為y=設(shè)C(t,12t)，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)

∵四邊形BDEA是平行四邊形，∴DE∥∴EH=∵CG⊥x軸，∴CG∥∴△ACG∴CGEH∵ACCE∴ACAE∴GCEH∴CG=∴2=12解得x=6∴C(6,2)；（2）如圖，過點(diǎn)P作PT⊥CD于點(diǎn)T，作PW⊥x軸于點(diǎn)W，過點(diǎn)B作BR⊥CD于點(diǎn)R，延長DC交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)

設(shè)直線CD的解析式為y=∵C(6m+n∴直線CD的解析式為y=-令y=0，得x∴M(∵FM=8-2=6,∴FM=∵∠DFM∴∠DMF∵∠CKM∴CM=2CK∴CD=∵BR⊥CD，∴BR=∴DR=∴BR=3∵∠DCP∴tan∠DCP∴PTCT∴CT=2∵PT⊥CD，∴PT∥∴DTPT∴PT=3∴CT=6∵DT+CT=∴DT=∴PT=∴DPDB∴BPDB∵PW⊥x軸，∴PW∥∴△BPW∴BWBF∴BW=1321∵B(-∴P(（3）存在，理由如下：根據(jù)圖象得：△ABE∴當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H在點(diǎn)C右側(cè)的雙曲線上，在x軸上取點(diǎn)Q(∵AC2∴AC2∴∠ACQ∴∠GCQ設(shè)直線CQ的解析式為y=∵C(6m1+∴直線CQ的解析式為y=-聯(lián)立方程組y=-解得：x1=6y∴直線CQ與雙曲線的交點(diǎn)為(6,2)和當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

設(shè)H(過點(diǎn)H作HL∥x軸，交CG于點(diǎn)L，作EN⊥則EN=6,BN=9,∵∠HCL∴tan∠HCL∴HLCL=解得：m1=6（舍去），∴H(∴CH設(shè)M(6,∵△CHM∽△∴CHCM=∴7133解得：y=203∴M(6,203當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，如圖所示：作AS⊥BE于點(diǎn)∴AS=AB?EN∵∠HCL∴tan∠HCL∴HLCL=AS解得：m=6（舍去），m∴H(∴CH=∵△CHM∽△EBA∴CHCM=∴176514解得：y=11314∴M(6,11314當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

設(shè)H(m,12m)，過點(diǎn)H作HL∥x軸，交則EN=6,AN=3,∵∠HCL∴tan∠HCL∴HLCL=解得：m1=6（舍去），∴H(∴CH設(shè)M(6,y)∵△HMC∽△∴CHCM=∴52-y解得：y=0或y∴M(6,0)或(6綜上所述，存在H、M，使得以C、H、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABEM點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0)或(6,-12)或(6,11314【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)，然后進(jìn)行分情況分析是解題關(guān)鍵．20．（2023·江蘇宿遷·二模）閱讀下列材料：在九年級(jí)下冊(cè)“5.2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”課時(shí)學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)：y=a(x-k)2+h中a的符號(hào)決定圖像的開口方向，a決定圖像的開口大小，為了進(jìn)一步研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，我們作如下規(guī)定：如圖1，拋物線上任意一點(diǎn)（A）（異于頂點(diǎn)O）到對(duì)稱軸的垂線段的長度（AB的長度）叫做這個(gè)點(diǎn)的“勾距”，記作m；垂足（B）到拋物線的頂點(diǎn)（O）的距離（BO）叫這個(gè)點(diǎn)的“股高”，記作h；點(diǎn)（A）到頂點(diǎn)（O）的距離（AO的長度）叫這個(gè)點(diǎn)的“弦長”，記作l；過這個(gè)點(diǎn)（A）和頂點(diǎn)（O）的直線（AO

由圖1可得，對(duì)于函數(shù)y=（1）當(dāng)勾距m為定值時(shí)①h=am②tanα=1（如：函數(shù)y=3x2中，當(dāng)m=1（2）當(dāng)偏角α為定值時(shí)m=1a（如：函數(shù)y=x2中，當(dāng)α=45°時(shí)，利用以上結(jié)論，完成下列任務(wù)：如圖2：已知以A為頂點(diǎn)的拋物線y1=12x-22與y軸相交于點(diǎn)B，若拋物線y2=a(1)函數(shù)y=2x2中，①當(dāng)m=1時(shí)，h=________，②當(dāng)(2)如圖2：以A2,0為頂點(diǎn)作拋物線：y1=12x-22和y2=ax①當(dāng)a>12時(shí)，設(shè)S=AC?OD，隨a②若點(diǎn)M在拋物線y1上，直線AM與y2的另一個(gè)交點(diǎn)為N，記△BAM的面積為S1，△CAN的面積為S【答案】(1)①2；②3(2)①S=42；【分析】（1）①根據(jù)材料（1）勾距m為定值時(shí)，h=②當(dāng)偏角α為定值時(shí)，l=（2）①根據(jù)題意，分別求得AC,②根據(jù)題意，分求得AM,AN，AC,【詳解】（1）解：①函數(shù)y=2x2中，①當(dāng)m=1時(shí)，h=am2=2×1故答案為：2，3．（2）①如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG

以A2,0為頂點(diǎn)作拋物線：y1∴y以A為頂點(diǎn)的拋物線y1=12x由y1=12x∴B0,2∴AO=∴△AOB是等邊三角形，∠則α=45°∴AC∵a∴y2=ax-22∴OD=∴S②當(dāng)a>

由①可得AC=2a∴AC∵設(shè)∠MAE=∴AN=cos∴AN∴AC又∠NAC∴△∴S又4S∴1∴1解得：a=13【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握題目所給的材料是解題的關(guān)鍵．題型0712345模型21．（2023·廣東深圳·二模）如圖，A，B，C，D是邊長為1的小正方形組成的6×5網(wǎng)格中的格點(diǎn)，連接BD交AC于點(diǎn)E，連接EF．給出4個(gè)結(jié)論：①BF=EF；②∠ABE=∠CEF；③A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】連接CD，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到∠DCB=90°，則△CDB為等腰直角三角形；利用角平分線的性質(zhì)定理和平行線分線段成比例定理得到BEDE=BFCF=2，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)得到∠FEB=∠CDB=45°，則ΔFEB為等腰直角三角形，則得①的結(jié)論正確；利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠【詳解】解：連接CD，G，H為格點(diǎn)，如圖，由題意得：AD=2，AB=4，CD=在△DCG和△DG=∴△DCG∴∠DCG∵∠CBH∴∠DCG∴∠DCB∴△DCB∴∠CDB∵∠DAC∴BEDE∵FG∴BFCF∴BEDE∴EF∴∠FEB∴∠FEB∴BF∴①的結(jié)論正確；∵∠CAB=∠CDB∴∠ABE∵EF∴∠CEF∴∠ABE∴②的結(jié)論正確；∵∠AED=∠EAB∴∠AED在Rt△tan∠∴tan∴③的結(jié)論不正確；∵∠CBD=∠CAB∴△BCE∴CECB∴CA∴④的結(jié)論正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②④．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)平行線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，本題是網(wǎng)格題，熟練掌握網(wǎng)格的特性是解題的關(guān)鍵．22．（2023·河南鄭州·三模）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB將紙片沿OB折疊，使A落在A'的位置，OB=5,tanA．-35,45 B．-4【答案】A【分析】本題以平面直角坐標(biāo)系為載體，以翻折變換為方法構(gòu)造而成，綜合考查了矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)A'作x軸的垂線，垂足為D，根據(jù)先求出AB、BC的長度，借助面積公式求出A'D【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A'作x軸的垂線，垂足為D設(shè)A'D=∵四邊形ABCO是矩形，∠OAB∴四邊形ABA設(shè)AB=OC=∵OB=5，∴x2解得x=1由題意得A'∴△ABO由勾股定理得a2由面積公式得12聯(lián)立①②解得a=45∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為-故選：A．23．（2022·江蘇無錫·一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則tan∠PAB+tan∠PBA=，∠PAB+∠【答案】56【分析】根據(jù)正切的定義即可求得tan∠PAB+tan∠PBA的值，延長AP交格點(diǎn)于【詳解】解：tan如圖：延長AP交格點(diǎn)于點(diǎn)D，連接BD，則PD2=∴PD∴△DPB是等腰直角三角形，∠PDB=90°∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案為：56，45【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2023九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB的解析式為y=-x+m分別交x軸，y軸于A，（1）當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，m=（2）設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，則m【答案】212【分析】（1）將點(diǎn)點(diǎn)C(2,0)代入直線AB（2）如圖所示（見詳解），作OD=OC=2，連接CD．則∠PDC=45°，由（1）可知A(m,0)，B(0,【詳解】解：（1）當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+m故答案為2．（2）如圖所示，作OD=OC=2，連接CD．則∠PDC=45°，且又y∴OA=OB=m，當(dāng)m<0時(shí)，∠∴∠CPA當(dāng)m>0∵∠CPA∴∠BPA+∠OPC∴△PCD∴PDAB=CDPB，即故答案是：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握一次函數(shù)圖形的特點(diǎn)，幾何圖像的變換是解題的關(guān)鍵．題型08銳角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題25．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）今年除夕夜小李和亮亮相約去看煙花，并測量煙花的燃放高度，如圖，小李從B點(diǎn)出發(fā)，沿坡度i=5:12的山坡BA走了260米到達(dá)坡頂A點(diǎn)，亮亮則沿B點(diǎn)正東方向到達(dá)離A點(diǎn)水平距離80米的C點(diǎn)觀看，此時(shí)煙花在與B、C同一水平線上的點(diǎn)D處點(diǎn)燃，一朵朵燦爛的煙花在點(diǎn)D的正上方E點(diǎn)綻放，小李在坡頂A處看煙花綻放處E的仰角為45°，亮亮在C處測得E點(diǎn)的仰角為60°，（點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)）．煙花燃放結(jié)束后，小李和亮亮來到煙花燃放地幫忙清理現(xiàn)場的垃圾，他們清理時(shí)發(fā)現(xiàn)剛才燃放的煙花盒子上的說明書寫著煙花的燃放高度為430±5米，請(qǐng)你幫他們計(jì)算一下說明書寫的煙花燃放高度（圖中DE）是否屬實(shí)？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，【答案】說明書寫的煙花燃放高度屬實(shí)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．過A作AG⊥BD于G，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D=90°，AF=DG，AG=DF，設(shè)AG=5【詳解】解：過A作AG⊥BD于G，AF⊥則四邊形AGDF是矩形，∴∠AGD=∠AGB=∠AFE在Rt△ABG中，AB=260設(shè)AG=5k，∴AB∴k∴AG=100米．∵CG=80米，DF∴AF∵∠EAF∴∠AEF∴EF在Rt△CDE中，∠DCE=60°，∴180+CD∴CD∴DE=180+90+903∵426在430±5即425與435的范圍內(nèi)，答：說明書寫的煙花燃放高度屬實(shí)．26．（2024·江蘇南京·一模）如圖，山頂有一塔AB，在塔的正下方沿直線CD有一條穿山隧道EF，從與E點(diǎn)相距80m的C處測得A，B的仰角分別為27°，22°．從與F點(diǎn)相距50m的D處測得A的仰角為45°．若隧道EF的長為323m，求塔AB的高．（參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，tan

【答案】33m【分析】延長AB交CD于點(diǎn)H，則AH⊥【詳解】解：如圖，延長AB交CD于點(diǎn)H，則AH

在Rt△ACH中，∵tan27∴CH=在Rt△BCH中，∵CH=在Rt△ADH中，∵tan45°=∴HD=由題意可得CE=80m，EF=323m，∴CD∴CH又∵CH=∴AH0.51+AH∴CH∴BH0.40=300∴AB=答：塔AB的高為33m．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．27．（2024·陜西商洛·一模）數(shù)學(xué)興趣小組在“測量教學(xué)樓高度”的活動(dòng)中，設(shè)計(jì)并實(shí)施了以下方案：課題測量教學(xué)樓AB的高度測量方案示意圖測得數(shù)據(jù)CD=4.7?m，說明圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)參考數(shù)據(jù)sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97請(qǐng)你依據(jù)此方案，求教學(xué)樓AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】教學(xué)樓的高度約為13【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得四邊形BDCE是矩形，則可得CG=BD，CD=BG=4.7m，然后分別在Rt△【詳解】根據(jù)題意得：四邊形BDCE是矩形，∴CG=在Rt△BCG中，∴BG=∴CG=在Rt△ACG中，∴AG=∴AB=答：教學(xué)樓的高度約為13m28．（2024·陜西西安·三模）某校“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測量兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方案：無人機(jī)在兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24m到達(dá)點(diǎn)F，測得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos【答案】58【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵；延長AB交OF于點(diǎn)G，延長CD交OF于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60m，OF=24m，GH=AC，然后在Rt△AGO【詳解】解：延長AB交OF于點(diǎn)G，延長CD交OF于點(diǎn)H，由題意得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60在Rt△AGO中，∴GO∵∠HFE是△OFE的一個(gè)外角，∠HFE∴∠FEO∴∠FOE∴FO在Rt△EFH中，∴AC∴樓AB與CD之間的距離AC的長約為58m題型09銳角三角形應(yīng)用-方位角問題29．（2023·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖，為了測量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點(diǎn)C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走100米至觀測點(diǎn)D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離（精確度到1米）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．sin53°≈0.80，【答案】A，B兩點(diǎn)間的距離約107米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，證得△BCD和△ABD是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角和定理證得△BCD和△【詳解】解：根據(jù)題意得A，B，C三點(diǎn)共線，∵CE∴∠A∴∠CBD∴∠ABD在Rt△BCD中，∠BDC=90°-53°=37°，∴BD在Rt△ABD中，∠A=37°，∴AB答：A，B兩點(diǎn)間的距離約107米．30．（2023·重慶·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是某公園內(nèi)的休閑步道．經(jīng)測量，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向，AB=100米，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)A的西北方向，AD=2002米，點(diǎn)D在點(diǎn)C的南偏西60°(1)求步道BC的長度；（精確到個(gè)位）(2)甲以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，同時(shí)乙騎自行車以300米【答案】(1)步道BC的長度為373米(2)兩人可以在3分鐘內(nèi)相遇，理由見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E過點(diǎn)A作AF⊥DE于F，則四邊形ABEF是矩形，求得（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E過點(diǎn)A作AF⊥則四邊形ABEF是矩形，∴EF=AB在Rt△DAF中，∠DAF∴AF=DF∴BE=200米，在Rt△DCE中，∠DCE=60°，∴CE=DE∴BC=BE答：步道BC的長度約為373米；（2）解：兩人能在3分鐘內(nèi)相遇，理由如下：在Rt△DCE中，∠DCE∴∠CDE∴CD∴四邊形ABCD的周長為300+3003∴(300+3003+2002故兩人能在3分鐘內(nèi)相遇．31．（2023·重慶·模擬預(yù)測）如圖，一艘巡邏船以每小時(shí)50海里的速度從正北向正南方向進(jìn)行巡邏，在點(diǎn)A處測得碼頭C在其南偏東60°方向上，繼續(xù)向正南方向航行2小時(shí)到達(dá)點(diǎn)B處，測得碼頭C在其北偏東30°方向上．

(1)求此時(shí)巡邏船所在點(diǎn)B處與碼頭C的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)巡邏船在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)其南偏東75°方向上的點(diǎn)D處有一只正在非法捕魚的漁船，于是立即調(diào)整方向以原速朝著點(diǎn)D處行駛，同時(shí)，巡邏船與?？吭诖a頭C的海監(jiān)船取得聯(lián)系，漁船在碼頭C的南偏東15°方向上，海監(jiān)船得到命令后整理裝備用時(shí)10分鐘，然后以每小時(shí)80海里的速度朝漁船行駛．求海監(jiān)船從碼頭C到達(dá)漁船所在的點(diǎn)D處的時(shí)間；并據(jù)此判斷海監(jiān)船能否比巡邏船提前到達(dá)D處．（結(jié)果精確到百分位，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,【答案】(1)503(2)海監(jiān)船從碼頭C到達(dá)漁船所在的，點(diǎn)D處用時(shí)1.21小時(shí)，且海監(jiān)船能比巡邏船提前到達(dá)點(diǎn)D處【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解方位角的含義是解本題的關(guān)鍵．（1）先求解∠ACB=90°，AB=50×2=100（2）先求解∠CBD=75°,∠BCD=45°，∠BDC=60°．過點(diǎn)B作BE⊥DC于點(diǎn)【詳解】（1）解：由題意，得∠BAC=60°，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∠ACB∴BC答：此時(shí)巡邏船所在點(diǎn)B處與碼頭C的距離為503（2）由題意，得∠CBD∴∠BDC

過點(diǎn)B作BE⊥DC于點(diǎn)在Rt△CEB中，∠CEB∴BE在Rt△DEB中，∠DEB∴DEBD=海監(jiān)船用時(shí)為CE+巡邏船用時(shí)為BD50∵1.21+10∴海監(jiān)船能比巡邏船提前到達(dá)點(diǎn)D處．答：海監(jiān)船從碼頭C到達(dá)漁船所在的，點(diǎn)D處用時(shí)1.21小時(shí)，且海監(jiān)船能比巡邏船提前到達(dá)點(diǎn)D處．32．（2024·重慶·一模）如圖，車站A在車站B的正西方向，它們之間的距離為100千米，修理廠C在車站B的正東方向．現(xiàn)有一輛客車從車站B出發(fā)，沿北偏東45°方向行駛到達(dá)D處，已知D在A的北偏東60°方向，D在C的北偏西30°方向．(1)求車站B到目的地D的距離（結(jié)果保留根號(hào)）(2)客車在D處準(zhǔn)備返回時(shí)發(fā)生了故障，司機(jī)在D處撥打了救援電話并在原地等待，一輛救援車從修理廠C出發(fā)以35千米每小時(shí)的速度沿CD方向前往救援，同時(shí)一輛應(yīng)急車從車站A以60千米每小時(shí)的速度沿AD方向前往接送滯留乘客，請(qǐng)通過計(jì)算說明救援車能否在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到D處．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,【答案】(1)(506(2)能【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，得出BE=DE，BD=2DE，設(shè)BE=DE=x千米，則BD（2）分別求出AD,【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)則∠由題意知，∠ADE=60°,∴△DBE∴DE設(shè)BE=DE=在Rt△ADE中，∴AE=∵AB+∴100+解得：x=50∴BD=即車站B到目的地D的距離為(506（2）解：根據(jù)題意得，∠又cos∠∴CD=又∵∠∴AD=2救援車所用時(shí)間為：100+100應(yīng)急車所用時(shí)間為：1003∵4.5<4.55，∴救援車能在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到D處．題型10銳角三角形應(yīng)用-坡度坡角問題33．（2024·河南周口·一模）2024年春節(jié)前夕，哈爾濱旅游市場的火熱帶動(dòng)了全國“冰雪旅游”的繁榮，某地準(zhǔn)備依山建設(shè)一個(gè)滑雪場帶動(dòng)本地旅游的發(fā)展．如圖，小山AB的山腰CN上有一個(gè)平臺(tái)CD長為45m，從點(diǎn)C看山頂A的仰角為63°，山坡DE的坡度為i=1:2.4，該地準(zhǔn)備利用斜坡DE建設(shè)一個(gè)滑雪場，且DE的長度為390m，若點(diǎn)D到地面BE的垂線段與BN構(gòu)成的四邊形恰好為正方形時(shí)，且圖中各點(diǎn)均在一個(gè)平面內(nèi)，求小山AB的高度．（精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45【答案】小山AB的高度約為356【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，正方形的性質(zhì)，先解直角三角形得到DMME=512，設(shè)DM=5xm，則ME=12xm，由勾股定理得到【詳解】解：∵山坡DE的坡度為i=1:2.4∴DMME設(shè)DM=5xm在Rt△DME中，由勾股定理∴5解得x=30或x∴DM=30×5=150∵四邊形NBMD為正方形，∴BN∴CN=在Rt△ANC中，∴AN∴AB答：小山AB的高度約為356m34．（2024·廣東江門·一模）甲、乙兩人去登山，甲從小山西邊山腳B處出發(fā)，已知西面山坡的坡度i1=1:3（坡度：坡面的垂直高度與水平長度的比，即tanB=1:3）．同時(shí)，乙從東邊山腳(1)求甲、乙兩人出發(fā)時(shí)的水平距離BC．(2)已知甲每分鐘比乙多走10米．兩人同時(shí)出發(fā)，并同時(shí)達(dá)到山頂A．求：甲、乙兩人的登山速度．【答案】(1)BC=(600(2)甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米；【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC，根據(jù)坡度比設(shè)AD=3（2）設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為v+10分鐘/【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作AD⊥由題意得：tanB=AD∴設(shè)AD=3x，則∴AC=AD∴AD=600，∴600BD=1:3∴BC=（2）解：由（1）得：AD=600，BD∴AB=設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為v+10分鐘/由題意得：1200v+10=經(jīng)檢驗(yàn)：v=50則50+10=60，∴甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米；35．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）如圖為某單位地下停車庫入口處的平面示意圖，在司機(jī)開車經(jīng)過坡面即將進(jìn)入車庫時(shí)，在車庫入口CD的上方BC處會(huì)看到一個(gè)醒目的限高標(biāo)志，現(xiàn)已知圖中BC高度為0.5m，AB寬度為9m，坡面的坡角為30°．3(1)根據(jù)圖1求出入口處頂點(diǎn)C到坡面的鉛直高度CD；(2)圖2中，線段CE為頂點(diǎn)C到坡面AD的垂直距離，現(xiàn)已知某貨車高度為3.9米，請(qǐng)判斷該車能否進(jìn)入該車庫停車？【答案】(1)4.6(2)該車能進(jìn)入該車庫停車【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正切的定義求出BD，進(jìn)而求出CD；（2）根據(jù)正弦的定義求出CE，根據(jù)題意解答即可．【詳解】（1）解：在Rt△ABD中，∠BAD∴BD∴CD答：點(diǎn)C到坡面的鉛直高度CD約為4.6m（2）解：在Rt△CDE中，∠CDE∴CE∵4.1>3.9，∴該車能進(jìn)入該車庫停車．36．（2023·山東青島·模擬預(yù)測）我國南水北調(diào)中線工程的起點(diǎn)是丹江水庫，按照工程計(jì)劃，需對(duì)原水庫大壩進(jìn)行混凝土加高，使壩高由原來的162米增加到173米，以抬高蓄水位．如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新壩體的高為DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的寬度AC．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37【答案】工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC約為35米．【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正切的定義分別求出CE、【詳解】解：在Rt△DCE中，∵∠DCE=60°，∴CE=在Rt△BAE中，∵∠BAE=68°，∴AE=∴AC=答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC約為35米．題型11銳角三角形應(yīng)用-與不易測量相關(guān)問題37．（2024·安徽合肥·一模）如圖，為了測量湖泊東西方向的距離AB，測繪員在湖泊正東方向的D處（B，A，D在同一直線上）利用無人機(jī)升空測量，當(dāng)無人機(jī)恰好在點(diǎn)D的正上方C處時(shí)，測得湖泊東岸A的俯角∠ECA為65°，測得湖泊西岸B的俯角∠ECB為22°，此時(shí)無人機(jī)距離地面的高度CD為200m，求湖泊東西方向的距離AB．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93【答案】湖泊東西方向的距離AB約為406.5m【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．先在Rt△ACD中利用正切的定義計(jì)算出AD，然后在Rt△【詳解】解：在Rt△ACD中，∠CAD∵tan∴AD在Rt△BCD中，∠B∵tan∴BD∴AB答：湖泊東西方向的距離AB約為406.5m38．（2024·浙江溫州·一模）【問題背景】一旗桿直立（與水平線垂直）在不平坦的地面上（如圖1）．兩個(gè)學(xué)習(xí)小組為了測量旗桿的高度，準(zhǔn)備利用附近的小山坡進(jìn)行測量估算．【問題探究】如圖2，在坡角點(diǎn)C處測得旗桿頂點(diǎn)A的仰角∠ACE的正切值為2，山坡上點(diǎn)D處測得頂點(diǎn)A的仰角∠ADG的正切值為79，斜坡CD的坡比為34，兩觀測點(diǎn)學(xué)習(xí)小組成員對(duì)問題進(jìn)行如下分解，請(qǐng)?zhí)剿鞑⑼瓿扇蝿?wù)．（1）計(jì)算C，D兩點(diǎn)的垂直高度差．（2）求頂點(diǎn)A到水平地面的垂直高度．【問題解決】為了計(jì)算得到旗桿AB的高度，兩個(gè)小組在共同解決任務(wù)1和2后，采取了不同的方案：小組一：在坡角點(diǎn)C處測得旗桿底部點(diǎn)B的仰角∠BCE的正切值為2小組二：在山坡上點(diǎn)D處測得旗桿底部點(diǎn)B的俯角∠GDB的正切值為1（3）請(qǐng)選擇其中一個(gè)小組的方案計(jì)算旗桿AB的高度．【答案】（1）C，D兩點(diǎn)的垂直高度差DH=9m；（2）頂點(diǎn)A到水平地面的垂直高度AN=30m；（3）若選擇小組一：旗桿AB的高度為24【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形函數(shù)的定義．（1）作DH⊥CF交于點(diǎn)H，根據(jù)斜坡CD的坡比為34，CD=15m（2）延長DG交AB于M，延長CE交AB延長線于N，根據(jù)∠ACE的正切值為2，仰角∠ADG的正切值為79，得出ANNC=2，AMMD=79，設(shè)NC=a（3）根據(jù)測出的仰角或俯角的正切值，解直角三角形得出答案即可．【詳解】解：（1）作DH⊥CF交于點(diǎn)∵斜坡CD的坡比為34∴設(shè)DH=3xm∴CD=∵CD=15∴5x解得：x∴CH=12m∴C，D兩點(diǎn)的垂直高度差DH=9（2）延長DG交AB于M，延長CE交AB延長線于N，∵∠ACE的正切值為2，仰角∠ADG的正切值為∴ANNC=2，∵∠DMN∴四邊形MNHD為矩形，∴DH=MN=9設(shè)NC=a，則AN=2a，∴AM解得a=15∴AN=30m，AM∴頂點(diǎn)A到水平地面的垂直高度AN=30（3）小組一：∵∠BCE的正切值為2∴BNNC∵NC=15∴BN∴AB小組二：∵∠GDB的正切值為1∴BMMD∵M(jìn)D=27∴BM=∵AM=21∴AB39．（2023·海南海口·二模）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)1003米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上，點(diǎn)A、B、C、D(1)填空：∠BAC=________°，∠ADC(2)求點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離；(3)求隧道AB的長．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)75，90(2)點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離為300米(3)隧道AB的長為1502【分析】（1）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)方位圖易得∠ADC=90°，∠ACD=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得（2）在Rt△ADC中，∠ACD（3）在Rt△ADE中，根據(jù)三角函數(shù)求出AE的長，在Rt△BDE中，根據(jù)三角函數(shù)求出本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)∵∠DCG∴∠CDF又∵∠ADE∴∠ADC∵∠ACD∴∠DAC在Rt△ADE中，∴∠EAD∴∠BAC故答案為：75，90．（2）在Rt△ADC中，AD=答：點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離為300米．（3）（3）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)∵AB是東西走向，∴∠ADE=45°，在Rt△DE=在Rt△BE=∴AB=答：隧道AB的長為1502題型12銳角三角形應(yīng)用-與可調(diào)節(jié)的滑動(dòng)懸桿問題40．（2024·遼寧盤錦·一模）圖1是一臺(tái)實(shí)物投影儀，圖2是它的示意圖，折線B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于點(diǎn)O，點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，BC可轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE，經(jīng)測量：AO=6.4cm，（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin(1)如圖2，∠ABC=70°，①填空：∠BAO=②投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為_____cm．(2)如圖3，將（1）中的BC向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，求投影探頭的端點(diǎn)D到桌面【答案】(1)①160；②36(2)投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為7.2【分析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．（1）①延長OA交BC于F，先證明OF⊥BC得到∠AFB=90°，再利用三角形外角的性質(zhì)求出∠BAO的度數(shù)即可；②解Rt（2）如圖所示，延長CD交OE于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BM⊥CD，與DC延長線相交于點(diǎn)M，過A作AF⊥BM于點(diǎn)F，則四邊形FMHO是矩形，由（1）得∠MBA=70°，OF=44cm，則MH=OF=44cm，求出∠MBC【詳解】（1）解：①如圖所示，延長OA交BC于F，∵BC∥OE，∴OF∴∠AFB∴∠BAO故答案為：160；②在Rt△ABF中，AB=40cm，∴AF∴OF∵CD∴投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為44-8=36cm故答案為：36；（2）解：如圖所示，延長CD交OE于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BM⊥CD，與DC延長線相交于點(diǎn)M，過A作AF⊥BM于點(diǎn)由（1）得∠MBA=70°，∴MH∵∠ABC∴∠MBC在Rt△MBC中，BC=45∴CM∴DH∴投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為7.2cm41．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）桌面上的某創(chuàng)意可折疊臺(tái)燈的實(shí)物圖如圖①所示，將其抽象成圖②，經(jīng)測量∠BCD=70°，∠CDE=155°，燈桿CD的長為30cm，燈管DE的長為20cm，底座AB的厚度為3cm【答案】45cm【分析】本題考查了解直角三角形的其他應(yīng)用：過點(diǎn)D作AB的平行線DM，過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G，過點(diǎn)E作DM的垂線，垂足為點(diǎn)F．在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得EF≈14.1cm，在Rt△CDG中，【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作AB的平行線DM，過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G，過點(diǎn)E作DM的垂線，垂足為點(diǎn)F．∵∠BCD∴∠CDM∵∠∴∠在Rt△DEF中，∴EF=在Rt△CDG中，∴DG=∵底座AB的厚度為3∴點(diǎn)E到桌面的距離為14.1+28.2+3≈45cm答：臺(tái)燈的高（點(diǎn)E到桌面的距離）約為45cm42．（23-24九年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）有一種可折疊臺(tái)燈，它放置在水平桌面上，圖1是臺(tái)燈的平面示意圖，其中點(diǎn)B，E，D均為可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)測得AB=BE=(1)求放置最平穩(wěn)時(shí)燈座CD與燈桿DE的夾角的大?。?2)當(dāng)A點(diǎn)到水平桌面（CD所在直線）的距離為42cm-43cm時(shí)，臺(tái)燈光線最佳，能更好的保護(hù)視力．若臺(tái)燈放置最平穩(wěn)時(shí)，將∠ABE調(diào)節(jié)到105°，試通過計(jì)算說明此時(shí)光線是否為最佳．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=0.26，【答案】(1)燈座DC與燈桿DE的夾角為60°；(2)此時(shí)光線不是最佳．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）延長BE交DC于點(diǎn)F，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得EF⊥CD且（2）作AM⊥DC于點(diǎn)M，作BG⊥AM于點(diǎn)G，則四邊形【詳解】（1）解：延長BE交DC于點(diǎn)F，則由題可知EF⊥CD且∴cos∴∠D=60°，即燈座DC與燈桿DE的夾角為（2）解：作AM⊥DC于點(diǎn)M，作BG⊥AM于點(diǎn)∴∠GBF∵EF=∴GM=∵∠ABE∴∠ABG∴AG=AB∴AM=33.6+4.7=38.3∴此時(shí)光線不是最佳．（時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（2024·遼寧盤錦·模擬預(yù)測）點(diǎn)Psin30°,tan45°關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A．12,-1 B．C．-12【答案】B【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，求出P12,1，然后根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，得出點(diǎn)Q【詳解】解：點(diǎn)Psin30°,tan∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為12∴點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為-12，故選：B．2．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，飛行員在空中觀察地面的區(qū)域是一個(gè)圓，當(dāng)觀察角度為50°，飛機(jī)的飛行高度為1000米時(shí)，觀察區(qū)域的半徑是（

）米．A．1000tan25° B．1000tan25° C．【答案】A【分析】本題考查了正切函數(shù)，解直角三角形的應(yīng)用；根據(jù)正切函數(shù)的定義即可完成求解．【詳解】解：如圖，∠CAB=12×50°=25°∵tan∠∴BC=1000故選：A．3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：真實(shí)問題情境·實(shí)物，如圖是橢圓機(jī)在使用過程中某時(shí)刻的側(cè)面示意圖，已知手柄AD⊥滾輪連桿AB，且AD=20cm,AB=160cm，連桿AB與底坐BCA．802cm B．803cm C．【答案】D【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作DE⊥BC,AH⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)H，作AF⊥DE于點(diǎn)F【詳解】解：如圖，作DE⊥BC,AH⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E∴∠DEH=∠EHA∴四邊形EFAH是矩形，∠BAF∴EF=AH,∵AD=20cm∴AH=ABsin∴EF=∴DE=故選：D4．（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C是弧上的一點(diǎn)，沿CB為折痕折疊BC交AB于點(diǎn)M，連接CM，若點(diǎn)M為AB的黃金分割點(diǎn)（BM>AM

A．5-12 B．5+12 C【答案】A【分析】過點(diǎn)M作MD⊥CB，垂足為D，延長MD交半⊙O于點(diǎn)M'，連接CM'，BM'，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠CMB=∠CM'B，BC⊥MM'，從而可得∠BDM=90°【詳解】解：過點(diǎn)M作MD⊥CB，垂足為D，延長MD交半⊙O于點(diǎn)M'，連接

由折疊得：∠CMB=∠CM∴∠BDM∵點(diǎn)M為AB的黃金分割點(diǎn)（BM>∴BMAB∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB∴∠ACB∵∠DBM∴△DBM∴DMAC∵四邊形ACM'B是半∴∠A∵∠AMC+∠CMB∴∠A∴CA=在Rt△CDM中，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，解直角三角形，翻折變換（折疊問題），圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AD=5，tanB=2，E是AB上一點(diǎn)，將菱形ABCD沿DE折疊，使B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B'、C'，當(dāng)∠BEB

A．5+5 B．25+2 C．6【答案】D【分析】過C作CH⊥AD于H，過C'作C'F⊥AD于F，由菱形性質(zhì)和正切定義求出HD=5，HC【詳解】解：過C作CH⊥AD于H，過C'作C

由已知，AD=5，tan∴CD=5，tan∴設(shè)