2021-2022學年安徽省合肥五十中東校九年級(上)期中數學試卷-(解析版)

2021-2022學年安徽省合肥五十中東校九年級第一學期期中數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．將拋物線y＝﹣2x2﹣3向左平移4個單位，再向上平移1個單位所得新拋物線的表達式為（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣4 B．y＝﹣2（x+4）2﹣2 C．y＝﹣2x2+4 D．y＝﹣2x2+42．把二次函數y＝x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，正確的是（）A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+13．對于二次函數y＝﹣（x+2）2+3的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．當x＝2時，y有最小值是3 C．對稱軸是x＝2 D．頂點坐標是（﹣2，3）4．下列四組線段中，成比例線段的有（）A．1m、2m、3m、6dm B．2m、4m、9m、18cm C．1m、m、m、m D．1m、2m、3m、4m5．對于函數y＝（k＜0），下列說法錯誤的是（）A．它的圖象分布在二、四象限 B．它的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 C．當x＞0時，y的值隨x的增大而增大 D．當x＜0時，y的值隨x的增大而減小6．在比例尺為1：2000000的地圖上，相距5cm的兩地，它們的實際距離為（）A．10km B．100km C．500km D．1000km7．若點A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函數y＝（k＞0）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y28．已知在同一直角坐標系中二次函數y＝mx2+nx和反比例函數y＝的圖象如圖所示，則一次函數y＝x﹣n的圖象可能是（）A． B． C． D．9．如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F，若，則的值為（）A． B． C． D．10．若無論x為何值，多項式mx2﹣2x﹣2的值恒為負，則m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．已知反比例函數，若x≥2，則y的取值范圍為．12．如圖，平面直角坐標系中，點A是x軸上任意一點，BC平行于x軸，分別交y＝（x＞0）、y＝（x＜0）的圖象于B、C兩點，若△ABC的面積為2，則k的值為．13．如圖，在△ABC中，點E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中點，AE、BD交于點F，則的值為．14．已知二次函數y＝x2﹣2ax（a為常數）．則該二次函數的對稱軸是；當﹣1≤x≤4時，y的最小值是﹣12，則a的值為．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．已知xyz≠0且，求k的值．16．已知：二次函數y＝x2﹣4x+3a+2（a為常數）．（1）請寫出該二次函數圖象的對稱軸；（2）若這個二次函數的最小值是7，求a的值．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB＝xm，花園的面積為S．（1）求S與x之間的函數表達式；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積的最大值．18．如圖，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4，求AB的長．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．如圖，點M是AB上一點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求證：△AMF∽△BGM；（2）請你再寫出兩對相似三角形．20．如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面8米時，水面寬AB為12米．當水面上升6米時達到警戒水位，此時拱橋內的水面寬度是多少米？下面是兩個興趣小組解決這個問題的兩種方法，請補充完整：方法一：如圖1，以點A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy，此時點B的坐標為，拋物線的頂點坐標為，可求這條拋物線的解析式為．方法二：如圖2，以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系xOy，這時這條拋物線所表示的二次函數的解析式為．當取y＝﹣2時，即可求出此時拱橋內的水面寬度為，解決了這個問題．六、（本題滿分12分）21．如圖，在直角坐標系中，點A（3，a）和點B是一次函數y＝x﹣2和反比例函數y＝圖象的交點．（1）求反比例函數的表達式和點B的坐標．（2）利用圖象，直接寫出當x﹣2＞時x的取值范圍．（3）C為線段AB上一點，且橫坐標為正，作CD∥y軸與反比例函數y＝交于點D，當△BCD的面積最大時，則C點的坐標為．七、（本題滿分12分）22．已知拋物線y1＝ax2+bx+c的頂點A是直線y2＝2x與y3＝﹣2x+4的交點，且經過直線y3＝﹣2x+4與y軸的交點B．（1）求點A的坐標；（2）求拋物線的表達式；（3）寫出當y1＞y3時x的取值范圍．八、（本題滿分14分）23．某超市擬于中秋節(jié)前50天里銷售某品牌月餅，其進價為18元/kg．設第x天的銷售價格為y（元/kg），銷售量為m（kg）．該超市根據以往的銷售經驗得出以下的銷售規(guī)律：①當1≤x≤30時，y＝40；當31≤x≤50時，y與x滿足一次函數關系，且當＝36時，y＝37；x＝44時，y＝33．②m與x的關系為m＝5x+50．（1）當31≤x≤50時，求y與x的關系式；（2）x為多少時，當天的銷售利潤W（元）最大？最大利潤為多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日銷售利潤W（元）隨x的增大而增大，則需要在當天銷售價格的基礎上漲a元/kg，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．將拋物線y＝﹣2x2﹣3向左平移4個單位，再向上平移1個單位所得新拋物線的表達式為（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣4 B．y＝﹣2（x+4）2﹣2 C．y＝﹣2x2+4 D．y＝﹣2x2+4【分析】根據平移的規(guī)律：左加右減，上加下減解答．解：將拋物線y＝﹣2x2﹣3向左平移4個單位，再向上平移1個單位所得新拋物線的表達式為y＝﹣2（x+4）2﹣3+1，即y＝﹣2（x+4）2﹣2．故選：B．2．把二次函數y＝x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，正確的是（）A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解．解：y＝x2+4x﹣3＝x2+4x+4﹣7＝（x+2）2﹣7，故選：A．3．對于二次函數y＝﹣（x+2）2+3的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．當x＝2時，y有最小值是3 C．對稱軸是x＝2 D．頂點坐標是（﹣2，3）【分析】直接由頂點式得到對稱軸、開口方向、頂點坐標和最值．解：由y＝﹣（x+2）2+3得，開口向下，對稱軸為直線x＝﹣2，頂點坐標為（﹣2，3），當x＝﹣2時，y有最大值是3，故選項A、B、C錯誤，選項D正確；故選：D．4．下列四組線段中，成比例線段的有（）A．1m、2m、3m、6dm B．2m、4m、9m、18cm C．1m、m、m、m D．1m、2m、3m、4m【分析】如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，則四條線段叫成比例線段．根據比例性質對選項一一分析，排除錯誤答案．解：A、1×0.6≠2×3，故選項不符合題意；B、2×0.18≠4×9，故選項不符合題意；C、1×＝，故選項符合題意；D、1×4≠2×3，故選項不符合題意．故選：C．5．對于函數y＝（k＜0），下列說法錯誤的是（）A．它的圖象分布在二、四象限 B．它的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 C．當x＞0時，y的值隨x的增大而增大 D．當x＜0時，y的值隨x的增大而減小【分析】根據反比例函y＝的性質：當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大，圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形進行判斷即可．解：A、它的圖象分布在二、四象限，說法正確，不符合題意；B、它的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，說法正確，不符合題意；C、當x＞0時，y的值隨x的增大而增大，說法正確，不符合題意；D、當x＜0時，y的值隨x的增大而減大，說法錯誤，符合題意；故選：D．6．在比例尺為1：2000000的地圖上，相距5cm的兩地，它們的實際距離為（）A．10km B．100km C．500km D．1000km【分析】根據圖上距離除以比例尺，算出實際距離，進而把cm換算成km即可．解：5÷＝10000000（cm），10000000cm＝100km．故選：B．7．若點A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函數y＝（k＞0）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2【分析】先根據反比例函數中k＞0判斷出函數圖象所在的象限及增減性，再根據各點橫坐標的特點即可得出結論．解：∵反比例函數y＝中k＞0，∴函數圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內y隨x的增大而減?。擤?＜﹣1＜0，∴點A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，∵3＞0，∴點C（3，y3）位于第一象限，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故選：B．8．已知在同一直角坐標系中二次函數y＝mx2+nx和反比例函數y＝的圖象如圖所示，則一次函數y＝x﹣n的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據反比例函數圖象和二次函數圖象經過的象限，即可得出m＜0、n＞0、a＞0，由此即可得出＜0，﹣n＜0，即可得出一次函數y＝x﹣n的圖象經過二三四象限，再對照四個選項中的圖象即可得出結論．解：∵二次函數開口向下，∴m＜0；∵二次函數的對稱軸在y軸右側，左同右異，∴b符號與a相異，n＞0；∵反比例函數圖象經過一三象限，∴a＞0，∴＜0，﹣n＜0，∴一次函數y＝x﹣n的圖象經過二三四象限．故選：B．9．如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F，若，則的值為（）A． B． C． D．【分析】直接利用平行線分線段成比例定理進而得出，再將已知數據代入求出即可．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵，∴＝，∴＝．故選：C．10．若無論x為何值，多項式mx2﹣2x﹣2的值恒為負，則m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜【分析】設y＝mx2﹣2x﹣2，函數值恒為負，則拋物線開口向下，且拋物線與x軸沒有交點，得出關于m的不等式組，求解即可得出m的取值范圍．解：設y＝mx2﹣2x﹣2，∵函數值恒為負，∴，解得：m＜，故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．已知反比例函數，若x≥2，則y的取值范圍為0＜y≤3．【分析】求得x＝2時的函數值，然后根據反比例函數的性質即可得到y(tǒng)的取值范圍．解：∵反比例函數中，k＝6＞0，∴圖象在第一、三象限，且在每個象限y隨x的增大而減小，∵當x＝2時，y＝3，∴當x≥2時，0＜y≤3．故答案：0＜y≤3．12．如圖，平面直角坐標系中，點A是x軸上任意一點，BC平行于x軸，分別交y＝（x＞0）、y＝（x＜0）的圖象于B、C兩點，若△ABC的面積為2，則k的值為﹣1．【分析】連接OC、OB，如圖，由于BC∥x軸，根據三角形面積公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函數系數k的幾何意義得到?|3|+?|k|＝2，然后解關于k的絕對值方程可得到滿足條件的k的值．解：連接OC、OB，如圖，∵BC∥x軸，∴S△ACB＝S△OCB，而S△OCB＝?|3|+?|k|，∴?|3|+?|k|＝2，而k＜0，∴k＝﹣1．故答案為：﹣1．13．如圖，在△ABC中，點E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中點，AE、BD交于點F，則的值為．【分析】過E點作EH∥AC交BD于H，如圖，根據平行線分線段成比例定理，由EH∥CD得到＝，由于AD＝CD，則＝，然后利用EH∥AD，根據平行線分線段成比例定理得的值．解：過E點作EH∥AC交BD于H，如圖，∵EH∥CD，∴＝，∵BE＝3EC，∴＝＝，∵D是AC的中點，∴AD＝CD，∴＝，∵EH∥AD，∴＝＝．故答案為．14．已知二次函數y＝x2﹣2ax（a為常數）．則該二次函數的對稱軸是直線x＝a；當﹣1≤x≤4時，y的最小值是﹣12，則a的值為2或﹣6.5．【分析】把函數解析式化成頂點式即可求得對稱軸，然后利用分類討論的數學方法可以求得a的值．解：∵y＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，∴該二次函數的對稱軸是直線x＝a，∵當﹣1≤x≤4時，y的最小值是﹣12，∴當a＞4時，x＝4取得最小值，則﹣12＝（4﹣a）2﹣a2，解得，a＝3.5（舍去），當﹣1≤a≤4時，x＝a取得最小值，則﹣12＝（a﹣a）2﹣a2，解得，a＝2，當a＜﹣1時，x＝﹣1取得最小值，則﹣12＝（﹣1﹣a）2﹣a2，解得，a＝﹣6.5，故答案為：直線x＝a，2或﹣6.5．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．已知xyz≠0且，求k的值．【分析】分①當x+y+z≠0時，利用等比性質解答，②當x+y+z＝0時，用一個字母表示出另兩個字母的和，然后求解即可．解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不為0，①當x+y+z≠0時，∵＝＝＝k，∴k＝＝2，②當x+y+z＝0時，x+y＝﹣z，z+x＝﹣y，y+z＝﹣x，所以，k＝﹣1，綜上所述，k＝2或﹣1．16．已知：二次函數y＝x2﹣4x+3a+2（a為常數）．（1）請寫出該二次函數圖象的對稱軸；（2）若這個二次函數的最小值是7，求a的值．【分析】（1）由x＝﹣求得對稱軸；（2）將對稱軸的x值代入函數解析式求得函數的最小值，然后求出a的值；解：（1）對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝2．（2）當x＝2時，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2，∵最小值是7，∴3a﹣2＝7，解得：a＝3．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB＝xm，花園的面積為S．（1）求S與x之間的函數表達式；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積的最大值．【分析】（1）根據長方形的面積公式可得S關于x的函數解析式；（2）由樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m求出x的取值范圍，再結合二次函數的性質可得答案．解：（1）∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m．則S＝AB?BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x．即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．（2）由題意可知，，解得6≤x≤13．由（1）知，S＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196．∵當6≤x≤13時，S隨x的增大而增大，∴當x＝13時，S最大值＝195，即花園面積的最大值為195m2．18．如圖，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4，求AB的長．【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計算即可．解：∵FE∥CD，∴＝，即＝，解得，AC＝，∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得，AB＝．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．如圖，點M是AB上一點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求證：△AMF∽△BGM；（2）請你再寫出兩對相似三角形．【分析】（1）根據兩角對應相等的兩個三角形相似證明即可．（2）根據相似三角形的判定解決問題即可．【解答】（1）證明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM．∴△DMG∽△DBM，同法可證：△EMF∽△EAM．20．如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面8米時，水面寬AB為12米．當水面上升6米時達到警戒水位，此時拱橋內的水面寬度是多少米？下面是兩個興趣小組解決這個問題的兩種方法，請補充完整：方法一：如圖1，以點A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy，此時點B的坐標為（12，0），拋物線的頂點坐標為（6，8），可求這條拋物線的解析式為y＝﹣x2+．方法二：如圖2，以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系xOy，這時這條拋物線所表示的二次函數的解析式為y＝﹣x2．當取y＝﹣2時，即可求出此時拱橋內的水面寬度為6米，解決了這個問題．【分析】方法一：根據已知條件得到B（12，0），頂點（6，8），設二次函數的解析式為y＝a（x﹣6）2+8，把B點的坐標代入解方程即可得到結論；方法二：設拋物線解析式為y＝ax2，將點（6，﹣8）代入求得a的值，據此可得拋物線的解析式，再求y＝﹣2時x的值從而求出水面寬．解：方法一：A（0，0），B（12，0），頂點（6，8），設二次函數的解析式為y＝a（x﹣6）2+8，把B點的坐標代入得，a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣6）2+8＝﹣x2+，∴二次函數的解析式為y＝﹣x2+．故答案為：（12，0）；（6，8）y＝﹣x2+x；方法二：設二次函數的解析式為y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，∴二次函數的解析式為y＝﹣x2；當y＝﹣2時，﹣2＝﹣x2，解得：x＝±3，即可求出此時拱橋內的水面寬度為6米．故答案為：y＝﹣x2；6米．六、（本題滿分12分）21．如圖，在直角坐標系中，點A（3，a）和點B是一次函數y＝x﹣2和反比例函數y＝圖象的交點．（1）求反比例函數的表達式和點B的坐標．（2）利用圖象，直接寫出當x﹣2＞時x的取值范圍．（3）C為線段AB上一點，且橫坐標為正，作CD∥y軸與反比例函數y＝交于點D，當△BCD的面積最大時，則C點的坐標為（1，﹣1）．【分析】（1）由一次函數y＝x﹣2求得A的坐標，然后根據待定系數法求得反比例函數的解析式，解析式聯立成方程組，解方程組求得B的坐標；（2）根據圖象即可求得；（3）設C（x，x﹣2）（x＞0），則D（x，），求得CD＝﹣x+2，由三角形面積公式可得S△BCD＝x?（﹣x+2）＝﹣（x﹣1）2+2，所以當x＝1時，△BCD的面積最大，此時，C的坐標為（1，﹣1）．解：（1）把A（3，a）代入y＝x﹣2可得，a＝1，即A（3，1），∴1＝，解得m＝3，∴反比例函數表達式為y＝，解，得或，∴B（﹣1，﹣3）；（2）由圖象可得，當x﹣2＞時，﹣1＜x＜0或x＞3；（3）設C（x，x﹣2）（x＞0），則D（x，），∴CD＝﹣x+2，∴S△BCD＝x?（﹣x+2）＝﹣（x﹣1）2+2，∴當x＝1時，△BCD的面積最大，此時，C的坐標為（1，﹣1）．故答案為：（1，﹣1）．七、（本題滿分12分）22．已知拋物線y1＝ax2+bx+c的頂點A是直線y2＝2x與y3＝﹣2x+4的交點，且經過直線y3＝﹣2x+4與y軸的交點B．（1）求點A的坐標；（2）求拋物線的表達式；（3）寫出當y1＞y3時x的取值范圍．【分析】（1）y2＝2x與y3＝﹣2x+4聯立，組成方程組，解方程組即可求得；（2）根據待定系數法即可求得；（3）根據二次函數的性質，結合A、B的坐標即可求得．解：（1）解得，∴A（1，2）；（2）在直線y3＝﹣2x+4中，令x＝0，則y＝4，∴B（0，4），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+2，代入B（0，4）得，