專題08 等差數列通項與前n項和（12大考點知識串講+熱考題型+專題訓練）（【含答案解析】）

專題08等差數列通項與前n項和知識點1等差數列的定義1、文字語言：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示．2、符號語言：若，則數列為等差數列（通?？煞Q為AP數列）【注意】（1）“從第2項起”是指第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合．（2）“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調了：①作差的順序；②這兩項必須相鄰．（3）定義中的“同一常數”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數，否則這個數列不能稱為等差數列．知識點2等差數列的通項與性質1、等差數列的通項公式已知等差數列的首項為a1，公差為d，則通項公式為：2、等差中項如果三個數a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項．這三個數滿足的關系式是A＝eq\f(a＋b,2).3、等差數列的性質（1）若是公差為d的等差數列，正整數m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則.特別地，當m＋n＝2k（m，n，k∈N*）時，.（2）對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即（3）若是公差為d的等差數列，則①（c為任一常數）是公差為d的等差數列；②（c為任一常數）是公差為cd的等差數列；③（k為常數，k∈N*）是公差為2d的等差數列．（4）若，分別是公差為d1，d2的等差數列，則數列(p，q是常數)是公差為的等差數列．（5）通項公式的推廣：(n，m∈N*)．知識點3等差數列的前n項和與性質1、等差數列的前n項和公式已知量首項，末項與項數首項，公差與項數選用公式2、等差數列的前n項和的常用性質（1）設等差數列的公差為，為其前n項和，等差數列的依次項之和，，，…組成公差為的等差數列；（2）數列是等差數列?(a，b為常數)?數列為等差數列，公差為；（3）若S奇表示奇數項的和，表示偶數項的和，公差為d；①當項數為偶數時，，，；②當項數為奇數時，，，.（4）在等差數列，中，它們的前項和分別記為則3、等差數列的前n項和公式與二次函數將等差數列前n項和公式，整理成關于n的函數可得.當時，關于n的表達式是一個常數項為零的二次函數式，即點在其相應的二次函數的圖象上，這就是說等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數，它的圖象是拋物線上橫坐標為正整數的一系列孤立的點．考點1等差數列的基本量計算【例1】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習）已知等差數列的前n項和為，則數列的公差是（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】因為，所以，又，所以.故選：D【變式1-1】（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學?？计谀盗袨榈炔顢盗?，若,，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設等差數列的公差為，由，所以.故選：B.【變式1-2】（2023·山東青島·高二青島二中校考階段練習）已知等差數列的前項和為，，則（）A．240B．180C．120D．60【答案】A【解析】設等差數列的公差為，，.故選：A【變式1-3】（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習）設等差數列的前項和為，若，，則（）A．B．C．2022D．2023【答案】A【解析】設等差數列的首項為，公差為，則，即，由，則，即，由，則，即，將代入，解得，.故選：A.【變式1-4】（2023·江西新余·高二統(tǒng)考期末）已知等差數列的前項和為，若，，則等差數列的公差（）A．3B．2C．D．4【答案】B【解析】等差數列的前項和為，，，于是，解得，所以等差數列的公差.故選：B考點2等差數列通項性質應用【例2】（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習）在等差數列中，，則的值為（）A．20B．15C．10D．5【答案】A【解析】在等差數列中，，則，因此．故選：A．【變式2-1】（2023·寧夏銀川·高二銀川二中?？茧A段練習）已知等差數列，其前項和為，則（）A．24B．36C．48D．64【答案】B【解析】因為數列為等差數列，且，由等差數列的性質，可得，所以，又由.故選：B.【變式2-2】（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）在等差數列中，若，則（）A．4B．5C．D．【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.【變式2-3】（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學?？计谥校┰诘炔顢盗兄?，，，則（）A．39B．76C．78D．117【答案】C【解析】在等差數列中，，，則.故選：C.【變式2-4】（2023·高二課時練習）在等差數列中，，則.【答案】20【解析】在等差數列中，，所以，所以.考點3等差數列單調性及應用【例3】（2023·高二課時練習）（多選）已知等差數列的公差,則下列四個命題中真命題為（）A．數列是遞增數列B．數列是遞增數列C．數列是遞增數列D．數列是遞增數列【答案】AD【解析】對于A，等差數列的公差，則數列是遞增數列，正確；對于B，不妨取，則不是遞增數列，B錯誤；對于C，不妨取，則不是遞增數列，C錯誤；對于D，由于等差數列的公差，隨n的增大而增大，隨n的增大而增大，故也隨n的增大而增大，即數列是遞增數列，D正確，故選：AD【變式3-1】（2023·安徽馬鞍山·高二統(tǒng)考期中）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞減數列”是“存在正整數，當時，”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令公差為且的無窮等差數列，且，若為遞減數列，則，結合一次函數性質，不論為何值，存在正整數，當時，充分性成立；若存在正整數，當時，由于，即不為常數列，故單調遞減，即，所以為遞減數列，必要性成立；所以“為遞減數列”是“存在正整數，當時，”的充分必要條件.故選：C【變式3-2】（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知是等差數列的前n項和，且，則（）A．數列為遞增數列B．數列為遞減數列C．D．【答案】AD【解析】，而，所以，則，所以數列為遞增數列，故A正確，B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：AD．【變式3-3】（2023·河北衡水·高二安平中學?？茧A段練習）設等差數列的前項和為，滿足，數列中最大的項為第（）項．A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】由題意，可得，所以，且，又由等差數列的公差，所以數列是遞減數列，前6項均為正數，從第7項起為負數，數列的最大項為，是數列中的最小項，且，所以數列中最大的項為，即第6項.故選：C.考點4增減項構造等差新數列【例4】（2023·江西·高二統(tǒng)考期末）在和兩個實數之間插入個實數，，，，使數列為等差數列，那么這個數列的公差為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意等差數列中共有項，設公差為，則，所以.故選：B【變式4-1】（2023·遼寧錦州·高二渤海大學附屬高級中學?？茧A段練習）已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入4個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列，則（）A．4043B．4044C．4045D．4046【答案】C【解析】設數列的公差為，由題意可知，，，，故，故，則．故選：C.【變式4-2】（2023·上?！じ叨？计谥校┰诤椭g插入個數，組成首項為，末項為的等差數列，若這個數列的前項的和，后項的和之比為，則插入數的個數是（）A．個B．個C．個D．個【答案】B【解析】設插入的這個數分別記為、、、，由等差數列的性質可得，這個數列的公差為，這個數列所有項的和為，這個數列的前項的和為，因為這個數列的前項的和與后項的和之比為，則，即，解得，所有，插入數的個數是個.故選：B.【變式4-3】（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┮阎獢盗械耐椆綖椋诤椭g插入個形成一個新數列，則的前2024項的和為.【答案】7891【解析】在數列中，在的前面的所有項的項數為，當時，，即在的前面的所有項的項數為2015，又在與之間共有63個2，所有數列的前2024項中包含數列的項有63項，中間插入2的數量為，所有數列的前2024項和為.【變式4-4】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學?？计谥校┮阎炔顢盗?，現在其每相鄰兩項之間插入一個數，使之成為一個新的等差數列．（1）求新數列的通項公式；（2）16是新數列中的項嗎？若是，求出是第幾項，若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）不是【解析】（1）設已知的等差數列為，易知，則，則，由題意知：，則.（2）令，故不是新數列中的項.考點5等差數列的片段和性質【例5】（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）已知等差數列的前項和為，若，則.【答案】12【解析】設，則，因為也成等差數列，所以，即，即，所以.【變式5-1】（2023·甘肅酒泉·高三酒泉中學校聯(lián)考階段練習）已知等差數列的前項和為，且，，則.【答案】16【解析】因為等差數列的前項和為,所以,,,成等差數列,所以，即解得，所以，所以，解得.【變式5-2】（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學校考階段練習）若等差數列的前m項的和為20，前3m項的和為90，則它的前2m項的和為.【答案】50【解析】由等差數列片段和性質知：為等差數列，所以，則，所以.【變式5-3】（2022·陜西西安·高二西光中學?？茧A段練習）等差數列的前n項和，若，則（）A．10B．20C．30D．15【答案】A【解析】由等差數列有成等差數列，設為d，則，故.故選：A【變式5-4】（2023·全國·高三專題練習）設是等差數列的前項和，，，則.【答案】200【解析】依題意，，，，…，依次成等差數列，設該等差數列的公差為.又，，因此，解得，所以.考點6等差數列前n項和與n的比值【例6】（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學校考階段練習）在等差數列中，，其前n項和為，若，則等于（）A．10B．100C．110D．120【答案】B【解析】因為數列是等差數列，則數列也為等差數列，設其公差為，則，則，又因為，所以，所以，所以.故選：B.【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差數列{an}的前n項和，∴數列{}是等差數列．∵a1＝﹣2018，，∴數列{}的公差d，首項為﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故選：C．【變式6-2】（2023·河南·高三安陽縣高級中學校聯(lián)考階段練習）已知等差數列的前項和為，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設等差數列的公差為，則，數列是公差為的等差數列，，解得：，.故選：D.【變式6-3】（2023·江蘇常州·高二奔牛高級中學?？计谀┰诘炔顢盗兄?,其前項和為,則.【答案】110【解析】由題知為等差數列,記數列,所以,由,可知,所以是以2為首項,1為公差的等差數列,所以,所以,所以.【變式6-4】（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】設等差數列的公差為，，，數列是以為首項，為公差的等差數列，，解得：；，，解得：，即的取值范圍為.考點7兩個等差數列前n項和的比值【例7】（2023·黑龍江大慶·高二?？计谀┑炔顢盗泻偷那绊椇头謩e為和，如果，的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差數列的性質知，，又，所以，故選：C.【變式7-1】（2023·福建寧德·高二寧德第一中學校考階段練習）（多選）已知兩個等差數列、的前項和分別為和，且，則使得為整數的的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由等差中項以及等差數列求和公式可得，又因為，.故選：ACD.【變式7-2】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習）已知等差數列與等差數列的前項和分別為與,且,則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為數列、都是等差數列,所以,又，，故，，即有,在中，令，得，故.故選：D.【變式7-3】（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學校聯(lián)考期中）已知等差數列，前n項和分別為，，若，則等于（）A．2B．C．1D．【答案】D【解析】因為，為等差數列，則，即.故選：D.【變式7-4】（2023·福建南平·高二福建省南平第一中學校考階段練習）已知等差數列和的前n項和分別為，，若，則【答案】【解析】由等差數列的性質可得：，，，所以，由得，得，所以.考點8等差數列的奇偶項和性質【例8】（2023·甘肅定西·高二臨洮中學?？茧A段練習）已知等差數列共有21項，若奇數項的和為110，則偶數項的和為（）A．100B．105C．90D．95【答案】A【解析】由，有，偶數項的和為100．故選：A【變式8-1】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習）已知等差數列的項數為其中奇數項之和為偶數項之和為則()A．B．C．D．【答案】A【解析】項數為的中奇數項共有項,其和為項數為的中偶數項共有項,其和為所以解得故選:A.【變式8-2】（2022·江蘇蘇州·高二蘇州第十中學校?？茧A段練習）一個等差數列共有偶數項,偶數項之和為84,奇數項之和為51,最后一項與第一項之差為63,則該數列公差為.【答案】3【解析】由題知不妨設等差數列為,首項為,公差為,項數為，故有，兩式相減，因為，故，故.【變式8-3】（2023·高二課時練習）在等差數列中，已知公差，且，求的值．【答案】【解析】，，.【變式8-4】（2023·高二課時練習）求下列兩題：（1）等差數列前12項和為354，前12項中偶數項和與奇數項和之比為32∶27，求該數列的公差；（2）項數為奇數的等差數列，奇數項和為44，偶數項和為33，求該數列的中間項．【答案】（1）5；（2）11．【解析】（1）由題意得：設等差數列的首項為，公差為，奇數項和為，偶數項的和為則由題意得：，解得：由等差數列性質可知：解得：故該數列的公差為.（2）設等差數列中共有項，則奇數項有項，偶數項由項，中間項為第項，記作，奇數項和為，偶數項的和為由等差數列前項和的性質，可知又，所以，解得：又因為，所以所以這個數列的中間項為，共有項.考點9等差數列前n項和最值【例9】（2022·江西新余·統(tǒng)考二模）設等差數列的前項和為，且，，則當（）時，最大.A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，即，因為，所以，即，根據等差數列性質，因為，即，又因為，即；所以得且，所以等差數列為遞減的數列，所以當時，最大.故選：B.【變式9-1】（2023·山東泰安·高二新泰市第一中學?？茧A段練習）已知等差數列的前項和為，若，則取得最大值時，n的值是（）A．23B．13C．14D．12【答案】D【解析】因為是等差數列，且，所以，，即，所以，，因為，所以等差數列是遞減數列，所以當時，取得最大值.故選：D.【變式9-2】（2023·福建寧德·高二寧德第一中學校考階段練習）（多選）設等差數列的前n項和為，公差為d，且滿足，則對描述正確的有（）A．是唯一最大值B．是最大值C．D．是最小值【答案】BC【解析】由得，而則，所以是的最大值，A選項錯誤，B選項正確.，C選項正確.由于，是單調遞減數列，所以沒有最小值，D選項錯誤.故選：BC【變式9-3】（2023·貴州貴陽·高二?？茧A段練習）已知等差數列的前項和為，若，公差.（1）求的表達式（2）是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）當或時取得最大值，最大值為.【解析】（1）等差數列中，若，公差，則有.（2），又，∴當或時取得最大值，最大值為.【變式9-4】（2023·江蘇蘇州·高二沙洲中學?？奸_學考試）（多選）已知等差數列中，當且僅當時，僅得最大值.記數列的前k項和為，（）A．若，則當且僅當時，取得最大值B．若，則當且僅當時，取得最大值C．若，則當且僅當時，取得最大值D．若，，則當或14時，取得最大值【答案】BD【解析】由等差數列前n項和有最大值，所以數列為遞減數列，對于A，且時取最大值，設，則，當時，；時，；時，，所以或14時，前k項和取最大值，A項錯誤；對于B，當且僅當時取最大值，則時，，時，.，則，，，，前14項和最大，B項正確；對于C，，則，同理，，，前13項和最大，C項錯誤；對于D，，，得，由題等差數列在時，，時，，所以，，，所以或14時，前k項和取最大值，D項正確；故選：BD.考點10含絕對值的等差數列求和【例10】（2023·天津·高二天津市咸水沽第一中學?？茧A段練習）在數列中，，則等于（）A．445B．765C．1080D．3105【答案】B【解析】依題意由可得為定值，因此可知數列是以為首項，公差為的等差數列，即可得，所以當時，，當時，，所以.故選：B【變式10-1】（2023·湖北黃岡·高二?？茧A段練習）已知數列滿足，，設的前項和為，（1）求數列的通項公式；（2）求；（3）求．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）當時，,當時，.時，上式亦成立.所以.（2）又，所以時，，所以.（3）當時，所以.【變式10-2】（2023·福建三明·高二?？茧A段練習）已知為等差數列的前n項和，若.（1）求數列的通項公式與；（2）求數列的前50項和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設數列的首項為，公差為，由，可得，又由，聯(lián)立方程組，解得，所以，.（2）由，解得，所以，則.【變式10-3】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習）已知各項都為正數的數列的前項和為,且滿足.（1）求數列的通項公式;（2）若，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）數列中，，當時，，由兩式相減，得，即，又數列的各項都為正數，則，當時，，解得，因此數列是首項為3，公差為3的等差數列，所以.（2）由（1）得，，，即，設的前項和為，則，當時，，當時，，于是當時，；當時，，所以數列的前項和.【變式10-4】（2023·江蘇無錫·高二無錫市第一中學校考階段練習）在等比數列中，，公比，且，又與的等比中項為2.（1）求數列的通項公式；（2）若，求的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，又，所以，因為與的等比中項為2，所以，則，解得（舍去），所以，所以（舍去）所以；（2）由（1）得，令，則，令，則，當時，，當時，，綜上所述，.考點11等差數列的判定與證明【例11】（2023·海南·高二?？茧A段練習）設為數列的前n項和，.（1）求；（2）證明是等差數列.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）數列的前n項和,則當時，；當時，，滿足上式，所以.（2）由（1）知，當時，，因此（常數），所以數列是等差數列.【變式11-1】（2023·云南·高二學業(yè)考試）已知數列中，，，.（1）求的值；（2）證明：數列是等差數列；（3）求數列的通項公式.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）數列中，，，且，令，可得.（2）證明：由，當時，可得，則，又由，，可得，所以是公差為的等差數列，即數列是公差為4等差數列.（3）由（2）知，數列是首項為，公差為的等差數列，可得，所以.即數列的通項公式為【變式11-2】（2023·江蘇鹽城·高二新豐中學?？茧A段練習）已知數列的前項和為，且滿足，.（1）求證：是等差數列；（2）求數列的通項公式.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：當時，由得，所以，又，所以是首項為2，公差為2的等差數列.（2）由（1）可得，所以.當時，；當時，，不符合故【變式11-3】（2023·四川眉山·高二仁壽一中?？茧A段練習）已知數列的前項和滿足.（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列等差數列.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）數列的前項和，當時，，當時，，滿足上式，所以的通項公式為.（2）設，其中，因此，則，數列是等差數列，所以數列是首項為12，公差為的等差數列.【變式11-4】（2023·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學校考階段練習）已知數列滿足：，.（1）計算數列的前4項；（2）求證：是等差數列；（3）求的通項公式.【答案】（1），，，；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）數列中，，，則，，，所以數列的前4項為，，，．（2）由（1）知，，將等號兩端取倒數得，，即，所以數列是以為首項，1為公差的等差數列.（3）由（2）知，即，所以數列的通項公式為.考點12等差數列的實際應用【例12】（2023·福建廈門·高二廈門集美中學?？茧A段練習）《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這些節(jié)氣的日影長依次成等差數列，冬至、立春、春分日影長之和為尺，前九個節(jié)氣日影長之和為尺，則芒種日影長為（

）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】C【解析】從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種的日影長依次構成等差數列，設為，前九個節(jié)氣日影長之和為尺，即，解得，又因為冬至、立春、春分日影長之和為尺，即，可得，所以，數列的公差為，所以，即芒種日影長為尺.故選：C.【變式12-1】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考階段練習）明代數學家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經給出由n，和d求各項的問題，如九兒問甲歌：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七．借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推．”則該問題中老人的長子的歲數為（）A．35B．32C．29D．26【答案】A【解析】根據題意，九個兒子的歲數從大到小構成公差為的等差數列，設長子的歲數為，則，解得．故選：A【變式12-2】（2023·江蘇揚州·高二邗江中學?？计谥校┈F有一張正方形剪紙，沿只過其一個頂點的一條直線將其剪開，得到2張紙片，再從中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，得到3張紙片，……，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，若經過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數總和為（）A．33B．34C．36D．37【答案】B【解析】設沒剪之前正方形的邊數為，即，沿只過其一個頂點的一條直線將其剪開得到一個三角形和一個四邊形，，然后無論是選擇三角形或四邊形，剪一次后邊數都增加3，所以可知次剪紙得到的多邊形紙片的邊數成公差為3的等差數列，即，故經過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數總和為，故選：B.【變式12-3】（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）朱世杰是歷史上最偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升.”在該問題中前7天共分發(fā)多少升大米？（）A．1170B．1440C．1785D．1772【答案】C【解析】由題意得，每天分發(fā)的大米升數構成等差數列，設公差為，則，記第一天共分發(fā)大米為(升)，則前7天共分發(fā)大米（升）.故選：C.【變式12-4】（2023·福建福州·高二?？茧A段練習）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第十六題的“物不知數”問題，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二．問物幾何？現有一個相關的問題：將到這個自然數中被除余且被除余的數按照從小到大的順序排成一列，構成一個數列，則該數列的項數為．【答案】【解析】由題知，滿足上述條件的數列為，該數列為首項是，公差為的等差數列，則，解得，故該數列的項數為.1．（2023·河北保定·高二河北定興第三中學校聯(lián)考期中）已知數列為等差數列，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，解得，，解得，故等差數列的公差為，故.故選：C2．（2023·山東泰安·高二泰安第二中學?？茧A段練習）首項為的等差數列，從第項起開始為正數，則公差的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設等差數列首項為，公差為，由從第項起開始為正數，所以，即，解得，故D正確.故選：D.3．（2023·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習）已知為等差數列的前項和，若，則（）A．26B．27C．28D．29【答案】B【解析】由題意得成等差數列，∴，又，∴，解得.故選：B.4．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）某中學的募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到了5000元.他們第1天只收到了20元，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，這次募捐活動一共進行了（）A．20天B．25天C．30天D．35天【答案】B【解析】由題意可知，每一天收到的捐款成等差數列，首項為20，公差為15，設這次募捐活動一共進行了n天，則，得（負值舍去）.故選：B.5．（2023·陜西咸陽·高二?？茧A段練習）設等差數列，的前項和分別為，，，都有，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為等差數列，的前項和分別為，且，所以.故選：D.6．（2023·湖北黃岡·高二?？茧A段練習）已知數列滿足遞推關系：，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，，由，得，即，而，因此數列是以2為首項，1為公差的等差數列，則，，所以.故選：C7．（2023·海南?？凇じ叨？茧A段練習）已知為等差數列，，設，數列的前項和為，則當取最大值時，的值為（）A．10B．11C．12D．13【答案】C【解析】由，得，化簡得，，因為，，所以，又，，所以，，，且，，所以最大.故選：C.8．（2023·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）已知數列滿足，且，則數列的前101項中能被整除的項數為（）A．42B．41C．40D．39【答案】