專題04 圓的方程及圓的位置關系（14大考點知識串講+熱考題型+專題訓練）（【含答案解析】）

專題04圓的方程及圓的位置關系知識點1圓的方程1、圓的標準方程（1）定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。其中，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑。（2）確定圓的基本要素是：圓心和半徑（3）圓的方程：圓心為，半徑長為的圓的標準方程為（4）幾種特殊位置的圓的標準方程條件方程的標準形式圓心在原點圓過原點圓心在軸圓心在軸圓心在軸上且過原點圓心在軸上且過原點圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標軸都相切2、圓的一般方程（1）定義：當時，方程叫做圓的一般方程.其中為圓心，為半徑.（2）圓的一般方程的形式特點：=1\*GB3①項的系數(shù)相同且不等于0（和的系數(shù)如果是不為1的非零常數(shù)，只需在方程兩邊同時除以這個常數(shù)即可）；=2\*GB3②不含項；=3\*GB3③（3）一般方程與標準方程關系：對方程的左邊配方，并將常數(shù)移項到右邊，得，根據(jù)圓的標準方程可知：=1\*GB3①當時，方程只有實數(shù)解.它表示一個點.=2\*GB3②當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．=3\*GB3③當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.3、點和圓的位置關系圓的標準方程為，圓心，半徑為.設所給點為，則位置關系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓A上或點在圓A內或點在圓A外或4、軌跡與軌跡方程（1）軌跡方程和軌跡的定義已知平面上一動點，點的軌跡方程是指點的坐標滿足的關系式。軌跡是指點在運動變化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點的軌跡（集合）.“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別：=1\*GB3①“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍卣?；=2\*GB3②“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。2、坐標法求軌跡方程的步驟第一步建系：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；第二步設點：用表示軌跡（曲線）上任意一點的的坐標；第三步列式：列出關于的方程；第四步化簡：把方程化為最簡形式；第五步證明：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。知識點2直線與圓的位置關系1、直線與圓的位置關系判斷（1）幾何法判斷直線與圓的位置關系：直線與圓，圓心到直線的距離=1\*GB3①直線與圓相離無交點；=2\*GB3②直線與圓相切只有一個交點；=3\*GB3③直線與圓相交有兩個交點.（2）代數(shù)法判斷直線與圓的位置關系：聯(lián)立直線方程與圓的方程，得到，通過解的個數(shù)來判斷：=1\*GB3①當時，直線與圓有2個交點，，直線與圓相交；=2\*GB3②當時，直線與圓只有1個交點，直線與圓相切；=3\*GB3③當時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離；2、直線與圓相交時的弦長求法：（1）幾何法：利用圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長之間的關系，整理出弦長公式為：（2）代數(shù)法：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長；（3）弦長公式法：設直線與圓的交點為，，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關系得到弦長3、直線與圓相切時的切線問題（1）求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程。=1\*GB3①若點在圓上（即為切點），則過該點的切線只有一條；=2\*GB3②若點在圓外，過該點的切線有兩條，此時應注意切線斜率不存在的情況【注意】過圓內一點，不能作圓的切線。（2）求過圓上一點的切線方程法一：先求出切點與圓心的連線斜率，若不存在，則結合圖形可直接寫出切線方程；若，則結課圖形可直接寫出切線方程；若存在且，則由垂直關系知切線的斜率為，由點斜式寫出切線方程。法二：若不存在，驗證是否成立；若存在，設點斜式方程，用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解出方程即可。（3）過圓外一點的圓的切線方程法一：當斜率存在時，設為，則切線方程為，即由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出的值，進而寫出切線方程；法二：當斜率存在時，設為，則切線方程為，即代入圓的方程，得到一個關于的一元二次方程，由，求得，切線方程即可求出。知識點3圓與圓的位置關系1、圓與圓的位置關系判斷（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d位置關系外離外切相交內切內含圖示交點個數(shù)01210d與，的關系（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．消元，一元二次方程2、兩圓的公切線（1）定義：與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，包括外公切線和內公切線；（2）兩圓的位置關系與公切線的條數(shù)的關系位置關系外離外切相交內切內含圖示公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線（3）兩圓公切線方程的確定=1\*GB3①當公切線的斜率存在時，可設公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關于和的方程，解這個方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程；=2\*GB3②當公切線的斜率不存在時，要注意運用數(shù)形結合的方法，觀察并寫出公切線的方程。3、兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.【注意】（1）若與相切，則表示其中一條公切線方程；（2）若與相離，則表示連心線的中垂線方程.考點1求圓的標準方程和一般方程【例1】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習）圓心為，且經過坐標原點的圓的標準方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，圓心為，且經過坐標原點的圓的半徑，所以所求圓的標準方程為.故選：D【變式1-1】（2023秋·吉林長春·高二?？计谥校﹫A心在軸上，并且過點和的圓的標準方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設圓心為，由可得，解得，所以，圓心為，圓的半徑為，故所求圓的標準方程為.故選：D.【變式1-2】（2023秋·四川眉山·高二校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標準方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為圓以為直徑，所以圓心的坐標為，半徑為，圓的標準方程為.故選：B.【變式1-3】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習）若的三個頂點分別是，，，則的外接圓的標準方程為.【答案】【解析】設圓的方程為，因為的三個頂點分別是，，，所以，解得，所以圓的方程為，即.【變式1-4】（2023秋·四川遂寧·高二?？茧A段練習）分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：（1）過點，，且圓心在直線上；（2）過、、三點．【答案】（1）；（2）【解析】（1）圓心在直線上，設圓心坐標為，圓過點，，則有即，解得，可得圓心坐標為，圓的半徑，所以圓的方程為.（2）設過、、三點的圓的方程為，則有，解得，故所求圓的方程為.考點2二元二次方程與圓的關系【例2】（2023秋·浙江·高二校考階段練習）若，則方程表示的圓的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意可知：，解之得，又，所以.故選：C【變式2-1】（2023秋·浙江臺州·高二?？茧A段練習）已知方程表示圓，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得，，解得，故答案為：．【變式2-2】（2023秋·浙江嘉興·高二校考階段練習）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題可知：，所以【變式2-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習）若表示圓的一般方程，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】因為表示圓，所以，即，化簡得，解得，故答案為：【變式2-4】（2023秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習）（多選）已知方程，則下列說法正確的是（）A．方程表示圓，且圓的半徑為1時，B．當時，方程表示圓心為的圓C．當時，方程表示圓且圓的半徑為D．當時，方程表示圓心為的圓【答案】ACD【解析】由題意，方程，可化為，若方程表示圓，則圓的圓心坐標為，半徑，中，當時，可得，所以正確；中，當時，此時半徑為，所以錯誤；中，當時，表示的圓的半徑為，所以正確；中，當時，此時半徑大于0，表示圓心為的圓，所以正確；故選：ACD．考點3與圓有關的對稱問題【例3】（2023秋·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）已知圓關于直線對稱，則實數(shù)（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】由題意可知，，且圓心在直線上，代入直線方程得（舍去）或.故選：C【變式3-1】（2023秋·河北保定·高二?？茧A段練習）若圓關于直線對稱，則此圓的半徑為．【答案】【解析】因為圓關于直線對稱，所以圓心在直線上，得，得，所以，半徑為．【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習）點M，N是圓＝0上的不同兩點，且點M，N關于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（）A．B．C．3D．9【答案】C【解析】圓＝0的標準方程為（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，則圓心坐標為（－，－1），半徑為因為點M，N在圓＝0上，且點M，N關于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經過圓心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圓的方程為：＝0，圓的半徑＝3.故選：C．【變式3-3】（2023秋·寧夏銀川·高二校考期中）圓：關于直線對稱的圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圓：的圓心為，半徑為2，設關于直線對稱的對稱點為，則，解得.關于直線對稱的對稱點為，圓：關于直線對稱的圓的方程為.故選：D.【變式3-4】（2023秋·高二課時練習）若圓和圓關于直線對稱，則直線的方程是【答案】【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，則線段的中點為，因為圓和圓關于直線對稱，所以，所以直線的方程是，即.考點4與圓有關的軌跡問題【例4】（2023·全國·高二專題練習）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，即設，則，整理得故選：B．【變式4-1】（2022秋·內蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知兩點，.若動點M滿足，則“”是“動點M的軌跡是圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】兩點，，設，由，可得，整理得，當時，，故點為定點，不是圓，所以充分性不成立，當動點的軌跡是圓，則，故必要性成立，所以“”是“動點的軌跡是圓”的必要不充分條件.故選：B【變式4-2】（2023秋·高二課時練習）設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.【答案】(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去兩點和(點P在直線OM上的情況).【解析】設P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為，線段MN的中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相平分，故，，從而.N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.直線方程為，由，得或，所以所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應除去兩點和(點P在直線OM上的情況).【變式4-3】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二?？茧A段練習）已知的斜邊為AB，且.求:（1）外接圓的一般方程;（2）直角邊的中點的軌跡方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知，設圓心為，則，，故圓的方程為：即外接圓的一般方程為：.（2）設，由此解得：因為C為直角，所以代入解得：即配方得：，又因為三點不共線，所以綜上：.【變式4-4】（2022·全國·高二專題練習）已知圓過三個點.（1）求圓的方程；（2）過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段的中點的軌跡.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設圓的方程為，因為圓過三個點，可得，解得，所以圓的方程為，即.（2）因為為線段的中點，且，所以在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，所以點的軌跡方程為.考點5直線與圓的位置關系判斷【例5】（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習）直線與圓的位置關系是（）A．相交B．相切C．相離D．不確定【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，又圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.故選：A【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）已知點在圓內，則直線與圓的位置關系是（）A．相切B．相交C．相離D．不確定【答案】C【解析】因為點在圓內，則，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離.故選：C【變式5-2】（2023·江蘇·高二專題練習）（多選）直線與圓的交點個數(shù)不可能為（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABD【解析】圓的圓心，半徑，則點到直線的距離，因此直線與圓相交，它們有兩個公共點，ABD不可能.故選：ABD【變式5-3】（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習）直線與圓的位置關系為.【答案】相交【解析】由得，因為可得解得，所以直線過定點，又因為，可得在圓內，所以直線與圓總相交.【變式5-4】（2023秋·江西南昌·高二?？茧A段練習）（多選）下列直線中，與圓：相切的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】圓的圓心為，半徑為，選項A：點到直線的距離，故直線與圓相切，故A正確；選項B：點到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；選項C：點到直線的距離，故直線與圓不相切，故C不正確；選項D：點到直線的距離.故直線與圓相切，故D正確；故選：ABD.考點6由直線與圓位置關系求參【例6】（2023秋·云南曲靖·高二?？茧A段練習）若直線與圓相切，則等于【答案】【解析】聯(lián)立直線方程與圓的方程得：，解得，因為直線與圓相切，所以，解得.【變式6-1】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期中）（多選）若過點的直線l與圓有公共點，則直線l的斜率可為（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，與無公共點，舍去，當直線l的斜率存在時，設過點的直線l的方程為，則圓的圓心到直線l的距離，解得.故選：BD.【變式6-2】（2023秋·天津·高二?？茧A段練習）已知直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直線可化為：，所以直線過定點，且斜率為.曲線可化為：，即該曲線為以為圓心，為半徑的圓的右半部分，由圖可知：當直線與圓相切于點時斜率的值最大，此時，解之得，解之得，由圖分析可得.當直線與圓相交于點時斜率的值最小.，故選：D【變式6-3】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）已知直線與曲線有兩個不同的交點，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】曲線表示圓在x軸的上半部分，當直線與圓相切時，，解得，當點在直線上時，，可得,所以實數(shù)取值范圍為.故選：A【變式6-4】（2023秋·浙江舟山·高二?？茧A段練習）若圓上至少有三個不同的點到直線l：的距離為2，則c的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，所以，半徑，過圓心作直線的垂線交圓分別于A、B兩點，易知，當圓心C到的距離時可得，此時圓上恰有三個不同的點到直線l：的距離為2，滿足題意，如圖所示，可知到的距離為：.故選：A考點7求圓的切線方程【例7】（2023秋·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習）過點作圓：的切線，切線的方程為．【答案】【解析】因為點在圓上，所以過點的切線與垂直，又因為，故切線的斜率，所以切線的方程為，即．【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）過點作圓的切線，則切線的方程為.【答案】【解析】圓的圓心，∵，則點在圓上，即點為切點，則圓心到切點連線的斜率，可得切線的斜率，故切線的方程，即.故答案為：.【變式7-2】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習）已知圓，自點作圓的切線，則切線的方程．【答案】或【解析】由已知圓心為，半徑.，又，所以點在圓外，當直線斜率不存在時，直線的方程為.此時，圓心到直線的距離，所以直線是圓的切線；當直線斜率存在時，設斜率為，則直線的方程為，整理可得，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以切線方程為：即，綜上所述所求的切線方程為：或.【變式7-3】（2023秋·河北衡水·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點，圓.（1）求的取值范圍，并求出圓心坐標；（2）若圓的半徑為1，過點作圓的切線，求切線的方程.【答案】（1）的取值范圍，圓心坐標為；（2），或.【解析】（1）由，因為該方程表示圓，所以有，因此的取值范圍，圓心坐標為；（2）若圓的半徑為1，則有，當過的切線不存在斜率時，方程為，此時，該方程無實根，不符合題意，當過的切線存在斜率時，設為，方程為，若圓的半徑為1，則有，或，即，或，所以切線的方程為，或.【變式7-4】（2023秋·貴州·高二貴校聯(lián)考階段練習）已知圓的圓心在直線上，且經過點和．（1）求圓的標準方程；（2）若自點發(fā)出的光線經過軸反射后，其反射光線所在的直線與圓相切，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因為圓的圓心在直線上，設，由可得，解得，可知圓心，半徑，所以圓的標準方程為.（2）取圓關于x軸的對稱的圓，即圓心，半徑，可知直線與圓相切，若直線的斜率不存在，則，此時圓心到直線的距離，不合題意；所以直線的斜率存在，設為，則，即，則，整理得，解得或，所以直線的方程為或.考點8與切線長有關的問題【例8】（2023秋·天津·高二?？茧A段練習）已知圓被直線截得的弦長為，若過點作圓的切線，則切線長為.【答案】【解析】圓，即，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，則，解得，到圓心的距離為，故切線長為.【變式8-1】（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考階段練習）點在圓：上，，，則最小時，.【答案】4【解析】如圖，由題意圓：的圓心，半徑，當直線與圓相切時，即為切點時，最小，此時與軸平行，，.故答案為：4.【變式8-2】（2023秋·湖北荊州·高二?？茧A段練習）已知動點在直線上，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】由題可知圓的圓心為，半徑為，設，則，有，得，當時，.故選：C.【變式8-3】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.【答案】/【解析】由圓知圓心，半徑，因為與圓相切于點，所以，所以，所以越小，越小，當時，最小，因為圓心到直線的距離為，所以的最小值為6，此時，，，故的周長的最小值為.【變式8-4】（2023·全國·高二專題練習）過圓：上一點作圓：的兩切線，切點分別為，，設兩切線的夾角為，當取最小值時，.【答案】【解析】由題意可得，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，當取最小值時，則取得最小值，，此時，又為銳角，所以，所以，即當取最小值時，.考點9切點弦及其方程應用【例9】（2022秋·河南許昌·高二?？茧A段練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為M，N，則．【答案】【解析】依題意，連結，記為的交點，因為與圓相切，所以，，，是的中點，因為，，所以，又，所以在中，，，故在中，，所以.【變式9-1】（2022秋·廣西梧州·高二?？茧A段練習）過坐標原點作圓的兩條切線，切點為，，直線被圓截得弦的長度為．【答案】【解析】根據(jù)題意，設圓的圓心為，則，圓的半徑為1，則，，則，解可得：，故答案為：【變式9-2】（2023秋·湖南長沙·高二?？茧A段練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為．【答案】【解析】方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：【變式9-3】（2023秋·全國·高二專題練習）若是直線上一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（）A．B．3C．D．2【答案】A【解析】如下圖所示，易知且垂直平分，所以，且，由勾股定理可得，所以，即取最小值時，取得最小值；易知為圓心到直線的距離，即，所以.故選：A【變式9-4】（2023·江蘇·高二專題練習）設點為直線上任意一點，過點作圓的切線，切點分別為，則直線必過定點（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，連接，，根據(jù)題意，設為直線上的一點，則，由于為圓的切線，則有，，則點、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為,，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立可得直線AB：，又由，則有AB：，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點.故選：B.考點10求直線與圓的的弦長【例10】（2023秋·云南紅河·高二校考階段練習）直線被圓所截得的弦長為.【答案】【解析】圓的圓心，半徑，點到直線的距離，所以所求弦長為.故答案為：【變式10-1】（2023·全國·高二專題練習）已知圓：，圓的弦被點平分，則弦所在的直線方程是．【答案】【解析】因為圓：，所以化為標準方程為：，所以圓心.又圓的弦被點平分，故，而直線斜率不存在，所以，由于過點，故直線的方程為：.【變式10-2】（2023秋·高二課前預習）（多選）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（）A．圓的圓心為B．圓被軸截得的弦長為8C．圓的半徑為5D．圓被軸截得的弦長為6【答案】ABCD【解析】由圓的一般方程為，則圓，故圓心為，半徑為，則AC正確；令，得或，弦長為6，故D正確；令，得或，弦長為8，故B正確.故選：ABCD.【變式10-3】（2023秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知動直線與圓.則直線l被圓C所截得的弦長的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直線變形為．令解得如圖所示，故動直線恒過定點．而，設圓心到直線的距離為，則弦長為，故當最大時，弦長最小，而當垂直直線時，此時最大為，故弦長最?。钚≈禐椋蔬x：C【變式10-4】（2023秋·安徽淮南·高二?？茧A段練習）圓，過點作圓的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圓，得圓心，半徑，因為，所以點在圓內，所以經過點的直徑是最長的弦，且最短的弦是與該直徑垂直的弦，如圖所示，因為，所以由垂徑定理得，所以四邊形的面積為，故選：C考點11圓與圓的位置關系判斷【例11】（2023秋·浙江嘉興·高二?？茧A段練習）已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關系為（）A．相交B．外切C．內切D．內含【答案】B【解析】由圓方程，得圓心為，半徑，由圓方程，得圓心為，半徑，則兩圓的圓心距為，所以圓與圓外切，故選：B．【變式11-1】（2023秋·全國·高二專題練習）圓與圓的位置關系是（）A．外離B．外切C．相交D．內切【答案】C【解析】兩圓化為標準形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而，故兩圓相交，故選：.【變式11-2】（2023秋·高二課時練習）設圓，圓，則圓，的位置（）A．內切B．相交C．外切D．外離【答案】D【解析】圓，化為，圓心為，半徑為；圓，化為，圓心為，半徑為；兩圓心距離為：，，圓與外離，故選：D.【變式11-3】（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習）已知圓，圓，其中，那么這兩個圓的位罝關系不可能為（）A．外離B．外切C．內含D．內切【答案】C【解析】因為圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，，，又因為，所以，所以，即，故兩圓的位置關系不可能為內含.故選：C.【變式11-4】（2023秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）（多選）下列圓中與圓：相切的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】變形為，圓心為，半徑為，A選項，的圓心為，半徑為3，故，由于，且，所以圓與不相切，A錯誤；B選項，的圓心為，半徑為3，故，由于，故圓與外切，B正確；C選項，的圓心為，半徑為5，故，由于，故圓與內切，C正確；D選項，的圓心為，半徑為7，故，由于，故圓與內切，D正確；故選：BCD考點12由圓與圓的位置關系求參【例12】（2023秋·福建三明·高二?？茧A段練習）（多選）圓與圓外切，則的值為（）A．B．C．2D．5【答案】AC【解析】圓的圓心為，半徑長為3，圓的圓心為，半徑長為2．依題意，即，解得或．故選：AC【變式12-1】（2023秋·山東菏澤·高二?？茧A段練習）已知圓，圓，如果這兩個圓有且只有一個公共點，則常數(shù).【答案】或0【解析】∵兩個圓有且只有一個公共點，∴兩個圓內切或外切，當兩圓內切時，可得，當兩圓外切時，可得，∴或0.故答案為：或0【變式12-2】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習）已知圓：上總存在兩個點到原點的距離均為，則的取值范圍是.【答案】【解析】依題意，到原點的距離均為的點的軌跡方程為圓，所以原問題可轉化為圓與圓：有兩個交點，又因為圓的圓心為，半徑；圓的圓心，半徑；所以可得，即，又，所以解得；即實數(shù)的取值范圍是.【變式12-3】（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，若圓上任意一點關于原點的對稱點都不在圓上，則的取值范圍為．【答案】【解析】圓關于原點的對稱圓為，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，，由已知得，圓與無公共點，所以或，所以或，解得或，又，所以．故答案為：.【變式12-4】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習）已知點，若圓O：上存在點A，使得線段PA的中點也在圓O上，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設A的坐標為，PA的中點坐標為，則有：，解得：，又線段PA中點也在圓上，所以兩圓有公共點，所以，解得：，解得：，故選：B.考點13兩圓的公共弦問題【例13】（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習）圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】聯(lián)立，相減可得，故選:C【變式13-1】（2023·全國·高二專題練習）圓與圓相交于兩點，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由圓與圓，將兩圓方程相減整理得直線的方程：，又，即，圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，所以.故選：B.【變式13-2】（2023秋·上海浦東新·高二?？茧A段練習）已知圓與圓交于A，B兩點，若直線AB的傾斜角為，則．【答案】【解析】因為圓與圓交于A，B兩點，則兩圓方程相減可得，即直線方程為，又因為直線AB的傾斜角為，則斜率，又因為，即，則，所以直線方程為，圓心到直線的距離為，所以.【變式13-3】（2023秋·遼寧大連·高二?？茧A段練習）已知圓與圓得公共弦所在直線恒過定點，而且點在直線上，則的最小值是.【答案】2【解析】圓與圓相減，得公共弦所在直線為，故令且，解得，所以，將代入得，由于所以，當且僅當時等號成立，故，當且僅當時等號成立，故答案為：2【變式13-4】（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習）已知圓，圓的圓心在直線上，且經過，兩點.（1）求圓的方程.（2）求經過兩圓的交點的圓中面積最小的圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設圓的方程為：，其圓心坐標為，依題意，，解得，所以圓的方程為:.（2）圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，即圓與圓相交，兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：，直線的方程為，即，過圓與圓的交點的圓中面積最小的圓即是以圓與圓的公共弦為直徑的圓，由，得所求圓的圓心為，又圓心到公共弦所在直線的距離為，因此所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.考點14兩圓的公切線問題【例14】（2023·江蘇·高二專題練習）圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】圓的圓心坐標為，半徑為5；圓的圓心坐標為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因為，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.【變式14-1】（2023秋·陜西西安·高二?？茧A段練習）若圓與圓恰有3條公切線，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為與恰有3條公切線，所以與外切，由、且半徑分別為2、1，則，解得.故選：A【變式14-2】（2023·全國·高二專題練習）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，所以，半徑，由，所以，半徑為，因為圓與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個圓相交，于是有，而，所以m的取值范圍為，故選：A【變式14-3】（2023秋·江西宜春·高二?？计谀﹫A與圓的公切線方程為．【答案】【解析】圓，即，得，所以故兩圓內切，公切線只有一條，與兩圓圓心的連線即x軸垂直，由得所以切點為，故公切線方程為．【變式14-4】（2023秋·河南南陽·高二?？茧A段練習）（多選）圓M：，圓N：，則兩圓的一條公切線方程為（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由，則圓心為，半徑為；由，則圓心為，半徑為；所以，即兩圓外離，故共有4條公切線，又關于原點對稱，且兩圓半徑相等，則有過原點的兩條公切線，與平行的兩條公切線，如下圖示，設過原點的公切線為，則，可得或，所以公切線為或，A對，B錯；設與平行的公切線為，且與公切線距離都為1，則，即，所以公切線為，C對，D錯.故選：AC1．（2023秋·河北石家莊·高二?？茧A段練習）圓心為且過點的圓的標準方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓的半徑為，所以圓的標準方程為.故選：A2．（2023秋·內蒙古赤峰·高二?？茧A段練習）已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意設圓心坐標為，因為圓與直線相切，則，且，解得，即圓心為，半徑為，所以圓C的方程為，即．故選：D．3．（2023秋·河北·高二統(tǒng)考階段練習）已知點在圓C：外，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由題意得，解得或.故選：C4．（2022秋·浙江嘉興·高二?？茧A段練習）方程表示的圓（）A．關于x軸對稱B．關于y軸對稱C．關于直線對稱D．關于直線對稱【答案】D【解析】易得圓心，圓心在直線上，所以該圓關于直線對稱.故選：D5．（2023秋·吉林長春·高二?？茧A段練習）為圓上任意一點，且點．則的最大值為（）A．5B．9C．8D．7【答案】D【解析】圓變形為，其圓心為，半徑為，則的最大值為.故選：D6．（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習）已知圓與圓相交，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圓，即的圓心，半徑3，，即的圓心，半徑，圓心距等于，由兩圓相交，得，即，解得.所以a的取值范圍.故選：D.7．（2023秋·河南信陽·高二?？茧A段練習）（多選）判斷下列命題正確的是（）A．方程表示圓心為，半徑為的圓B．若表示圓的一般方程，則的取值范圍是C．已知直線和直線垂直，則實數(shù)